资源简介

第八章
平面解析几何
第一节　直线与直线方程
命题分析预测
学科核心素养
本节内容高考中很少独立考查，通常与切线方程、圆的方程、圆锥曲线相结合，难度中等．
本节主要提升考生的数学运算、直观想象核心素养．
授课提示：对应学生用书第165页
知识点一　直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线l的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
2．直线的斜率
(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan
α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；
(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．
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直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系
θ
0°
0°＜θ＜90°
90°
90°＜θ＜180°
k
0
k＞0
不存在
k＜0
牢记口诀：
“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
1．直线l：xsin
30°＋ycos
150°＋1＝0的斜率是(　　)
A．　　　　　　
B．
C．－
D．－
解析：直线l的斜率k＝＝tan
30°＝．
答案：A
2．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
解析：由题意得＝1，解得m＝1．
答案：1
知识点二　直线方程
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线
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1．用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误．
2．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．
1．已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线方程为(　　)
A．4x＋2y－5＝0
B．4x－2y－5＝0
C．x＋2y－5＝0
D．x－2y－5＝0
解析：线段AB的中点坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－，所以所求直线的斜率为2，故所求直线方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y－5＝0．
答案：B
2．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝(　　)
A．－24
B．12
C．－12
D．24
解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24．
答案：A
3．(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5，所以直线方程为x＋y－5＝0．
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
授课提示：对应学生用书第166页
题型一　直线的倾斜角与斜率　　
1．已知直线2x－y－3＝0的倾斜角为θ，则sin
2θ的值是（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．
D．
解析：直线2x－y－3＝0的斜率k＝2，所以tan
θ＝2，
所以sin
2θ＝＝＝＝．
答案：C
2．（2021·烟台模拟）已知p：“直线l的倾斜角α＞”；q：“直线l的斜率k＞1”，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：直线l的倾斜角α＞，则直线l的斜率k＝tan
α＞1或k＜0；又直线l的斜率k＞1，则tan
α＞1，∴α∈，∴p是q的必要不充分条件．
答案：B
3．直线l过点P（－1，0），且与以A（2，1），B（0，）为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_________．
解析：如图，过A（2，1），P（－1，0）的直线的斜率为k1＝＝，过B（0，），P（－1，0）的直线的斜率为k2＝＝．由图可知，过P的直线l与线段AB有公共点的斜率的取值范围是．
答案：
求倾斜角α的取值范围的一般步骤
（1）求出tan
α的取值范围．
（2）利用正切函数的单调性，借助图像，确定倾斜角α的取值范围．
题型二　直线方程的求法　　
根据所给条件求直线的方程：
（1）直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为；
（2）直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；
（3）直线过点（5，10），且与原点的距离为5．
解析：（1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin
α＝（0≤α＜π），
从而cos
α＝±，则k＝tan
α＝±．
故所求直线方程为y＝±（x＋4），
即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0．
（2）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，
又直线过点（－3，4），
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9．
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0．
（3）当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；
当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k（x－5），即kx－y＋10－5k＝0．
由点线距离公式，得＝5，解得k＝．
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0．
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0．
求直线方程的注意事项
（1）在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．
（2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用（若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零）．
（3）重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．
题型三　直线方程的应用　　
[例]　（1）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是　　　　；
（2）已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝_________．
[解析]　（1）由直线x＋my＝0求得定点A（0，0），直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m（x－1），所以得定点B（1，3）．当m＝0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为m＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5（当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立），所以|PA|·|PB|的最大值是5．
（2）由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1的纵截距为2－a，因为0＜a＜2，所以2－a＞0，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2（2－a）＋×2（a2＋2）＝a2－a＋4＝＋，又0＜a＜2，所以当a＝时，面积最小．
[答案]　（1）5　（2）
求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或二次函数求解最值．
[对点训练]
已知直线x＋a2y－a＝0（a是正常数），当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是（　　）
A．0　　　
B．2　　　　
C．　　　　
D．1
解析：直线x＋a2y－a＝0（a是正常数）在x轴，y轴上的截距分别为a和，此直线在x轴，y轴上的截距和为a＋≥2，当且仅当a＝1时，等号成立．故当直线x＋a2y－a＝0在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是1．
答案：D
　直线方程应用的核心素养
数学运算——直线方程的交汇应用
[例]　（2021·重庆巴蜀中学模拟）已知曲线y＝在点P（2，4）处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为（　　）
A．2x＋y＋2＝0
B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0
C．2x－y－18＝0
D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0
[解析]　y′＝＝－，当x＝2时，y′＝－＝－2，因此kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意知＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0．
[答案]　B
抓住导数的几何意义及直线方程的求法是解决此类问题的关键．
[对点训练]
已知不全为零的实数a，b，c成等差数列，过点A（1，2）作直线l：ax＋by＋c＝0的垂线与直线l交于点P，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，则|PQ|的最小值是_________．
解析：∵不全为零的实数a，b，c成等差数列，∴b＝，代入动直线l：ax＋by＋c＝0，得ax＋y＋c＝0，即a（2x＋y）＋c（y＋2）＝0．∵a，c不全为零，∴解得x＝1，y＝－2，∴动直线l过定点N（1，－2）．设点P（x，y），∵当点P与N不重合时，AP⊥NP，∴·＝（x－1，y－2）·（x－1，y＋2）＝0，整理，得x2＋y2－2x－3＝0，即（x－1）2＋y2＝4．∴点P在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线3x－4y＋12＝0上，圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离d＝＝3＞2，∴|PQ|的最小值等于圆心（1，0）到直线3x－4y＋12＝0的距离d减去圆的半径2，∴|PQ|的最小值为3－2＝1．
答案：1
PAGE第二节　两直线的位置关系
命题分析预测
学科核心素养
本节内容单独考查较少，多与其他知识交汇考查．常涉及充要条件、直线与圆锥曲线的位置关系等内容，多为选择题．
通过两直线的位置关系、对称问题的考查，提升数学运算核心素养．
授课提示：对应学生用书第167页
知识点一　两直线的位置关系
1．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
（2）两条直线垂直
如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2?k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
2．两直线相交
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
相交?方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行?方程组无解；
重合?方程组有无数个解．
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温馨提醒
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两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
1．已知过点A（－2，m）和B（m，4）的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为（　　）
A．0　　　　　　　
B．－8
C．2
D．10
解析：由题意知＝－2，解得m＝－8．
答案：B
2．已知P（－2，m），Q（m，4），且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1．
答案：A
3．（易错题）直线2x＋（m＋1）y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝（　　）
A．2
B．－3
C．2或－3
D．3
解析：直线2x＋（m＋1）y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3．
答案：C
知识点二　距离公式
1．两点间的距离公式
平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为|P1P2|＝．
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离|OP|＝．
2．点到直线的距离公式
平面上任意一点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
3．两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝Ｗ．
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温馨提醒
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运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错．
1．已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝（　　）
A．－1　　
B．＋1　　　
C．2－　　　
D．＋2
解析：由题意得＝1，
解得a＝－1＋或a＝－1－．因为a＞0，所以a＝－1＋．
答案：A
2．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，
则两平行线间的距离为d＝＝．
答案：B
授课提示：对应学生用书第168页
题型一　两直线的位置关系　　
1．（2021·济南模拟）“m＝3”是“直线l1：2（m＋1）x＋（m－3）y＋7－5m＝0与直线l2：（m－3）x＋2y－5＝0垂直”的（　　）
A．充分不必要条件　　　
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由l1⊥l2得，2（m＋1）（m－3）＋2（m－3）＝0，解得m＝3或m＝－2．所以m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．
答案：A
2．（2021·衡水中学一调）直线l1：（3＋a）x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋（5＋a）y＝8平行，则a＝（　　）
A．－7或－1
B．－7
C．7或1
D．－1
解析：由题意，得解得a＝－7．
答案：B
3．（2021·洛阳统一考试）已知b＞0，直线（b2＋1）x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0垂直，则ab的最小值为（　　）
A．1
B．2
C．2
D．2
解析：由已知两直线垂直可得，（b2＋1）－ab2＝0，即ab2＝b2＋1，又b＞0，所以ab＝b＋．由基本不等式得b＋
≥2＝2，当且仅当b＝1时等号成立，所以（ab）min＝2．
答案：B
　两直线位置关系的三种判断方法
方法
平行
垂直
适合题型
化成斜截式
k1＝k2，且b1≠b2
k1k2＝－1
斜率存在
一般式
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0
无限制
直接法
k1与k2都不存在，且b1≠b2
k1与k2中一个不存在，另一个为零
k不存在
题型二　距离问题　　
1．（2020·高考全国卷Ⅲ）点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（　　）
A．1　　　　　　　　　
B．
C．
D．2
解析：设点A（0，－1），直线l：y＝k（x＋1），由l过定点B（－1，0），知当AB⊥l时，距离最大，最大值为．
答案：B
2．过点P（3，－1）引直线，使点A（2，－3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为（　　）
A．x＝3
B．4x－y－13＝0
C．4x＋y＋13＝0
D．x＝3或4x－y－13＝0
解析：若直线的斜率不存在，则其方程为x＝3，满足条件；
若直线的斜率存在，设其方程为y＋1＝k（x－3），即kx－y－3k－1＝0，由题意得＝，
解得k＝4，
此时直线方程为4x－y－13＝0，
综上，直线的方程为x＝3或4x－y－13＝0．
答案：D
3．（2021·厦门模拟）若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是（　　）
A．2
B．－2
C．2或－6
D．6
解析：依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6．
答案：C
4．（2021·广州模拟）已知点P（4，a）到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是（　　）
A．[0，10]
B．（0，10）
C．[0，5]
D．[5，10]
解析：由题意得，点P到直线的距离为＝．又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
答案：A
　距离问题的常见题型及解题策略
（1）求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．
（2）解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
（3）求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
题型三　对称问题　　
　　对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：（1）点关于点对称；（2）点关于线对称；（3）线关于线对称．
考法（一）　点关于点对称
[例1]　过点P（0，1）作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_________．
[解析]　设l1与l的交点为A（a，8－2a），
则由题意知，点A关于点P的对称点B（－a，2a－6）在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3（2a－6）＋10＝0，
解得a＝4，即点A（4，0）在直线l上，
所以由两点式得直线l的方程为：x＋4y－4＝0．
[答案]　x＋4y－4＝0
点P（x，y）关于O（a，b）的对称点P′（x′，y′）满足
考法（二）　点关于线对称
[例2]　（2021·长沙一调）已知入射光线经过点M（－3，4），被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为_________．
[解析]　设点M（－3，4）关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′（a，b），则反射光线所在直线过点M′，
所以解得
又反射光线经过点N（2，6），
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0．
[答案]　6x－y－6＝0
解决点关于直线对称的问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直．
考法（三）　线关于线对称
[例3]　已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0．若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是（　　）
A．x－2y＋1＝0　　　　　　
B．x－2y－1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋2y－1＝0
[解析]　由得交点（1，0），取l1上的点（0，－2），其关于直线l的对称点为（－1，－1），故直线l2的方程为＝，即x－2y－1＝0．
[答案]　B
　线关于线的对称的求解方法
（1）若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．
（2）若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴对称的对称点，最后由两点式求解．
[对点训练]
　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A（－1，－2）．求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
（3）直线l关于点A（－1，－2）对称的直线l′的方程．
解析：（1）设A′（x，y），
由已知得
解得
所以A′．
（2）在直线m上取一点，如M（2，0），
则M（2，0）关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设M′（a，b），则
解得M′．
设直线m与直线l的交点为N，则由得N（4，3）．又因为m′经过点N（4，3），所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0．
（3）设P（x，y）为l′上任意一点，则P（x，y）关于点A（－1，－2）的对称点为P′（－2－x，－4－y），因为P′在直线l上，所以2（－2－x）－3（－4－y）＋1＝0，即2x－3y－9＝0．
　两直线位置关系应用中的核心素养
数学运算——直线系方程的应用
1．平行直线系
由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
[例1]　求与直线3x＋4y＋5＝0平行且过点（2，3）的直线l的方程．
[解析]　依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋C1＝0（C1≠5），因为直线过点（2，3），
所以3×2＋4×3＋C1＝0，解得C1＝－18．
因此，所求直线方程为3x＋4y－18＝0．
先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C），再由其他条件求C1．
2．垂直直线系
由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．
[例2]　求经过A（2，4），且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线l的方程．
[解析]　因为所求直线与直线2x＋y－1＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A（2，4），所以有2－2×4＋C1＝0，解得C1＝6，所以所求直线方程为x－2y＋6＝0．
先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1．
3．过直线交点的直线系
[例3]　过直线x＋2y＋1＝0与直线2x－y＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_________．
[解析]　设所求直线方程为x＋2y＋1＋λ（2x－y＋1）＝0，当直线过原点时，1＋λ＝0得，λ＝－1，此时所求直线方程为x－3y＝0；当直线不过原点时，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－．
由题意得＝－，
解得λ＝或λ＝－1（舍）．
此时所求直线方程为5x＋5y＋4＝0．
综上所述，所求直线方程为x－3y＝0或5x＋5y＋4＝0．
[答案]　x－3y＝0或5x＋5y＋4＝0
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数），其中不包括直线l2．
4．过定点的直线系
[例4]　直线（m－1）x－（m＋3）y－（m－11）＝0（m为常数）恒过定点的坐标为_________．
[解析]　法一：将方程变为－x－3y＋11＋m（x－y－1）＝0，由得
故直线恒过定点．
法二：分别令m＝1，m＝－3，得
所以故直线恒过定点．
[答案]　
1．过定点（x0，y0）的直线系方程为y－y0＝k（x－x0）（k为直线的斜率）或A（x－x0）＋B（y－y0）＝0（A、B不同时为0）．
2．求直线系过定点问题的常用方法
恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于x，y的方程组求出定点坐标．
特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点．
[题组突破]
1．与直线x－2y＋3＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是_________．
解析：设所求直线方程为x－2y＋λ＝0，
令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－λ．由题意，得··|－λ|＝4，解得λ＝±4．故所求直线方程为x－2y±4＝0．
答案：x－2y±4＝0
2．直线mx＋y－m－1＝0（m为参数）经过定点的坐标为_________．
解析：法一：（恒等式法）直线方程化为m（x－1）＋y－1＝0，由得x＝1，y＝1．故直线mx＋y－m－1＝0过定点（1，1）．
法二：（特殊直线法）取m＝0，得y＝1，①
取m＝1，得x＋y－2＝0，②
由①②得x＝1，y＝1．
故直线mx＋y－m－1＝0过定点（1，1）．
答案：（1，1）
3．过直线x－2y＋4＝0和直线x＋y－2＝0的交点，且与直线3x－4y＋5＝0垂直的直线方程为_________．
解析：设所求直线方程为
x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，
即（1＋λ）x＋（λ－2）y＋（4－2λ）＝0，
则其斜率k＝－，
由题意可知，－×＝－1，
解得λ＝11．
故所求直线方程为4x＋3y－6＝0．
答案：4x＋3y－6＝0
PAGE第三节　圆的方程
命题分析预测
学科核心素养
本节是命题的热点，主要考查圆的方程，多以选择题和填空题形式考查，难度中等．
本节通过圆的方程的求法考查数学运算和直观想象核心素养．
授课提示：对应学生用书第171页
知识点一　圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准
（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）
圆心C（a，b）
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
?
温馨提醒
?
二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的判别式Δ＝b2－4ac相类似，表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍，只有把条件理解了、记清楚了，才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”．
1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是_________．
解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋（y－1）2＝－2．
由其表示圆可得－2＞0，解得m＜－2或m＞2．
答案：（－∞，－2）∪（2，＋∞）
2．已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是_________．
解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2．当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为（－2，－4），半径为5．当a＝2时，方程不表示圆．
答案：（－2，－4）　5
3．圆C的圆心在x轴上，并且过点A（－1，1）和B（1，3），则圆C的方程为_________．
解析：设圆心坐标为C（a，0），
因为点A（－1，1）和B（1，3）在圆C上，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，
所以圆心为C（2，0），
半径|CA|＝＝，
所以圆C的方程为（x－2）2＋y2＝10．
答案：（x－2）2＋y2＝10
知识点二　点与圆的位置关系
　平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在着下列关系：
（1）d＞r?M在圆外，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2?M在圆外；
（2）d＝r?M在圆上，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2?M在圆上；
（3）d＜r?M在圆内，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2?M在圆内Ｗ．
1．（2021·南昌二中月考）若坐标原点在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，则实数m的取值范围是（　　）
A．（－1，1）　　　　　
B．（－，）
C．（－，）
D．
解析：∵原点（0，0）在圆（x－m）2＋（y＋m）2＝4的内部，
∴（0－m）2＋（0＋m）2＜4，解得－＜m＜．
答案：C
2．若点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是_________．
解析：因为点（1，1）在圆内，
所以（1－a）2＋（a＋1）2＜4，即－1＜a＜1．
答案：（－1，1）
授课提示：对应学生用书第171页
题型一　圆的方程求法　　
[例]　求满足下列条件的圆的方程：
（1）过点A（4，1）的圆C与直线l：x－y－1＝0相切于点B（2，1）；
（2）已知圆C经过P（－2，4），Q（3，－1）两点，且在x轴上截得的弦长等于6．
[解析]　（1）法一：由已知kAB＝0，
所以AB的中垂线方程为x＝3．　　　①
过点B且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－（x－2），
即x＋y－3＝0，　　　②
联立①②，解得
所以圆心坐标为（3，0），
半径r＝＝，
所以圆C的方程为（x－3）2＋y2＝2．
法二：设圆方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），
因为点A（4，1），B（2，1）都在圆上，
故
又因为＝－1，
解得a＝3，b＝0，r＝，
故所求圆的方程为（x－3）2＋y2＝2．
（2）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），
将P，Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0．　　　③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，
即（x1＋x2）2－4x1x2＝36，
得D2－4F＝36，　　　④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，
或D＝－6，E＝－8，F＝0．
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0．
求圆的方程的两种方法
（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
（2）待定系数法：①若已知条件与圆心（a，b）和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[对点训练]
已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x2＋y2＝4的交点，且圆C的圆心在直线2x－y－3＝0上，则圆C的方程为_________．
解析：设所求圆的方程为（x2＋y2－4）＋a（x＋y＋2）＝0，a≠0，即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0，
所以圆心为，因为圆心在直线2x－y－3＝0，所以－a＋－3＝0，所以a＝－6．
所以圆的方程为x2＋y2－6x－6y－16＝0，即（x－3）2＋（y－3）2＝34．
答案：（x－3）2＋（y－3）2＝34
题型二　与圆有关的轨迹问题　　
[例]　（2021·衡水中学调研）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0）．求：
（1）直角顶点C的轨迹方程；
（2）直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解析]　（1）法一：设C（x，y），因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（y≠0）．
法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）．
所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）．
（2）设M（x，y），C（x0，y0），因为B（3，0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．
由（1）知，点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0），将x0＝2x－3，y0＝2y代入得（2x－4）2＋（2y）2＝4，即（x－2）2＋y2＝1．
因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（y≠0）．
求与圆有关的轨迹方程的方法
[对点训练]
如图，已知点A（－1，0）与点B（1，0），C是圆x2＋y2＝1上的动点，连接BC并延长至点D，使得|CD|＝|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．
解析：设动点P的坐标为（x，y），由题意可知P是△ABD的重心．
令动点C的坐标为（x0，y0），由A（－1，0），B（1，0），
可知点D的坐标为（2x0－1，2y0），由重心坐标公式得
解得
代入x＋y＝1并整理得＋y2＝（y≠0）．
故所求轨迹方程为＋y2＝（y≠0）．
题型三　与圆有关的最值、范围问题　　
[例]　（2021·兰州市高三诊断考试）已知圆C：（x－1）2＋（y－4）2＝10和点M（5，t），若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是（　　）
A．[－2，6]　　　　　
B．[－3，5]
C．[2，6]
D．[3，5]
[解析]　法一：当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值．若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如图，所以|MC|＝≤＝，所以16＋（t－4）2≤20，所以2≤t≤6．
法二：由于点M（5，t）是直线x＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t的取值范围一定关于t＝4对称，故排除选项A，B．当t＝2时，|CM|＝2，若MA，MB为圆C的
切线，则sin∠CMA＝sin∠CMB＝＝，所以∠CMA＝∠CMB＝45°，即MA⊥MB，所以t＝2时符合题意，故排除选项D．
[答案]　C
　与圆有关的最值、范围问题一是利用数形结合思想进行临界分析，二是利用条件建立目标函数转化为函数最值或值域问题．
[对点训练]
（2021·厦门模拟）设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为_________．
解析：由题意，知＝（2－x，－y），＝（－2－x，－y），所以·＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以·＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12．由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12．
答案：12
　与圆有关的轨迹问题中的核心素养
直观想象——从课本习题看“阿波罗尼斯”圆
历史背景：阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德一起被称为亚历山大时期的数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要的研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一．
[例]　已知点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为，求点M的轨迹方程．
[解析]　如图所示，设动点M（x，y），连接MO，MA，有：|MA|＝2|MO|，即＝2，
化简得：x2＋y2＋2x－3＝0，
即（x＋1）2＋y2＝4　①，
则方程①即为所求点M的轨迹方程，它表示以C（－1，0）为圆心，2为半径的圆．
若对此题进行二次开发，从系统的高度切入，可以进行从特殊到一般的推广探究，还可以分析挖掘出这道题的几何背景，题中所求出的圆，我们习惯上称这种圆为“阿波罗尼斯”圆．“阿波罗尼斯”圆不仅是具有数学文化的探究素材，而且在高考中以它为背景的考题也经常出现．
[对点训练]
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M的轨迹就是“阿波罗尼斯”圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B（1，1），则2|MA|＋|MB|的最小值为（　　）
A．　　　　　　　　
B．
C．
D．
解析：当点M在x轴上时，点M的坐标为（－1，0）或（1，0）．若点M的坐标为（－1，0），则2|MA|＋|MB|＝2×＋＝1＋；
若点M的坐标为（1，0），则2|MA|＋|MB|＝2×＋＝4．
当点M不在x轴上时，取点K（－2，0），连接OM，MK（图略），因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以＝＝2．因为∠MOK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，则＝＝2，所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．易知|MB|＋|MK|≥|BK|，可知|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B（1，1），K（－2，0），所以（2|MA|＋|MB|）min＝|BK|＝＝．
综上，易知2|MA|＋|MB|的最小值为．
答案：C
PAGE第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
命题分析预测
学科核心素养
本节是高考的重点，主要考查直线与圆的位置关系、弦长问题、切线问题、圆与圆的位置关系，一般以选择题和填空题的形式出现，有时与椭圆、双曲线、抛物线交汇命题．
本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养和数形结合思想的运用．
授课提示：对应学生用书第174页
知识点一　直线与圆的位置关系
设圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C（a，b）到直线l的距离为d，由
消去y（或x）得到关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为Δ．
方法位置关系　　　　　　　
几何法
代数法
相交
d＜r
Δ＞0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d＞r
Δ＜0
?
温馨提醒
?
　与圆的切线有关的结论
（1）与圆x2＋y2＝r2相切于点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2．
（2）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2相切于点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2．
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2．
1．若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[－3，－1]　　　　　
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．（－∞，－3]∪[1，＋∞）
解析：由题意可得，圆的圆心为（a，0），半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1．
答案：C
2．直线x＋y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－2）2＝1相交于A，B两点，则弦|AB|＝（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：∵圆心（1，2）到直线x＋y－2＝0的距离d＝，
∴|AB|＝2＝．
答案：D
3．（易错题）已知圆C：x2＋y2＝9，过点P（3，1）作圆C的切线，则切线方程为_________．
解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k（x－3），所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0．综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0．
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
知识点二　圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0
?
温馨提醒
?
1．两相交圆的公共弦所在直线的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0　①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0　②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0　③，方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
2．过已知两圆交点的圆系方程
过已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不含圆C2），其中λ为参数且λ≠－1．
1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有（　　）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：圆x2－4x＋y2＝0，即（x－2）2＋y2＝4，其圆心坐标为（2，0），半径为2；
圆x2＋y2＋4x＋3＝0，即（x＋2）2＋y2＝1，其圆心坐标为（－2，0），半径为1，
则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，
因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．
答案：D
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则a＝_________．
解析：两圆公共弦所在直线方程为（x2＋y2＋2ay－6）－（x2＋y2－4）＝0，得y＝．
所以＋（）2＝22，得a＝1．
答案：1
授课提示：对应学生用书第175页
题型一　直线与圆的位置关系　　
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（　　）
A．相交　　　　　　　　
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：由
消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交．
答案：A
2．直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．（，2）
B．（，3）
C．
D．
解析：当直线经过点（0，1）时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝（切点在第一象限），所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜．
答案：D
3．若圆x2＋y2＝r2（r>0）上恒有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是（　　）
A．（＋1，＋∞）
B．（－1，＋1）
C．（0，－1）
D．（0，＋1）
解析：
计算得圆心到直线l的距离为＝>1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1．
答案：A
　判断直线与圆的位置关系的两大策略
（1）若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．
（2）若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
题型二　直线与圆的位置关系的应用　　
考法（一）　切线问题
[例1]　（1）已知点P（＋1，2－），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4，则过点P的圆C的切线方程为_________．
[解析]　由题意得，圆心C（1，2），半径r＝2．因为（＋1－1）2＋（2－－2）2＝4，所以点P在圆C上，又kPC＝＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1，所以过点P的圆C的切线方程是y－（2－）＝1×[x－（＋1）]，即x－y＋1－2＝0．
[答案]　x－y＋1－2＝0
（2）由直线y＝x＋1上的一点向圆（x－3）2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为_________．
[解析]　设圆心为C（3，0），P为直线y＝x＋1上一动点，过P向圆引切线，切点设为N，所以|PN|min＝（）min＝eq
\r(|PC|－1)，又|PC|min＝＝2，所以|PN|min＝．
[答案]　
圆的切线方程的求法
（1）几何法：设切线方程为y－y0＝k（x－x0），利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k．
（2）代数法：设切线方程为y－y0＝k（x－x0），与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k．
考法（二）　弦长问题
[例2]　（1）（2020·高考全国卷Ⅰ）已知圆x2＋y2－6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（　　）
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
[解析]　圆的方程可化为（x－3）2＋y2＝9，故圆心的坐标为C（3，0），半径r＝3．如图，记点M（1，2），则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC|＝2，弦的长度l＝2＝2＝2．
[答案]　B
（2）设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为_________．
[解析]　圆C的方程可化为x2＋（y－a）2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C（0，a），半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以＋（）2＝（）2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π．
[答案]　4π
求直线与圆相交弦长的常用方法
（1）几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2．
（2）代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝|x1－x2|．
[题组突破]
1．若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin
C＝3asin
A＋3bsin
B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为（　　）
A．4
B．2
C．6
D．5
解析：因为＝＝，
故由csin
C＝3asin
A＋3bsin
B可得c2＝3（a2＋b2）．
圆O：x2＋y2＝12的圆心为O（0，0），半径为r＝2，圆心O到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆O所截得的弦长为2＝2＝6．
答案：C
2．（2021·哈尔滨模拟）已知过点P（2，2）的直线与圆（x－1）2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝_________．
解析：因为点P在圆（x－1）2＋y2＝5上，所以过点P（2，2）与圆（x－1）2＋y2＝5相切的切线方程为（2－1）（x－1）＋2y＝5，即x＋2y－6＝0，由直线x＋2y－6＝0与直线x－ay＋1＝0平行，得－a＝2，a＝－2．
答案：－2
题型三　圆与圆的位置关系　　
[例]　已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0．
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
[解析]　（1）证明：由题意可知，圆C1的圆心为C1（1，3），半径r1＝，圆C2的圆心为C2（5，6），半径r2＝4，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，
∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圆C1和C2相交．
（2）圆C1和圆C2的方程左右两边分别相减，整理得4x＋3y－23＝0，
∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0．
圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，
故公共弦长为2＝2．
1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
[对点训练]
已知圆C1：（x－a）2＋（y＋2）2＝4与圆C2：（x＋b）2＋（y＋2）2＝1外切，则ab的最大值为（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．
D．2
解析：由圆C1与圆C2外切，可得＝2＋1＝3，解得（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2＝9，根据基本不等式可知9＝a2＋2ab＋b2≥2ab＋2ab＝4ab，即ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
答案：C
　直线与圆位置关系中的核心素养
数学运算——直线与圆位置关系的综合应用
[例]　（2019·高考全国卷Ⅰ）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
（1）若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
[解析]　（1）因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M（a，a）．
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|．
由已知得|AO|＝2．又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝（a＋2）2，
解得a＝0或a＝4．
故⊙M的半径r＝2或r＝6．
（2）存在定点P（1，0），使得|MA|－|MP|为定值．
理由如下：
设M（x，y），由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2．
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝（x＋2）2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x．
因为曲线C：y2＝4x是以点P（1，0）为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1．
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－（x＋1）＝1，
所以存在满足条件的定点P．
求解与圆有关的定值问题时，常使用的方法有：（1）直接计算或证明，如本题第（2）问的证明；（2）先特殊后一般，即先利用特殊情况得到定值，再证明一般情况也满足；（3）先设后求，即先设出定值，再利用待定系数法求解．
[对点训练]
已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x－2）2＋（y－3）2＝1交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|．
解析：（1）由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1．
因为直线l与圆C交于两点，
所以＜1．
解得＜k＜．
所以k的取值范围为．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．
将y＝kx＋1代入方程（x－2）2＋（y－3）2＝1，
整理得（1＋k2）x2－4（1＋k）x＋7＝0．
所以x1＋x2＝，x1x2＝．
·＝x1x2＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1
＝＋8．
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1．
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2．
PAGE第五节　椭圆
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现，难度中等偏上．
本节主要考查考生的数学运算、直观想象核心素养及考生对数形结合思想、转化与化归思想的应用．
授课提示：对应学生用书第177页
知识点一　椭圆的定义
平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点Ｗ．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
（1）当2a>|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆．
（2）当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段．
（3）当2a<|F1F2|时，P点不存在．
?
温馨提醒
?
二级结论
1．椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长为，通径是最短的焦点弦．
2．P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c．
必明易错
椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|时，不存在轨迹．
1．若F1（－3，0），F2（3，0），点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是（　　）
A．＋＝1　　　　
B．＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
解析：设点P的坐标为（x，y），因为|PF1|＋|PF2|＝10＞|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1．
答案：A
2．（易错题）平面内一点M到两定点F1（0，－9），F2（0，9）的距离之和等于18，则点M的轨迹是_________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，且|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2．
答案：线段F1F2
知识点二　椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1（a＞b＞0）
＋＝1（a＞b＞0）
图形
性质
范围
x∈[－a，a]，y∈[－b，b]
x∈[－b，b]，y∈[－a，a]
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b）
A1（0，－a），A2（0，a），B1（－b，0），B2（b，0）
离心率
e＝，且e∈（0，1）
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
?
温馨提醒
?
二级结论
　椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ．
（1）当P为短轴端点时，θ最大．
（2）S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin
θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc．
（3）焦点三角形的周长为2（a＋c）．
必明易错
求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为＋＝1（a>b>0）．
1．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（　　）
A．
B．
C．2－
D．－1
解析：由题意可知，|PF2|＝2c，|PF1|＝2c．
因为|PF1|＋|PF2|＝2a，∴2c＋2c＝2a，
解得＝－1．
答案：D
2．（易错题）若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（　　）
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋y2＝1或＋＝1
D．以上答案都不对
解析：直线与坐标轴的交点为（0，1），（－2，0），
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，
∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1．
当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，
∴a2＝5，所求椭圆标准方程为＋＝1．
答案：C
3．椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝_________．
解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，所以m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，所以m＝8．所以m＝4或8．
答案：4或8
授课提示：对应学生用书第178页
题型一　椭圆的定义与标准方程　　
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）
A．2　　　　　　　　
B．6
C．4
D．12
解析：由椭圆的方程得a＝．设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝（|BA|＋|BF|）＋（|CF|＋|CA|）＝2a＋2a＝4a＝4．
答案：C
2．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：（x＋4）2＋y2＝1和（x－4）2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值，最大值分别为（　　）
A．9，12
B．8，11
C．8，12
D．10，12
解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋|PN|＝（|PM|＋|MF1|）＋（|PN|＋|NF2|）－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12．
答案：C
3．椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为（　　）
A．＋y2＝1
B．＋＝1
C．＋y2＝1或＋＝1
D．＋y2＝1或＋x2＝1
解析：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a＝2b，又椭圆经过点（2，0），则若焦点在x轴上，则a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，则a＝4，b＝2，椭圆方程为＋＝1．
答案：C
1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
2．求椭圆方程的常用方法
（1）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
（2）待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b．当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），再用待定系数法求出m，n的值即可．
题型二　椭圆的几何性质　　
[例]　（1）已知F1，F2分别为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为（　　）
A．2－　　　　　　
B．－
C．－1
D．－
[解析]　设|PF1|＝|PQ|＝m（m＞0），则|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2m－2a，|QF1|＝4a－2m．由题意知△PQF1为等腰直角三角形，所以|QF1|＝|PF1|，故m＝4a－2a．因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以（4a－2a）2＋[2a－（4a－2a）]2＝4c2，整理得4×（）2＝36－24，即＝＝－．
[答案]　D
（2）已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于（　　）
A．2
B．2或
C．2或6
D．2或8
[解析]　显然m＞0且m≠4，当0＜m＜4时，椭圆长轴在x轴上，则＝，解得m＝2；当m＞4时，椭圆长轴在y轴上，则＝，解得m＝8．
[答案]　D
求椭圆离心率的三种方法
（1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
（2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解．
（3）数形结合，根据图形观察，通过取特殊值或特殊位置求出离心率．
[题组突破]
1．（2021·洛阳模拟）已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于（　　）
A．5
B．6
C．9
D．10
解析：由椭圆＋＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得＝2，解得m＝9．
答案：C
2．已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为（　　）
A．（－3，0）
B．（－4，0）
C．（－10，0）
D．（－5，0）
解析：∵圆的标准方程为（x－3）2＋y2＝1，∴圆心坐标是（3，0），∴c＝3．又b＝4，∴a＝＝5．∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为（－5，0）．
答案：D
题型三　直线与椭圆的位置关系　　
[例]　已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（－a，0），若|AB|＝，求直线l的倾斜角．
[解析]　（1）由e＝＝得3a2＝4c2，
再由a2＝b2＋c2得a＝2b，又×2a×2b＝4，则ab＝2，解方程组得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1．
（2）由（1）得A（－2，0），设点B的坐标为（x1，y1），由题意知直线l的斜率存在，故设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x＋2）．
于是A、B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理得
（1＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－4＝0，因为x＝－2是方程的一个根，则
－2x1＝，所以x1＝，
从而y1＝k（x1＋2）＝．
|AB|＝＝，由|AB|＝，得＝，整理得32k4－9k2－23＝0，即（k2－1）（32k2＋23）＝0，所以k＝±1，所以直线l的倾斜角为或．
1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决往往会更简单．
2．设直线与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝＝　（k为直线斜率）．
[对点训练]
已知椭圆的两焦点为F1（－，0），F2（，0），离心率e＝．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设直线l：y＝x＋m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．
解析：（1）设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），
则c＝，＝，所以a＝2，b＝1，
所以所求椭圆的方程为＋y2＝1．
（2）由消去y，
得5x2＋8mx＋4（m2－1）＝0，由Δ＞0，得m2＜5．（
）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1＋x2＝－，x1x2＝，y1－y2＝x1－x2，
|PQ|＝＝2．
解得m＝±，满足（
），
所以m＝±．
　椭圆几何性质中的核心素养
数学运算、直观想象——椭圆离心率的范围问题
椭圆的离心率问题是高考命题的热点，离心率范围问题是高考难点，多为选择题、填空题的压轴小题，能力要求较高．
[例]　（1）（2021·青岛模拟）已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．
D．
[解析]　（几何法）如图所示，
∵线段PF1的中垂线经过F2，
∴PF2＝F1F2＝2c，即椭圆上存在一点P，使得PF2＝2c．
∴a－c≤2c≤a＋c．
∴e＝∈．
[答案]　C
（2）过椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是_________．
[解析]　由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为（c，0），根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝．又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤．又0＜e＜1，所以0＜e≤．
[答案]　
求椭圆离心率范围的两种方法
方法
解读
适合题型
几何法
利用椭圆的几何性质，设P（x0，y0）为椭圆＋＝1（a>b>0）上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系
题设条件有明显的几何关系
直接法
根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式
题设条件直接有不等关系
[对点训练]
已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2（|AF|＋|BF|）＝8，所以a＝2．又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝
＝
．因为1≤b＜2，所以0＜e≤．
答案：A
PAGE第六节　抛物线
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现．
本节主要考查考生的转化与化归思想的运用，提升考生数学运算、直观想象核心素养．
授课提示：对应学生用书第181页
知识点一　抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
（1）在平面内；
（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
（3）定点不在定直线上．
?
温馨提醒
?
抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
1．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有（　　）
A．0个　　　　　　
B．1个
C．2个
D．4个
解析：设P（x1，y1），则|PF|＝x1＋2＝5，y＝8x1，所以x1＝3，y1＝±2．故满足条件的点P有两个．
答案：C
2．（易错题）设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_________．
解析：抛物线y2＝8x的准线方程x＝－2，因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线的距离为6，由抛物线定义知点P到焦点的距离为6．
答案：6
知识点二　抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px（p>0）
y2＝－2px（p>0）
x2＝2py（p>0）
x2＝－2py（p>0）
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O（0，0）
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
续表
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径（其中P（x0，y0））
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
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温馨提醒
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抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，
若A（x1，y1），B（x2，y2），则：
（1）x1x2＝，y1y2＝－p2．
（2）弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝（α为弦AB的倾斜角）．
（3）以弦AB为直径的圆与准线相切．
（4）通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p．
1．（易错题）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为（　　）
A．
B．－
C．4
D．－4
解析：由题意知抛物线的标准方程为x2＝y，所以准线方程y＝－＝1，解得a＝－．
答案：B
2．过点P（－2，3）的抛物线的标准方程是（　　）
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
解析：设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P（－2，3），解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y．
答案：A
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝_________．
解析：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．
答案：8
授课提示：对应学生用书第182页
题型一　抛物线的标准方程及几何性质　　
1．（2021·宜春联考）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M是抛物线C上一点，圆M与y轴相切，且被直线x＝截得的弦长为p，若|MF|＝，则抛物线的方程为（　　）
A．y2＝4x　　　　　　　
B．y2＝2x
C．y2＝8x
D．y2＝x
解析：设圆M与y轴相切于点N，直线x＝与圆M交于A，B两点，如图所示，设M（x0，y0），则|MN|＝|MA|＝|MB|＝x0，|AB|＝p，所以＋＝x，解得x0＝p，由抛物线的定义知，|MF|＝x0＋，因为|MF|＝，所以＝p＋p，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．
答案：A
2．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝（　　）
A．
B．
C．3
D．2
解析：因为＝4，所以＝．如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，所以＝＝．所以|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3．
答案：C
3．（2021·辽宁五校联考）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．3
解析：如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F（1，0），因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥l，E，所以N（－1，），M（0，2），所以|NF|＝，|NM|＝，所以△MNF的面积为．
答案：C
4．（2020·高考全国卷Ⅲ）设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　）
A．
B．
C．（1，0）
D．（2，0）
解析：法一：∵抛物线C关于x轴对称，∴D，E两点关于x轴对称．可得出直线x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为（2，2），（2，－2）．不妨设D（2，2），E（2，－2），则＝（2，2），＝（2，－2）．又∵OD⊥OE，∴·＝4－4p＝0，解得p＝1，∴C的焦点坐标为．
法二：∵抛物线C关于x轴对称，∴D，E两点关于x轴对称．∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值相等．不妨设点D（2，2），将点D的坐标代入C：y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，故C的焦点坐标为．
答案：B
1．求抛物线方程的三个注意点
（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．
（3）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2．运用抛物线几何性质的技巧
涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
题型二　抛物线的定义及应用　　
　　与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等．常见的命题角度有：（1）焦点与定点距离之和最小问题；（2）点与准线的距离之和最小问题；（3）焦点弦中距离之和最小问题．
考法（一）　焦点与定点距离之和最小问题
[例1]　（2021·赣州模拟）若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为（　　）
A．（0，0）　　　　　　
B．
C．（1，）
D．（2，2）
[解析]　过M点作准线的垂线，垂足是N（图略），则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M（2，2）．
[答案]　D
考法（二）　点与准线的距离之和最小问题
[例2]　（2021·邢台摸底）已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x＋1）2＋（y－5）2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是_________．
[解析]　依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1（图略），则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C（－1，5）到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5．
[答案]　5
考法（三）　焦点弦中距离之和最小问题
[例3]　已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为_________．
[解析]　由题意知F（1，0），|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值，依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2．
[答案]　2
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
[题组突破]
1．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_________．
解析：由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点F为（1，0），则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2．
答案：2
2．（2021·上海虹口区模拟）已知点M（20，40），抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F．若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于_________．
解析：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|．根据点M与抛物线的位置分类讨论，当点M（20，40）位于抛物线内时，
如图（1），|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|．
当点M，P，D共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42．
当点M（20，40）位于抛物线外时，如图（2），当点P，M，F共线时，|PM|＋|PF|的值最小．
由最小值为41，得
＝41，解得p＝22或58．
当p＝58时，y2＝116x，点M（20，40）在抛物线内，故舍去．
综上，p＝42或22．
答案：42或22
题型三　直线与抛物线的位置关系　　
[例]　（2019·高考全国卷Ⅲ）已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
（1）证明：直线AB过定点；
（2）若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
[解析]　（1）证明：设D，A（x1，y1），
则x＝2y1．
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1．
整理得2tx1－2y1＋1＝0．
设B（x2，y2），同理可得2tx2－2y2＋1＝0．
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0．
所以直线AB过定点．
（2）由（1）得直线AB的方程为y＝tx＋．
由可得x2－2tx－1＝0．
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t（x1＋x2）＋1＝2t2＋1，
|AB|＝|x1－x2|＝×
＝2（t2＋1）．
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
则d1＝，d2＝．
因此，四边形ADBE的面积
S＝|AB|（d1＋d2）＝（t2＋3）．
设M为线段AB的中点，则M．
因为⊥，而＝（t，t2－2），与向量（1，t）平行，
所以t＋（t2－2）t＝0，解得t＝0或t＝±1．
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4．
因此，四边形ADBE的面积为3或4．
直线与抛物线相交问题处理规律
（1）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．
（2）对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图像结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．
（3）对于抛物线x2＝2py的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率．由y＝得k＝y′＝．
[对点训练]
设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
解析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1≠x2，y1＝eq
\f(x,4)，y2＝eq
\f(x,4)，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1．
（2）由y＝，得y′＝．设M（x3，y3），由题设知＝1，解得x3＝2，于是M（2，1）．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N（2，2＋m），|MN|＝|m＋1|．将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0．当Δ＝16（m＋1）＞0，即m＞－1时，x1，2＝2±2．从而|AB|＝|x1－x2|＝4．由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2（m＋1），解得m＝7．所以直线AB的方程为y＝x＋7．
　抛物线几何性质应用中的核心素养
直观想象——抛物线几何性质的创新应用
[例]　（2021·合肥调研）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，斜率为k的直线过F交C于点A，B，＝2，则直线AB的斜率为（　　）
A．2　　　　　　
B．2
C．±2
D．±2
[解析]　法一：由题意知k≠0，F，则直线AB的方程为y＝k，代入抛物线方程消去x，得y2－y－p2＝0．不妨设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），B（x2，y2），因为＝2，所以y1＝－2y2．又y1y2＝－p2，所以y2＝－p，x2＝，所以kAB＝＝2．根据对称性可得直线AB的斜率为±2．
法二：如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，设直线AB交准线于M，由抛物线的定义知|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，结合＝2，知|BE|＝|AD|＝|AB|，则BE为△AMD的中位线，所以|AB|＝|BM|，所以|BE|＝|BM|，所以|ME|＝＝2|BE|，所以tan∠MBE＝＝2，即此时直线AB的斜率为2，根据对称性可得直线AB的斜率为±2．
[答案]　C
求解此类问题有两种方法：一是利用条件坐标化解决，注意几何性质的运用；二是数形结合充分利用平面几何性质，结合定义转化求解，注意向量的工具作用．
[对点训练]
（2021·惠州调研）已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝，则|FN|＝（　　）
A．　　　　　
B．
C．
D．1
解析：法一：因为抛物线C：y＝2x2，所以F，抛物线C的准线方程为y＝－．如图，过点M作抛物线准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MA∥OF，所以＝．因为2＝，所以|MA|＝×＝，|MF|＝|MB|＝＋＝，|FN|＝3|FM|＝．
法二：因为抛物线y＝2x2，所以F．设N（x0，0），则由2＝，可得M，代入抛物线方程，得＝2，解得x＝，则|FN|＝＝
＝．
答案：A
PAGE第七节　双曲线
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，本节主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等．
本节主要考查考生数形结合思想的运用，提升数学运算、直观想象核心素养．
授课提示：对应学生用书第184页
知识点一　双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：
（1）在平面内；
（2）与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数；
（3）非零常数小于|F1F2|．
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温馨提醒
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　双曲线定义的四点辨析
（1）当0＜2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线．
（2）当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
（3）当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线．
（4）当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
1．过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是（　　）
A．28　　　　　　
　　
B．14－8
C．14＋8
D．8
解析：根据双曲线定义可知，|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，所以|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝8，
∴|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2|PQ|＋8＝14＋8．
答案：C
2．（易错题）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）的距离之差等于6的点的轨迹是_________．
解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支．
答案：双曲线－＝1的下支
知识点二　双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1（a>0，b>0）
－＝1（a>0，b>0）
图　形
性质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1（－a，0），A2（a，0）
顶点坐标：A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈（1，＋∞）
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
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温馨提醒
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1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
2．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
3．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其中θ为∠F1PF2．
1．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（　　）
A．x±y＝0
B．x±y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
答案：A
2．经过点A（3，－1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_________．
解析：设双曲线的方程为－＝±1（a＞0），
把点A（3，－1）代入，得a2＝8（舍负），
故所求方程为－＝1．
答案：－＝1
授课提示：对应学生用书第185页
题型一　双曲线的定义及标准方程　　
1．已知双曲线C：－＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x＋3y＝0垂直，点M在C上，且|MF2|＝6，则|MF1|＝（　　）
A．2或14　　　　　　　　
B．2
C．14
D．2或10
解析：由题意知＝，故a＝4，则c＝5．由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝14．
答案：C
2．（2020·高考全国卷Ⅰ）设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为（　　）
A．
B．3
C．
D．2
解析：法一：由题知a＝1，b＝，c＝2，F1（－2，0），F2（2，0），如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2＝16．
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3．
法二：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4．设点P的坐标为（x0，y0），则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,3)＝1，,\r(x＋y)＝2，))解得|y0|＝．所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3．
答案：B
3．（2021·洛阳模拟）若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（1，4），则|PF|＋|PA|的最小值是（　　）
A．8
B．9
C．10
D．12
解析：由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为（－4，0），设双曲线的右焦点为B，则B（4，0），由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．
所以|PF|＋|PA|的最小值为9．
答案：B
4．已知双曲线过点（2，3），渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程是（　　）
A．－＝1
B．－＝1
C．x2－＝1
D．－＝1
解析：法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1（a＞0，b＞0），由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是－＝1（a＞0，b＞0），由题意得无解．故该双曲线的标准方程为x2－＝1．
法二：当其中的一条渐近线方程y＝x中的x＝2时，y＝2＞3，又点（2，3）在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是－＝1（a＞0，b＞0），由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x2－＝1．
答案：C
双曲线定义及标准方程问题求解中的两个注意点
(1)应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”，若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．
题型二　双曲线的几何性质　　
　　双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点．常见的命题角度有：（1）已知离心率求渐近线方程；（2）已知渐近线求离心率；（3）由离心率或渐近线求双曲线方程．
考法（一）　已知离心率研究渐近线问题
[例1]　已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率e∈（1，2]，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．
D．
[解析]　因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率e∈（1，2]，所以1＜≤2，所以1＜≤4，又c2＝a2＋b2，所以0＜≤3，所以≥，所以≥．－＝1（a＞0，b＞0）经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝x，设该渐近线的倾斜角为α，则tan
α＝≥，又α∈，所以α∈．
[答案]　C
考法（二）　已知渐近线求离心率
[例2]　（2020·高考全国卷Ⅰ）已知F为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为_________．
[解析]　如图，A（a，0）．
由BF⊥x轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，
则kAB＝＝3，
即b2＝3ac－3a2．
又∵c2＝a2＋b2，即b2＝c2－a2，∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴e2－3e＋2＝0．解得e＝2或e＝1（舍去）．故e＝2．
[答案]　2
考法（三）　由离心率或渐近线求双曲线方程
[例3]　（2021·义乌模拟）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点落在直线y＝x－2上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（　　）
A．－＝1
B．－＝1
C．x2－＝1
D．－y2＝1
[解析]　依题意得，直线y＝x－2与x轴的交点（2，0）是双曲线的一个焦点，于是有a2＋b2＝4．又双曲线的焦点到渐近线的距离为b＝1，因此有a2＝3，故双曲线的方程为－y2＝1．
[答案]　D
解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点
（1）已知渐近线方程y＝mx，若焦点位置不明确要分|m|＝或|m|＝讨论．
（2）注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．
[题组突破]
1．（2020·高考全国卷Ⅱ）设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（　　）
A．4
B．8
C．16
D．32
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a联立，可得D（a，b），E（a，－b），
∴S△ODE＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，
∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16．
当且仅当a＝b＝2时，等号成立．
∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8．
答案：B
2．（2021·济南模拟）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是（　　）
A．2或
B．2或
C．或
D．或
解析：设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，∵双曲线的渐近线与圆相切，∴＝1，∴k＝±，则可得双曲线的一条渐近线的方程为y＝x．
故需分双曲线的焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论：
①当双曲线的焦点在x轴上时，有＝，即a＝b，
∴e＝＝＝；
②当双曲线的焦点在y轴上时，有＝，即a＝b，
∴e＝＝＝2．∴双曲线C的离心率为或2．
答案：A
3．（2021·武汉质监）已知双曲线E：－＝1的离心率为，则双曲线E的焦距为（　　）
A．4
B．5
C．8
D．10
解析：因为a＝4，离心率e＝＝，所以c＝5，所以双曲线的焦距2c＝10．
答案：D
题型三　直线与双曲线的位置关系　　
[例]　已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（4，0），实轴长为4．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
[解析]　（1）设双曲线C的方程为－＝1（a＞0，b＞0）．
由已知得：a＝2，c＝4，再由a2＋b2＝c2，
得b2＝4，所以双曲线C的方程为－＝1．
（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），将y＝kx＋2与－＝1联立，得（1－3k2）x2－12kx－36＝0．
由题意知
解得＜k＜1．
所以当＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．
解决直线与双曲线位置关系问题的步骤
[对点训练]
（2019·高考全国卷Ⅰ）已知双曲线C：－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为　　　　．
解析：法一：由＝，得A为F1B的中点．
又∵O为F1F2的中点，∴OA∥BF2．
又·＝0，∴∠F1BF2＝90°．
∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B．
又∵∠F1OA＝∠BOF2，
∠F1OA＝∠OF2B，
∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2，∴△OBF2为等边三角形．
如图所示，不妨设B为．
∵点B在直线y＝－x上，∴＝，
∴离心率e＝＝2．
法二：∵·＝0，∴∠F1BF2＝90°．在Rt△F1BF2中，O为F1F2的中点，∴|OF2|＝|OB|＝c．如图，作BH⊥x轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得＝，且|BH|2＋|OH|2＝|OB|2＝c2，
∴|BH|＝b，|OH|＝a，
∴B（a，－b），F2（c，0）．
又∵＝，
∴A为F1B的中点．
∴OA∥F2B，∴＝，
∴c＝2a，∴离心率e＝＝2．
答案：2
　双曲线几何性质的核心素养
数学运算、直观想象——双曲线的离心率范围问题
[例]　（2021·黑龙江海林月考）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）．若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．2
D．2
[解析]　因为过右焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，且＝3，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A在左支上，点B在右支上．设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0）．因为＝3，所以c－x1＝3（c－x2），所以3x2－x1＝2c．因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，所以3x2－x1≥4a，即2c≥4a，所以≥2，即e≥2，所以双曲线离心率的最小值为2．
[答案]　C
双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略
解决双曲线的离心率的范围问题，其关键就是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
[对点训练]
（2021·湖北九校联考）已知F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）
A．
B．
C．（1，）
D．（，＋∞）
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x．设直线PF1的方程为y＝k（x＋c），因为点P在双曲线的右支上，所以|k|＜．由F2（c，0）到直线PF1的距离d＝＝a，解得k2＝＝，根据k2＜，得a4＜3b2c2＋b4，所以a4－b4＝（a2＋b2）（a2－b2）＝（a2－b2）c2＜3b2c2，则a2－b2＜3b2，即＞，所以e2＝1＋＞，则e＞．
答案：B
PAGE第八节　曲线与方程
命题分析预测
学科核心素养
应用圆锥曲线的定义或由已知条件求曲线方程或轨迹方程是本节的命题热点，题型以解答题为主，难度中等偏上，考查知识点较多，能力要求较高．
本节通过曲线与方程的求法考查数学建模、直观想象、数学抽象等核心素养．
授课提示：对应学生用书第188页
知识点一　曲线与方程
1．曲线与方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解．
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p（M）}；
（3）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
?
温馨提醒
?
轨迹问题应区分是“求轨迹”，还是“求轨迹方程”．一般来说，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了；若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的曲线的类型．有时候，问题仅要求指出轨迹的类型，如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出轨迹是什么曲线，则可不求轨迹方程．
1．已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（　　）
A．双曲线　　　　　　
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
解析：由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
答案：D
2．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M（4，0）的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为（　　）
A．（x－2）2＋y2＝4
B．（x＋2）2＋y2＝4
C．（x－2）2＋y2＝4（0≤x＜1）
D．（x＋2）2＋y2＝4（－1＜x≤0）
解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为（x－2）2＋y2＝4，它与⊙O的交点为（1，±）．结合图形可知所求轨迹方程为（x－2）2＋y2＝4（0≤x＜1）．
答案：C
3．（易错题）设定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋（a＞0），则点P的轨迹是（　　）
A．椭圆
B．双曲线
C．线段
D．椭圆或线段
解析：∵a＋≥2
＝6（a＞0）．
当a＝3时，a＋＝6，此时|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，
P点的轨迹为线段F1F2，
当a≠3，a＞0时，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|．
由椭圆定义知P点的轨迹为椭圆．
答案：D
4．平面上有三点A（－2，y），B，C（x，y），若⊥，则动点C的轨迹方程为_________．
解析：＝，＝．∵⊥，
∴·＝0，得2·x－·＝0，得y2＝8x．
答案：y2＝8x
授课提示：对应学生用书第189页
题型一　直接法求轨迹方程　　
[例]　（1）已知A（－1，0），B（1，0）两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2＝λ·，则当λ＜0时，动点M的轨迹为（　　）
A．圆　　　　　　　　
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
（2）与y轴相切且与圆C：x2＋y2－6x＝0相外切的圆的圆心的轨迹方程为_________．
[解析]　（1）设M（x，y），则N（x，0），所以2＝y2，·＝λ（x＋1，0）·（1－x，0）＝λ（1－x2），所以y2＝λ（1－x2），即λx2＋y2＝λ，变形为x2＋＝1，所以当λ＜0时，动点M的轨迹为双曲线．
（2）若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P（x，y）（x＞0），则半径长为|x|，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为（3，0），所以＝|x|＋3，则y2＝12x（x＞0），若动圆在y轴左侧，则y＝0，即圆心的轨迹方程为y2＝12x（x＞0）或y＝0（x＜0）．
[答案]　（1）C　（2）y2＝12x（x＞0）或y＝0（x＜0）
　利用直接法求轨迹方程的方法及注意点
（1）利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．
（2）运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的．
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．
[对点训练]
设点A为圆（x－1）2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是（　　）
A．y2＝2x
B．（x－1）2＋y2＝4
C．y2＝－2x
D．（x－1）2＋y2＝2
解析：如图，设P（x，y），圆心为M（1，0），连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以（x－1）2＋y2＝2．
答案：D
题型二　定义法求轨迹方程　　
[例]　已知圆C与两圆x2＋（y＋4）2＝1，x2＋（y－2）2＝1外切，圆C的圆心轨迹为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n．
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程；
（2）求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程．
[解析]　（1）两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1（0，－4），C2（0，2），由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为（0，－1），直线C1C2的斜率不存在，所以圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1．
（2）因为m＝n，所以M（x，y）到直线y＝－1的距离与到点F（0，1）的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F（0，1）为焦点，顶点在原点的抛物线，而＝1，即p＝2，所以，轨迹Q的方程是x2＝4y．
定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点
（1）求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．
（2）关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．
（3）利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．
[对点训练]
（2021·吕梁模拟）如图，已知圆N：x2＋（y＋）2＝36，P是圆N上的点，点Q在线段NP上，且有点D（0，）和DP上的点M，满足＝2，·＝0．当P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．
解析：连接QD（图略），由题意知，MQ是线段DP的中垂线，所以|NP|＝|NQ|＋|QP|＝|QN|＋|QD|＝6＞|DN|＝2．
由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以D，N为焦点的椭圆，依题意设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则c＝，a＝3，b＝2，
所以点Q的轨迹方程是＋＝1．
题型三　相关点法（代入法）求轨迹方程　　
[例]　如图，抛物线E：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2．过劣弧AB上动点P（x0，y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M．
（1）求p的值；
（2）求动点M的轨迹方程．
[解析]　（1）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），代入y2＝2px，解得p＝1．
（2）由（1）知抛物线E：y2＝2x，设Ceq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)，y1))，Deq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)，y2))，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝keq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)))，代入y2＝2x，得ky2－2y＋2y1－ky＝0，由Δ＝0，解得k＝，所以l1的方程为y＝x＋，同理l2的方程为y＝x＋．联立解得易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2，2]，由
得x0y2＋2y0y－16＝0，则代入可得M（x，y）满足可得代入x＋y＝8，并化简，得－y2＝1，考虑到x0∈[2，2]，知x∈[－4，－2]，
所以动点M的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2]．
代入法求轨迹方程的四步骤
[对点训练]
如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M．若＝λ．
（1）求N点的轨迹方程；
（2）当N点的轨迹为圆时，求λ的值．
解析：（1）设点P，点N的坐标分别为P（x1，y1），N（x，y），
则M的坐标为（x1，0），且x＝x1，
∴＝（x－x1，y－y1）＝（0，y－y1），
＝（x1－x，－y）＝（0，－y），
由＝λ得（0，y－y1）＝λ（0，－y）．
∴y－y1＝－λy，即y1＝（1＋λ）y．
∵P（x1，y1）在椭圆＋y2＝1上，
则eq
\f(x,4)＋y＝1，∴＋（1＋λ）2y2＝1，
故＋（1＋λ）2y2＝1为所求的N点的轨迹方程．
（2）要使点N的轨迹为圆，则（1＋λ）2＝，
解得λ＝－或λ＝－．
故当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．
　轨迹方程中的核心素养
数学抽象、直观想象——轨迹方程的创新应用问题
[例]　如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝AB，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A1D1的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy中，动点P的轨迹方程是_________．
[解析]　如图，过P作PQ⊥AD于Q，再过Q作QH⊥A1D1于H，连接PH，PM，易证得PH⊥A1D1．设P（x，y），由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化简得y2＝x－．
[答案]　y2＝x－
轨迹问题常与函数、立体几何交汇命题，主要通过条件信息，求动点的轨迹，常用的方法是直接法或相关点法．
[对点训练]
如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是（　　）
A．直线　　　　　　　
B．抛物线
C．椭圆
D．双曲线的一支
解析：母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．
答案：C
PAGE第九节　圆锥曲线的综合问题
命题分析预测
学科核心素养
直线与圆锥曲线的综合应用问题（特别是一些经典问题，如：定值与定点、最值与取值范围、探索性问题）一直是高考热点问题．常常与向量、圆等知识交汇在一起命题，多以解答题形式出现，难度较大．
本节通过圆锥曲线的综合应用考查数学运算、逻辑推理等核心素养．
第一课时　直线与圆锥曲线的位置关系
授课提示：对应学生用书第191页
知识点一　直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）代入圆锥曲线C的方程F（x，y）＝0，消去y（或消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元二次方程，
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0．
（1）当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0?直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0?直线与圆锥曲线C相离．
（2）当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
?
温馨提醒
?
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．
2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（　　）
A．相交　　　　　　　
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线y＝kx－k＋1＝k（x－1）＋1恒过定点（1，1）．又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案：A
2．过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有（　　）
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：过（0，1）与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过（0，1）与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点．
答案：C
3．（易错题）直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是（　　）
A．1
B．2
C．1或2
D．0
解析：因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
答案：A
知识点二　弦长公式
设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝
·|y1－y2|
＝
·Ｗ．
1．（2021·张掖市高三诊断）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝（　　）
A．
B．
C．5
D．
解析：过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2．∵p＝2，∴|AB|＝2＋＝．
答案：D
2．已知椭圆的方程是x2＋2y2－4＝0，则以M（1，1）为中点的弦所在直线方程是_________．
解析：设过M（1，1）点的方程为y＝kx＋b，则有k＋b＝1，即b＝1－k，即y＝kx＋（1－k），联立方程组则有（1＋2k2）x2＋（4k－4k2）x＋（2k2－4k－2）＝0，所以＝·＝1，解得k＝－，故b＝，所以y＝－x＋，即x＋2y－3＝0．
答案：x＋2y－3＝0
授课提示：对应学生用书第192页
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系的判断　　
1．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点，则实数k的值为（　　）
A．　　　　　　　　　
B．0
C．或0
D．8或0
解析：由得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2，
若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝，
综上可知k＝0或．
答案：C
2．已知直线y＝kx＋t与圆x2＋（y＋1）2＝1相切且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是（　　）
A．（－∞，－3）∪（0，＋∞）
B．（－∞，－2）∪（0，＋∞）
C．（－3，0）
D．（－2，0）
解析：因为直线与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t．将直线方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是Δ＝16k2＋16t＝16（t2＋2t）＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3．
答案：A
3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：由得（1－k2）x2－4kx－10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），
则
解得－＜k＜－1，即k的取值范围是．
答案：D
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
代数法
即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y（或x）得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标
几何法
即画出直线与圆锥曲线的图像，根据图像判断公共点个数
题型二　直线与圆锥曲线位置关系的基本应用　　
　　直线与圆锥曲线的位置关系的基本应用多涉及弦长与面积问题、中点弦问题等．
考法（一）　弦长与方程问题
[例1]　（2021·贵阳摸底）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，椭圆C的焦点F1到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y＝kx＋m（k＜0）与椭圆C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆经过点F2，且原点O到直线l的距离为，求直线l的方程．
[解析]　（1）∵椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴＝．
又双曲线－y2＝1的其中一条渐近线方程为x－y＝0，椭圆C的焦点F1（－c，0），
∴＝，解得c＝1，
∴a＝，b＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
（2）由（1）知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由原点O到直线l：y＝kx＋m（k＜0）的距离为，
得＝，
即m2＝（1＋k2）．①
将y＝kx＋m代入＋y2＝1，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
∴Δ＝16k2m2－4（1＋2k2）（2m2－2）＝8（2k2－m2＋1）＞0，
x1＋x2＝－，x1x2＝．
又以线段AB为直径的圆经过点F2，∴·＝0，
即（x1－1）（x2－1）＋y1y2＝0，
∴（x1－1）（x2－1）＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝0，
即（1＋k2）x1x2＋（km－1）（x1＋x2）＋m2＋1＝0，
∴（1＋k2）·＋（km－1）·＋m2＋1＝0，
化简得3m2＋4km－1＝0．②
由①②，得11m4－10m2－1＝0，∴m2＝1．
又k＜0，∴满足Δ＝8（2k2－m2＋1）＞0．
∴直线l的方程为y＝－x＋1．
求解弦长的常用方法
（1）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
（2）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1－x2）2，（y1－y2）2，代入弦长公式．
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
考法（二）　中点弦问题
[例2]　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y＝kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1，点P的坐标为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：k1k为定值．
[解析]　（1）由题意知解得
故椭圆C的方程为＋＝1．
（2）证明：设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆C上的点，所以eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,3)＝1，eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,3)＝1，两式相减得＝－，
所以k1＝＝－＝－．
又k＝，故k1k＝－，为定值．
1．“点差法”的四步骤
处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：
2．“点差法”的常见结论
设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：
（1）椭圆＋＝1（a＞b＞0）中的中点弦问题：kAB·kOP＝－；
（2）双曲线－＝1（a＞0，b＞0）中的中点弦问题：kAB·kOP＝；
（3）抛物线y2＝2px（p＞0）中的中点弦问题：kAB＝（y0为中点P的纵坐标）．
[题组突破]
1．（2021·衡阳模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，且线段AB中点的纵坐标为2，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）
A．2　　　　　　　　
B．
C．2
D．4
解析：法一：设直线AB的方程为x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M，由消去x得y2－4ty－4＝0，
∴由yM＝＝2t＝2，得t＝1，
∴S△AOB＝|OF||y1－y2|＝
＝2．
法二：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1，,y＝4x2))得kAB＝＝＝1，
从而直线AB的方程为y＝x－1，由抛物线定义可得|AB|＝x1＋x2＋2＝y1＋y2＋4＝8，
而点O到直线AB的距离d＝＝，
从而S△AOB＝|AB|d＝2．
答案：A
2．（2021·石家庄摸底）已知点E在y轴上，点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|＝12，则p＝_________．
解析：如图，由题意知F．
∵M为EF的中点，
∴点M的横坐标为．
设直线EF的方程为y＝k，k≠0．
由
得k2x2－（k2p＋2p）x＋＝0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则
∵x1＝，∴x2＝p．
当x＝p时，y2＝2p2，∴N（p，±p）．
∵|NF|2＝＋（±p）2，
∴144＝＋2p2，∴p2＝64，∵p＞0，∴p＝8．
答案：8
3．已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点N（12，15），则双曲线C的离心率为_________．
解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点为N（12，15），得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，
由eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1，,\f(x,a2)－\f(y,b2)＝1))
两式相减得
＝，
则＝＝．
因为直线AB的斜率k＝＝1，
所以＝1，则＝，
所以双曲线的离心率e＝＝
＝．
答案：
　直线与圆锥曲线位置关系中的核心素养
数学运算——在研究位置关系中应用
数学运算是得到数学结果的重要手段．在该部分主要表现为理解运算对象——直线和圆锥曲线方程构成的方程组的运算，通过探究运算思路、选择运算过程，得到与位置关系相关的结论．
[例]　已知椭圆r：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆r上．设它的三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0．O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＋＋＝（　　）
A．－　　　　　　
B．－3
C．－
D．－
[解析]　因为椭圆r：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且离心率为，且a2＝b2＋c2，
所以可求得椭圆的标准方程为＋＝1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（s1，t1），E（s2，t2），M（s3，t3），
因为A，B在椭圆上，
所以eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,3)＝1，eq
\f(x,4)＋eq
\f(y,3)＝1，
两式相减得k1＝＝－×＝－×，
即＝－，
同理可得＝－，＝－，
所以＋＋＝－，
因为直线OD，OE，OM的斜率之和为1，
所以＋＋＝－×1＝－．
[答案]　A
该题考查了直线和圆锥曲线中的中点弦问题以及直线斜率的求解，还考查了数学运算核心素养．根据题意——中点的提示，可选用点差法利用中点坐标表示弦所在直线的斜率，从而起到简化计算流程的效果．由此可见，数学运算也要根据具体的要求和情景选择适宜的运算方法，避免烦琐的计算过程，提高自己的数学素养．
[对点训练]
已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于A，B的动点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，若k1∈[1，2]，则k2的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：设A（x1，y1），M（x，y），则B（－x1，－y1）．因为A，M均在双曲线上，所以eq
\f(x,a2)－eq
\f(y,b2)＝1，①　－＝1，②　所以eq
\f(x－x2,a2)＝eq
\f(y－y2,b2)，即eq
\f(y2－y,x2－x)＝．因为双曲线的离心率e＝＝，所以＝1＋＝，所以＝，所以k1·k2＝·＝eq
\f(y2－y,x2－x)＝＝，所以k2＝，因为k1∈[1，2]，所以k2∈．
答案：A
第二课时　最值、范围、证明问题
授课提示：对应学生用书第194页
题型一　圆锥曲线中的最值问题　　
　　圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类（1）涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；（2）求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．
[例]　（2021·成都摸底）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－，0），F2（，0），且经过点A．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点B（4，0）作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P关于x轴对称的点为P′，若直线P′Q与x轴相交于点D，求△DPQ面积的最大值．
[解析]　（1）由椭圆的定义，可知2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝4．
解得a＝2．
又b2＝a2－（）2＝1，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
（2）由题意，设直线l的方程为x＝my＋4（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则P′（x1，－y1）．
由消去x，可得（m2＋4）y2＋8my＋12＝0．
∵Δ＝16（m2－12）＞0，∴m2＞12．
y1＋y2＝，y1y2＝．
∵kP′Q＝＝，
∴直线P′Q的方程为y＋y1＝（x－x1），
令y＝0，可得x＝＋my1＋4．
∴x＝＋4＝＋4＝＋4＝1，
∴D（1，0）．
∴S△DPQ＝|S△BDQ－S△BDP|＝|BD||y1－y2|＝＝．
令t＝，t∈（0，＋∞），
则S△DPQ＝＝≤，当且仅当t＝4，即m＝±2时等号成立．
所以△DPQ面积的最大值为．
最值问题的基本解法
几何法：根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决（如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等）．
代数法：建立求解目标关于某个（或两个）变量的函数，通过求解函数的最值（普通方法、基本不等式方法、导数方法等）解决．
[对点训练]
（2021·合肥模拟）已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p＞0）相切．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．
解析：（1）∵直线l：x－y＋1＝0与抛物线C相切．
由消去x得，y2－2py＋2p＝0，从而Δ＝4p2－8p＝0，解得p＝2．
∴抛物线C的方程为y2＝4x．
（2）由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为ty＝x－1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由消去x得，y2－4ty－4＝0，
∴y1＋y2＝4t，从而x1＋x2＝4t2＋2，
∴线段AB的中点M的坐标为（2t2＋1，2t）．
设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，
dA＋dB＝2d＝2·＝2|t2－t＋1|＝2，
∴当t＝时，可使A，B两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为．
题型二　圆锥曲线中的范围问题　　
　　圆锥曲线中常见范围问题（1）点在圆锥曲线上（非线性约束条件）的条件下，求相关式子（目标函数）的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数（有几何意义）化为函数进行处理．（2）由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为因变量，另一个元作为自变量求解．
[例]　已知抛物线E：y2＝8x，直线l：y＝kx－4．
（1）若直线l与抛物线E相切，求直线l的方程；
（2）设Q（4，0），直线l与抛物线E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），若存在点C满足|＋|＝|－|，且线段OC与AB互相平分（O为坐标原点），求x2的取值范围．
[解析]　（1）法一：由得k2x2－8（k＋1）x＋16＝0，
由k≠0及Δ＝64（k＋1）2－64k2＝0，得k＝－，
所以直线l的方程为y＝－x－4．
法二：由y2＝8x得y＝±，直线l恒过点（0，－4），则y＝－，
设切点为（x0，y0）（y0＜0），由于y＝－，所以
y′|x＝x0＝－，
所以切线方程为y＋＝－（x－x0），将坐标（0，－4）代入得x0＝8，
即切点为（8，－8），再将该点代入y＝kx－4得，k＝－，
所以直线l的方程为y＝－x－4．
（2）由得k2x2－8（k＋1）x＋16＝0，
因为Δ＝64（k＋1）2－64k2＞0，且k≠0，所以k＞－，且k≠0，
所以x1＋x2＝，
所以y1＋y2＝k（x1＋x2）－8＝．
因为线段OC与AB互相平分，所以四边形OACB为平行四边形，
所以＝＋＝（x1＋x2，y1＋y2）＝，即C，
由|＋|＝|－|得，AC⊥QC．
所以kAC·kQC＝－1，
又kQC＝＝，kAC＝kOB＝＝k－，
所以·＝－1，所以＝k＋＋2．
若k＞0，则≥2＋2＝2（＋1），当且仅当k＝时取等号，
此时0＜x2≤4（－1）．
若－＜k＜0，由于k＝－时，k＋＋2＝－，所以＜－，即x2＜－（舍去）．
综上，x2的取值范围为（0，4（－1）]．
[对点训练]
　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的焦点坐标分别为F1（－1，0），F2（1，0），P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|，且cos∠F1PF2＝．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．
解析：（1）由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2，又r1＋r2＝2a，
∴r1＝a，r2＝a．
在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝eq
\f(r＋r－|F1F2|2,2r1r2)＝＝，解得a＝2，∵c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1．
（2）联立方程，得，消去y得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝，且Δ＝48（3＋4k2－m2）＞0，①
设AB的中点为M（x0，y0），连接QM，则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝，
∵|AQ|＝|BQ|，∴AB⊥QM，又Q，M为AB的中点，∴k≠0，直线QM的斜率存在，∴k·kQM＝k·＝－1，解得m＝－，②
把②代入①得3＋4k2＞，整理得16k4＋8k2－3＞0，即（4k2－1）（4k2＋3）＞0，解得k＞或k＜－，故k的取值范围为∪．
题型三　圆锥曲线中的证明问题　　
　　主要考查点、直线、曲线等几何元素中的特殊位置关系以及直线或圆锥曲线中的一些数量关系的证明．
[例]　（2021·合肥调研）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B（0，b），△A1A2B的面积等于2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点Q（1，0），P（4，m），直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线．
[解析]　（1）由离心率为得，＝．①　由△A1A2B的面积为2，得ab＝2．②　
∵a2＝b2＋c2，③　∴联立①②③解得，a＝2，b＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1．
（2）证明：记点M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．
注意到A1（－2，0），∴直线PA1的方程为y＝（x＋2），与椭圆＋y2＝1联立并整理得（m2＋9）x2＋4m2x＋4m2－36＝0，由－2＋x1＝，得x1＝，
代入直线PA1的方程得y1＝，
即M．
同理可得N．
∵Q（1，0），∴＝，
＝，
由·＝·知，M，Q，N三点共线．
　圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
（1）圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不等）．
（2）解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
[对点训练]
（2021·梅州模拟）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为点F1，F2，其离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1∥l2，证明：四边形MNPQ不可能是菱形．
解析：（1）由已知，得＝，b＝，
又c2＝a2－b2，
故解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
（2）证明：由（1），知F1（－1，0），如图，
易知直线MN不能平行于x轴，
所以令直线MN的方程为x＝my－1，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程
得（3m2＋4）y2－6my－9＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝．
此时|MN|＝．
同理，令直线PQ的方程为x＝my＋1，P（x3，y3），Q（x4，y4），
此时y3＋y4＝，y3y4＝，
此时|PQ|＝，
故|MN|＝|PQ|，所以四边形MNPQ是平行四边形．
若平行四边形MNPQ是菱形，则OM⊥ON，即·＝0，
于是有x1x2＋y1y2＝0．
又x1x2＝（my1－1）（my2－1）＝m2y1y2－m（y1＋y2）＋1，
所以有（m2＋1）y1y2－m（y1＋y2）＋1＝0，
整理得到＝0，
即12m2＋5＝0，
上述关于m的方程显然没有实数解，
故四边形MNPQ不可能是菱形．
第三课时　定点、定值、探索性问题
授课提示：对应学生用书第197页
题型一　圆锥曲线中的定点问题　　
　　探求直线、曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上等问题．
[例]　（2020·高考全国卷Ⅰ）已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1（a＞1）的左，右顶点，G为E的上顶点，·＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
[解析]　（1）由题设得A（－a，0），B（a，0），G（0，1）．
则＝（a，1），＝（a，－1）．由·＝8，得a2－1＝8，即a＝3．所以E的方程为＋y2＝1．
（2）证明：设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）．
若t≠0，设直线CD的方程为x＝my＋n，由题意可知－3＜n＜3．
由于直线PA的方程为y＝（x＋3），所以y1＝（x1＋3）．
直线PB的方程为y＝（x－3），所以y2＝（x2－3）．
可得3y1（x2－3）＝y2（x1＋3）．
由于eq
\f(x,9)＋y＝1，故y＝－，
可得27y1y2＝－（x1＋3）（x2＋3），
即（27＋m2）y1y2＋m（n＋3）（y1＋y2）＋（n＋3）2＝0．①
将x＝my＋n代入＋y2＝1得（m2＋9）y2＋2mny＋n2－9＝0．
所以y1＋y2＝－，y1y2＝．
代入①式得（27＋m2）（n2－9）－2m（n＋3）mn＋（n＋3）2·（m2＋9）＝0．
解得n＝－3（舍去）或n＝．
故直线CD的方程为x＝my＋，
即直线CD过定点．
若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点．
综上，直线CD过定点．
[对点训练]
（2021·武汉模拟）过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8．
（1）求直线l的方程；
（2）若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．
解析：（1）由y2＝4x知焦点F的坐标为（1，0），则直线l的方程为y＝k（x－1），
代入抛物线方程y2＝4x，得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
由题意知k≠0，
且Δ＝[－（2k2＋4）]2－4k2·k2＝16（k2＋1）＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝1．
由抛物线的弦长公式知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，则＝6，
即k2＝1，解得k＝±1．
所以直线l的方程为y＝±（x－1）．
（2）证明：由（1）及抛物线的对称性知，D点的坐标为（x1，－y1），
直线BD的斜率kBD＝＝eq
\f(y2＋y1,\f(y,4)－\f(y,4))＝，
所以直线BD的方程为y＋y1＝（x－x1），
即（y2－y1）y＋y2y1－y＝4x－4x1．
因为y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，
所以（y1y2）2＝16x1x2＝16，
即y1y2＝－4（y1，y2异号）．
所以直线BD的方程为4（x＋1）＋（y1－y2）y＝0，
对任意y1，y2∈R，有
解得即直线BD恒过定点（－1，0）．
题型二　圆锥曲线中的定值问题　　
　　探求以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，常涉及某些元素、斜率、弦长、面积的定值问题．
[例]　（2021·驻马店模拟）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的短轴长为2，且椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：＋为定值．
[解析]　（1）由题意可知2b＝2，b＝1，
又椭圆的离心率为，则a＝，
故椭圆C的方程为＋x2＝1．
（2）证明：当直线AB的斜率不存在或为零时，＋＝．
当直线AB的斜率存在且不为零时，
设直线AB的方程为y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由消y得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴|AB|＝＝，
同理可得，|CD|＝，
∴＋＝＋
＝＝．
[对点训练]
在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆内一点M（1，3）的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线y＝－x于点N，若＝m，＝n，求证：m＋n为定值，并求出此定值．
解析：（1）由已知得，2a＝8，a＝2c，则a＝4，c＝2，
又b2＝a2－c2，∴b2＝12，
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，－x0），
由＝m，
得＝m（1－x1，3－y1），
∴x1＝，y1＝，
∴A．
∵点A在椭圆＋＝1上，
∴＋＝1，
得到9m2＋96m＋48－x＝0；
同理，由＝n，可得9n2＋96n＋48－x＝0．
∴m，n可看作是关于x的方程9x2＋96x＋48－x＝0的两个根，
则m＋n＝－为定值．
题型三　圆锥曲线中的存在性问题　　
　　存在性问题一般分为探索条件和探索结论两种类型，若探索条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在．若探索结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
[例]　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x＋y－2＝0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点M，N时，能在直线y＝上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足＝？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
[解析]　（1）由椭圆的离心率e＝，得＝＝，得b＝c．
上顶点为（0，b），右焦点为（b，0），
以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为＋＝＝．圆心为，半径为b，
∴＝b，即|b－2|＝b，得b＝c＝1，a＝，
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1．
（2）不存在．理由如下：设直线的方程为y＝2x＋t，M（x1，y1），N（x2，y2），P，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），
由消去x，得9y2－2ty＋t2－8＝0，
所以y1＋y2＝，且Δ＝4t2－36（t2－8）＞0，
故y0＝＝，且－3＜t＜3．
由＝，得＝（x4－x2，y4－y2），
所以y1－＝y4－y2，y4＝y1＋y2－＝t－，
（也可由＝知四边形PMQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0＝＝，可得y4＝．）
又－3＜t＜3，所以－＜y4＜－1，
与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾．故不存在斜率为2的直线满足条件．
　求解存在性问题的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
[对点训练]
（2021·惠州调研）已知定点A（－3，0），B（3，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点T（1，0）的直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S（x0，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）设动点M（x，y），则直线MA的斜率kMA＝（x≠－3），
直线MB的斜率kMB＝（x≠3）．
因为kMA·kMB＝－，所以·＝－，
化简得＋y2＝1，
又x≠±3，所以曲线C的方程为＋y2＝1（x≠±3）．
（2）由题意得直线l的斜率不为0，根据直线l过点T（1，0），可设直线l的方程为x＝my＋1，
联立消去x得（m2＋9）y2＋2my－8＝0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
直线SP与SQ的斜率分别为kSP＝＝，kSQ＝＝，
kSP·kSQ＝
＝eq
\f(－8,（x－9）m2＋9（1－x0）2)，
当x0＝3时，任意m∈R，kSP·kSQ＝＝－；
当x0＝－3时，任意m∈R，kSP·kSQ＝＝－．
所以存在定点S（±3，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值．
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