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6.3　等差数列及其前n项和
基础知识:
定义
公比
等比中项
性质
通项
前n项和
考点一
基本量运算
例1．（1）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
（2）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(i)求{an}的通项公式；
(ii)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
小结　(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论．
跟踪训练：
1．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于(　　)
A．16
B．8
C．4
D．2
2．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
考点二
等比数列的判断与证明
例2
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N
)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
小结：
1.证明等比数列的两种方法：定义法与中项公式法
2.判定等比数列还有两种办法：通项公式法与前n项和公式法
注意：证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足a≠a1·a3，或者是存在一个正整数m，使得a≠am·am＋2即可．由于等比数列的特殊性，出现了分母，需要说明分母不为零。现在有差与比了，有没有加与乘？
跟踪训练：
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N
)．求证：数列为等比数列.
考点三
等比数列的性质
例3
（1）
在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)
A．－　　　　　　B．－
C.
D．－
或
（2）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)
A．80
B．30
C．26
D．16
小结：应用等比数列性质解题时的2个关注点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
跟踪训练：
1.
已知等比数列{an}的公比q＝－，该数列前9项的乘积为1，则a1等于(　　)
A．8
B．16
C．32
D．64
2．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
课后训练：
1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝(　　)
A．4　　　　　
B.
C．2
D.
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则S2
019＝(　　)
A．22
018－
B．1－2
018
C．22
019－
D．1－2
019
4．在等比数列{an}中，a1＋a3＋a5＝21，a2＋a4＋a6＝42，则S9＝(　　)
A．255
B．256
C．511
D．512
5．已知递增的等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn<0，则(　　)
A．a1<0,0B．a1<0，q>1
C．a1>0,0D．a1>0，q>1
6.在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　)
A．3n－1
B.
C.
D.
7．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
8．若等比数列{an}满足a2a4＝a5，a4＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
9．已知等比数列{an}为递减数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
10.已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N
)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
11．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
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6.3　等差数列及其前n项和
基础知识:
定义
公比
等比中项
性质
通项
前n项和
考点一
基本量运算
例1．（1）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
（2）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(i)求{an}的通项公式；
(ii)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
解析（1）　因为S2＝3，S4＝15，S4－S2＝12，
所以两个方程左右两边分别相除，得q2＝4，
因为数列是正项等比数列，所以q＝2，故选D.
　(2)
(i)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N
)．
(ii)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
小结　(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．
(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意对q＝1和q≠1的分类讨论．
跟踪训练：
1．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于(　　)
A．16
B．8
C．4
D．2
答案　C
解析　设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
2．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
答案　
解析　设等比数列的公比为q，
则an＝a1qn－1＝qn－1.
∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，
即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，∴S4＝＝.
考点二
等比数列的判断与证明
例2
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N
)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
证明　因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
小结：
证明等比数列的两种方法：定义法与中项公式法
2.判定等比数列还有两种办法：通项公式法与前n项和公式法
注意：证明一个数列{an}不是等比数列，只需要说明前三项满足a≠a1·a3，或者是存在一个正整数m，使得a≠am·am＋2即可．由于等比数列的特殊性，出现了分母，需要说明分母不为零。现在有差与比了，有没有加与乘？
跟踪训练：
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N
)．求证：数列为等比数列；
证明　∵2Sn＝－an＋n，
当n＝1时，2a1＝－a1＋1，解得a1＝.
当n≥2时，2Sn－1＝－an－1＋n－1，
两式相减，得2an＝－an＋an－1＋1，即an＝an－1＋.
∴an－＝，
又a1－＝－≠0，∴数列为等比数列．
考点三
等比数列的性质
例3
（1）
在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)
A．－　　　　　　B．－
C.
D．－
或
（2）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)
A．80
B．30
C．26
D．16
[解析]　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－，故选B.
（2）由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．
设S2n＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．
又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.
小结：应用等比数列性质解题时的2个关注点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
跟踪训练：
1.
已知等比数列{an}的公比q＝－，该数列前9项的乘积为1，则a1等于(　　)
A．8
B．16
C．32
D．64
答案　B
解析　由已知a1a2…a9＝1，又a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝a，所以a＝1，即a5＝1，所以a14＝1，a1＝16.故选B.
2．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
解析：由题意，得解得所以q＝＝＝2.
答案：2
课后训练：
1．(2019·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝(　　)
A．4　　　　　
B.
C．2
D.
解析：选C　由题意，得解得或(舍去)，故选C.
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C　由题意得a4a14＝(2)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则S2
019＝(　　)
A．22
018－
B．1－2
018
C．22
019－
D．1－2
019
解析：选A　由等比数列的性质及a2a6＝8(a4－2)，得a＝8a4－16，解得a4＝4.
又a4＝q3，故q＝2，所以S2
019＝＝22
018－，故选A.
4．在等比数列{an}中，a1＋a3＋a5＝21，a2＋a4＋a6＝42，则S9＝(　　)
A．255
B．256
C．511
D．512
解析：选C　设等比数列的公比为q，由等比数列的定义可得a2＋a4＋a6＝a1q＋a3q＋a5q＝q(a1＋a3＋a5)＝q×21＝42，解得q＝2.又a1＋a3＋a5＝a1(1＋q2＋q4)＝a1×21＝21，解得a1＝1.所以S9＝＝＝511.故选C.
5．已知递增的等比数列{an}的公比为q，其前n项和Sn<0，则(　　)
A．a1<0,0B．a1<0，q>1
C．a1>0,0D．a1>0，q>1
解析：选A　∵Sn<0，∴a1<0，又数列{an}为递增等比数列，∴an＋1>an，且|an|>|an＋1|，
则－an>－an＋1>0，则q＝∈(0,1)，
∴a1<0,06.在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(a，a)在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于(　　)
A．3n－1
B.
C.
D.
解析：选A　由点(a，a)在直线x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1>0，∴an－3an－1＝0，即＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝＝3n－1.
7．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．
解析：设该数列的公比为q，由题意知，
192＝3×q3，q3＝64，所以q＝4.
所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.
答案：12,48
8．若等比数列{an}满足a2a4＝a5，a4＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：设等比数列{an}的公比为q，∵a2a4＝a5，a4＝8，
∴解得
∴Sn＝＝2n－1.
答案：2n－1
9．已知等比数列{an}为递减数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：设公比为q，由a＝a10，
得(a1q4)2＝a1·q9，即a1＝q.
又由2(an＋an＋2)＝5an＋1，
得2q2－5q＋2＝0，
解得q＝，
所以an＝a1·qn－1＝.
答案：
10.已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N
)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
解析：因为log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.
答案：100
11．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
解：(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，
而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
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