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2021年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》暑假自主学习能力达标训练（附答案）
1．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，OA＝3，则劣弧AB的长是（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
2．若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（　　）
A．50° B．60° C．100° D．120°
3．如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置．若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　）
A．10πcm B．10πcm C．15πcm D．20πcm
4．如图，A、B、C是半径为4的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π
5．一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（　　）
A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2 C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2
6．如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD（面积记为S1）变形为以点B为圆心，BC为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法确定
7．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝4，则阴影部分图形的面积为（　　）
A． B． C．4π D．8π
8．如图，△ABC是等腰直角三角形，以BC为直径，在半径为2（BC＝2）且圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，则阴影部分的面积是（　　）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣1 D．π﹣2
9．已知，如图，点C、D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC、BD相交于点E．若CE＝BC，则阴影部分面积为（　　）
A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
10．如图，AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（　　）
A．2 B．2π C． D．π
11．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，则纸扇外边缘弧BC长为　 　cm．
12．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为　 　．
13．如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为　 　．
14．如图，AB为△ABC内接⊙O的直径，AB＝6，D为⊙O上一点，∠ADC＝30°，劣弧BC的长为　 　．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，点A的对应点A′恰好落在AB上，连接A′B′，则图中阴影部分的面积为　 　．
16．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2＝，则S3﹣S4的值是　 　．
17．如图，AB是⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ACD＝30°，弦AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径．
（2）求的长．
18．如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）求劣弧BC的长．
19．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是弧BD上不与B、D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG．
（2）若AB＝4，且点E是弧BD的中点，求阴影部分面积．（结果保留π）
20．如图，四边形APBC是圆内接四边形，∠APB＝120°，PC平分∠APB，AP，CB的延长线相交于点D．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若∠PAC＝90°，AB＝2
①求PD的长．
②图中弧BP和线段DP、BD组成的图形面积为　 　（结果保留π）
21．如图，⊙O的直径AB＝16，半径OC⊥AB，D为上一动点（不包括B，C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E，F．
（1）求EF的长．
（2）若点E为OC的中点，
①求劣弧CD的长度；
②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．
参考答案
1．解：由题意可得，劣弧AB的长是：＝2π．
故选：B．
2．解：∵扇形的弧长，
∴5π＝，
∴n＝50，
∴该扇形的圆心角是50°．
故选：A．
3．解：∵BC＝7.5cm，
∴AC＝15cm，
＝10πcm，
故选：A．
4．解：如图，连接OA、OB．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝4，
∴的长是：＝2π．
故选：B．
5．解：作辅助线DE、EF使BCEF为一矩形．
则S△CEF＝（8+4）×4÷2＝24cm2，
S正方形ADEF＝4×4＝16cm2，
S扇形ADF＝＝4πcm2，
∴阴影部分的面积＝24﹣（16﹣4π）＝8+4π（cm2）．
故选：A．
6．解：S1＝3×3＝9，
∵l扇形＝，n＝，
∴S2＝＝＝9，
∴S1＝S2．
故选：B．
7．解：∵∠COB＝2∠CDB＝60°，
又∵CD⊥AB，
∴∠OCB＝30°，CE＝DE，
∴OE＝OC＝OB＝2，OC＝4．
∴OE＝BE，
则在△OEC和△BED中，
，
∴△OEC≌△BED，
∴S阴影＝S扇形OCB＝＝．
故选：B．
8．解：∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠CBD＝45°，
又∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴DC＝DB，
∴S弓形CD＝S弓形BD，
∴S阴影＝S弓形ACB+S△BCD
＝S扇形ACB﹣S△ACD
＝S扇形ACB﹣S△ABC＝π×22﹣××2×2＝π﹣1．
故选：A．
9．解：连接OD、OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠DBC＝∠CEB＝45°，
∴的度数为90°，
∴∠DOC＝90°，
∴S阴影＝S扇形﹣S△ODC＝﹣×3×3＝﹣．
故选：B．
10．解：∵AB⊥OB，AB＝2，OB＝4，
∴OA＝2，
∴边AB扫过的面积＝﹣＝π，故选：C．
11．解：纸扇外边缘弧BC的长＝＝（cm），
故答案为：．
12．解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由题意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的长＝＝2π，
故答案为：2π．
13．解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣100°＝20°，
∵DE＝DC，
∴∠C＝∠DEC＝20°，
∴∠BDE＝∠C+∠DEC＝40°，
∴S扇形DBE＝＝．
故答案为：．
14．解：如图，连接OC．
∵AB是直径，AB＝6，
∴OA＝OB＝3，
∵∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴的长＝＝2π，
故答案为：2π．
15．解：过C作CD⊥AB于D，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，BC＝＝＝2，
∵S△ABC＝＝，
∴CD＝＝＝，
∵△ABC绕顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，
∴B′C＝BC＝2，AC＝A′C＝2，∠BCB′＝60°，
∵∠A＝60°，AC＝A′C，
∴△ACA′是等边三角形，
∴AA′＝AC＝2，
∵AB＝4，
∴A′B＝4﹣2＝2＝AA′，
∴阴影部分的面积S＝S扇形BCB′+S△BCA′﹣S△A′CB′
＝+2×﹣2×2＝2π﹣，
故答案为：2π﹣．
16．解：∵AB＝4，AC＝2，
∴S1+S3＝2π，S2+S4＝，
∵S1﹣S2＝，
∴（S1+S3）﹣（S2+S4）＝（S1﹣S2）+（S3﹣S4）＝π
∴S3﹣S4＝π，
故答案为：π．
17．解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°．
∵AD＝4，
∴AB＝8．
∴⊙O的直径为8cm．
（2）连接OD，则∠AOD＝2∠ACD＝60°．
∴的长为．
18．解：（1）∵CE＝ED，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，
CE＝CD＝×10＝5cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣5）2+（5）2，
解得R＝10．
∴圆O的直径2R＝20cm；
（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5＝OC，
∴∠OCE＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴劣弧BC的长是＝cm．
19．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD，
∵∠ABC＝90°，
∴BD＝AD，
在△ADF和△BDG中，
，
∴△ADF≌△BDG（ASA），
（2）解：连接OE，交BD于点H，
∵点E是弧BD的中点，
∴OE⊥BD，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAD＝45°，
∵AB＝4，
∴OB＝OE＝2，
在Rt△OHB中，BH＝，
∴S阴影＝S扇形﹣S△ABE＝﹣×＝﹣．
20．（1）证明：∵∠APB＝120°，PC平分∠APB，
∴∠BPC＝∠APC＝∠APB＝60°，
∴∠BAC＝∠BPC＝60°．
∵四边形APBC是圆内接四边形，∠APB＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠APB＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）解：①在Rt△PAC中，∠APC＝60°，∠PAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴∠PCA＝30°，
∴PC＝2PA．
∵PC2＝PA2+AC2，
∴PA＝2，PC＝4．
同理，可求出CD＝4，AD＝6，
∴PD＝AD﹣PA＝4．
②∵∠PAC＝90°，四边形APBC是圆内接四边形，
∴∠PBC＝90°．
取PC的中点O，连接OB，过点O作OE⊥BC于点E，如图所示，
∴PO＝PC＝2，OE＝PB＝PA＝1，
∴弧BP和线段DP、BD组成的图形面积＝S△PCD﹣S△OBC﹣S扇形POB＝×4×2﹣×2×1﹣π×22＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
21．解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O的直径AB＝16，
∴圆的半径为16÷2＝8．
∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，
∴四边形OFDE是矩形，
∴EF＝OD＝8．
（2）①∵点E为OC的中点，
∴，
∴∠EDO＝30°，
∴∠DOE＝60°，
∴劣弧CD的长度为．
②延长CO交⊙O于点G，连接DG交AB于点P，
则PC+PD的最小值为DG．
∵，，
∴
∴PC+PD的最小值为

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