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四、解决动态平衡的两类基本方法
1.矢量三角形
【示例】如图所示是给墙壁刷涂料用的“涂料滚”示意图，使用时，用撑杆推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上。撑杆的重力和墙壁的摩擦均不计，且撑杆足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，设该过程中撑杆对涂料滚的推力为，涂料滚对墙壁的压力为，则（　　）
A.增大，减小
B.增大，增大
C.减小，减小
D.减小，增大
【答案】C
【解析】
以涂料滚为研究对象，涂料滚的重力竖直向下，是恒力；竖直墙壁对涂料滚的作用力与等大反向，方向一定，始终与墙壁垂直，保持水平；撑杆对涂料滚的作用力沿杆，方向和大小不确定。所以我们采用力的矢量三角形进行定性分析。
与墙壁的夹角越来越小，根据三角形可知减小，减小。
本题也可以使用平行四边形定则的方法进行分析，本质上与矢量三角形的方法是一致的。
【例22】（多选）如图所示为内壁光滑的半球形凹槽M，O为球心，∠AOB＝60°，OA水平，小物块在与水平方向成45°角的斜向上的推力F作用下静止于B处。在将推力F沿逆时针缓慢转到水平方向的过程中装置始终静止，则（　　）
A．M槽对小物块的支持力逐渐减小
B．M槽对小物块的支持力逐渐增大
C．推力F先减小后增大
D．推力F逐渐增大
【答案】BC
【解析】
以小物块为研究对象，分析受力情况，如图所示
物块受到重力G、支持力FN和推力F三个力作用，根据平衡条件可知，FN与F的合力与G大小相等，方向相反。将推力F沿逆时针缓慢转到水平方向的过程中(F由位置1→3)，根据作图可知，M槽对小物块的支持力FN逐渐增大，推力F先减小后增大，当F与FN垂直时，F最小。A、D错误，B、C正确。
【训练59】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的弹力大小为FN1，木板对球的弹力大小为FN2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中（　　）
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
【答案】B
对球受力分析，球受3个力，分别为重力G、墙对球的弹力FN1和板对球的弹力FN2.当板逐渐放至水平的过程中，球始终处于平衡状态，即FN1与FN2的合力F始终竖直向上，大小等于球的重力G，如图所示
由图可知FN1的方向不变，大小逐渐减小，FN2的方向发生变化，大小也逐渐减小。
【训练60】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是（　　）
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
【答案】D
【解析】
如图所示
先对小球进行受力分析，重力mg、支持力FN、拉力FT组成一个闭合的矢量三角形，由于重力不变、支持力FN方向不变，斜面向左移动的过程中，拉力FT与水平方向的夹角β减小，当FT⊥FN时，细绳的拉力FT最小，由图可知，随β的减小，斜面的支持力FN不断增大，FT先减小后增大。
2.相似三角形
【示例】如图所示，用细线吊着的小球放在光滑的大球面上，细线的另一端跨过光滑的小滑轮由人拉着。已知小球的质量为，小滑轮处在大球面的正上方。在人以拉力缓慢地使小球沿大球面逐渐上升的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.拉力变大，大球面对小球的支持力变大
B.拉力变小，大球面对小球的支持力变大
C.拉力变大，大球面对小球的支持力不变
D.拉力变小，大球面对小球的支持力不变
【答案】D
【解析】
以小球为研究对象受力分析如图
对小球受力分析如图，重力竖直向下为恒力，绳子的拉力和大球面对小球B的作用力方向不断改变，根据图中的力的三角形和几何三角形相似，可得相似比为
重力不变，不变；长度不变，所以不变；减小，拉力减小。
【例23】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物．现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前（　　）
A．BC绳中的拉力FT越来越大
B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大
D．AC杆中的支撑力FN越来越小
【答案】B
【解析】作出C点的受力示意图，如图所示
由图可知力的矢量三角形与几何三角形ABC相似．根据相似三角形的性质得＝＝，解得BC绳中的拉力为FT＝G，AC杆中的支撑力为FN＝G.由于重物P向上运动时，AB、AC不变，BC变小，故FT减小，FN不变。
【训练61】（多选）如图所示，A、B两球质量均为m，固定在轻弹簧的两端，分别用细绳悬于O点，其中球A处在光滑竖直墙面和光滑水平墙面的交界处，已知两球均处于平衡状态，OAB恰好构成一个正三角形，则下列说法正确的是(重力加速度为g)（　　）
A．球A可能受到四个力的作用
B．弹簧对球A的弹力大于对球B的弹力
C．绳OB对球B的拉力大小一定等于mg
D．绳OA对球A的拉力大小等于或小于1.5mg
【答案】ACD
【解析】
对球B受力分析，据共点力平衡可知弹簧和绳对球B的作用力大小均为mg，选项C正确；对同一弹簧而言，产生的弹力处处相等，故弹簧对球A的弹力等于对球B的弹力，选项B错误；对球A分析可知，一定受重力、弹簧的弹力、墙面的支持力作用，可能受地面的支持力和绳的拉力，地面的支持力和绳的拉力也可能有一个为0，当地面对球A的支持力为0时，绳上的拉力最大，等于重力和弹簧竖直方向的分力之和，即1.5mg，故选项A、D正确．
【训练62】（多选）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（　　）
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
【答案】AB
【解析】
如图所示
两个绳子是对称的，与竖直方向夹角是相等的．假设绳子的长度为x，两竖直杆间的距离为L，则xcosθ＝L，绳子一端在上下移动的时候，绳子的长度不变，两杆之间的距离不变，则θ角度不变；两个绳子的合力向上，大小等于衣服的重力，由于夹角不变，所以绳子的拉力不变，A正确，C错误；当杆向右移动后，根据xcosθ＝L，即L变大，绳长不变，所以θ角度减小，绳子与竖直方向的夹角变大，绳子的拉力变大，B正确；绳长和两杆距离不变的情况下，θ不变，所以挂的衣服质量变化，不会影响悬挂点的移动，D错误．
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四、解决动态平衡的两类基本方法
1.矢量三角形
【示例】如图所示是给墙壁刷涂料用的“涂料滚”示意图，使用时，用撑杆推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上。撑杆的重力和墙壁的摩擦均不计，且撑杆足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，设该过程中撑杆对涂料滚的推力为，涂料滚对墙壁的压力为，则（　　）
A.增大，减小
B.增大，增大
C.减小，减小
D.减小，增大
【答案】C
【解析】
以涂料滚为研究对象，涂料滚的重力竖直向下，是恒力；竖直墙壁对涂料滚的作用力与等大反向，方向一定，始终与墙壁垂直，保持水平；撑杆对涂料滚的作用力沿杆，方向和大小不确定。所以我们采用力的矢量三角形进行定性分析。
与墙壁的夹角越来越小，根据三角形可知减小，减小。
本题也可以使用平行四边形定则的方法进行分析，本质上与矢量三角形的方法是一致的。
【例22】（多选）如图所示为内壁光滑的半球形凹槽M，O为球心，∠AOB＝60°，OA水平，小物块在与水平方向成45°角的斜向上的推力F作用下静止于B处。在将推力F沿逆时针缓慢转到水平方向的过程中装置始终静止，则（　　）
A．M槽对小物块的支持力逐渐减小
B．M槽对小物块的支持力逐渐增大
C．推力F先减小后增大
D．推力F逐渐增大
【训练59】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的弹力大小为FN1，木板对球的弹力大小为FN2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中（　　）
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
【训练60】如图所示，小球用细绳系住，绳的另一端固定于O点．现用水平力F缓慢推动斜面体，小球在斜面上无摩擦地滑动，细绳始终处于直线状态，当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平，此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是（　　）
A．FN保持不变，FT不断增大
B．FN不断增大，FT不断减小
C．FN保持不变，FT先增大后减小
D．FN不断增大，FT先减小后增大
2.相似三角形
【示例】如图所示，用细线吊着的小球放在光滑的大球面上，细线的另一端跨过光滑的小滑轮由人拉着。已知小球的质量为，小滑轮处在大球面的正上方。在人以拉力缓慢地使小球沿大球面逐渐上升的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.拉力变大，大球面对小球的支持力变大
B.拉力变小，大球面对小球的支持力变大
C.拉力变大，大球面对小球的支持力不变
D.拉力变小，大球面对小球的支持力不变
【答案】D
【解析】
以小球为研究对象受力分析如图
对小球受力分析如图，重力竖直向下为恒力，绳子的拉力和大球面对小球B的作用力方向不断改变，根据图中的力的三角形和几何三角形相似，可得相似比为
重力不变，不变；长度不变，所以不变；减小，拉力减小。
【例23】如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物．现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前（　　）
A．BC绳中的拉力FT越来越大
B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大
D．AC杆中的支撑力FN越来越小
【训练61】（多选）如图所示，A、B两球质量均为m，固定在轻弹簧的两端，分别用细绳悬于O点，其中球A处在光滑竖直墙面和光滑水平墙面的交界处，已知两球均处于平衡状态，OAB恰好构成一个正三角形，则下列说法正确的是(重力加速度为g)（　　）
A．球A可能受到四个力的作用
B．弹簧对球A的弹力大于对球B的弹力
C．绳OB对球B的拉力大小一定等于mg
D．绳OA对球A的拉力大小等于或小于1.5mg
【训练62】（多选）如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态．如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是（　　）
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
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