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第九讲 几何图形
初步几何
【知识梳理】
知识点一、几何图形
1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．
2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形
(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等．
(2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．
知识诠释：
(1)常见的立体图形有两种分类方法：

知识点二、从不同方向看
（1）从正面看:正视图(也称主视图)；（2）从左面看:左视图；（3）从上面看:俯视图．
知识点三、简单立体图形的展开图
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
知识诠释：
(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．
知识点四、点、线、面、体
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体；包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系．此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．
【典型例题】
类型一、几何图形
例1．下列几何体中与其余三个不属于同一类几何体的是（ ）
A． B． C． D．
类型二、三视图
例2．如图的几何体由5个相同的小正方体搭成．从正面看，这个几何体的形状是（ ）

A． B． C． D．
例3．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如左图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（ ）

A． B． C ． D．
举一反三：
【变式1】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？

主视图 俯视图
【变式2】把50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有（ ）块完全喷不到漆．

A．5 B．7 C．17 D．22
类型三、展开图
例4．右下图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是（ ）

举一反三：
【变式】宜黄素有“华南虎之乡”的美誉．将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“虎”相对的字是________．

类型四、点、线、面、体
例5．粉刷墙壁时，粉刷工人用滚筒在墙上刷过几次后，墙壁马上换上了“新装”，在这个过程中，你认为下列判断正确的是（ ）
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面与面相交得到线
例6．“节日的焰火”可以说是（ ）
面与面交于线 B．点动成线 C．面动成体 D．线动成面
例7．如图：CD是直角三角形ABC的高，将直角三角形ABC按以下方式旋转一周可以得到右侧几何体的是（ ）

A．绕着AC旋转 B．绕着AB旋转 C．绕着CD旋转 D．绕着BC旋转
直线、射线、线段
【知识梳理】
知识点一、直线
1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．
2．表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如：直线AB(或直线BA)；也可以用一个小写英文字母表示，如：直线l．
3．基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
知识诠释：
直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细．
（3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点．
知识点二、线段
1．概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．
2．表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图所示，记作：线段a．

3．基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如下图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．

知识诠释：
（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．
（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（3）线段的比较：
①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．
②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．
4．线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB=2AC=2BC．

知识诠释：
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．
知识点三、射线
1．概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．
如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．
l
2．特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．
3．表示方法：
（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的
任意一点，端点写在前面，如图所示，可记为射线OA．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图所示，射线OA可记为射线l．
知识诠释：
(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．射线OA，射线OB是不同的射线．
(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．
知识点四、直线、射线、线段的区别与联系
1．直线、射线、线段之间的联系
（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．
（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．
（3）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
【典型例题】
类型一、有关概念
例1．如图所示，指出图中的直线、射线和线段．

类型二、直线、线段的性质
例2．下列说法正确的是（ ）
A．射线PA和射线AP是同一条射线 B．射线OA的长度是3cm
C．直线ab，cd相交于点P D．两点确定一条直线
例3．如图，A，B两地间修建曲路与修建直路相比，虽然有利于游人更好地观赏风光，但增加了路程的长度．其中蕴含的数学道理是（ ）

A．经过一点可以作无数条直线 B．经过两点有且只有一条直线
C．两点之间，有若干种连接方式 D．两点之间，线段最短
举一反三：
【变式1】某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有30人，C区有10人，三个区在同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）

　 A．A区 B．B区 C．C区 D．A、B两区之间
【变式2】如图，从A到B最短的路线是（ ）

A．A-G-E-B B．A-C-E-B C．A-D-G-E-B D．A-F-E-B
类型三、个（条）数或长度的计算
例4．根据题意，完成下列填空．
如图所示，l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线l3，那么这3条直线最多有　 　 个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l4，那么这4条直线最多可有　 　 个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，
6条直线最多可有　 　 个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有　 　 个交点(用含有n的代数式表示)．

举一反三：
【变式1】平面上有n个点，最多可以确定　 　 条直线
【变式2】一条直线有n个点，最多可以确定　 　 条线段，　 　 条射线.
【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点?
类型四、两点间的距离
例5．如图，点C，D在线段AB上．则下列表述或结论错误的是（ ）

A．若AC=BD，则AD=BC B．AC=AD+BD-BC
C．AD=AB+CD-BC D．图中共有线段12条
举一反三：
【变式】在直线l上取三点A、B、C，使线段AB=8cm，AC=3cm，则线段BC的长为（ ）
A．5cm B．8cm C．5cm或8cm D．5cm或11cm
类型五、两点间距之动点问题
例6．如图，直线l上有A，B两点，AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB．
（1）OA=　 　 cm，OB=　 　 cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC=CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t(s)，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP-OQ=4(cm)；

举一反三：
【变式1】已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数-24，-10，8，动点P从A出发，
以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=　 　 ，PC=　 　 ；
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点
到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后，P、Q两点之
间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由.

【变式2】如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10cm，BC=6cm，点M，N分别是AC，BC的中点．

（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，
点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止
运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？

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