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4.1.3　独立性与条件概率的关系
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解独立性与条件概率的关系．(难点)2．会求相互独立事件同时发生的概率．(重点)3．综合应用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解题．(重点、难点)
1．通过辨析独立性与条件概率的关系，培养数学抽象素养．2．借助相互独立事件同时发生的概率公式解题，提升数学运算素养．
俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”．其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%,40%,30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%．比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功．
问题：该挑战能否成功？
[提示]　三个臭皮匠都没答对题目的概率为P＝(1－50%)(1－40%)(1－30%)＝0.21，所以“臭皮匠”团队中至少有1个答对该题的概率为1－0.21＝0.79<80%，故该挑战不能成功．
知识点　事件的独立性
(1)事件A与B相互独立的充要条件是
P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A)．
说明：当P(A|B)≠P(A)时，事件B的发生会影响事件A发生的概率，此时A与B是不独立的．事实上，“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等．
如果P(A)＞0，A与B独立，则P(B|A)＝P(B)成立吗？
[提示]　成立．P(B|A)＝＝＝P(B)．
1．(对接教材P58练习AT4)已知A与B独立，且P()＝0.7，则P(A|B)＝________．
0.3　[∵P()＝0.7，
∴P(A)＝1－0.7＝0.3，
又A与B独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.3．]
2．某人提出问题，甲先答，答对的概率是0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则该问题由乙答对的概率为________．
0.3　[由题意可知，甲答错，乙答对，故所求概率P＝(1－0.4)×0.5＝0.6×0.5＝0.3．]
类型1　相互独立事件的判断
【例1】　判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)法一：记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝．
∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)，
∴事件A与B相互独立．
法二：由法一可知P(B|A)＝，
又P(B)＝＝，
∴P(B|A)＝P(B)，
∴事件A与B相互独立．
判断事件是否相互独立的方法
1．定义法：事件A，B相互独立?P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
2．由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
1．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解]　法一：(利用定义)(1)有两个小孩的家庭，考虑男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
共有4个元素，由等可能性知概率均为．
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}，
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝．
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，
所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
由等可能性知这8个元素的概率均为，这时A中含有6个元素，B中含有4个元素，AB中含有3个元素．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，显然有P(AB)＝＝P(A)P(B)成立．
从而事件A与B是相互独立的．
法二：(利用条件概率与独立性的关系)
(1)由题意可知P(B|A)＝，
又P(B)＝，
故P(B|A)≠P(B)．
所以A与B不相互独立．
(2)由题意可知P(B|A)＝＝，
又P(B)＝＝，
故P(B|A)＝P(B)，所以A与B相互独立．
类型2　相互独立事件发生的概率
如何计算相互独立事件同时发生的概率？
[提示]　(1)求两个独立事件的概率可以直接利用公式来求解；
(2)对于复杂的相互独立事件概率的求法，尤其是含有“恰好”“至少”“至多”型问题要恰当分类，若分类较多时，可利用其对立事件求概率．
【例2】　面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，．求：
(1)他们都研制出疫苗的概率；
(2)他们都失败的概率；
(3)他们能够研制出疫苗的概率．
[思路点拨]　→
→
[解]　令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故
P(A∩B∩C)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
(2)他们都失败即事件，，同时发生，
故P(∩∩)＝P()P()P()
＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))
＝
＝××＝．
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P(∩∩)＝1－＝．
(变结论)在题设条件不变的情况下，求：
(1)只有一个机构研制出疫苗的概率．
(2)至多有一个机构研制出疫苗的概率．
[解]　(1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(C∪B∪A)，故所求事件的概率为P＝P(C＋B＋A)＝P()P()P(C)＋P()P(B)P()＋P(A)P()P()＝(1－P(A))(1－P(B))P(C)＋(1－P(A))P(B)(1－P(C))＋P(A)(1－P(B))(1－P(C))
＝××＋××＋×
＝××＋××＋××
＝＋＋＝．
(2)至多有一机构研制出该疫苗，即事件(∪A∪B∪C)发生，故所求事件的概率为
P(∪A∪B∪C)
＝P()＋P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P()P()P()＋P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＋××＝＋＋＋＝．
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
2．某医药企业有甲、乙两个研发小组，他们研发某种新药成功的概率分别为0.6,0.5，且甲、乙两组研发结果相互独立，则至少有一组研发新药成功的概率为(　　)
A．0.2
B．0.3
C．0.8
D．0.9
C　[设至少有一组研发新药成功的事件为事件m，事件n为事件m的对立事件，则事件n为甲、乙两组都没研发成功，因为甲、乙研发新药成功的概率分别为0.6,0.5．则P(n)＝(1－0.6)(1－0.5)＝0.2，再根据对立事件的概率之间的公式可得P(m)＝1－P(n)＝1－0.2＝0.8，故至少有一组研发新药成功的概率为0.8．]
类型3　利用事件之间的关系求概率
如何区别“相互独立事件”与“互斥事件”？
[提示]　
相互独立事件
互斥事件
定义
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个事件不可能同时发生，即A∩B＝?
概率公式
A与B相互独立等价于P(A∩B)＝P(A)P(B)
若A与B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立
【例3】　(对接教材P57例3)在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
[思路点拨]　由题目可获取以下主要信息：①3个开关并联；②每个开关闭合的概率是0.7，且闭合与否相互独立．解答本题可先作出一个线路图，再分情况讨论．
[解]　如图所示，记这段时间内开关KA，KB，KC能够闭合为事件A，B，C．
由题意知，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P()
＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027．
于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是
1－P()＝1－0.027＝0.973．
即这段时间内线路正常工作的概率是0.973．
1．(变条件)将本例中的“并联”改为“串联”，求相应概率．
[解]　依题意可知所求事件的概率P＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.7×0.7×0.7＝0.73＝0.343．
2．(变条件)本例中每个开关与闭合的概率不变，求如图所示的线路正常工作的概率．
[解]　要使线路能正常工作，则KA与KB至少有一个工作，且KC正常工作，即事件(A＋B)·C发生，故所求事件的概率
P＝P(A＋B)P(C)＝[1－P()]P(C)
＝P(C)－P()P(C)
＝P(C)－P()P()P(C)
＝0.7－(1－0.7)×(1－0.7)×0.7＝0.637．
解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立性及互斥事件、对立事件的有关知识，依据“串联通易求，并联断易求”的原则，给予解答.
3．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，，，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[设“甲企业购买该机床设备”
为事件A，“乙企业购买该机床设备”
为事件B，“丙企业购买该机床设备”
为事件C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
则P()＝1－P(A)＝1－＝，
P()＝1－P(B)＝1－＝，
P()＝1－P(C)＝1－＝，
设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事件D，
P(D)＝P(A
)＋P(B)＋P(
)＝××＋××＋××＝．]
1．已知P(A|B)＝0.6，P(B|A)＝0.3且A，B相互独立，则P(AB)等于(　　)
A．0.18
B．0.9
C．0.3
D．无法求解
A　[P(A|B)＝0.6，P(B|A)＝0.3且A，B相互独立，
∴P(A)＝0.6，P(B)＝0.3，
∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.3＝0.18．]
2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　)
A．互斥事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．不相互独立事件
C　[由已知，有P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C．]
3．某社区为了更好的开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表．假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟．
办理业务所需要的时间(分)
1
2
3
4
5
频率
0.1
0.3
0.4
0.1
0.1
则在某一天，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为(　　)
A．0.04
B．0.08
C．0.17
D．0.26
C　[因为第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务，若前两位居民办理业务分别用两分钟，则对应概率为0.3×0.3＝0.09；若前两位居民办理业务的时间分别为：1分钟和3分钟，则对应的概率为0.1×0.4＋0.4×0.1＝0.08；因此，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为0.09＋0.08＝0.17．]
4．已知A与B相互独立，且P(AB)＝，P(B)＝，则P(|B)＝________．
　[∵A与B相互独立，
∴P(AB)＝P(A)P(B)＝．
又P(B)＝，所以P(A)＝．
∴P(|B)＝P()＝1－P(A)＝1－＝．]
5．明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
0.98　[设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，
则P(A)＝1－(1－0.80)(1－0.90)
＝1－0.20×0.10＝0.98．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．判断两个事件是否独立的常用方法有哪些？
[提示]　(1)定性分析法
看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．在实际问题中，判断事件的独立性往往凭借经验或借助直观的方法，而不需要通过P(AB)＝P(A)·P(B)验证：
如有放回地抽奖两次、掷五次同一枚硬币、两人射击等，由事件本身的性质就能直接判断出它们是否相互影响，从而得出它们是否相互独立．
(2)定量计算法
①利用相互独立事件的定义，即
P(AB)＝P(A)P(B)．
②利用条件概率，当P(A)>0时，
若P(B|A)＝P(B)，则事件A，B相互独立．
(3)性质法
一般地，当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也都相互独立．
2．如何利用独立事件的概率公式解题？
[提示]　计算相互独立事件同时发生的概率时，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件．
(1)简单计算问题：将题中所求事件转化为若干个独立事件的交事件，利用独立事件的性质和推广求解．
(2)复杂计算问题：一般将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率计算公式求解．
PAGE第2课时　全概率公式、贝叶斯公式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解并掌握全概率公式．(重点)2．了解贝叶斯公式．(难点)3．会用全概率公式及贝叶斯公式解题．(易错点)
1．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养．2．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养．
有三个罐子，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．
问题：如何求取得红球的概率？
[提示]　P＝×＋×＋×＝．
知识点1　全概率公式
(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)；
(2)定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n．
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝＝．
全概率公式体现了哪种数学思想？
[提示]　全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可．
提醒：已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．在实际问题中，由于随机事件的复杂性，有时很难直接求得事件B发生的概率，因此我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B，然后借助于全概率公式间接求出事件B发生的概率．
1．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，则P(B)等于(　　)
A．　
B．　　　C．　
D．
C　[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝×＋×＝．故选C．]
知识点2　贝叶斯公式
(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝＝．
(2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n．
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝＝．
拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)之间的内在联系．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)．
(　　)
(2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(|A)．
(　　)
(3)P(A|B)＝＝．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
类型1　全概率公式及其应用
【例1】　(对接教材P50例4)某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据：
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
1
0.02
0.15
2
0.01
0.80
3
0.03
0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率．
[解]　设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得
P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)
＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03
＝0.012
5．
因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.0125．
通过本例我们发现，当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.
1．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称新型冠状病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是A传B，B传C，C又传D等，这就是“持续人传人”，而A，B，C被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95,0.9,0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为________．
0.915　[设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(C)＝0.2，P(D|A)＝0.95，P(D|B)＝0.9，P(D|C)＝0.85，
则P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)＝0.95×0.5＋0.9×0.3＋0.85×0.2＝0.915．]
类型2　贝叶斯公式及其应用
【例2】　一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有95%的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0.5%．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？
[解]　设A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则P(A)＝P(B)·P(A|B)＋P()·P(A|)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%．
所以P(B|A)＝＝＝32.3%．
利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算P(A)，即P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)；
第二步：计算P(AB)，可利用P(AB)＝P(B)P(A|B)求解；
第三步：代入P(B|A)＝求解．
2．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？
[解]　设Ai＝第i条流水线生产的产品，i＝1,2,3,4；B＝抽到不合格品，
∴P(A1)＝0.15；P(A2)＝0.20；P(A3)＝0.30；P(A4)＝0.35．
∴P(B|A1)＝0.05；P(B|A2)＝0.04；P(B|A3)＝0.03；P(B|A4)＝0.02，
(1)P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.0315．
(2)P(A4|B)＝≈0.222
2．
类型3　全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
【例3】　假定具有症状S＝{S1，S2，S3，S4}的疾病有d1，d2，d3三种，现从20
000份患有疾病d1，d2，d3的病历卡中统计得到下列数字：
疾病
人数
出现S症状人数
d1
7
750
7
500
d2
5
250
4
200
d3
7
000
3
500
试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？
[解]　以A表示事件“患有出现S中的某些症状”，
D
i表示事件“患者患有疾病di”(i＝1,2,3)，由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知
P(D1)＝＝0.387
5，P(D2)＝＝0.262
5，
P(D3)＝＝0.35，P(A|D1)＝≈0.967
7，
P(A|D2)＝＝0.8，P(A|D3)＝＝0.5．
从而P(A)＝P(A|D1)P(D1)＋P(A|D2)P(D2)＋P(A|D3)P(D3)＝0.387
5×0.967
7＋0.262
5×0.8＋0.35×0.5≈0.76．
由贝叶斯公式得
P(D1|A)＝＝≈0.493
4，
P(D2|A)＝＝≈0.276
3，
P(D3|A)＝＝≈0.230
3，
从而推测病人患有疾病d1较为合理．
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：?1?如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；?2?如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.
3．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．
(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；
(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
[解]　设事件A表示“取到的产品为正品”
，B1，B2，B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，
由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，
P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8．
(1)由全概率公式得：
P(A)＝P(Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86．
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)＝＝≈0.220
9，
P(B2|A)＝＝≈0.314
0，
P(B3|A)＝＝≈0.465
1．
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．
1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0．则他迟到的概率为(　　)
A．0.65
B．0.075
C．0.145
D．0
C　[设A1＝他乘火车来，A2＝他乘船来，A3＝他乘汽车来，A4＝他乘飞机来，B＝他迟到．
易见：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得
P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0
＝0.145．]
2．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为(　　)
A．0.21
B．0.06
C．0.94
D．0.95
D　[令B＝取到的零件为合格品，Ai＝零件为第i台机床的产品，i＝1,2．由全概率公式得：
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝×0.96＋×0.93＝0.95．故选D．]
3．袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．
0.048
35　[设B＝{取出的球全是白球}，
Ai＝{掷出i点}(i＝1,2，…，6)，则由贝叶斯公式，得
P(A3|B)＝＝＝0.048
35．]
4．一袋中装有大小、形状均相同的5个球，其中2个黑球，3个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________．
　[设事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，由古典概型可知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝．
则P(B)＝P(AB)＋P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)
＝×＋×
＝．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：,全概率公式的适用范围及步骤是什么？
[提示]　所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.,运用全概率公式的一般步骤如下：,?1?求出样本空间Ω的一个划分A1，A2，…，An；,?2?求P?Ai??i＝1，2，…，n?；,?3?求P?B|Ai??i＝1，2，…，n?；,?4?求目标事件的概率P?B?.,可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”.
(教师用书独具)
托马斯·贝叶斯
托马斯·贝叶斯(Thomas
Bayes,1702－1761)，18世纪英国神学家、数学家、数理统计学家和哲学家，概率论理论创始人，贝叶斯统计的创立者，“归纳地”运用数学概率，“从特殊推论一般、从样本推论全体”的第一人．
托马斯·贝叶斯
(Thomas
Bayes)，英国神学家、数学家、数理统计学家和哲学家，1702年出生于英国伦敦，做过神甫，1742年成为英国皇家学会会员．
贝叶斯曾是对概率论与统计的早期发展有重大影响的两位人物(另一位是布莱斯·帕斯卡Blaise
Pascal)之一．
贝叶斯在数学方面主要研究概率论．他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献．1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数
理统计都有很重要的作用．贝叶斯的另一著作《机会的学说概论》发表于1758年．贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今．
他对统计推理的主要贡献是使用了“逆概率”这个概念，并把它作为一种普遍的推理方法提出来．贝叶斯定理原本是概率论中的一个定理，这一定理可用一个数学公式来表达，这个公式就是著名的贝叶斯公式．
1763年由Richard
Price整理发表了贝叶斯的成果《An
Essay
towards
solving
a
Problem
in
the
Doctrine
of
Chances》，提出贝叶斯公式．
假定B1，B2，……是某个过程的若干可能的前提，则P(Bi)是人们事先对各前提条件出现可能性大小的估计，称之为验前概率；如果这个过程得到了一个结果A，那么贝叶斯公式提供了我们根据A的出现而对前提条件做出新评价的方法；P(Bi|A)既是对前提Bi的出现概率的重新认识，称P(Bi|A)为验后概率’经过多年的发展与完善，贝叶斯公式以及由此发展起来的一整套理论与方法，已经成为概率统计中的一个冠以“贝叶斯”名字的学派，在自然科学及国民经济的许多领域中有着广泛应用．
PAGE4.1.2　乘法公式与全概率公式
第1课时　乘法公式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握乘法公式及其推广．(重点)2．会用乘法公式求相应事件的概率．(难点)
1．通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养．2．借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养．
小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个．
问题：他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？
[提示]　×＝．
知识点　乘法公式及其推广
(1)乘法公式：P(BA)＝P(A)P(B|A)，其中P(A)＞0．
(2)乘法公式的推广：
设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)＞0，P(A1A2)＞0，
则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．
其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率．
P(AB)，P(B)，P(A|B)(其中P(B)＞0)之间存在怎样的等量关系？
[提示]　P(AB)＝P(B)P(A|B)，其中P(B)＞0．
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，故选C．]
2．若P(B|A)＝，则P(|A)＝________．
　[P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝．]
类型1　乘法公式及其应用
利用乘法公式解决实际问题的一般步骤是什么？
[提示]　(1)判断该应用题是否可应用乘法公式求解；
(2)根据已知条件表示出各事件的概率；
(3)代入乘法公式求出所要求的概率．
【例1】　一袋中装10个球，
其中3个黑球、7个白球，
先后两次从中随意各取一球(不放回),
求两次取到的均为黑球的概率．
[解]　设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”．
由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，
于是根据乘法公式，
有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝．
1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求第一次取得黑球，第二次取得白球的概率．
[解]　用A表示第一次取得黑球，则P(A)＝，
用B表示第二次取得白球，则P(B|A)＝．
故P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝．
2．(变结论)在本例条件不变的情况下，两次均取得白球的概率．
[解]　用Bi表示第i次取得白球，i＝1,2，则B1B2表示事件“两次取到的均是白球”．由题意得P(B1)＝，P(B2|B1)＝．
∴P(B1B2)＝P(B1)P(B2|B1)＝×＝．
乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P?AB?不好计算时，可先求出P?A?及P?B|A?或先求出P?B?及P?A|B?，再利用乘法公式P?AB?＝P?A?P?B|A?＝P?B?P?A|B?求解即可.
1．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________．
0.72　[设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”．
因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%，
且事件B发生时事件A一定发生，
所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.96×0.75＝0.72．]
类型2　乘法公式的推广及应用
【例2】　设某光学仪器厂制造的透镜，
第一次落下时打破的概率为，
若第一次落下未打破，
第二次落下打破的概率为，
若前两次落下未打破，
第三次落下打破的概率为．
试求透镜落下三次而未打破的概率．
[解]　以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝123，故有P(B)＝P(123)＝P(1)P(2|1)P(3|12)＝＝．
该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)求解．
2．在100件产品中有5件是次品，从中连续无放回地抽取3次，问第三次才取得次品的概率．(结果保留两位有效数字)
[解]　设Ai表示“第i次取得次品”(i＝1,2,3)，B表示“第三次才取到次品”，则B＝12A3，
∴P(B)＝P(12A3)＝P(1)P(2|1)P(A3|12)＝××≈0.046．
类型3　乘法公式的综合应用
1．P(B|A)与P(|A)存在怎样的等量关系？
[提示]　P(B|A)＋P(|A)＝1．
2．若A1，A2，A3是互斥事件，且A1∪A2∪A3＝Ω，则A1∪A2∪A3的对立事件与123相同吗？
[提示]　相同．
【例3】　已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品．但采购员不知有几件废品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品．求采购员拒绝购买这批产品的概率．
[思路点拨]　本题可借助对立事件及乘法公式的推广进行求解．
[解]　设Ai＝{被抽查的第i件产品是废品}，i＝1,2,3,4,5．
设A＝{采购员拒绝购买}，则A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5，从而＝12345，
由题意，得
P(1)＝，P(2|1)＝，P(3|12)＝，P(4|123)＝，P(5|1234)＝．
∴P()＝P(12345)＝P(5|1234)P(4|123)P(3|12)P(2|1)P(1)
＝≈0.7
696．
故P(A)＝1－P()≈0.2
304．
分解计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个?或若干个?互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.
3．某种疾病能导致心肌受损害，若第一次患该病，则心肌受损害的概率为0.3，第一次患病心肌未受损害而第二次再患该病时，心肌受损害的概率为0.6，试求某人患病两次心肌未受损害的概率．
[解]　设A1＝“第一次患病心肌受损害”，A2＝“第二次患病心肌受损害”，
则所求概率为P(12)．
由题意可知：P(A1)＝0.3，P(A2|1)＝0.6．
又P(1)＝1－P(A1)＝0.7，
P(2|1)＝1－P(A2|1)＝0.4，
所以P(12)＝P(1)P(2|1)＝0.7×0.4＝0.28．
1．在市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个甲厂的合格灯泡的概率是(　　)
A．0.665
B．0.564
C．0.245
D．0.285
A　[记事件A为“甲厂产品”，事件B为“甲厂的合格产品”，则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665．]
2．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是________．
0.72　[设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件A∩B，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.72．]
3．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取，若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率为________．
[答案]　
4．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次取1个，不放回地取两次，则两次均取到不合格球的概率为________．
　[法一：所求事件的概率P＝＝．
法二：用Ai表示第i次取到不合格球，i＝1,2．
则P(A1)＝，P(A2|A1)＝，
∴P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
你是如何理解乘法公式的？
[提示]　?1?乘法公式P?AB?＝P?A?P?B|A?进一步揭示了P?A?，P?B|A?及P?AB?三者之间的内在联系，体现了“知二求一”的转化化归思想.
?2?该公式同时也给出了“积事件”概率的另一种求解方式，即在事件A，B不相互独立的前提下可考虑条件概率的变形公式，即乘法公式.
PAGE4.1　条件概率与事件的独立性
4.1.1　条件概率
学
习
任
务
核
心
素
养
1．在具体情境中，了解条件概率．(难点)2．掌握条件概率的计算方法．(重点)3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(易错点)
1．通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养．2．借助条件概率公式解题，提升数学运算素养．
高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员．
问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？
[提示]　．
问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？
[提示]　．
知识点1　条件概率
定义
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率
表示
P(A|B)
计算公式
P(A|B)＝
P(A|B)与P(B|A)相同吗？
[提示]　不同，前者是事件B发生的条件下事件A发生的概率，而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率．一般情况下，它们也不相等．
提醒：当题目涉及“在……前提下”等字眼时，一般为条件概率，如题目中没有上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率．在条件概率的表示中，“|”之后的部分表示条件．
1．(对接教材P43例3)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
0.5　[根据条件概率公式知P＝＝0.5．]
知识点2　条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B与C互斥，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1．
(　　)
(2)P(B|A)≠P(A∩B)．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√
类型1　利用定义求条件概率
【例1】　(对接教材P44练习T3)一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．
(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；
(2)求P(B|A)．
[思路点拨]　首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．
[解]　由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)＝，
P(B)＝＝＝，
P(A∩B)＝＝．
(2)P(B|A)＝＝＝．
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(A∩B)；
(3)代入公式求P(B|A)＝．
2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
1．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(A∩B)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．
　　[由公式P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝．]
类型2　利用基本事件个数求条件概率
在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有2个红球，8个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为多少？
[提示]　法一：依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有8个黄球，而坛子中此时共有9个球，故再取一球为黄球的概率为．
法二：设“取出的第一个球为红色”为事件A，“取出的第二个球为黄色”为事件B，
则P(A)＝＝，
P(A∩B)＝＝，
所以P(B|A)＝＝．
【例2】　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
[思路点拨]　第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．
[解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B．
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步乘法计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝．
(2)因为n(A∩B)＝A＝12，于是P(A∩B)＝＝＝．
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝．
法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝．
(变结论)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．
[解]　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C．
n(A)＝A×A＝20，
n(A∩C)＝A×A＝8，
∴P(C|A)＝＝＝．
1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
2．计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝，计算求得P(B|A)．
类型3　条件概率的综合应用
【例3】　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
[思路点拨]　(1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次按对；
(2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解．
[解]　设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1∪(1A2)表示不超过2次按对密码．
(1)因为事件A1与事件1A2互斥，
由概率的加法公式得
P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝．
(2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B)＝＋＝．
1．利用公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
2．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率．
[解]　设“摸出第1个球为红球”为事件A，“摸出第2个球为黄球”为事件B，“摸出第2个球为黑球”为事件C．
则P(A)＝，P(A∩B)＝＝，P(A∩C)＝＝．
所以P(B|A)＝＝÷＝，
P(C|A)＝＝÷＝．
所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝．
所以所求的条件概率为．
1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　)
A．0.2　　　
B．0.33　　　
C．0.5　　　
D．0.6
A　[记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝＝＝0.2，
所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为0.2．]
2．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是(　　)
A．　　　
B．　
C．　　　
D．
B　[抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6，共4个基本事件，所求概率为．]
3．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B＝{第二次取到不合格高尔夫球}，事件AB＝{第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球}．由题意可得事件AB发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝4×2＝8，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝4×5＝20，所以P(B|A)＝＝＝．]
4．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________．
　[∵P(A∩B)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝．]
5．某种元件用满6
000小时未坏的概率是，用满10
000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6
000小时未坏，则它能用到10
000小时的概率为________．
　[设“用满6
000小时未坏”为事件A，“用满10
000小时未坏”为事件B，则
P(A)＝，P(A∩B)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝．]
回顾本节内容，自我完成以下问题：
1．求解条件概率应注意哪些问题？
[提示]　(1)在具体问题中，必须弄清楚哪是事件A，哪是事件B，即在哪个事件发生的条件下，求哪个事件的概率；
(2)重点抓住“把事件A发生作为条件”还是“把事件B发生作为条件”和“A与B同时发生”这两件事；
(3)正确理解事件A∩B，准确求出P(A∩B)．
(4)要注意结合题意分析事件A与B的关系，有时可从集合知识的角度来分析，若事件A发生时B一定发生，而B发生时A不一定发生，则有A?B，且P(A∩B)＝P(A)．
2．如何理解条件概率公式？
[提示]　(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；
(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝＝＝．
(教师用书独具)
概率论的起源
概率论渗透到现代生活的方方面面．正如19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题．你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解．甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上．因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”有趣的是，这样一门被称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于人类贪婪的产物，赌博，文明一点的说法，就是机会性游戏，即靠运气取胜的游戏．
希罗多德在他的巨著《历史》中记录到，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公园前1200年，有了立方体的骰子，6个面上刻上数字，和现代的赌博工具已经没有了区别．但概率论的概念直到文艺复兴后才出现，概率论出现如此迟缓，有人认为是人类的道德规范影响了对赌博的研究——既然赌博被视为不道德的，那么将机会性游戏作为科学研究的对象也就是大逆不道．第一个有意识地计算赌博胜算的是文艺复兴时期意大利的卡尔达诺，他几乎每天赌博，并且由此坚信，一个人赌博不是为了钱，那么就没有什么能够弥补在赌博中耗去的时间．他计算了同时掷出两个骰子，出现哪个数字的可能最多，结果发现是“7”．
17世纪，法国贵族德·梅勒在骰子赌博中，有急事必须中途停止赌博．双方各出的30个金币的赌资要靠对胜负的预测进行分配，但不知用什么样的比例分配才算合理．德·梅勒写信向当时法国的最具声望的数学家帕斯卡请教．帕斯卡又和当时的另一位数学家费尔马长期通信．于是，一个新的数学分支——概率论产生了．概率论从赌博的游戏开始，最终服务于社会的每一个角落．
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