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第三讲 有理数运算
有理数的加减法
【知识梳理】
知识点一、有理数的加法
1．定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2．法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
知识点二、有理数的减法
1．定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，
知识诠释：
（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；
②数字即数的绝对值．
2．法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a-b=a+(-b)．
【典型例题】
类型一、有理数的加减混合运算
例1．计算：（1）
（2）；
类型二、有理数的加减混合运算在实际中的应用
例2．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．
（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；
（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1
这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．

举一反三：
【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?
有理数的乘除法
【知识梳理】
知识点一、有理数的乘法
1．有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
知识诠释：
（1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2．有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
知识点二、有理数的除法
1．倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数，乘积为-1的两个数互为负倒数．
知识诠释：
（1）0没有倒数；
（2）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
（3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2．有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即．
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相；0除以任何一个不等于0的数，都得0．
知识点三、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
例1．计算：（1）；



类型二、有理数的除法运算
例2．计算：（1） （2）
类型三、有理数的乘除混合运算
例3．计算：（1） （2）
类型四、有理数的加减乘除混合运算
例4．计算：
举一反三：
【变式1】观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…,
那么计算：　 　 ．
【变式2】
类型五、含绝对值的化简
例5．计算的值．
举一反三：
【变式1】已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?
【变式2】若a、b互为相反数，b、c互为倒数，并且m的平方等于它本身．
（1）求值．
（2）若a>1，且m<0，，求2a-S的值．

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