资源简介

第十讲 角
【知识梳理】
知识点一、角的概念（教科书第132页）
1．角的定义：
（1）定义一：我们知道，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．

图1 图2
定义二：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．如图2所示，射线OA绕点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
2．角度制及其换算
度、分、秒是常用的角的度量单位．把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作“1′”，把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作“1″”．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
知识点二、角的比较与运算（教科书第133页）
1．角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
2．角平分线
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．类似地，还有角的三等分线等．
如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∠AOC＝∠BOC =∠AOB．

【典型例题】
类型一、角度的运算
例1．计算（直接写出结果）76°35′+69°65′=　 　 ，19°37′26″×9=　 　 ．
例2．已知∠A＝25°12′，∠B＝25.12°，∠C＝25.2°，∠A，∠B，∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠B＜∠C B．∠A＝∠C＞∠B C．∠A＞∠C＞∠B D．∠B＞∠A＞∠C
例3．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是（ ）
A．35° B．55° C．70° D．110°

例4．如图，若∠AOB＝2∠AOC，则OC是∠AOB的______线，若∠AOC＝25°，则
∠BOC＝_____，∠AOB＝ ．

例5．如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
（1）求∠MON的度数；
（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；
（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；
（4）从上面结果中看出有什么规律？

举一反三：
【变式1】如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE=30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠AED=n°，则∠DEC的度数为　 　 度．

【变式2】如图，已知OC是∠AOB的平分线，则下列结论：①∠AOB=∠BOC；
②∠AOC=∠BOC；③∠AOB=2∠AOC；④∠AOB=2∠BOC．其中正确的有（ ）

A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【变式3】如图，把长方形的一角折叠，得到折痕EF，已知∠EFB＝35°，则∠BFC的度数为　 　 ．

【变式4】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE=∠BOE=90°，OF平分∠COE，∠1=∠2=20°，求∠AOF的度数．

知识点三、余角和补角（教科书第137页）
1．定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
2．性质：（1）同角（等角）的补角相等．（2）同角（等角）的余角相等．
【典型例题】
类型二、余角与补角
例6．如果α与β互为余角，则( )
A．∠α＋∠β＝180° B．∠α－∠β＝180° C．∠α－∠β＝90° D．∠α＋∠β＝90°
例7．一个角的余角是36°35′，则这个角的度数是　 　 ，它的补角的度数是　 　 ．
例8．如图，A、O、B在一条直线上，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，那么下列说法
中错误的是（ ）

A．∠DOC与∠AOE互余 B．∠COE与∠BOD互余
C．∠AOE与∠BOC互补 D．∠AOD与∠BOD互补
举一反三：
【变式1】如图，直线AB和CD交于点O，∠AOE＝90°，OF平分∠AOE，∠1＝15°30′，下列结论中不正确的是（ ）

A．∠2＝45° B．∠1＝∠3 C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75°30′
【变式2】一个角的补角比这个角的余角的3倍还少18°，求这个角的大小．
【变式3】已知：∠AOB=90°，∠COD=90°．
（1）试说明∠BOC=∠AOD；
（2）若OA平分∠DOE，∠BOC=20°，求∠COE的度数．

【变式4】如图，点A，O，E在同一条直线上，OB平分∠AOC，∠BOC＋∠COD＝90°，猜想∠COD与∠DOE之间有什么关系？试说明理由．

知识点四、方位角（教科书第138页）
表示方向的角在航行、测绘等工作中经常用到．
例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
【典型例题】
类型三、方位角
例9．已知小岛A位于基地O的西北方向，货船B位于基地O的南偏西40°方向，那么
∠AOB的度数等于　 　 ．
如图，如果在阳光下你的身影的方向为北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是
．

补充：钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【典型例题】
类型四、钟表上有关夹角问题
例11．钟面上6时整，
（1）分针和时针所成的角是多少度？是什么角？
（2）最少经过几分，分针和时针所成的角为直角？

举一反三：
【变式1】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午近7点回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间?
【变式2】5月1日“劳动节”这一天，城区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗？通过计算加以说明．

展开更多......

收起↑