资源简介

辽宁省建平县2012年八年级数学竞赛试卷
一、单选题
1．（2012八下·建平竞赛）直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积为（　　）
A．12cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2
2．（2012八下·建平竞赛）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是 、 、 ，则下列说法中错误的是（　　）
A．如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°
B．如果 ，则∠B=60°，∠A=30°
C．如果 ，那么△ABC是直角三角=
D．如果 ，那么△ABC是直角三角形
3．（2012八下·建平竞赛）已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（　　）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
4．（2012八下·建平竞赛）若A(a，b)，B(b，a)表示同一点，那么这一点在 （　　）
A．第一、三象限内两坐标轴夹角平分线上
B．第一象限内两坐标轴夹角平分线上
C．第二、四象限内两坐标轴夹角平分线上
D．平行于y轴的直线上
5．（2012八下·建平竞赛）已知 是整数，则x的最小整数值是（　　）
A．16 B．±16 C．25 D．±25
6．（2012八下·建平竞赛）下列说法，正确的是（　　）
A．在△ABC中， ，则有
B．0.125的立方根是±0.5
C．无限小数是无理数，无理数也是无限小数
D．一个无理数和一个有理数之积为无理数
7．（2012八下·建平竞赛）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为 ，较长直角边为 ，那么 的值为（　　）
A．13 B．36 C．25 D．169
8．（2012八下·建平竞赛）若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2012八下·建平竞赛）已知a+b=1，ab=108，则a2b+ab2的值为　 　 .
10．（2012八下·建平竞赛）如图，长方体中，AB=12cm，BC=2cm，B =3cm，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点 ′，至少需要　 　分钟.
11．（2012八下·建平竞赛）如图，AD=8cm，CD=6cm，AD⊥CD，BC=24cm，AB=26cm，则S四边形ABCD=　 　.
12．（2012八下·建平竞赛）如图，要在高3m，斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需　 　 _m.
13．（2012八下·建平竞赛）任意找一个小于1的正数，利用计算器对它不断进行开立方运算，其结果如何？根据这一规律，则 　 　a（014．（2012八下·建平竞赛）若 与 是同一个数的平方根，则 的值为　 　.
15．（2012八下·建平竞赛）已知3 ＝3，3 ＝9，3 ＝27，3 ＝81，3 ＝243，3 ＝729， 37＝2187，3 ＝6561……，请你推测3 的个位数是　 　.
16．（2012八下·建平竞赛）已知a1+a2=1，a2+a3=2，a3+a4=3，…，a99+a100=99，a100+a1=100，那么a1+a2+a3+…a100= 　 　。
三、解答题
17．（2012八下·建平竞赛）化简：
（1） ；
（2）
18．（2012八下·建平竞赛）已知 的和仍为单项式，求多项式 的值.
19．（2012八下·建平竞赛）如果 ，试求代数式 的值.
20．（2012八下·建平竞赛）“震灾无情人有情”．民政局将全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．
（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．则民政局安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
21．（2012八下·建平竞赛）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于1200，∠B、∠D应分别为150、200.李叔叔量得∠BCD=1450，就能断定该零件不合格，你能说出其中的道理吗？
22．（2012八下·建平竞赛）国庆60周年阅兵式上，向世界展示了一种新型导弹―“红-九地空导弹”.它是我国自行研制的远程防空导弹，集美俄技术于一身，以拦截飞机为主，同时具有很强的拦截短程弹道导弹的能力.10枚“红-九地空导弹”（每枚底面的直径均为0.4m）以如图方式堆放，为了防雨，需要搭建防雨棚，这个防雨棚的最低高度应为多少米（精确到0.1m）？
23．（2012八下·建平竞赛）任画一个直角三角形，分别以它的三条边为边向外做等边三角形，
要求：
（1）画出图形；
（2）探究这三个等边三角形面积之间的关系，并说明理由.
24．（2012八下·建平竞赛）国际象棋中的“皇后”不仅能控制她所在的行与列的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每个小方格，如图甲所示.
（1）在图乙小方格中有一“皇后Q”他所在的位置可用（2，3）来表示，请说明“皇后Q”所在的位置（2，3）的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置；
（2）图丙是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q”，使这四个“皇后Q”之间胡不受对方控制.（在图丙中标出字母Q即可）
25．（2012八下·建平竞赛）某粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较高安全系数A、B两仓库.已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨.从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）
（1）若甲库运往A库粮食 吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费 y （元）与 （吨）的函数关系式；
（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
26．（2012八下·建平竞赛）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合.（在图3至图6中统一用F表示）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请说明：AH=DH.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，由题意得
，解得
则
所以直角三角形的面积
故答案为：B.
【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，由三角形的周长=三边之和可得a+b+5=12，根据勾股定理可得+=，通过整理这两个等式可得 2 a b=24，a b=12，所以直角三角形的面积 = a b，面积可求。
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90° ，C、如果 ，那么△ABC是直角三角形，D、如果 ，那么△ABC是直角三角形，均正确，ACD不符合题意；
B、由 ，无法得到∠B=60°，∠A=30°，故错误，B符合题意.
【分析】由 a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5 可设，a =3x，b =4x，c =5x，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，但是不能得到∠B=60°，∠A=30°，所以选项B不符合题意。
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】根据题意，原式是一个完全平方式，∵64y2=（±8y）2，∴原式可化成=（x±8y）2，展开可得：x2±16xy+64y2，∴kxy=±16xy，∴k=±16．故选：D
【分析】根据完全平方公式的特点求解．
4．【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】∵A(a，b)，B(b，a)表示同一点
∴
∴这一点在第一、三象限内两坐标轴夹角平分线上
故答案为：A.
【分析】根据A(a，b)，B(b，a)表示同一点可知a = b，于是可得这一点在第一、三象限内两坐标轴夹角平分线上，即选项A符合题意。
5．【答案】C
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵ 是整数
∴x的最小整数值是25
故答案为：C.
【分析】将320分解因数，可得320=645，=64，525=，于是可得x的最小整数值是25，即选项C符合题意。
6．【答案】A
【知识点】立方根及开立方；比例的性质；有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】A、在△ABC中， ，则有 ，本选项正确；
B、0.125的立方根是0.5 ，C、无限循环小数是有理数，D、 ，故错误.
【分析】根据正数的立方根是正数可知选项B不符合题意，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，而无限循环小数是有理数，可知选项C不符合题意，因为0=0，0是有理数，可知选项D不符合题意，用排除法可知选项A符合题意。
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【解答】由题意得 ， ，则
所以
故答案为：C.
【分析】因为直角三角形的短直角边为 a ，较长直角边为 b，所以直角三角形的斜边为+，则+，=13，由题意得ab=( 13 1 ) ÷ 4 = 3，则ab=6，那么用完全平方公式将 展开后整体代入即可求解。
8．【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
9．【答案】108
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】当a+b=1，ab=108时，
【分析】将所求代数式用提公因式法分解因式得 b + a = a b ( a + b )，再将a+b=1，ab=108代入即可求解。
10．【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】由图可得蚂蚁爬行的最短路程
则至少需要 分钟.
【分析】由长方体的展开图可知：蚂蚁爬行的最短路程是线段A，而A是展开后以A、AB+BC的长为两条直角边的直角三角形的斜边，则根据勾股定理可求出蚂蚁爬行的最短路程，至少需要的时间=蚂蚁爬行的最短路程速度即可。
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】连接AC，
∵AD=8cm，CD=6cm，AD⊥CD
∴
∵
∴△ABC为直角三角形
∴S四边形ABCD=
【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求A C的长，由勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，所以四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积-直角三角形ACD的面积。
12．【答案】7
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由题意得直角三角形的另一条边长
则地毯的长度至少需
【分析】用勾股定理可求得直角三角形的另一条直角边长，根据题意可知地毯的长度=两直角边之和。
13．【答案】＞
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】由题意取 ，则
所以
【分析】根据立方根的意义；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根。而一个小于1的正数乘方次数越多，值越小，对于平方根有相同的规律，所以a。
14．【答案】-3或1
【知识点】平方根
【解析】【解答】由题意得 或
解得 或
【分析】分两种情况讨论：当这两个平方根相等时，有2a 4=3a 1 ，求出a的值；当这两个平方根不相等时，则两个平方根互为相反数，有( 2a 4)+(3a 1) =0，求出a的值。
15．【答案】1
【知识点】乘方的相关概念；探索数与式的规律
【解析】【解答】∵
∴3 的个位数是1.
【分析】根据已知条件可知，个位数经过3、9、7、1四次一循环，用3的指数除以4，若余1，则个位数是3；若余2，则个位数是9；若余3，则个位数是7；若刚好除尽，则个位数是1.此题用204=5，刚好除尽，则个位数是1.
16．【答案】2525
【知识点】有理数的加法
【解析】【解答】解：∵a1+a2=1，a2+a3=2，a3+a4=3，…，a99+a100=99，a100+a1=100，
∴a1+a2+a3+…a100= （a1+a2+a2+a3+a3+a4+，…，a99+a100+a100+a1） = （1+2+3+…+100）
= ×5050
=2525．
故填：2525．
【分析】先将a1+a2+a3+…a100转化为 （a1+a2+a2+a3+a3+a4+，…，a99+a100+a100+a1）得出 （1+2+3+…+100），计算即可得出答案。
17．【答案】（1）解：原式= = =
（2）解：原式= =
【知识点】实数的运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）满足两个条件：一是被开方数的因数是整数，因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫作最简二次根式。先将各式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解。
（2）根据绝对值的非负性、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、二次根式的乘除将各项化简，再进行加减即可。
18．【答案】解：∵ 的和仍为单项式，
∴ 是同类项，
∴x=2，x+y=5，解得x=2，y=3
则
【知识点】代数式求值；同类项的概念
【解析】【分析】根据两个单项式的和仍为单项式可知，这两个单项式是同类项，而同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义可得关于x、y的方程，解方程即可求出x、y的值，最后将x、y的值代入多项式计算即可。
19．【答案】解： 解：∵a是方程x2-3x+1=0的根，
∴a2+1=3a，
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=-1.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】 根据方程的解满足方程，把方程的解代入方程，可得a2+1=3a，根据代数式求值，可得答案．
20．【答案】（1）解：设该校采购了y件小帐篷，x件食品．
根据题意，得 ，
解得 ．
故打包成件的帐篷有200件，食品有120件
（2）解：设甲种货车安排了z辆，则乙种货车安排了（8﹣z）辆．则
，
解得2≤z≤4．
则z=2或3或4，民政局安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；
②甲车3辆，乙车5辆；
③甲车4辆，乙车4辆；
（3）解：3种方案的运费分别为：
①2×4000+6×3600=29600（元）；
②3×4000+5×3600=30000（元）；
③4×4000+4×3600=30400（元）．
∵方案一的运费小于方案二的运费小于方案三的运费，
∴方案①运费最少，最少运费是29600元
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】
①有两个等量关系：帐篷件数+食品件数=320，帐篷件数-食品件数=80，直接设未知数，列出二元一次方程组，求出解：
②先由等量关系得到一元一次不等式组，求出解集，再根据实际含义确定方案.
21．【答案】解：连接BD，
则 ；
而在 中， ，
由 ， ，
可知 ，
这与上面的结果不一致，从而知这个零件不合格
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】连接BD，根据三角形三内角的和等于180度可求得∠ C D B + ∠ C B D =， 而在 Δ A B D 中，由 已知条件可求得 ∠ C D B + ∠ C B D =，与前面的结果不相符合，所以 这个零件不合格。
22．【答案】解：如图，可得△O1O2O3为等边三角形，三角形的边长 ，高 则防雨棚的最低高度应为1.04+0.4=1.44≈1.4米
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【分析】根据题意可知△O1O2O3为等边三角形，而等边三角形的高=等边三角形的边长，则防雨棚的最低高度=等边三角形的高+1枚导弹底面的直径.
23．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设直角三角形的三边从小到大是a，b，c
又
则 .即斜边所在等边三角形的面积是另外两个等边三角形面积之和
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据边边边定理用尺规作图即可。
（2）设直角三角形的三边从小到大是a，b，c，因为等边三角形的高=a，则面积=aa，通过计算并由勾股定理可得+ = ，即斜边所在等边三角形的面积是另外两个等边三角形面积之和.
24．【答案】（1）解：“皇后Q”所在的位置（2，3）表示“皇后Q”位于第2列第3行，棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置是（1，1）、（3，1）、（4，2）、（4，4）
（2）解：（1.3）、（2，1）、（3，4）、（4，2）或（1，2）、（2，4）、（3，1）、（4，3）
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【分析】（1）“皇后Q”所在的位置（2，3）表示“皇后Q”位于第2列第3行；根据已知条件“皇后”不仅能控制她所在的行与列的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每个小方格可知棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置是（1，1）、（3，1）、（4，2）、（4，4）。
（2）只要彼此之间不在它们所在的行与列以及斜方向即可。所以这四个“皇后Q”的位置可以是（1.3）、（2，1）、（3，4）、（4，2）或者是（1，2）、（2，4）、（3，1）、（4，3）。
25．【答案】（1）解：依题意得
＝ ，其中
（2）解：上述一次函数中
∴ 随 的增大而减小
∴当 ＝70吨时，总运费最省，最省的总运费为：
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）总运费y=甲库运往A、B两仓库的运费+乙库运往A、B两仓库的运费，而甲库运往A库的运费=甲库到A库的距离甲库运往A库的粮食吨数甲库运往A库每吨每千米的运费。
（2）由（1）知y是x的一次函数，而k=-300，所以y随x的增大而减小，要使总运费最少，则x最大，即当x=70时，总运费最省。
26．【答案】（1）解：由题意可知AB=10，∠A=30o
所以BF= AB=5，AF=
因此平移的距离为BF=5cm
（2）解：此时FG⊥DE，故FG为Rt⊿EFD的高.
又因为S⊿EFG= ×10×FG= × ×5
所以FG= （cm）
（3）解：由题意可知EF=FB1，AF=FD，
所以AE=B1D.
又因为∠AHE=∠B1HD，∠A=∠D=30o，
所以⊿AHE≌⊿DHB1
故AH=DH
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BF= AB，所以平移的距离为5cm。
（2）因为图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，所以FE=，已知=，于是，用面积法可求线段FG的长度。
（3）用角角边可证⊿AHE≌⊿DHB1，于是有AH=DH。
1 / 1辽宁省建平县2012年八年级数学竞赛试卷
一、单选题
1．（2012八下·建平竞赛）直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则其面积为（　　）
A．12cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，由题意得
，解得
则
所以直角三角形的面积
故答案为：B.
【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，由三角形的周长=三边之和可得a+b+5=12，根据勾股定理可得+=，通过整理这两个等式可得 2 a b=24，a b=12，所以直角三角形的面积 = a b，面积可求。
2．（2012八下·建平竞赛）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是 、 、 ，则下列说法中错误的是（　　）
A．如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°
B．如果 ，则∠B=60°，∠A=30°
C．如果 ，那么△ABC是直角三角=
D．如果 ，那么△ABC是直角三角形
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90° ，C、如果 ，那么△ABC是直角三角形，D、如果 ，那么△ABC是直角三角形，均正确，ACD不符合题意；
B、由 ，无法得到∠B=60°，∠A=30°，故错误，B符合题意.
【分析】由 a ： b ： c = 3 ： 4 ： 5 可设，a =3x，b =4x，c =5x，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，但是不能得到∠B=60°，∠A=30°，所以选项B不符合题意。
3．（2012八下·建平竞赛）已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（　　）
A．8 B．±8 C．16 D．±16
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】根据题意，原式是一个完全平方式，∵64y2=（±8y）2，∴原式可化成=（x±8y）2，展开可得：x2±16xy+64y2，∴kxy=±16xy，∴k=±16．故选：D
【分析】根据完全平方公式的特点求解．
4．（2012八下·建平竞赛）若A(a，b)，B(b，a)表示同一点，那么这一点在 （　　）
A．第一、三象限内两坐标轴夹角平分线上
B．第一象限内两坐标轴夹角平分线上
C．第二、四象限内两坐标轴夹角平分线上
D．平行于y轴的直线上
【答案】A
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】∵A(a，b)，B(b，a)表示同一点
∴
∴这一点在第一、三象限内两坐标轴夹角平分线上
故答案为：A.
【分析】根据A(a，b)，B(b，a)表示同一点可知a = b，于是可得这一点在第一、三象限内两坐标轴夹角平分线上，即选项A符合题意。
5．（2012八下·建平竞赛）已知 是整数，则x的最小整数值是（　　）
A．16 B．±16 C．25 D．±25
【答案】C
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵ 是整数
∴x的最小整数值是25
故答案为：C.
【分析】将320分解因数，可得320=645，=64，525=，于是可得x的最小整数值是25，即选项C符合题意。
6．（2012八下·建平竞赛）下列说法，正确的是（　　）
A．在△ABC中， ，则有
B．0.125的立方根是±0.5
C．无限小数是无理数，无理数也是无限小数
D．一个无理数和一个有理数之积为无理数
【答案】A
【知识点】立方根及开立方；比例的性质；有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】A、在△ABC中， ，则有 ，本选项正确；
B、0.125的立方根是0.5 ，C、无限循环小数是有理数，D、 ，故错误.
【分析】根据正数的立方根是正数可知选项B不符合题意，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，而无限循环小数是有理数，可知选项C不符合题意，因为0=0，0是有理数，可知选项D不符合题意，用排除法可知选项A符合题意。
7．（2012八下·建平竞赛）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为 ，较长直角边为 ，那么 的值为（　　）
A．13 B．36 C．25 D．169
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；勾股定理的证明
【解析】【解答】由题意得 ， ，则
所以
故答案为：C.
【分析】因为直角三角形的短直角边为 a ，较长直角边为 b，所以直角三角形的斜边为+，则+，=13，由题意得ab=( 13 1 ) ÷ 4 = 3，则ab=6，那么用完全平方公式将 展开后整体代入即可求解。
8．（2012八下·建平竞赛）若0＜ ＜1，那么 的化简结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵0＜ ＜1
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据已知条件0＜ x ＜1可得x-10，则=1 x，于是代数式化简的值为2.
二、填空题
9．（2012八下·建平竞赛）已知a+b=1，ab=108，则a2b+ab2的值为　 　 .
【答案】108
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】当a+b=1，ab=108时，
【分析】将所求代数式用提公因式法分解因式得 b + a = a b ( a + b )，再将a+b=1，ab=108代入即可求解。
10．（2012八下·建平竞赛）如图，长方体中，AB=12cm，BC=2cm，B =3cm，一只蚂蚁从点A出发，以4cm/秒的速度沿长方体表面爬行到点 ′，至少需要　 　分钟.
【答案】
【知识点】几何体的展开图；勾股定理
【解析】【解答】由图可得蚂蚁爬行的最短路程
则至少需要 分钟.
【分析】由长方体的展开图可知：蚂蚁爬行的最短路程是线段A，而A是展开后以A、AB+BC的长为两条直角边的直角三角形的斜边，则根据勾股定理可求出蚂蚁爬行的最短路程，至少需要的时间=蚂蚁爬行的最短路程速度即可。
11．（2012八下·建平竞赛）如图，AD=8cm，CD=6cm，AD⊥CD，BC=24cm，AB=26cm，则S四边形ABCD=　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】连接AC，
∵AD=8cm，CD=6cm，AD⊥CD
∴
∵
∴△ABC为直角三角形
∴S四边形ABCD=
【分析】连接AC，在直角三角形ACD中，用勾股定理可求A C的长，由勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，所以四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积-直角三角形ACD的面积。
12．（2012八下·建平竞赛）如图，要在高3m，斜坡5m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需　 　 _m.
【答案】7
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】由题意得直角三角形的另一条边长
则地毯的长度至少需
【分析】用勾股定理可求得直角三角形的另一条直角边长，根据题意可知地毯的长度=两直角边之和。
13．（2012八下·建平竞赛）任意找一个小于1的正数，利用计算器对它不断进行开立方运算，其结果如何？根据这一规律，则 　 　a（0【答案】＞
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】由题意取 ，则
所以
【分析】根据立方根的意义；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根。而一个小于1的正数乘方次数越多，值越小，对于平方根有相同的规律，所以a。
14．（2012八下·建平竞赛）若 与 是同一个数的平方根，则 的值为　 　.
【答案】-3或1
【知识点】平方根
【解析】【解答】由题意得 或
解得 或
【分析】分两种情况讨论：当这两个平方根相等时，有2a 4=3a 1 ，求出a的值；当这两个平方根不相等时，则两个平方根互为相反数，有( 2a 4)+(3a 1) =0，求出a的值。
15．（2012八下·建平竞赛）已知3 ＝3，3 ＝9，3 ＝27，3 ＝81，3 ＝243，3 ＝729， 37＝2187，3 ＝6561……，请你推测3 的个位数是　 　.
【答案】1
【知识点】乘方的相关概念；探索数与式的规律
【解析】【解答】∵
∴3 的个位数是1.
【分析】根据已知条件可知，个位数经过3、9、7、1四次一循环，用3的指数除以4，若余1，则个位数是3；若余2，则个位数是9；若余3，则个位数是7；若刚好除尽，则个位数是1.此题用204=5，刚好除尽，则个位数是1.
16．（2012八下·建平竞赛）已知a1+a2=1，a2+a3=2，a3+a4=3，…，a99+a100=99，a100+a1=100，那么a1+a2+a3+…a100= 　 　。
【答案】2525
【知识点】有理数的加法
【解析】【解答】解：∵a1+a2=1，a2+a3=2，a3+a4=3，…，a99+a100=99，a100+a1=100，
∴a1+a2+a3+…a100= （a1+a2+a2+a3+a3+a4+，…，a99+a100+a100+a1） = （1+2+3+…+100）
= ×5050
=2525．
故填：2525．
【分析】先将a1+a2+a3+…a100转化为 （a1+a2+a2+a3+a3+a4+，…，a99+a100+a100+a1）得出 （1+2+3+…+100），计算即可得出答案。
三、解答题
17．（2012八下·建平竞赛）化简：
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：原式= = =
（2）解：原式= =
【知识点】实数的运算；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）满足两个条件：一是被开方数的因数是整数，因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫作最简二次根式。先将各式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解。
（2）根据绝对值的非负性、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、二次根式的乘除将各项化简，再进行加减即可。
18．（2012八下·建平竞赛）已知 的和仍为单项式，求多项式 的值.
【答案】解：∵ 的和仍为单项式，
∴ 是同类项，
∴x=2，x+y=5，解得x=2，y=3
则
【知识点】代数式求值；同类项的概念
【解析】【分析】根据两个单项式的和仍为单项式可知，这两个单项式是同类项，而同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，根据同类项的定义可得关于x、y的方程，解方程即可求出x、y的值，最后将x、y的值代入多项式计算即可。
19．（2012八下·建平竞赛）如果 ，试求代数式 的值.
【答案】解： 解：∵a是方程x2-3x+1=0的根，
∴a2+1=3a，
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=-1.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根
【解析】【分析】 根据方程的解满足方程，把方程的解代入方程，可得a2+1=3a，根据代数式求值，可得答案．
20．（2012八下·建平竞赛）“震灾无情人有情”．民政局将全市为四川受灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件．
（1）求打包成件的帐篷和食品各多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批帐篷和食品全部运往受灾地区．已知甲种货车最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装帐篷和食品各20件．则民政局安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．
（3）在第（2）问的条件下，如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元．民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？
【答案】（1）解：设该校采购了y件小帐篷，x件食品．
根据题意，得 ，
解得 ．
故打包成件的帐篷有200件，食品有120件
（2）解：设甲种货车安排了z辆，则乙种货车安排了（8﹣z）辆．则
，
解得2≤z≤4．
则z=2或3或4，民政局安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；
②甲车3辆，乙车5辆；
③甲车4辆，乙车4辆；
（3）解：3种方案的运费分别为：
①2×4000+6×3600=29600（元）；
②3×4000+5×3600=30000（元）；
③4×4000+4×3600=30400（元）．
∵方案一的运费小于方案二的运费小于方案三的运费，
∴方案①运费最少，最少运费是29600元
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】
①有两个等量关系：帐篷件数+食品件数=320，帐篷件数-食品件数=80，直接设未知数，列出二元一次方程组，求出解：
②先由等量关系得到一元一次不等式组，求出解集，再根据实际含义确定方案.
21．（2012八下·建平竞赛）一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于1200，∠B、∠D应分别为150、200.李叔叔量得∠BCD=1450，就能断定该零件不合格，你能说出其中的道理吗？
【答案】解：连接BD，
则 ；
而在 中， ，
由 ， ，
可知 ，
这与上面的结果不一致，从而知这个零件不合格
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】连接BD，根据三角形三内角的和等于180度可求得∠ C D B + ∠ C B D =， 而在 Δ A B D 中，由 已知条件可求得 ∠ C D B + ∠ C B D =，与前面的结果不相符合，所以 这个零件不合格。
22．（2012八下·建平竞赛）国庆60周年阅兵式上，向世界展示了一种新型导弹―“红-九地空导弹”.它是我国自行研制的远程防空导弹，集美俄技术于一身，以拦截飞机为主，同时具有很强的拦截短程弹道导弹的能力.10枚“红-九地空导弹”（每枚底面的直径均为0.4m）以如图方式堆放，为了防雨，需要搭建防雨棚，这个防雨棚的最低高度应为多少米（精确到0.1m）？
【答案】解：如图，可得△O1O2O3为等边三角形，三角形的边长 ，高 则防雨棚的最低高度应为1.04+0.4=1.44≈1.4米
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【分析】根据题意可知△O1O2O3为等边三角形，而等边三角形的高=等边三角形的边长，则防雨棚的最低高度=等边三角形的高+1枚导弹底面的直径.
23．（2012八下·建平竞赛）任画一个直角三角形，分别以它的三条边为边向外做等边三角形，
要求：
（1）画出图形；
（2）探究这三个等边三角形面积之间的关系，并说明理由.
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：设直角三角形的三边从小到大是a，b，c
又
则 .即斜边所在等边三角形的面积是另外两个等边三角形面积之和
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据边边边定理用尺规作图即可。
（2）设直角三角形的三边从小到大是a，b，c，因为等边三角形的高=a，则面积=aa，通过计算并由勾股定理可得+ = ，即斜边所在等边三角形的面积是另外两个等边三角形面积之和.
24．（2012八下·建平竞赛）国际象棋中的“皇后”不仅能控制她所在的行与列的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每个小方格，如图甲所示.
（1）在图乙小方格中有一“皇后Q”他所在的位置可用（2，3）来表示，请说明“皇后Q”所在的位置（2，3）的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置；
（2）图丙是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q”，使这四个“皇后Q”之间胡不受对方控制.（在图丙中标出字母Q即可）
【答案】（1）解：“皇后Q”所在的位置（2，3）表示“皇后Q”位于第2列第3行，棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置是（1，1）、（3，1）、（4，2）、（4，4）
（2）解：（1.3）、（2，1）、（3，4）、（4，2）或（1，2）、（2，4）、（3，1）、（4，3）
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【分析】（1）“皇后Q”所在的位置（2，3）表示“皇后Q”位于第2列第3行；根据已知条件“皇后”不仅能控制她所在的行与列的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每个小方格可知棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置是（1，1）、（3，1）、（4，2）、（4，4）。
（2）只要彼此之间不在它们所在的行与列以及斜方向即可。所以这四个“皇后Q”的位置可以是（1.3）、（2，1）、（3，4）、（4，2）或者是（1，2）、（2，4）、（3，1）、（4，3）。
25．（2012八下·建平竞赛）某粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较高安全系数A、B两仓库.已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨.从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）
（1）若甲库运往A库粮食 吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费 y （元）与 （吨）的函数关系式；
（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
【答案】（1）解：依题意得
＝ ，其中
（2）解：上述一次函数中
∴ 随 的增大而减小
∴当 ＝70吨时，总运费最省，最省的总运费为：
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）总运费y=甲库运往A、B两仓库的运费+乙库运往A、B两仓库的运费，而甲库运往A库的运费=甲库到A库的距离甲库运往A库的粮食吨数甲库运往A库每吨每千米的运费。
（2）由（1）知y是x的一次函数，而k=-300，所以y随x的增大而减小，要使总运费最少，则x最大，即当x=70时，总运费最省。
26．（2012八下·建平竞赛）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合.（在图3至图6中统一用F表示）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请说明：AH=DH.
【答案】（1）解：由题意可知AB=10，∠A=30o
所以BF= AB=5，AF=
因此平移的距离为BF=5cm
（2）解：此时FG⊥DE，故FG为Rt⊿EFD的高.
又因为S⊿EFG= ×10×FG= × ×5
所以FG= （cm）
（3）解：由题意可知EF=FB1，AF=FD，
所以AE=B1D.
又因为∠AHE=∠B1HD，∠A=∠D=30o，
所以⊿AHE≌⊿DHB1
故AH=DH
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BF= AB，所以平移的距离为5cm。
（2）因为图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，所以FE=，已知=，于是，用面积法可求线段FG的长度。
（3）用角角边可证⊿AHE≌⊿DHB1，于是有AH=DH。
1 / 1

展开更多......

收起↑