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课程标题
平方数（二）
上一讲我们学方数、平方差的基本题型，本讲将深入学习平方差公式，并探讨较大平方数问题。
知识梳理
1.
平方数有奇数个约数
如16的约数有1、2、4、8、16。
2.
在两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数
如36、49就是相邻平方数，两数之间没有平方数。
3.
质数p整除某个平方数，那么这个质数的平方也整除这个平方数
如不存在某平方数是11的倍数，但不是121的倍数。
4.
两个非零的互质的自然数，乘积是平方数
，那么这两个数都是平方数
整数a、
b、
c满足，，那么a
、b都是平方数。
例1
1×2×3、2×3×4、3×4×5…..这个数列当中是否存在完全平方数？
分析与解：数列的每一项都具有的形式，
其中n与n2－1是互质的。两个互质整数的乘积如果是平方数，那么这两个互质整数应该都是平方数。如果是平方数，n＝1，而0不在数列中，所以该数列的每一项都不是平方数。
例2
1×2×3×4、2×3×4×5、3×4×5×6…..该数列中有没有平方数？
分析与解：通过观察，
1×2×3×4＝24＝52－1
2×3×4×5＝120＝112－1
3×4×5×6＝360＝192－1
…………
由此可见每一项都比平方数小1，根据例1的结论：如果是平方数，需使n＝1。所以该数列中没有平方数。
例3
找出两个四位的平方数，且二者相差3333。
分析与解：
我们需要对平方差公式熟悉到什么程度呢？见到这道题就应该想到要用平方差公式。
由此可得，利用和差公式得
这两个平方数是，
例4
2011盏亮着的灯，依次编号为1、2、3…2011。每盏灯的编号有几个约数，这盏灯就按几次，如15号，它的约数有1、3、5、15，那么编号为15的灯就按4次。依此类推，这样最终有几盏灯灭了？
分析与解：开关按奇数次灯就灭了。实际是求有奇数个约数的数有几个。
如果一个数不是平方数，如54，它的约数是1、2、3、6、9、18、27、54。
它们可以两两凑对为，即非平方数有偶数个约数，平方数有奇数个约数，所以只要数一数这里边的平方数有几个即可。
不超过2011的最大的平方数是44的平方，这样最终有44盏灯灭了。
例5
（1）用240个5和若干个0组成的数是否为完全平方数？
（2）是否存在自然数a、b使得2ab11×7是完全平方数？
分析与解：（1）我们知道240个5与若干个0组成的数的数字和是1200，1200能被3整除，所以这个数是3的倍数，如果它是完全平方数，那么它就必须是9的倍数，但是1200不能被9整除，所以用240个5和若干个0组成的数不是完全平方数。
（2）由于2ab11×7是完全平方数，所以2ab11必是一个完全平方数×7，又由于3×7＝21，所以这个完全平方数的尾数是3，而我们知道完全平方数的末位数只能是0、1、4、5、6、9，所以不存在自然数a、b使得2ab11×7是完全平方数。
同步练习（答题时间：30分钟）
1
.一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
2.
求三个平方数满足：，。
3.
证明两个连续奇数的平方差是8的倍数。
4.
44、444、4444、44444、444444、4444444…这样的数中有没有平方数？
5.
少年宫游乐厅内悬挂着300个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这300个灯泡按1~300编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。这样继续下去到第300秒时，亮着的灯泡有几个？
答案
1.
解：设这个数减去63为a，减去100为b，则
，
可知a＋b＝37，a－b＝1，所以a＝19，b＝18，这个数为。
2.
解：先将式子变形还可以得到，而两个数的平方差是偶数，所以这两个数同是奇数或同是偶数，并且利用平方差公式可以得到偶数×偶数＝偶数，又140＝14×10，所以A是144，B是64，C是4。
3.
解：假设两个连续奇数为2n－1，2n＋1，其中n为整数。
两个连续奇数的平方差：(2n＋1)?－(2n－1)?＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n×2＝8n，它是8的倍数。
4.
解：先看11、111、1111、11111、111111、1111111…这样的数中有没有平方数，它们的末位数字都是1，如果其中有平方数，则它具有形式或。
若111…11（n个1）＝＝，则111…10＝，111…1（n－1个1）＝，而这个等式左边的数为奇数，右边的数为偶数，所以这个等式不成立，即11、111、1111、11111、111111、1111111…这样的数中没有这样的平方数。
同样的方法可以得到11、111、1111、11111、111111、1111111…这样的数中没有这样的平方数，所以11、111、1111、11111、111111、1111111…这样的数中没有平方数。
而44、444、4444、44444、444444、4444444…这样的数可以看做是11、111、1111、11111、111111、1111111…这样的数与4相乘，而一个非平方数和一个平方数的积是一个非平方数，所以44、444、4444、44444、444444、4444444…这样的数中没有平方数。
5.
解：拉奇数次的灯泡亮着，将秒数和灯泡的编号对应起来可知拉每个灯泡的次数是编号的约数的个数。有奇数个约数的自然数是完全平方数，比300小的完全平方数有17×17＝289（个），因此亮着的灯泡有17个。
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