资源简介

高
一
升
高
二
暑
假
教
材
目录
章节一
解三角形代数运算题型复习
-
1
-
章节二
解三角形代数几何题型复习
-
7
-
章节三
平面向量综合复习
-
11
-
章节四
空间几何体的结构与基本计算
-
16
-
章节五
空间点线面的位置关系与证明
-
20
-
章节六
空间向量的运算
-
26
-
章节七
空间向量在几何证明中的应用
-
33
-
章节八
直线与方程
-
37
-
章节九
圆与方程，直线与圆
-
42
-
章节十
三角函数，恒等变化，解三角形真题模拟
-
47
-
章节十一
平面向量与空间几何真题模拟
-
52
-
章节十二
圆与直线
-
58
-
章节十三
数系扩充与复数的概念
-
64
-
章节十四
圆与直线方程综合复习课
-
69
-
章节十五
高一下学期暑假综合考评
-
73
-
古嘉俊
编
25400423545【知识清单】
【知识清单】
章节一
解三角形代数运算题型复习
349256254115
【1.1
公式的直接运用】
例1.（1）已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(
　)
A．0＜C≤
B．0＜C＜
　　C．＜C＜
D．＜C≤
（2）在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝_______
（3）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin
B＋cos
B＝，则角A的大小为__
___．
【1.1
公式的直接运用】
例1.（1）已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是(
　)
A．0＜C≤
B．0＜C＜
　　C．＜C＜
D．＜C≤
（2）在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝_______
（3）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sin
B＋cos
B＝，则角A的大小为__
___．
1587537299904.常用结论
（1）在false中false
（2）互补关系：false，
false，
false；
（3）求范围：基本不等式，边化角求三角函数
4.常用结论
（1）在false中false
（2）互补关系：false，
false，
false；
（3）求范围：基本不等式，边化角求三角函数
1587528822653.三角形面积公式
①
false；
②
false；
3.三角形面积公式
①
false；
②
false；
31788101101090第二形式：
false
第二形式：
false
1587511106152.余弦定理公式：
第一形式：
false
2.余弦定理公式：
第一形式：
false
25400914401.正弦定理公式：
false（其中R表示三角形的外接圆半径）
1.正弦定理公式：
false（其中R表示三角形的外接圆半径）
63570485
【1.2
化简思路1-角化边】
例2.（1）falseABC中，false=
（2）false，false.则false=
变式1.已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为，求∠C；
变式2.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证false.
【1.2
化简思路1-角化边】
例2.（1）falseABC中，false=
（2）false，false.则false=
变式1.已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为，求∠C；
变式2.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证false.
635123190
【1.3
化简思路2-边化角】
例3.（1）已知△false的内角false的对边分别为false，且false．则false=
（2）在false中,角false的对边分别是false，若false求角false;
变式1.锐角false的三个内角false所对的边分别为false.设向量m=false,n=false，已知false，且mfalsen.求角B
变式2.已知△ABC中，内角A，B，C满足false，求角A的大小
【1.3
化简思路2-边化角】
例3.（1）已知△false的内角false的对边分别为false，且false．则false=
（2）在false中,角false的对边分别是false，若false求角false;
变式1.锐角false的三个内角false所对的边分别为false.设向量m=false,n=false，已知false，且mfalsen.求角B
变式2.已知△ABC中，内角A，B，C满足false，求角A的大小
5842052070【1.4
化简思路3--化切为弦】
例4.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且false．求角A；
【1.4
化简思路3--化切为弦】
例4.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且false．求角A；
340868022225变式2.在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断△ABC的形状．
变式2.在△ABC中，已知a2tan
B＝b2tan
A，试判断△ABC的形状．
8318510795变式1.在false中，角false所对的边分别为false，已知false.求false的值
变式1.在false中，角false所对的边分别为false，已知false.求false的值
8318590170【1.5
化简思路4-套两角和差公式】
例5.false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false的面积为false．
（1）求false；
（2）若false，false，求false的周长．
【1.5
化简思路4-套两角和差公式】
例5.false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false的面积为false．
（1）求false；
（2）若false，false，求false的周长．
9271092710【1.6
化简思路5-凑余弦】
例6.三边a，b，c与面积s的关系式为false则角C
为（　　）
A.
false
B.
false
C.
false
　D.　false
变式1.已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
【1.6
化简思路5-凑余弦】
例6.三边a，b，c与面积s的关系式为false则角C
为（　　）
A.
false
B.
false
C.
false
　D.　false
变式1.已知a、b、c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C的大小为(　　)
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
5016530480【1.7
三角形公式综合应用】
例7.false的内角false的对边分别为false.若false，则false的面积为_____．
变式1.在false中，false、false、false分别是内角false、false、false的对边，且false.
（1）求角false的大小；（2）若false，false的面积为false，求false的周长．
【1.7
三角形公式综合应用】
例7.false的内角false的对边分别为false.若false，则false的面积为_____．
变式1.在false中，false、false、false分别是内角false、false、false的对边，且false.
（1）求角false的大小；（2）若false，false的面积为false，求false的周长．
69215254000【1.8
范围求值思路1-基本不等式】
例8.已知角C＝；若c＝2，求a＋b的最大值．
【1.8
范围求值思路1-基本不等式】
例8.已知角C＝；若c＝2，求a＋b的最大值．
3079115302260变式2.若false的面积为false，，求边长false的最小值.
变式2.若false的面积为false，，求边长false的最小值.
88265285750变式1.若false，false，求△false的面积的最大值．
变式1.若false，false，求△false的面积的最大值．
1206538735【1.9
范围求值思路2-三角函数化】
例9.已知false，求false的取值范围。
变式1.在锐角三角形中，已知角C＝；若a＝2，求b的范围．
变式2.已知B＝，若b＝且b≤a，求a－c的取值范围．
【1.9
范围求值思路2-三角函数化】
例9.已知false，求false的取值范围。
变式1.在锐角三角形中，已知角C＝；若a＝2，求b的范围．
变式2.已知B＝，若b＝且b≤a，求a－c的取值范围．
3111510795??真题训练??
【2019年高考全国Ⅰ卷理数】false的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设false．
（1）求A；
（2）若false，求sinC．
??真题训练??
【2019年高考全国Ⅰ卷理数】false的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设false．
（1）求A；
（2）若false，求sinC．
2159052705【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=false，cosB=false，求c的值；
（2）若false，求false的值．
【2019年高考全国卷Ⅱ】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=false，cosB=false，求c的值；
（2）若false，求false的值．
【2019年高考全国卷Ⅱ】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
章节二
解三角形代数几何题型复习
4191095885解三角形的常用方法：
（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解
常用定理：
三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：如图，设false为false的一条中线，则false
（知三求一）
证明：在false中
false
①
false
②
false为false中点
false
false
false
false
①false②可得：
false
（2）角平分线定理：如图，设false为false中false的角平分线，则false
证明：过false作false∥false交false于false
false
false
false为false的角平分线
false
false
false为等腰三角形
false
false
而由false可得：false
false
（3）不要忘记锐角三角函数最原始的定义哦
（4）补角定理
若A+B=180°，则sinA=sinB,cosA+cosB=0
解三角形的常用方法：
（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解
常用定理：
三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：如图，设false为false的一条中线，则false
（知三求一）
证明：在false中
false
①
false
②
false为false中点
false
false
false
false
①false②可得：
false
（2）角平分线定理：如图，设false为false中false的角平分线，则false
证明：过false作false∥false交false于false
false
false
false为false的角平分线
false
false
false为等腰三角形
false
false
而由false可得：false
false
（3）不要忘记锐角三角函数最原始的定义哦
（4）补角定理
若A+B=180°，则sinA=sinB,cosA+cosB=0
25400-260985【知识清单】
【知识清单】
3829050309880
4019550202565
3365547625【2.1
正余弦分析运用】
例1.在false中，false为边false上一点，false，若false的面积为false，则false_________
【2.1
正余弦分析运用】
例1.在false中，false为边false上一点，false，若false的面积为false，则false_________
4364990210185
42545298450【2.2
根据关系设元法】
例2.如图，在false中，false是边false上的点，且false，则false的值为___________
【2.2
根据关系设元法】
例2.如图，在false中，false是边false上的点，且false，则false的值为___________
4499610231140
52070243205【2.3
平行线，中线问题】
例3.在false中，false是false上的点，false平分false，false的面积是false面积的2倍
（1）求false
（2）若false，求false的长
变式1.在false中，false，点false在false边上，false，求false的长
【2.3
平行线，中线问题】
例3.在false中，false是false上的点，false平分false，false的面积是false面积的2倍
（1）求false
（2）若false，求false的长
变式1.在false中，false，点false在false边上，false，求false的长
36423601143047853608248015
5969026035变式2.在false中，角A，B，C的对边分别为false，false，false，false.
（1）证明：false是正三角形；
（2）如图，点false的边false的延长线上，且false，false，求false的值.
变式2.在false中，角A，B，C的对边分别为false，false，false，false.
（1）证明：false是正三角形；
（2）如图，点false的边false的延长线上，且false，false，求false的值.
69215146685变式3.如图，在false中，false是边false的中点，false,false.
（Ⅰ）求角false的大小；
（Ⅱ）若角false，false边上的中线false的长为false，求false的面积．
变式3.如图，在false中，false是边false的中点，false,false.
（Ⅰ）求角false的大小；
（Ⅱ）若角false，false边上的中线false的长为false，求false的面积．
2349540640变式4.如图，在false中，
false，点false在边false上，
false，
false为垂足.
（1）若false的面积为false，求false的长；
（2）若false，求角false的大小.
变式5.如图，在中，是边上的一点，，，，（1）求的长；
（2）若，求的值.[]
变式4.如图，在false中，
false，点false在边false上，
false，
false为垂足.
（1）若false的面积为false，求false的长；
（2）若false，求角false的大小.
变式5.如图，在中，是边上的一点，，，，（1）求的长；
（2）若，求的值.[]
4562475171450
25400423545【知识清单】
【知识清单】
章节三
平面向量综合复习
3429097155向量的概念：相等向量，相反向量，平行向量（共线向量），零向量，单位向量，摸
向量的运算
运
算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
false
false+false=false
falsefalse=false
记false=(x1，y1)，false=(x2，y2)
则false=(x1+x2，y1+y2)
false=(x2-x1，y2-y1)
false
false+false=false
实数与向量的乘积
false
false
false
记false=(x，y)
则false
两个向量的数量积
false
false
记false
则false=x1x2+y1y2
（3）平行与垂直
1.两个向量平行的充要条件
符号语言：false
坐标语言为：设非零向量false，则false∥falsefalse(x1，y1)=false(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0.
2.两个向量垂直的充要条件
符号语言：
坐标语言：设非零向量false，则falsefalse
向量的概念：相等向量，相反向量，平行向量（共线向量），零向量，单位向量，摸
向量的运算
运
算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
false
false+false=false
falsefalse=false
记false=(x1，y1)，false=(x2，y2)
则false=(x1+x2，y1+y2)
false=(x2-x1，y2-y1)
false
false+false=false
实数与向量的乘积
false
false
false
记false=(x，y)
则false
两个向量的数量积
false
false
记false
则false=x1x2+y1y2
（3）平行与垂直
1.两个向量平行的充要条件
符号语言：false
坐标语言为：设非零向量false，则false∥falsefalse(x1，y1)=false(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0.
2.两个向量垂直的充要条件
符号语言：
坐标语言：设非零向量false，则falsefalse
-63533655【3.1
向量平行】
例1.已知向量false，false，若false，则false
.
变式1.已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||.则P=
.
变式2.向量false且A、B、C三点共线，则k=
.
变式3.设两非零向量false1和false2不共线，如果false=false1+false2，false=2false1+8false2，false=3（false1-false2）
①求证：A、B、D三点共线；
②试确定k，使kfalse1+false2和false1+kfalse2共线？
【3.1
向量平行】
例1.已知向量false，false，若false，则false
.
变式1.已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||.则P=
.
变式2.向量false且A、B、C三点共线，则k=
.
变式3.设两非零向量false1和false2不共线，如果false=false1+false2，false=2false1+8false2，false=3（false1-false2）
①求证：A、B、D三点共线；
②试确定k，使kfalse1+false2和false1+kfalse2共线？
294576524130【3.2
向量垂直】
例2.已知向量a=（–1，2），b=（m，1）.若向量a+b与a垂直，则m=______________.
变式1.已知向量false若false，则false(
)
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
变式2.已知两个单位向量false的夹角为false，且false，则实数false的值为________。
变式3.已知false，则向量false的夹角为（
）
　A、false　　　B、false
C、false　　　D、false
【3.2
向量垂直】
例2.已知向量a=（–1，2），b=（m，1）.若向量a+b与a垂直，则m=______________.
变式1.已知向量false若false，则false(
)
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
变式2.已知两个单位向量false的夹角为false，且false，则实数false的值为________。
变式3.已知false，则向量false的夹角为（
）
　A、false　　　B、false
C、false　　　D、false
2950210300990【3.3
向量求模】
例3.（1）若向量false，false的夹角为false，则false
.
（2）若向量false，falsefalse，则false的夹角为
【3.3
向量求模】
例3.（1）若向量false，false的夹角为false，则false
.
（2）若向量false，falsefalse，则false的夹角为
281432092710
变式2.若false=(2,-1)，false=(1,2)，且|false+tfalse|=false，则实数t=
;
变式2.若false=(2,-1)，false=(1,2)，且|false+tfalse|=false，则实数t=
;
3302083185变式1.已知向量false、false满足false=false=1，false=3，则
false
=
变式1.已知向量false、false满足false=false=1，false=3，则
false
=
3429037465【3.4
向量的线性运算】
例4.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_____.(用a、b表示)．
变式1.已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、b表示为(　　)
A.(4a＋5b)
B.(9a＋7b)
C.(2a＋b)
D.(3a＋b)
变式2.如图，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线．
变式3在中，为边上的中线，为的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
.
【3.4
向量的线性运算】
例4.如图所示，在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝_____.(用a、b表示)．
变式1.已知＝a，＝b，C为线段AB上距A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用a、b表示为(　　)
A.(4a＋5b)
B.(9a＋7b)
C.(2a＋b)
D.(3a＋b)
变式2.如图，平行四边形ABCD中，＝b，＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线．
变式3在中，为边上的中线，为的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
.
4254553975【3.5
分解代换】
例5.在矩形false中，false点false为false的中点，点false在边false上，若false，则false的值是
变式1.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则false=________
【3.5
分解代换】
例5.在矩形false中，false点false为false的中点，点false在边false上，若false，则false的值是
变式1.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则false=________
53340001504950
278574514605变式3.若等边false的边长为3，平面内一点M满足false，则false的值为（
）
A.
false
B.false
C.
false
D.false
变式3.若等边false的边长为3，平面内一点M满足false，则false的值为（
）
A.
false
B.false
C.
false
D.false
4254514605变式2.在false中，false是false的中点，false，点false在false上且满足
false，则false（
）
A.
false
B.
false
C.
false
D.
false
变式2.在false中，false是false的中点，false，点false在false上且满足
false，则false（
）
A.
false
B.
false
C.
false
D.
false
59690247650【3.6
向量的几何用法（三角形的四心）】
例6.（1）已知false的外接圆的圆心为O，半径为2，且false，则向量false在向量false方向上的投影等于
（2）平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足false，则三角形ABC是(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形　D．等边三角形
（3）设false分别为false的三边false的中点，则false（
）
A.
false
B.
false
C.
false
D.
false
变式1.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，false,且false，则向量false在向量false方向上的投影为______.
变式2.已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【3.6
向量的几何用法（三角形的四心）】
例6.（1）已知false的外接圆的圆心为O，半径为2，且false，则向量false在向量false方向上的投影等于
（2）平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足false，则三角形ABC是(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形　D．等边三角形
（3）设false分别为false的三边false的中点，则false（
）
A.
false
B.
false
C.
false
D.
false
变式1.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，false,且false，则向量false在向量false方向上的投影为______.
变式2.已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
-1651079375【3.7
向量相关的最值分析】
例7.（1）已知false为两个非零向量，且false，则false的最大值为（
）
A.
false
B.
false
C.
false
D.false
（2）已知false是单位圆上互不相同的三点，且满足false，则false的最小值为（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
【3.7
向量相关的最值分析】
例7.（1）已知false为两个非零向量，且false，则false的最大值为（
）
A.
false
B.
false
C.
false
D.false
（2）已知false是单位圆上互不相同的三点，且满足false，则false的最小值为（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
-16510259715变式1.已知向量false,false则false的最小值为
变式2.已知false，false，false，当false最小时，false=
.
变式3.a＝(0,1)，b＝(1,0)且(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为________．
变式1.已知向量false,false则false的最小值为
变式2.已知false，false，false，当false最小时，false=
.
变式3.a＝(0,1)，b＝(1,0)且(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为________．
章节四
空间几何体的结构与基本计算
22860876301、多面体的面积和体积公式
名称
侧面积(S侧)
全面积(S全)
体
积(V)
棱
柱
棱柱
直截面周长×l
S侧+2S底
S底·h=S直截面·h
直棱柱
ch
S底·h
棱
锥
棱锥
各侧面积之和
S侧+S底
falseS底·h
正棱锥
falsech′
棱
台
棱台
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下底
falseh(S上底+S下底+false)
正棱台
false
(c+c′)h′
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2、旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
S侧
2πrl
πrl
π(r1+r2)l
S全
2πr(l+r)
πr(l+r)
π(r1+r2)l+π(r21+r22)
4πR2
V
πr2h(即πr2l)
falseπr2h
falseπh(r21+r1r2+r22)
falseπR3
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
1、多面体的面积和体积公式
名称
侧面积(S侧)
全面积(S全)
体
积(V)
棱
柱
棱柱
直截面周长×l
S侧+2S底
S底·h=S直截面·h
直棱柱
ch
S底·h
棱
锥
棱锥
各侧面积之和
S侧+S底
falseS底·h
正棱锥
falsech′
棱
台
棱台
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下底
falseh(S上底+S下底+false)
正棱台
false
(c+c′)h′
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2、旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
S侧
2πrl
πrl
π(r1+r2)l
S全
2πr(l+r)
πr(l+r)
π(r1+r2)l+π(r21+r22)
4πR2
V
πr2h(即πr2l)
falseπr2h
falseπh(r21+r1r2+r22)
falseπR3
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
25400-260985【知识清单】
【知识清单】
315722025400变式1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(　　)
A.
B.
C.
D.
变式2.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为
(
)
A.8:27
B.
2:3
C.4:9
D.
2:9
变式3.一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（
）
A．false
B．false
C．
false
D．false
变式1.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是(　　)
A.
B.
C.
D.
变式2.如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为
(
)
A.8:27
B.
2:3
C.4:9
D.
2:9
变式3.一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（
）
A．false
B．false
C．
false
D．false
3302026670【4.1
通过三视图求体积，表面积】
例1.已知几何体三视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，正视图的高为1，试求它表面积和体积。
【4.1
通过三视图求体积，表面积】
例1.已知几何体三视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，正视图的高为1，试求它表面积和体积。
118681543815
3165475130175【4.3
组合体的体积】
例3.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积
变式1.某几何体的三视图如图所示（图中每个小网格的边长为1
个单位），其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（
）
A.false　
　B.false　　C.false　
D.false
【4.3
组合体的体积】
例3.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积
变式1.某几何体的三视图如图所示（图中每个小网格的边长为1
个单位），其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（
）
A.false　
　B.false　　C.false　
D.false
33020138430【4.2
侧棱的有关计算】
例2.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为______cm2.
变式1.已知四棱锥P－ABCD的三视图如图，则四棱锥P－ABCD的全面积为（　
　）
A．3＋　　
B．2＋
C．5
D．4
【4.2
侧棱的有关计算】
例2.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为______cm2.
变式1.已知四棱锥P－ABCD的三视图如图，则四棱锥P－ABCD的全面积为（　
　）
A．3＋　　
B．2＋
C．5
D．4
33020-287020【4.4
最短路径问题】
例4.如图，长方体false中，交于顶点false的三条棱长分别为false，false，false，则从false点沿表面到false的最短距离为（　　）
Ａ．false
Ｂ．false
Ｃ．false
Ｄ．false
【4.4
最短路径问题】
例4.如图，长方体false中，交于顶点false的三条棱长分别为false，false，false，则从false点沿表面到false的最短距离为（　　）
Ａ．false
Ｂ．false
Ｃ．false
Ｄ．false
414147084455
2971165226060变式2.在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．
变式2.在三棱锥S—ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠ASC＝∠BSC＝30°，如图，一只蚂蚁从点A出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬过的最短路程为_____．
40640226060变式1.如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
变式1.如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
2970530255905变式1.已知false是球false的直径false上一点，false，false平面false，false为垂足，false截球false所得截面的面积为false，则球false的体积为（
）
A.false
B.
false
C.
false
D.false
变式1.已知false是球false的直径false上一点，false，false平面false，false为垂足，false截球false所得截面的面积为false，则球false的体积为（
）
A.false
B.
false
C.
false
D.false
49530247650【4.5
球截面问题】
例5.如图，用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知球心到该截面的距离为1
cm，则该球的体积是
　
cm3.
【4.5
球截面问题】
例5.如图，用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知球心到该截面的距离为1
cm，则该球的体积是
　
cm3.
297942097790变式3.【2018全国卷】设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）
A．12
B．18
C．24
D．54
变式3.【2018全国卷】设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（　　）
A．12
B．18
C．24
D．54
4127588900变式2.已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为________________。
变式2.已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为________________。
4953034925【4.6
外接球问题】
例6.一个长方体的棱长分别为1、2、2，它的顶点都在同一个球面上，这个球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
变式1.一个球的外切正方体的全面积等于6
cm2，则此球的体积为（
）
A.false
B.
false
C.
false
D.
false
变式2.在四面体false中，false平面false，false，false，false，则该四面体的外接球的表面积为
．
变式3.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（
）
A.2
B.
C.
D.
变式4.【2017全国卷Ⅰ】若三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,
SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为(　　)
(A)64π
(B)16π
(C)12π
(D)4π
??思维进阶??
思维训练1.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
思维训练2.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【4.6
外接球问题】
例6.一个长方体的棱长分别为1、2、2，它的顶点都在同一个球面上，这个球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
变式1.一个球的外切正方体的全面积等于6
cm2，则此球的体积为（
）
A.false
B.
false
C.
false
D.
false
变式2.在四面体false中，false平面false，false，false，false，则该四面体的外接球的表面积为
．
变式3.已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（
）
A.2
B.
C.
D.
变式4.【2017全国卷Ⅰ】若三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,
SA⊥平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为(　　)
(A)64π
(B)16π
(C)12π
(D)4π
??思维进阶??
思维训练1.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
思维训练2.在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
章节五
空间点线面的位置关25400423545【知识清单】
【知识清单】
系与证明
2984571755
21590186690【5.1
相关公理的命题判断】
例1.（多选）给出下列命题：其中错误命题是（
）
A.直线a与平面false不平行，则a与平面false内的所有直线都不平行；
B.直线a与平面false不垂直，则a与平面false内的所有直线都不垂直；
C.异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；
D.若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面；
变式1.(多选）已知直线l、m，平面false、false，且false，false，下列四个命题中正确命题的是：（
）
A.若false，则false；B.若false，则false；C.若false，则false；D.若false，则false；
变式2.(多选）设false、false、false为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（
）
A.若false
B.若false
C.若false
D.若false
变式3.空间，下列哪些命题是正确的（
）
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．
A．仅②不正确
B．仅①、④正确
C．仅①正确
D．四个命题都正确
【5.1
相关公理的命题判断】
例1.（多选）给出下列命题：其中错误命题是（
）
A.直线a与平面false不平行，则a与平面false内的所有直线都不平行；
B.直线a与平面false不垂直，则a与平面false内的所有直线都不垂直；
C.异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；
D.若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面；
变式1.(多选）已知直线l、m，平面false、false，且false，false，下列四个命题中正确命题的是：（
）
A.若false，则false；B.若false，则false；C.若false，则false；D.若false，则false；
变式2.(多选）设false、false、false为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，给出下列四个命题，其中真命题是（
）
A.若false
B.若false
C.若false
D.若false
变式3.空间，下列哪些命题是正确的（
）
①平行于同一条直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．
A．仅②不正确
B．仅①、④正确
C．仅①正确
D．四个命题都正确
63534925【5.2
利用中位线证明平行】
例2如图，已知A1B1C1－ABC是三棱柱，D是AC的中点．证明：AB1∥平面DBC1.
变式1.已知:
如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥，设、、、的中点分别为M、N、P、Q.（1）求证：M、N、P、Q四点共面
【5.3
利用平行四边形证明平行】
例3.如图，在四棱锥false中，底面false四边长为1的菱形，false,
false,
false,false为false的中点，false为false的中点，证明：直线false；
【5.2
利用中位线证明平行】
例2如图，已知A1B1C1－ABC是三棱柱，D是AC的中点．证明：AB1∥平面DBC1.
变式1.已知:
如图，等腰直角三角形ABC的直角边AC=BC=2，沿其中位线DE将平面ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥，设、、、的中点分别为M、N、P、Q.（1）求证：M、N、P、Q四点共面
【5.3
利用平行四边形证明平行】
例3.如图，在四棱锥false中，底面false四边长为1的菱形，false,
false,
false,false为false的中点，false为false的中点，证明：直线false；
63534925变式2.如图，正方形false与梯形false所在的平面互相垂直，false，false∥false，false，false，false为false的中点．(1)求证：false∥平面false；
变式2.如图，正方形false与梯形false所在的平面互相垂直，false，false∥false，false，false，false为false的中点．(1)求证：false∥平面false；
635165100【5.4
利用相似证明平行】
例4.如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
【5.4
利用相似证明平行】
例4.如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
17780287020【5.5
证明垂直】
例5.如图，在三棱柱ABC-false中，AC=3，false⊥平面ABC，BC=4，AB=5，false=4，点D是AB的中点，求证：AC⊥false；
【5.5
证明垂直】
例5.如图，在三棱柱ABC-false中，AC=3，false⊥平面ABC，BC=4，AB=5，false=4，点D是AB的中点，求证：AC⊥false；
3492559690变式1.如图，矩形ABCD中，CD⊥梯形BEFC所在平面，BE//CF，BC⊥CF,false,
EF=2，BE=3，CF=4.求证：EF⊥平面DCE；（）
变式2.如图，四棱锥false的底面是边长为1的正方形，false底面false，false。
求证：false；
false
变式3.如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为的中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC，求证：平面ABE⊥平面ACDE；
变式1.如图，矩形ABCD中，CD⊥梯形BEFC所在平面，BE//CF，BC⊥CF,false,
EF=2，BE=3，CF=4.求证：EF⊥平面DCE；（）
变式2.如图，四棱锥false的底面是边长为1的正方形，false底面false，false。
求证：false；
false
变式3.如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为的中点．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC，求证：平面ABE⊥平面ACDE；
1778042545【5.6
换顶点法求体积】
例6.如图,已知平面平面,且四边形为矩形,四边形为直角梯形,,,,,.求三棱锥的体积.
变式1.直四棱柱false的侧棱false的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，
E为false的中点。求三棱锥false的体积.
【5.6
换顶点法求体积】
例6.如图,已知平面平面,且四边形为矩形,四边形为直角梯形,,,,,.求三棱锥的体积.
变式1.直四棱柱false的侧棱false的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，
E为false的中点。求三棱锥false的体积.
63571755【5.7
等体积法求距离】
例7.如图，在三棱柱false中，false平面false，false为false的中点.
（1）求证：false平面false；
（2）求点false到平面false的距离
【5.7
等体积法求距离】
例7.如图，在三棱柱false中，false平面false，false为false的中点.
（1）求证：false平面false；
（2）求点false到平面false的距离
3749675200660
3429026670变式1.三棱锥S-ABC中，SA⊥AC，SA=4，AB=3，SB=5，E为AC的中点，∠ABC=90°，则点E到平面SBC的距离等于（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
变式1.三棱锥S-ABC中，SA⊥AC，SA=4，AB=3，SB=5，E为AC的中点，∠ABC=90°，则点E到平面SBC的距离等于（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
42545177800
变式2.如图，四凌锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAfalse平面ABCD，E为PD的点。若AP=1，AD=,三棱柱P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离。
变式2.如图，四凌锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PAfalse平面ABCD，E为PD的点。若AP=1，AD=,三棱柱P-ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离。
4055110308610
514352540【5.8
找特定点问题】
例8.如图已知ABCD是矩形，false，E、F分别是线段AB、BC的中点，false面ABCD.
(1)
证明：PF⊥FD；
(2)
在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD.
变式1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：
(1)DF⊥AP.
(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
【5.8
找特定点问题】
例8.如图已知ABCD是矩形，false，E、F分别是线段AB、BC的中点，false面ABCD.
(1)
证明：PF⊥FD；
(2)
在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD.
变式1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，F是PB的中点．求证：
(1)DF⊥AP.
(2)在线段AD上是否存在点G，使GF⊥平面PBC？若存在，说明G点的位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
8890441325【6.1
空间向量的线性运算】
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．
(2)几种常用特殊向量
①单位向量：长度或模为1的向量．
②零向量：长度为0的向量．
③相等向量：方向相同且模相等的向量.
④相反向量：方向相反而模相等的向量．
⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．
⑥共面向量：平行于同一个平面的向量．
2.空间向量的线性运算
(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．
设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，.
（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律
①加法交换律：a＋b＝b
+
a
.
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a
+（b＋c）．
③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb.
④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ)
a.(λ∈R，μ∈R)．
【6.1
空间向量的线性运算】
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．
(2)几种常用特殊向量
①单位向量：长度或模为1的向量．
②零向量：长度为0的向量．
③相等向量：方向相同且模相等的向量.
④相反向量：方向相反而模相等的向量．
⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．
⑥共面向量：平行于同一个平面的向量．
2.空间向量的线性运算
(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．
设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，.
（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律
①加法交换律：a＋b＝b
+
a
.
②加法结合律：(a＋b)＋c＝a
+（b＋c）．
③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb.
④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ)
a.(λ∈R，μ∈R)．
章节六
空间向量的运算
315849043815【6.2
空间向量四点共面】
(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使.把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，
使.其中x＋y＋z＝1.
例2.O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)
A．一定不共面
B．一定共面
C．不一定共面
D．无法判断
变式1.如图中，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分所成的定比为2，现用基向量（　）
A．　B．
C．　　D．
【6.2
空间向量四点共面】
(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使.把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，
使.其中x＋y＋z＝1.
例2.O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)
A．一定不共面
B．一定共面
C．不一定共面
D．无法判断
变式1.如图中，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分所成的定比为2，现用基向量（　）
A．　B．
C．　　D．
045085例1.在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，
表示，.
变式1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2).
变式2.设三棱锥O－ABC中，＝a，＝b，＝c，G是△ABC的重心，则＝(　　)
A．a＋b－c
B．a＋b＋c
C.(a＋b＋c)
D.(a＋b＋c)
例1.在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，
表示，.
变式1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)；(2).
变式2.设三棱锥O－ABC中，＝a，＝b，＝c，G是△ABC的重心，则＝(　　)
A．a＋b－c
B．a＋b＋c
C.(a＋b＋c)
D.(a＋b＋c)
1696085118110
3365510795【6.3
空间向量的数量积】
例3.如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
（1）false；（2）false；（3）false；（4）false．
变式1.如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值。
变式2.如图，在棱长为1的正方体false中，M、N分别是false和false的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（
）
A.false　　
B.false　　
C.false　
　D.false、
变式3.已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，求线段PC的长，
【6.3
空间向量的数量积】
例3.如右图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积．
（1）false；（2）false；（3）false；（4）false．
变式1.如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值。
变式2.如图，在棱长为1的正方体false中，M、N分别是false和false的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（
）
A.false　　
B.false　　
C.false　
　D.false、
变式3.已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，求线段PC的长，
252095144145
7556560325【6.4
空间向量的坐标运算】
（1）单位正交基底
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示；
（2）空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
（3）空间直角坐标系中的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量a，其坐标向量为i，j，k，若a=a1i+a2j+a3k，则有序数组（a1，a2，a3）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=（a1，a2，a3）．
在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组（x，y，z）叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．
【6.4
空间向量的坐标运算】
（1）单位正交基底
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示；
（2）空间直角坐标系
在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
（3）空间直角坐标系中的坐标
给定一个空间直角坐标系和向量a，其坐标向量为i，j，k，若a=a1i+a2j+a3k，则有序数组（a1，a2，a3）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a=（a1，a2，a3）．
在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组（x，y，z）叫点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．
8445599060例4.已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A、B、C、D、A1、B1、C1、D1各点的坐标，并写出、、、、、、及的坐标表示。
例4.已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A、B、C、D、A1、B1、C1、D1各点的坐标，并写出、、、、、、及的坐标表示。
4529455289560
7556560325【6.5
空间向量的坐标法有关公式】
（1）空间两点的距离公式
若，，则
①
即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②
（2）向量加减法、数乘的坐标运算
若，，则①；
②；③；
（3）向量数量积的坐标运算
若，，则；
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，，则
①，．
②
（5）空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，
②
【6.5
空间向量的坐标法有关公式】
（1）空间两点的距离公式
若，，则
①
即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②
（2）向量加减法、数乘的坐标运算
若，，则①；
②；③；
（3）向量数量积的坐标运算
若，，则；
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，，则
①，．
②
（5）空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①，，
②
7556560325例5.已知向量=（4，－2，―4），=（6，―3，2），求：
（1）·；（2）||，||；（3）（2+3）·（－2）。
变式1.如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值．
变式2.已知，
，求一个向量使
且
.
变式3.已知空间三点A（0，2，3），B（―2，1，6）C（1，―1，5）。
（1）求以，为边的平行四边形的面积；
（2）若，且分别与，垂直，求向量的坐标。
例5.已知向量=（4，－2，―4），=（6，―3，2），求：
（1）·；（2）||，||；（3）（2+3）·（－2）。
变式1.如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值．
变式2.已知，
，求一个向量使
且
.
变式3.已知空间三点A（0，2，3），B（―2，1，6）C（1，―1，5）。
（1）求以，为边的平行四边形的面积；
（2）若，且分别与，垂直，求向量的坐标。
4230370262890
7556560325??综合练习??
练习1.在空间直角坐标系中的点，有下列叙述：其中错误的叙述是(　　)
A.点关于横轴(轴)的对称点是；
B.点关于坐标平面的对称点为；
C.点关于纵轴(轴)的对称点是；
D.点关于坐标原点的对称点为．
练习2.已知，当取最小值时，的值等于（
）
A．
B．－
C．19
D．
练习3.在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点，
（1）求证：；（2）求与所成的角的余弦；（3）求的长.
练习4.若A（3cosfalse，3sinfalse，1），B（2cosfalse，2sinfalse，1），则false的取值范围是（
）．
A．[0，5]
B．[1，5]
C．（1，5）
D．（0，5）
练习5.如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，
M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求false的长；（2）求cos〈false〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M.
??综合练习??
练习1.在空间直角坐标系中的点，有下列叙述：其中错误的叙述是(　　)
A.点关于横轴(轴)的对称点是；
B.点关于坐标平面的对称点为；
C.点关于纵轴(轴)的对称点是；
D.点关于坐标原点的对称点为．
练习2.已知，当取最小值时，的值等于（
）
A．
B．－
C．19
D．
练习3.在棱长为的正方体中，分别是中点，在棱上，，是的中点，
（1）求证：；（2）求与所成的角的余弦；（3）求的长.
练习4.若A（3cosfalse，3sinfalse，1），B（2cosfalse，2sinfalse，1），则false的取值范围是（
）．
A．[0，5]
B．[1，5]
C．（1，5）
D．（0，5）
练习5.如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，
M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求false的长；（2）求cos〈false〉的值；（3）求证：A1B⊥C1M.
false
17780440690【7.1
空间中建系】
（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴
1、false轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即false轴要与坐标平面false垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为false轴与底面的交点
2、false轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于false轴上
（2）找角：false轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足false轴成右手系，所以在标false轴时要注意。
【7.1
空间中建系】
（一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴
1、false轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即false轴要与坐标平面false垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为false轴与底面的交点
2、false轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考：
（1）尽可能的让底面上更多的点位于false轴上
（2）找角：false轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件
（3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足false轴成右手系，所以在标false轴时要注意。
章节七
空间向量在几何证明中的应用
、
34290158115例1.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.
false
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A1D1F.
例1.如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.
false
（1）证明AD⊥D1F；
（2）求AE与D1F所成的角；
（3）证明面AED⊥面A1D1F.
42545271145变式1.如图，在等腰梯形false中，false，false，false
平面false，且false，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。
如图，已知四棱锥false的底面是菱形，对角线false交于点false，且false平面false，点false为false的三等分点（靠近false），建立适当的直角坐标系并求各点坐标
变式1.如图，在等腰梯形false中，false，false，false
平面false，且false，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。
如图，已知四棱锥false的底面是菱形，对角线false交于点false，且false平面false，点false为false的三等分点（靠近false），建立适当的直角坐标系并求各点坐标
4517390266700
4420235106680
3365510795【7.2
利用空间向量解决空间问题-法向量的应用1】
例2.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
变式1.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.证明：A1C⊥平面BB1D1D.
【7.3
利用空间向量解决空间问题-法向量的应用2】
例3.在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
变式1.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF；
(2)求二面角D－AF－E的余弦值．
【7.2
利用空间向量解决空间问题-法向量的应用1】
例2.如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.
变式1.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.证明：A1C⊥平面BB1D1D.
【7.3
利用空间向量解决空间问题-法向量的应用2】
例3.在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
变式1.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF；
(2)求二面角D－AF－E的余弦值．
4783455146685
4241800232410
3365510795变式2.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
变式3.在直三棱柱
ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
变式4.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于__________．
变式5.四棱锥false中，平面false平面false，
falsefalse是false中点
（1）求证：false平面false
（2）求二面角false的平面角的余弦值
变式2.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．
变式3.在直三棱柱
ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
变式4.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于__________．
变式5.四棱锥false中，平面false平面false，
falsefalse是false中点
（1）求证：false平面false
（2）求二面角false的平面角的余弦值
4248785152400
1778050165【7.3
利用空间向量解决探索性问题】
例3.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．
变式1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
变式2.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯
形，,
（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长
【7.3
利用空间向量解决探索性问题】
例3.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由．
变式1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
变式2.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯
形，,
（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长
．
章节八
直线与方程25400423545【知识清单】
【知识清单】
33655692151．平面直角坐标系中的基本公式
①两点间的距离公式：两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为|AB|＝
②线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则
2．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴____________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为______________．
(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k＝______(α≠______)．当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．
(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．
3．直线方程的几种形式
(1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的____________叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的____________叫做直线l在y轴上的截距．注：截距不是距离
(2)直线方程的五种形式：点斜式
：
斜截式
：
两点式
：
截距式
：
一般式：
(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________；
②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________；
③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________；
④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为____________．
1．平面直角坐标系中的基本公式
①两点间的距离公式：两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为|AB|＝
②线段的中点坐标公式：若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则
2．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴____________与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为______________．
(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k表示，即k＝______(α≠______)．当直线平行于x轴或者与x轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．
(3)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝．
3．直线方程的几种形式
(1)截距：直线l与x轴交点(a，0)的____________叫做直线l在x轴上的截距，直线l与y轴交点(0，b)的____________叫做直线l在y轴上的截距．注：截距不是距离
(2)直线方程的五种形式：点斜式
：
斜截式
：
两点式
：
截距式
：
一般式：
(3)过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
①若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为____________；
②若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为____________；
③若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为____________；
④若x1≠x2，且y1＝y2＝0，直线即为x轴，方程为____________．
-1143035560【8.1
直线斜率与倾斜角】
例1.直线的倾斜角的取值范围是（　　）
A.0°≤α＜180°
B.0°≤α＜180°且α≠90°
C.0°≤α＜360°
D.0°≤α≤180°
变式1.若直线过点（1，2），（4，2＋false），则此直线的倾斜角是（　　）
变式2.斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为(　　)
A．a＝4，b＝0
B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3
D．a＝－4，b＝3
变式3.没有斜率的直线一定是(???
)
A.过原点的直线???B.垂直于x轴的直线?
?C.垂直于y轴的直线??
D.垂直于坐标轴的直线
【8.1
直线斜率与倾斜角】
例1.直线的倾斜角的取值范围是（　　）
A.0°≤α＜180°
B.0°≤α＜180°且α≠90°
C.0°≤α＜360°
D.0°≤α≤180°
变式1.若直线过点（1，2），（4，2＋false），则此直线的倾斜角是（　　）
变式2.斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为(　　)
A．a＝4，b＝0
B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3
D．a＝－4，b＝3
变式3.没有斜率的直线一定是(???
)
A.过原点的直线???B.垂直于x轴的直线?
?C.垂直于y轴的直线??
D.垂直于坐标轴的直线
2910840225425
变式6.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(
)．
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
　　　　　
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
变式6.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(
)．
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
　　　　　
C．k3＜k2＜k1
D．k1＜k3＜k2
-8890214630变式4.对于下列命题,其中正确命题的是(　　)
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
B.若k是直线的斜率，则k∈R；
C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
变式5.下列说法中正确的是(　　)
A.任何一条直线都有唯一的倾斜角；
B.任何一条直线都有唯一的斜率；
C.倾斜角为90°的直线不存在；
D.倾斜角为0°的直线只有一条．
变式4.对于下列命题,其中正确命题的是(　　)
A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
B.若k是直线的斜率，则k∈R；
C.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
D.任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
变式5.下列说法中正确的是(　　)
A.任何一条直线都有唯一的倾斜角；
B.任何一条直线都有唯一的斜率；
C.倾斜角为90°的直线不存在；
D.倾斜角为0°的直线只有一条．
8255140970【8.2
直线方程的求法】
例2.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5，3)；
(2)过点B(－3，0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1，5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．
【8.2
直线方程的求法】
例2.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5，3)；
(2)过点B(－3，0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1，5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1．
3175024765【8.3
直线方程的截距】
例3.直线－＝1在y轴上的截距是(　　)
A．|b|
B．－b2
C．b2
D．±b
变式1.一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_____
_____．
变式2.直线ax＋by＋c＝0
(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足(　　)
A．a＝b
B．|a|＝|b|且c≠0
C．a＝b且c≠0
D．a＝b或c＝0
【8.3
直线方程的截距】
例3.直线－＝1在y轴上的截距是(　　)
A．|b|
B．－b2
C．b2
D．±b
变式1.一直线过点（－3，4），并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是_____
_____．
变式2.直线ax＋by＋c＝0
(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足(　　)
A．a＝b
B．|a|＝|b|且c≠0
C．a＝b且c≠0
D．a＝b或c＝0
34290151765【8.4
直线方程的系数关系】
例4.已知直线false，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设false为直线false上一点，证明：这条直线的方程可以写成false
【8.4
直线方程的系数关系】
例4.已知直线false，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设false为直线false上一点，证明：这条直线的方程可以写成false
36195294005【8.5
直线的位置关系】
斜截式方程
一般式方程
false,
false
false，
false
false，false
false
false
false，false
重合
false
false
相交
false
false
false
false
【8.5
直线的位置关系】
斜截式方程
一般式方程
false,
false
false，
false
false，false
false
false
false，false
重合
false
false
相交
false
false
false
false
-127034925例5.已知直线false，直线false，求m的值,
使得false和
false：
(1)
相交；
(2)
垂直；
(3)
平行；
(4)
重合。
变式1.直线false的位置关系是（
）
（A）平行
（B）垂直
（C）相交但不垂直
（D）不能确定
例5.已知直线false，直线false，求m的值,
使得false和
false：
(1)
相交；
(2)
垂直；
(3)
平行；
(4)
重合。
变式1.直线false的位置关系是（
）
（A）平行
（B）垂直
（C）相交但不垂直
（D）不能确定
317593980【8.6
坐标系相关公式的应用】
（1）中点公式：
falsefalse；
（2）两点间距离公式：
平面上的两点false间的距离公式false
特别地，原点false与任一点false的距离false
（3）点线距离公式：
点false到直线false的距离false
（4）两条平行线距离公式（选讲）：
两条平行线false间的距离false
例6.
【8.6
坐标系相关公式的应用】
（1）中点公式：
falsefalse；
（2）两点间距离公式：
平面上的两点false间的距离公式false
特别地，原点false与任一点false的距离false
（3）点线距离公式：
点false到直线false的距离false
（4）两条平行线距离公式（选讲）：
两条平行线false间的距离false
例6.
3429038735
例6.过点B（3，3），且与Cfalse距离为false的直线方程是
变式1.直线false在两坐标轴上的截距相等，且（2，1）到直线false的距离为false，求直线false的方程。
变式2.已知直线false，false平行，则它们之间的距离是
．
例6.过点B（3，3），且与Cfalse距离为false的直线方程是
变式1.直线false在两坐标轴上的截距相等，且（2，1）到直线false的距离为false，求直线false的方程。
变式2.已知直线false，false平行，则它们之间的距离是
．
3429045085【8.7
直线过定点问题】
例7.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（　　）
A（-2，1）
B
（2，1）
C
（1，-2）
D
（1，2）
变式1.m为任意实数时，直线（m－1）x＋(2m－1)y＝m－5必过定点
。
变式2.已知两点
A（l，0），B（0，1），若直线
y＝k（x＋l）与线段
AB总有公共点，则
k的取值范围是_____。
变式3.不论false取何值，直线false恒过定点____________
变式4.设直线l的方程为(a+1)x+y-2+a=0,若l经过第一象限,求实数a的取值范围.
【8.7
直线过定点问题】
例7.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（　　）
A（-2，1）
B
（2，1）
C
（1，-2）
D
（1，2）
变式1.m为任意实数时，直线（m－1）x＋(2m－1)y＝m－5必过定点
。
变式2.已知两点
A（l，0），B（0，1），若直线
y＝k（x＋l）与线段
AB总有公共点，则
k的取值范围是_____。
变式3.不论false取何值，直线false恒过定点____________
变式4.设直线l的方程为(a+1)x+y-2+a=0,若l经过第一象限,求实数a的取值范围.
34925163195??综合练习??
练习1.直线false和false轴，false轴分别交于点false，在线段false为边在第一象限内作等边△false，如果在第一象限内有一点false使得△false和△false的面积相等，求false的值
练习2.已知△false的顶点false，false边上的中线false所在的直线方程为false，false边上的高false所在的直线方程为false。求：
（1）顶点false的坐标；
（2）直线false的方程。
??综合练习??
练习1.直线false和false轴，false轴分别交于点false，在线段false为边在第一象限内作等边△false，如果在第一象限内有一点false使得△false和△false的面积相等，求false的值
练习2.已知△false的顶点false，false边上的中线false所在的直线方程为false，false边上的高false所在的直线方程为false。求：
（1）顶点false的坐标；
（2）直线false的方程。
43180405765【9.1
圆的方程】
要点一：圆的标准方程
，其中为圆心，false为半径.
要点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为false，圆心为false，半径为false，则有
(1)若点false在圆上false
(2)若点false在圆外false
(3)若点false在圆内false
要点三：圆的一般方程
当false时，方程叫做圆的一般方程.false为圆心，false为半径.
【9.1
圆的方程】
要点一：圆的标准方程
，其中为圆心，false为半径.
要点二：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为false，圆心为false，半径为false，则有
(1)若点false在圆上false
(2)若点false在圆外false
(3)若点false在圆内false
要点三：圆的一般方程
当false时，方程叫做圆的一般方程.false为圆心，false为半径.
章节九
圆与方程，直线与圆
4381556515例1.求满足下列条件的各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（2）圆心在点C（3，4）上，半径是false；
（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，―3）上．
变式1.下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
（1）2x2+y2―7y+5=0；
（2）x2―xy+y2+6x+7y=0；
（3）x2+y2―2x―4y+10=0；
（4）2x2+2y2―5x=0．
例1.求满足下列条件的各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（2）圆心在点C（3，4）上，半径是false；
（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，―3）上．
变式1.下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
（1）2x2+y2―7y+5=0；
（2）x2―xy+y2+6x+7y=0；
（3）x2+y2―2x―4y+10=0；
（4）2x2+2y2―5x=0．
27305-6985【9.2
求圆的方程】
例2.（1）求圆心在直线y=―x上，且过两点A（2，0），B（0，―4）的圆的方程．
（2）求经过点false且与直线false相切于点（8，6）的圆的方程．
（3）求过false的圆的方程，及圆心坐标和半径；
变式1.求圆心在直线x―2y―3=0上，且过点A（2，―3），B（―2，―5）的圆的标准方程．
变式2.已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为false的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．
【9.2
求圆的方程】
例2.（1）求圆心在直线y=―x上，且过两点A（2，0），B（0，―4）的圆的方程．
（2）求经过点false且与直线false相切于点（8，6）的圆的方程．
（3）求过false的圆的方程，及圆心坐标和半径；
变式1.求圆心在直线x―2y―3=0上，且过点A（2，―3），B（―2，―5）的圆的标准方程．
变式2.已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为false的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．
3746510160【9.3
直线与圆】
要点一、直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，两个公共点；(2)直线与圆相切，有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线false与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线false与圆C有公共点.
两组实数解时，直线false与圆C相交；一组实数解时，直线false与圆C相切；无实数解，直线false与圆C相离.
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线false的距离false与圆的半径false的关系判断：
当false时，直线false与圆C相交；当false时，直线false与圆C相切；当false时，直线false与圆C相离.
要点二、圆的切线方程的求法
1．点false在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率false与圆心和该点连线的斜率false的乘积等于false，即false．
法二：圆心false到直线false的距离等于半径false．
2．点false在圆外，则设切线方程：false，变成一般式：false，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出false．
要点三、求直线被圆截得的弦长
弦长公式：设直线false，与圆的两交点false，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：false=false．
要点四、圆与圆的位置关系
【9.3
直线与圆】
要点一、直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
(1)直线与圆相交，两个公共点；(2)直线与圆相切，有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点.
2.直线与圆的位置关系的判定：
(1)代数法：
判断直线false与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线false与圆C有公共点.
两组实数解时，直线false与圆C相交；一组实数解时，直线false与圆C相切；无实数解，直线false与圆C相离.
(2)几何法：
由圆C的圆心到直线false的距离false与圆的半径false的关系判断：
当false时，直线false与圆C相交；当false时，直线false与圆C相切；当false时，直线false与圆C相离.
要点二、圆的切线方程的求法
1．点false在圆上，如图．
法一：利用切线的斜率false与圆心和该点连线的斜率false的乘积等于false，即false．
法二：圆心false到直线false的距离等于半径false．
2．点false在圆外，则设切线方程：false，变成一般式：false，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出false．
要点三、求直线被圆截得的弦长
弦长公式：设直线false，与圆的两交点false，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：false=false．
要点四、圆与圆的位置关系
3556016510例3.（1）已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.
（2）已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x2+y2―4x―2y+1=0．当m为何值时，圆与直线
（1）有两个公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）没有公共点．
例3.（1）已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.
（2）已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x2+y2―4x―2y+1=0．当m为何值时，圆与直线
（1）有两个公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）没有公共点．
3117215130810变式1.求经过点P（6，―4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为false的直线的方程．
变式1.求经过点P（6，―4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为false的直线的方程．
35560130810例4.直线false经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为false，求false的方程．
例4.直线false经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为false，求false的方程．
3134360253365变式3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay―6=0（a＞0）的公共弦的长为false，则a=________。
变式3.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay―6=0（a＞0）的公共弦的长为false，则a=________。
44450244475变式2.直线false经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为false，求false的方程．
变式2.直线false经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为false，求false的方程．
315150543815变式1.从直线false上的点向圆false作切线，则切线长的最小值是（
）
A．false
B．false
C．3
D．false
变式1.从直线false上的点向圆false作切线，则切线长的最小值是（
）
A．false
B．false
C．3
D．false
6159544450例5.求过点false且与圆false外切于点false的圆的方程。
例5.求过点false且与圆false外切于点false的圆的方程。
3556016510【9.4
圆中的线性规划分析】
例6.已知实数x、y满足方程x2+y2―4x+1=0，求：（1）false的最大值；（2）y―x的最小值．
【9.4
圆中的线性规划分析】
例6.已知实数x、y满足方程x2+y2―4x+1=0，求：（1）false的最大值；（2）y―x的最小值．
44450114935变式1.已知实数x、y满足false，则false的最小值是(
)
A.false
B.false
C.5
D.25
变式2.已知实数false满足false，求false的取值范围。
变式3.已知实数x，y满足false，则3x+4y的最大值和最小值分别是________和________．
变式1.已知实数x、y满足false，则false的最小值是(
)
A.false
B.false
C.5
D.25
变式2.已知实数false满足false，求false的取值范围。
变式3.已知实数x，y满足false，则3x+4y的最大值和最小值分别是________和________．
43815100330【9.5
半圆问题】
例7.若曲线false与直线false始终有交点，则false的取值范围是______；若有一个交点，则false的取值范围是________；若有两个交点，则false的取值范围是______；
变式1.直线false与曲线false恰有一个公共点，则false的取值范围是（
）
A.false
B.false
C.false
D.false或false
变式2.若直线false与曲线false有交点，则（
）
A．false有最大值false，最小值false
B．false有最大值false，最小值false
C．false有最大值0，最小值
false
D．false有最大值0，最小值false
【9.5
半圆问题】
例7.若曲线false与直线false始终有交点，则false的取值范围是______；若有一个交点，则false的取值范围是________；若有两个交点，则false的取值范围是______；
变式1.直线false与曲线false恰有一个公共点，则false的取值范围是（
）
A.false
B.false
C.false
D.false或false
变式2.若直线false与曲线false有交点，则（
）
A．false有最大值false，最小值false
B．false有最大值false，最小值false
C．false有最大值0，最小值
false
D．false有最大值0，最小值false
章节十
三角函数，恒等变化，解三角形真题模拟
一、单选题（共10题；共50分）
1.在△ABC中，cosC=
，AC=4，BC=3，则tanB=（???
）
A.?????????????????????????????????????B.?2
????????????????????????????????????C.?4
????????????????????????????????????D.?8
2.已知
，则
（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
3.已知
，且
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
4.设函数
在
的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（???
）
A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.?
5.若
在
是减函数，则a的最大值是(??
)
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
6.的内角
的对边分别为
，若
的面积为
，则
=(??
)
A.??????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?
7.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（　　）
A.?a=2b??????????????????????????????????B.?b=2a??????????????????????????????????C.?A=2B??????????????????????????????????D.?B=2A
8.设函数f（x）=cos（x+
），则下列结论错误的是（???
）
A.?f（x）的一个周期为﹣2π???????????????????????????????????B.?y=f（x）的图象关于直线x=
对称
C.?f（x+π）的一个零点为x=
?????????????????????????????D.?f（x）在（
，π）单调递减
9.若将函数y=2sin
2x的图像向左平移
个单位长度，则评议后图象的对称轴为(?
)
A.?x=
–
?(k∈Z)?????????????????????????????????????????????B.?x=
+
?(k∈Z)
C.?x=
–
?(k∈Z)???????????????????????????????????????????D.?x=
+
?(k∈Z)
10.函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　）
A.?y=2sin（2x﹣
）???????B.?y=2sin（2x﹣
）???????C.?y=2sin（x+
）???????D.?y=2sin（x+
）
二、填空题（共6题；共30分）
11.函数f（x）=sin2x+
cosx﹣
（x∈[0，
]）的最大值是________．
12.函数
在
的零点个数为________．
13.已知θ是第四象限角，且sin（θ+
）=
，则tan（θ﹣
）=________．
14.函数y=sinx﹣
cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移________个单位长度得到．
15.中，角
的对边

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