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2021-2022学年高一数学人教A版（2019）必修第一册第二章
2.2
基本不等式
一、单选题
1．已知，且，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．对于，，下列不等式中不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．设,则有最小值（
）
A．4
B．8
C．10
D．12
4．“”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．若，，且，则
，
，
，
中最大的一个是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知,下列各不等式恒成立的是
A．
B．
C．
D．
7．某工厂过去的年产量为，改革后，第一年的年产量增长率为，第二年的年产量增长率为，这两年的年产量平均增长率为，则（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知正数a，b满足，则的最小值为（
）
A．25
B．16
C．12
D．
9．如果正数满足，那么（
）
A．，且等号成立时的取值唯一
B．，且等号成立时的取值唯一
C．，且等号成立时的取值不唯一
D．，且等号成立时的取值不唯一
二、多选题
10．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是（　　）
A．ab有最大值
B．+有最小值
C．+有最小值4
D．a2+b2有最小值
11．小王从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知，且，则的最小值为___________．
14．已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取值范围是______.
15．若，则的最小值为_________.
16．设都是正数，且满足则使恒成立的的取值范围是___．
17．设的最小值为___________
四、解答题
18．已知、，求证：.
19．已知都是正数，且.
求证：（1）；（2）.
20．（1）把写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
21．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？
22．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.
参考答案
1．B
【解析】∵，∴
（当且仅当，即时，等号成立）．∴．
故当时，有最小值，为．
故选：B
2．A
【解析】且，
对于A选项，当时，，，此时，不等式不成立；
对于B选项，由重要不等式得，该不等式成立；
对于C选项，由基本不等式可得，该不等式成立；
对于D选项，在重要不等式的两边同时加上可得，不等式两边同时除以得，该不等式成立.
故选：A.
3．B
【解析】因为,
所以，
，因为，
所以，
即有最小值为8，故选B.
4．C
【解析】
先考虑充分性,当x>0时，，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.
再考虑必要性，当时，如果x>0时，成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立.
所以x>0.
故选C.
5．D
【解析】，，且，
，.
故选D.
6．D
【解析】取时，，可判断选项A,B不正确；
取时，，可判断选项C不正确；
因为同号，，
当且仅当时，等号成立，选项D正确.
故选:D.
7．D
【解析】由题意，可得，即，
又由，
所以，所以.
故选D.
8．A
【解析】∵正数a，b满足，∴，，
等号仅当即时等号成立．
故选：A．
9．A
【解析】正数满足，∴
4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴
c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A．
10．AC
【解析】∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；
∴ab有最大值，当且仅当时取得∴选项A正确；
当时，，故错误；
，当且仅当时取得等号.
∴有最小值4，∴C正确；
当时，，故D错误.
故选：AC.
11．AD
【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，
.
，由基本不等式可得，
，
另一方面，
，
，则.
故选：AD.
12．AD
【解析】对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号；
对于C，，当且仅当时取等号；
对于D，当，时，，，，
所以.
故选AD.
13．
【解析】已知，由，可得
则当且仅当即等号成立.
即答案为.
14．
【解析】解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式等价为a恒成立，
设m，则m＞0，
平方得m2＝（）2111+1＝2，
当且仅当x＝y时取等号，
∴m2≤2，则0∴要使a恒成立，
则a，
故答案为[，+∞）
15．
【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出；
∵m，n＞0，且m+2n=1，，
当且仅当
时取等号.
16．
【解析】，当且仅当即时，取等号，所以的取值范围是．
17．
【解析】
∵，∴，∵，∴，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故答案为.
18．证明见解析
【解析】，，即.
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；
（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.
20．（1）a=b=6时，它们的和最小，为12；（2）a=b=9时，它们的积最大，为81
【解析】设两个正数为a，b
（1），则，当且仅当等号成立，
即a=b=6时，它们的和最小，为12.
（2），则当且仅当等号成立
即a=b=9时，它们的积最大，为81.
21．大于，理由见解析
【解析】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，，
，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，顾客购得的黄金大于.
22．最大面积是，.
【解析】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.

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