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第一讲 有理数
有理数的意义
【知识梳理】
知识点一、正数与负数
像+2、+3等大于0的数，叫做正数；像-2、-3等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
知识诠释：
（1）一个数前面的“+”、“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
知识点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与0的关系分类：　

知识诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数可以看作有限小数、无限循环小数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
例1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣20元表示（ ）
A．支出80元 B．收入80元 C．支出20元 D．收入20元
举一反三：
【变式】一种大米的质量标识为“(50±0.5)千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）
A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克
例2．学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1）这8名男生有百分之几达到标准？
（2）他们共做了多少引体向上？
类型二、有理数的分类
例3．下面说法中正确的是（ ）
A．非负数一定是正数． B．有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．-a一定是负数． D．正整数和正分数统称正有理数．
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（ ）
（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ）
（3）整数又叫自然数.（ ）
（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ）
【变式2】下列四种说法，正确的是（ ）
　　A．所有的正数都是整数 　　　　　　B．不是正数的数一定是负数
　　C．正有理数包括整数和分数　　　　 D．0不是最小的有理数
类型三、探索规律
例4．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，…….按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是　 　 粒.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，……，根据这个规律，那么第2021个数
是：　 　 .
【变式2】观察下列有规律的数：，，，，，……，根据其规律可知
第10个数是：　 　 .
数轴与相反数
【知识梳理】
知识点一、数轴
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
知识诠释：
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如π.
知识点二、相反数
1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.
知识诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同；
（2）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数；
（3）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.
2.性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等。
（2）互为相反数的两数和为0.
知识点三、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，
如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .
【典型例题】
类型一、数轴的概念
例1.小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了100米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置．
类型二、相反数的概念
例2．在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的正数是（ ）
A．-2 B．8 C．-2或8 D．5
举一反三：
【变式1】
（1）如果a=2021，那么-a=　 　 ； （2）如果-a=3，那么a=　 　 ；
【变式2】－4的倒数的相反数是（ ）
A. －4 B．4 C． D．
例3．已知m、n互为相反数，则=　 　 ．
举一反三：
【变式】已知与互为相反数，求m的值.
类型三、多重符号的化简
例4．化简：
（1）； （2）．
举一反三：
【变式】当+5前面有2021个负号时，化简结果为：　 　 .
类型四、数轴应用
例5．数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A、B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且a+b+c+d=6，则点D表示的数为（ ）

A．-2 B．0 C．3 D．5
举一反三：
【变式】如图①，在数轴上有一条线段AB，点A，B表示的数分别是-2和-11．
（1）线段AB=　 　 ．
（2）若M是线段AB的中点，则点M在数轴上对应的数为　 　 ．
（3）若C为线段AB上一点，如图②，以点C为折点，将此数轴向右对折；如图③，点B落在点A的右边点B′处，若，求点C在数轴上对应的数是多少？

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