资源简介

第八届“锐丰杯”初中数学邀请赛试题
(满分150分)
一．选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，每题有且只有一个答案）
1．在测量某物理量的过程中，因为仪器和观察的误差，使得次测量分别得到共个数据，我们规定所测得的物理量的“最佳近似值”是这样一个数据：与其他近似值比较，与各个数据差的平方和最小。若三次测量得到的数据依次为、、，依据此规定，那么本次测量的“最佳近似值”为（ ）
A． B． C． D．
2．万花筒是由三块等宽等长的玻璃片围成的，如图所示是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形ABCD可以看成是把菱形AEFG以A为中心（ ）
A．顺时针旋转60°得到
B．逆时针旋转120°得到
C．顺时针旋转180°得到
D．逆时针旋转240°得到
3．在，，，，这5个数中，有理数的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
4．定义符号表示与自变量所对应的函数值。例如对于函数，当时，对应的函数值，则可以写为：。在二次函数中，若对任意实数都成立，那么下列结论错误的是（ ）
A． B. C. D.
5．如右图，在中，过边上的一点作交于点，使得的面积与梯形的面积之比为，连结，交于点，己知的面积为1则的
面积等于（ ）
A．3 B.4 C.5 D.
6. 很多整数都可以表示为几个互异的平方数之和，例如，现将2012表示为个互异的平方数之和，则的最小值是（ ）
A．2 B.3 C.4 D.5
二．填空题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
1．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，则_________
2．在一个面积为1的正方形草地中先把各边等分，然后如图所示将各个等分连结起来，发现在正中央所形成的四边形面积恰好为，则的值为_________
3．仲元中学高一，高二，高三每个年级都有20个班，现策划进行一场全校篮球比赛，由每个班级派出一支球队再加上教师代表队1个队共61支队伍进行比赛。如果实行淘汰制（即全部队伍抽签进行比赛，胜方进入下一轮比赛，败方则被淘汰出局，如果抽签队数为奇数则有一队轮空，自动进入下一轮，经过若干轮比赛后决出冠军队）则共有场比赛。如果实行单循环赛（任意的两队都会打一场，最后统计胜利场数，最高胜利场数则为冠军，如果分数相同则名次并列，不再追加比赛场数）则共有场比赛。问
4．如图，直角三角形中，为坐标原点，，。若点在反比例函数图象上运动，那么点必在函数_____________的图象上运动。（填写该函数表达式）
5．设是实数，且有，则的值等于________
6． 方程的两根为，若存在实数使得则我们就称这样的两个根为一组“黄金根”，则这样的“黄金根”共有________组。
（参考公式：）
解答题（本大题共3小题，共60分）
1．自变量为的二次函数。
（1）若，，求函数值的最大值与最小值；并分别指出所对应的自变量的值；
（2）当变化时，该二次函数图象是否经过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由；
（3）若该二次函数图象与轴有两个不同的交点，而且两交点的横坐标均小于，求的取值范围。
2．如图，分别以边长2为的等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作三个等圆，得交点，连接交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，交边于点，连接，求的长。
3. 长隆欢乐世界团购票价如下表:
购票人数 以上
每人门票价 元 元 元
今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费元.问这两个旅游团各有多少人
第八届“锐丰杯”初中数学邀请赛参考答案
一．选择题
1．解：C
2．解：D
3．解：B
为有理数。
当时，考虑与是否有可能同时取到完全平方数，假设它们都是完全平方数，令，则有，即，又因为都是大于0的整数且所以只可能，没有整数解，与假设矛盾，所以不是有理数。故有三个有理数，，。
4．解：C
因为，而。当为等腰三角形时，底边只能是，当，此时对应的腰满足条件；当，此时对应的腰满足条件；当时，只能，此时对应的不符整数条件或不符合三角形形成条件；当时，，此时对应的腰满足条件或者也满足条件；故有4种不同的面积。
5．解：C
的面积与梯形的面积之比为且则可知都是三等分点且，连结则可知，，
所以
6．答案：C
解：因奇平方数模8余1，偶平方数模4余0，若2012为两数平方和，即，而2012模8余4，模4余0。则只能为偶数.记，化为，而503模8余7则无论为奇数或偶数都不能满足条件.故k≥3.
当k=3时，设，则同上分析可知只能为偶数.记，化为.而503模8余7则无论为奇数或偶数都不能满足条件.
故k≥4. 当k=4时，设，当都为奇数时，或都为偶数时有可能成立，可以找到一组解
因此，k的最小值为4.
二．填空题
1． 51
2． 82 正中央所形成的四边形也为正方形，边长为，所以有
即，所以。
3．解：
个球队，淘汰赛每打一场则会淘汰一个球队，最后只剩下冠军队，所以有场比赛。
单循环赛每个球队都有跟其它个队打一场有场，但是每一场都算了两次所以有场，，现在共有61支球队，所以
4．解：
自分别做轴的垂线，那么与相似，
则，，那么
即，故有
5．解：或
左边，右边
原式可得：，令则可得，即
得：或，所以或
6．解：3组
由根与系数的关系得，再由题中关系式得
，即
（1）若，则。
（2）若则，于是所以或，即有如下三组的值满足条件
或或，则与之对应的两根为或或共三组
三．解答题
1．解：
（1）
因为，开口向上，对称轴
所以当时，有最小值，当 时，有最大值
（2）将二次函数整理成
令，将代入，则
经过验证点满足函数表达式，所以该二次函数图象经过一个定点，坐标为。
（3）由（2）的结论，再由开口向上，可以知道该二次函数图象必与轴有两个交点，
将代入表达式，得到相应的函数值为，要想两交点的横坐标均小于，
只需要
所以。
2． 解：如图，过点作，连结，易得为正三角形，所以，又，，，，
又由对称性可知关于对称，且，所以为等边三角形，即。
3．解：人数若不超过人，费用至多元，所以，两个旅游团的总人数超过人.
又，知两个旅游团总人数为人.
设两个旅游团人数分别为人、人.由，知中至少有一个大于.又由，可知与不会都大于.
若一个旅游团超过人，另一个旅游团不足人时，门票总钱数至多为。
于是，可以断定有一个旅游团人数不超过人，另一个旅游团人数超过人但不超过人.
不妨设，，则有.
解得，，即两个旅游团的人数分别为41人和71人.
座位号
学校　　　　　　　　　　　准考证号　　　　　　　　　　　姓名
　　……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….

展开更多......

收起↑