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多边形的内角和课后练习
一、单选题
1．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（
）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
2．若一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是（
）
A．7
B．10
C．12
D．14
3．如果一个正多边形的内角和等于1080°，那么该正多边形的一个外角等于（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．72°
4．一个五边形截去个角后剩下的多边形内角和是（
）
A．
B．
C．
D．或或
5．如图三角形纸片，剪去角后，得到一个四边形，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知一个边形的每一个外角都相等，一个内角与其相邻的一个外角的度数之比是，则的值是（
）
A．8
B．9
C．10
D．12
7．如图，等于（
）
A．360°
B．335°
C．385°
D．405°
8．一个凸多边形的每一个内角都等于140°，则这个多边形的对角线的条数是（
）
A．9条
B．54条
C．27条
D．6条
9．如图，小峰从点O出发，前进后向右转45°，再前进后又向右转45°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走的路程是（
）
A．35米
B．42米
C．70米
D．56米
10．若多边形的边数由5增加到n（n为大于5的正整数），则其外角和的度数（
）
A．增加
B．减少
C．不变
D．不能确定
11．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（　　　）
A．90°
B．108°
C．120°
D．135°
12．在某广场整修工程中，计划采用同一种正多边形地板砖铺设地面．则下列满足要求的地板砖是（
）
A．正五边形
B．正六边形
C．正七边形
D．正八边形
二、填空题
13．已知四边形中，与互补，，则________．
14．内角和为的多边形是__________边形．
15．已知一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，则这个多边形为_____边形．
16．一个不规则的图形如右图所示，那么______．
17．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为__________．
三、解答题
18．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
19．如图，在五边形ABCDE中，AP平分，BP平分．
（1）五边形ABCDE的内角和为　
　度；
（2）若，，，求的度数．
20．如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，与分别为的两个外角，则_______（横线上填“>”、“<”或“=”）．
初步应用：（2）如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则_______．
（3）解决问题：如图4，在中，、分别平分外角、，与有何数量关系？请尝试证明．
（4）如图5，在四边形中，、分别平分外角、，请利用上面的结论直接写出与、的数量关系．
参考答案
1．D
解：设多边形的边数为n，
由题意得，（n-2）?180°=2×360°，
解得n=6，
所以，这个多边形是六边形．
故选：D．
2．B
解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
（n-2）180°=144°×n，
解得n=10，
故选：B．
3．B
解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180°×（n-2）=1080°，
解得：n=8，
∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷8=45°．
故选：B．
4．D
解：一个五边形剪去一个角后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变；
①四边形的内角和为：360°；
②六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°；
③五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°；
故选D．
5．C
解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°-60°=120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1+∠2=360°-120°=240°．
故选：C．
6．B
解：设这个n边形的一个内角为7x，则与这个内角相邻的外角的度数为2x，
根据题意可知，
解得：．
则与这个内角相邻的外角的度数为．
∴，．
解得：．
故选：B．
7．C
解：由多边形的内角和公式可得：，
∴，
故选：C．
8．C
解：∵多边形的每一个内角都等于140°，
∴每个外角是180°-140°=40°，
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9，
∴这个多边形所有对角线的条数是：n(n-3)÷2=9×(9-3)÷2=27．
故选：C．
9．D
解：依题意可知，小峰所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则45n=360，解得n=8，
∴他第一次回到出发点O时一共走了：7×8=56米，
故选：D．
10．C
解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的度数是不变的．
故选：C．
11．B
解：正五边形的内角和=，
∴∠BAE=，
故选：B．
12．B
解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
∴用同一种正多边形铺满地面，则可供选择的正多边形是正六边形．
故选：B．
13．50°
解：∵∠A与∠B互补，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵∠D=130°，
∴∠C=50°，
故答案为：50°．
14．七
解：设所求多边形边数为n，
则（n-2）?180=900，
解得n=7．
故答案为：七．
15．14
解：设这个多边形的边数为n．
根据题意得：（n-2）×180°+360°=2520°．
解得：n=14．
故这个多边形为14边形．
故答案为：14．
16．360°
解：如图延长AF交DC于G点，
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠1＝∠E+∠AFE，∠2＝∠1+∠D，
等量代换，得∠2＝∠E+∠F+∠D，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠AFE＝∠A+∠B+∠2+∠C＝（4﹣2）×180°＝360°．
故答案为：360°．
17．
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+220°=4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=500°，
∵五边形OAGFE内角和=（5-2）×180°=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，
∴∠BOD=540°-500°=40°，
故答案为：40°．
18．
解：如图，由三角形的外角的性质可得：
19．（1）540；（2）65°
解：（1）五边形ABCDE的内角和为，
（2）∵在五边形ABCDE中，，
，，
∴，
∵AP平分，BP平分，
∴，，
∴，
∴．
20．（1）=
（2）
45°
（3）；证明见解析
（4）
解：（1）∠DBC＋∠ECB?∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，
∴∠DBC＋∠ECB＝2∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°＋∠A，
∴∠DBC＋∠ECB＝∠A＋180°，
故答案为：＝；
（2）∠2?∠C＝45°．
理由是：∵∠2＋∠1?∠C＝180°，∠1＝135°，
∴∠2?∠C＋135°＝180°，
∴∠2?∠C＝45°．
故答案为：45°；
（3）∠P＝90°?∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°?∠CBP?∠BCP＝180°?（∠DBC＋∠ECB），
∵∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，
∴∠P＝180°?（180°＋∠A）＝90°?∠A；
（4）∠P＝180°?（∠A＋∠D）．
理由是：如图：
∵∠EBC＝180°?∠1，∠FCB＝180°?∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°?∠1，∠4＝∠FCB＝90°?∠2，
∴∠3＋∠4＝180°?（∠1＋∠2），
∵四边形ABCD中，∠1＋∠2＝360°?（∠A＋∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180°?（∠3＋∠4）＝（∠1＋∠2），
∴∠P＝×[360°?（∠A＋∠D）]＝180°?（∠A＋∠D）．

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