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第二讲 绝对值
【知识梳理】
知识点一、绝对值
1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作.
知识诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
知识点二、有理数的大小比较
1. 数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a2. 法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
一数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
3. 作差法：设a、b为任意数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，a反之成立．
4. 求商法：设a、b为任意正数，若，则a>b；若，则a=b；若，则a5. 倒数比较法：如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小.
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
例1．若，则a的取值范围是（ ）
A. B． C．a<2021 D．a>2021
举一反三：
【变式1】 若π>3，则　 　 ．
【变式2】如果数轴上的点A到数轴4的距离是3，则点A表示的数为　 　 ．
如果，那么x=　 　 ；如果，那么x的范围是　 　 ．
【变式3】已知，，若a，b同号，则　 　 ；若a，b异号，
则　 　 ．据此讨论与的大小关系．
【变式4】已知，，且x-y>0，试求x+y的值．
类型二、比大小
例2．比较下列每组数的大小：
（1）与； （2）与．
举一反三：
【变式】若m>0，n<0，且，用“>”，把m，-m，n，-n，连接起来．
类型三、含有字母的绝对值的化简
例3．若，则　 　 ．
举一反三：
【变式1】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且表示数a的点、数b的点与原点的距离相等．

（1）用“>”“ <”或“=”填空：b　 　0，a+b　 　0，a-c　 　0，b-c　 　0；
（2）　 　 ．
（3）化简．
【变式2】求的最小值．
【变式3】如图，数轴上有a，b，c三点

（1）化简
（2）用含a，b，的式子表示下列的最小值：
①的最小值为　 　 ；
②的最小值为　 　 ；
③的最小值为　 　 ．
类型四、绝对值非负性的应用
例4．已知a，b为有理数，且满足：，则a=　 　 ，b=　 　 ．
举一反三：
【变式1】已知，则x的取值范围是　 　 ．
【变式2】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．
类型五、绝对值的实际应用
例5．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
举一反三：
【变式】某巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东方向为正，向西方向为负，当天行驶情况记录如下（单位：千米）:+10，-8，+6，-14，+4，-2．
（1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？
（2）若摩托车每行驶1千米耗油0.5升，这一天共耗油多少升？

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