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人教版2021年八年级上册数学同步练习卷
11.3多边形及其内角和
一．选择题
1．正八边形的内角和为1080°，它的外角和为（　　）
A．540° B．360° C．720° D．1080°
2．下列多边形中，内角和最大的是（　　）
A． B． C． D．
3．正多边形的一个外角等于60°，这个多边形的边数是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（　　）
A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1
5．如图，四边形ABCD中，∠1、∠2、∠3分别为∠A、∠B、∠C的外角，下列判断正确的是（　　）
A．∠1+∠3＝∠ABC+∠D B．∠1+∠3＝180°
C．∠2＝∠D D．∠1+∠2+∠3＝360°
6．若多边形的边数由n增加到n+1（n为大于3的正整数），则其内角和的度数（　　）
A．增加180° B．减少180° C．不变 D．不能确定
7．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（　　）
A．135° B．140° C．144° D．150°
8．如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转45°，再沿直线前进6米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（　　）米．
A．60 B．72 C．48 D．36
二．填空题
9．图中x等于　 　°．
10．一个多边形的内角和等于1440度，那么它的边数是 　 　．
11．如果一个多边形的每个外角都是60°，那么这个多边形内角和的度数为 　 　．
12．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，若∠A＝40°，则∠1﹣∠2的度数为　 　度．
13．如图，∠1+∠2+∠3+∠4的度数为　 　．
14．如图，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　度．
三．解答题
15．如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？要使一个n边形（n≥4）木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上几根木条？
16．一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2018°，求这个外角的度数和它的边数．
17．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比与它相邻外角的3倍还大20°，求这个多边形的边数以及它的内角和．
18．如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如正三角形就是等边三角形，正四边形就是正方形，如下图，就是一组正多边形，
（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 　 　 　 　 　 　 　 　 … 　 　
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α的度数；
（3）是否存在正n边形使得∠α＝21°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由．
19．如图①，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°．
（1）∠ABC+∠ADC＝　 　°（用含x，y的代数式表示）；
（2）BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
①当x＝y时，BE与DF的位置关系是 　 　；
②当y＝2x时，若BE与DF交于点P，且∠DPB＝10°，求y的值．
（3）如图②，∠ABC的平分线与∠ADC的外角平分线交于点Q，则∠Q＝　 　（用含x，y的代数式表示）．
20．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．
（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）
参考答案
一．选择题
1．解：∵多边形的外角和都是360°，
∴正八边形的外角和为360°，
故选：B．
2．解：A．三角形的内角和为180°；
B．四边形的内角和为360°；
C．五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°；
D．六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；
故选：D．
3．解：∵正多边形的外角和为360°，
∴此多边形的边长为：360°÷60°＝6．
故选：B．
4．解：这个八边形的内角和为：
（8﹣2）×180°＝1080°；
这个八边形的每个内角的度数为：
1080°÷8＝135°；
这个八边形的每个外角的度数为：
360°÷8＝45°；
∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：
135:45＝3:1．
故选：D．
5．解：∵∠1+∠DAB＝180°，∠3+∠BCD＝180°，
∴∠1+∠3+∠DAB+∠BCD＝360°，
∵∠ABC+∠BCD+∠D+∠DAB＝360°，
∴∠1+∠3＝∠ABC+∠D，
故A符合题意；
∵∠1+∠3只有∠ABC和∠D互补时才等于180°，
故B不符合题意；
∵只有∠ABC和∠D互补时，∠2＝∠D，
故C不符合题意；
∵多边形的外角和是360°，
∴∠1+∠2+∠3＜360°，
故D不符合题意；
故选：A．
6．解：n边形的内角和是（n﹣2）?180°，n+1边形的内角和是（n+1﹣2）?180°＝（n﹣1）?180°，则（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180°＝180°，
故选：A．
7．解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，
则每个内角的度数＝1260°÷9＝140°．
故选：B．
8．解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，
所以一共走了8×6＝48（米）．
故选：C．
二．填空题
9．解：由图可知：
150°+90°+2x°＝360°．
x＝60°．
故答案为：60．
10．解：设多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）?180°＝1440°，
解得：n＝10，
故答案为：10．
11．解：∵一个多边形的每个外角都是60°，
∴n＝360°÷60°＝6，
则内角和为：（6﹣2）?180°＝720°，
故答案为：720°．
12．解：如下图所示，
∵△ABC纸片沿DE进行折叠，点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，
∴∠4＝∠5，∠3＝∠2+∠DEC，
∵∠1+∠4+∠5＝180°，
∴∠1+2∠4＝180°，
∴∠1＝180°﹣2∠4，
∵∠3+∠DEC＝180°，
∴∠2＝∠3﹣∠DEC＝2∠3﹣180°，
∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠4﹣2∠3+180°＝360°﹣2∠4﹣2∠3＝2∠A，
∴∠1﹣∠2＝2×40°＝80°，
故答案为：80．
13．解：∵多边形的外角和是360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
故答案为：360°．
14．解：
∵∠1＝∠A+∠F，∠2＝∠D+∠E，∠3＝∠B+∠C，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠3，
∠1、∠2、∠3是△MNP的三个不同外角，
∵∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360．
三．解答题
15．解：根据三角形的稳定性，要使六边形木架不变形，至少再钉上3根木条；
要使一个n边形木架不变形，至少再钉上（n﹣3）根木条．
16．解：设这个多边形的边数是n，n为正整数，
根据题意得：0°＜2018°﹣（n﹣2）×180°＜180°，
解得：＜n＜，
即n＝13，
这个外角为2018°﹣（13﹣2）×180°＝38°．
17．解：设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，
由题意，得（3α+20°）+α＝180°，解得α＝40°，
即多边形的每个外角为40°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的外角个数＝＝9，
∴多边形的边数＝9，
∴多边形的内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°．
18．解：（1）观察上面每个正多边形中的∠α，填写下表：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
∠α的度数 60° 45° 36° 30° … （）°
（2）根据规律，计算正八边形中的∠α＝（）°＝22.5°；
（3）不存在，理由如下：
设存在正n边形使得∠α＝21°，
得∠α＝21°＝（）°．
解得n＝8，n是正整数，n＝8（不符合题意要舍去），
不存在正n边形使得∠α＝21°．
19．解：（1）在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝360°﹣∠A﹣∠DCB，
∵∠A＝x°，∠DCB＝y°，
∴∠ABC+∠ADC＝360﹣x﹣y＝（360﹣x﹣y）°，
故答案为：（360﹣x﹣y），
（2）①如图①中，
连接AC，过点C作CG∥DF，则有：
∠MDC═∠DAC+∠DCA，∠NBC═∠CAB+∠CBA，
∵BE、DF分别为∠NBC、∠MDC的角平分线，∠DAB═∠DCB═x°═y°，
∴∠FDC+∠CBE═（∠MDC+∠NBC）═（∠DAC+∠DCA+∠CAB+∠CBA）═（∠DAB+DCB）═x°，
∵CG∥DF，
∴∠FDC═∠GCD，
∵∠DCG+∠BCG═∠DCB═x°，∠FDC+∠CBE═x°，
∴∠CBE═∠BCG，
∴CG∥BE，
∴BE∥DF，
故答案为：BE∥DF．
②由（1）可知：∠ABC+∠ADC＝（360﹣x﹣y）°，
∵∠ADC+∠MDC＝180°，∠ABC+∠NBC＝180°，
∴∠NBC+∠MDC＝（x+y）°，
∵BE、DF分别为∠ABC、∠ADC的外角平分线，
∴∠PBC＝∠NBC，∠PDC＝∠MDC，
∴∠PBC+∠PDC＝[（x+y）]°，
∵∠BCD＝∠PDC+∠PBC+∠P，
∴y＝10+（x+y），
即y﹣x＝20，
∵y＝2x，
∴x＝20°，y＝40°．
（3）如图②中，
由题意：∠DNQ＝∠ANB＝180°﹣x°﹣∠ABC，∠QDN＝（180°﹣∠ADC），
∴∠Q＝180°﹣∠DNQ﹣∠QDN＝180°﹣（180°﹣x°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ADC），
＝x°+（∠ABC+∠ADC）﹣90°，
＝x°+180°﹣（x+y）°﹣90°，
＝[90+（x﹣y）]°，
故答案为：[90+（x﹣y）]°．
20．解：（1）∵∠1＝∠2+∠D＝∠B+∠E+∠D，∠1+∠A+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（2）∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°；
（3）根据图中可得出规律∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，每截去一个角则会增加180度，
所以当截去5个角时增加了180×5度，
则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝180°×5+180°＝1080°．
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