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高中数学必修 1至必修 5知识点总结 （复习专用） 人教版
必修 1
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性
非负整数集（即自然数集）记作： N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如： a是集合 A的元素，就说 a属于集合 A 记作 a∈ A ，
相反， a不属于集合 A 记作 a A
二、集合间的基本关系
任何一个集合是它本身的子集。 A A
②真子集 :如果 A B,且 B A那就说集合 A是集合 B的真子集，记作 A B(或 B A)
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于 A且属于 B的元素所组成的集合 ,叫做 A,B的交集． (即找公
共部分 )记作 A∩ B(读作” A交 B” )，即 A∩ B={x|x∈ A，且 x∈ B}．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。
（即 A和 B中所有的元素）记作： A∪ B(读作” A并 B” )，即 A∪ B={x|x∈ A，或 x∈ B}．
4、全集与补集
（ 1）补集：设 S是一个集合， A是 S的一个子集（即 ），由 S中所有不属于 A的元素组成的集合，
叫做 S中子集 A的补集（或余集）（即除去 A剩下的元素组成的集合）
四、函数的有关概念
定义域补充
能使函数式有意义的实数 x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、
对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的
定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合 .（ 6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的
定义域还要保证实际问题有意义 .
(又注意：求出不等式组的解集即 为函数的定义域。 )
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
4．了解区间的概念
（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（ 2）无穷区间；（ 3）区间的数轴表示．
7．函数单调性
（ 1）．增函数
设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内的某个区间 D内的任意两个自变量 a， b，当 a都有 f(a)区间的概念）
如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 a， b，当 a区间上是减函数 .区间 D称为 y=f(x)的单调减区间 .
注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2 必须是对于区间 D内的任意两个自变量 a， b；当 a（ 2） 图象的特点
如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调
性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的 .
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：任取 a， b∈ D，且 a - 1 -
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（即判断差 f(a)－ f(b)的正负）； 5 下结论（指出函数 f(x)在给定的区间 D上的单调性）．
(B)图象法 (从图象上看升降 )_ (C)复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)， y=f(u)的单调性密切相关
注意： 1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集 .
8．函数的奇偶性
（ 1）偶函数
一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－ x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数．
（ 2）．奇函数
一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－ x)=— f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数．
注意： 1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能
没有奇偶性 ,也可能既是奇函数又是偶函数。
2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则
－ x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图 象关于原点对称．
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原
点对称； 2 确定 f(－ x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论：若 f(－ x) = f(x) 或 f(－ x)－ f(x) = 0，则
f(x)是偶函数；若 f(－ x) =－ f(x) 或 f(－ x)＋ f(x) = 0，则 f(x)是奇函数．
注意 ：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对
称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称， (1)再根据定义判定 ; (2)有时判定 f(-x)=± f(x)比较困难，
可考虑根据是否有 f(-x)± f(x)=0或 f(x)/f(-x)=± 1来判定 ; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
10．函数最大（小）值（定义见课本）
（ 1）、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 .
（ 2）、利用图象求函数的最大（小）值
（ 3）、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数 y=f(x)在区间 [a， b]上单调递增，在区
间 [b， c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间 [a， b]上单调递减，
在区间 [b， c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b处有最小值 f(b)；
第二章 基本初等函数
一、指数函数
，
0的正分数指数幂等于 0， 0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（ 1） · ；
（ 2） ；
（ 3） ．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（ exponential function），
其中 x是自变量，函数的定义域为 R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1．

2、指数函数的图象和性质
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a>1 0
图象特征 函数性质

向 x、 y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R
图象关于原点和 y轴不对称 非奇非偶函数
+
函数图象都在 x轴上方 函数的值域为 R
函数图象都过定点（ 0， 1）
自 左 向 右 自 左 向 右
看， 看， 增函数 减函数
图 象 逐 渐 图 象 逐 渐
上升 下降
在 第 一 象 在 第 一 象
限内的图象纵 限内的图象纵
坐标都大于 1 坐标都小于 1
在 第 二 象 在 第 二 象
限内的图象纵 限内的图象纵
坐标都小于 1 坐标都大于 1
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（ 1）在 [a， b]上， 值域是 或 ；
（ 2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；
（ 3）对于指数函数 ，总有 ；
（ 4）当 时，若 ，则 ；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做 以 ． 为底 ． ． 的对 数，记作：
（ — 底数， — 真数， — 对数式）
说明： ○1 注意底数的限制 ，且 ；
○2 ；
○3 注意对数的书写格式 ．
两个重要对数：
○1 常用对数：以 10为底的对数 ；
○2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ．
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对数式与指数式的互化

对数式 指 数式
对数底数 ← → 幂底数
对数 ← → 指数
真数 ← → 幂
（二）对数的运算性质
如果 ，且 ， ， ，那么：（ 1） · ＋ ；
（ 2） － ；（ 3） ．
注意：换底公式 （ ，且 ； ，且 ； ）．
利用换底公式推导下面的结论
（ 1） ；
（ 2） ．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做 对数函数，其中 是自变量，函数的
定义域是（ 0， +∞）．
注意： ○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
（ 2）对数函数和指数函数的联系是 x和 y的位置
如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
2、对数函数的性质：
a>1 0
图象特征 函数性质

函数图象都在 轴右侧 函数的定义域为（ ，＋∞）
图象关于原点和 轴不对称 非奇非偶函数
向 轴正负方向无限延伸 函数的值域为
函数图象都过定点（ ， ）
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自左向右看， 自左向右看，
图 象 逐 渐 上 图 象 逐 渐 下 增函数 减函数
升 降
第 一 象 第 一 象
限 的 图 象 纵 限 的 图 象 纵
坐标都大于 0 坐标都大于 0
第 二 象 第 二 象
限 的 图 象 纵 限 的 图 象 纵
坐标都小于 0 坐标都小于 0
三、幂函数
1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数．
2、幂函数性质归纳．
（ 1）所有的幂函数在（ 0， +∞）都有定义，并且图象都过点（ 1， 1）；
（ 2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，
幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；
（ 3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点
时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时， 图象在 轴上方无限地逼近 轴正半
轴．

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数
的零点。
2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象
与 轴交点的横坐标。即：
方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
3、函数零点的求法：
求函数 的零点：
○1 （代数法）求方程 的实数根；
○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用
函数的性质找出零点．
必 修
第一章 立体几何初步
特殊几何体表面积公式（ c为底面周长， h为高， 为斜高， l为母线）


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2.柱体、锥体、台体的体积公式




3. 球体的表面积和体积公式： ；
4．空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映 了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和
宽度。
3、空间几何体的直观图 —— 斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与 x轴平行的线段仍然与 x平行且长度不变；
②原来与 y轴平行的线段仍然与 y平行，长度为原来的一半。
第二章 直线与平面的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（ 1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 .
符号表示为
A∈ L A
B∈ L => L α α ·
A∈α L
B∈α
公理 1作用： 判断直线是否在 平面内 .
（ 2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
符号表示为： A、 B、 C三点不共线 => 有且只有一个平面α， α · C ·
使 A∈α、 B∈α、 C∈α。 ·
公理 2作用： 确定一个平面的依据。
（ 3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为： P∈α∩β =>α∩β =L，且 P∈ L β
公理 3作用： 判定两个平面是否相交的依据 .
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 α P
1 空间的两条直线有如下三种关系： · L
共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有 一个公共点；
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平行直线： 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设 a、 b、 c是三条直线
a∥ b =>a∥
c∥ b
强调：公理 4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理 4作用： 判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 .
4 注意点：
① a'与 b'所成的角的大小只由 a、 b的相互位置来确定，与 O 的选择无关，
为了简便，点 O 一般取在两直线中 的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈ (0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a⊥ b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（ 1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（ 2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（ 3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示

a α a∩α =A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平
行。
简记为： 线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥ b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩ b = P =>β∥α
a∥α
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b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（ 1）用定义；
（ 2）判定定理；
（ 3） 垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交
线与该直 线平行。
简记为： 线面平行则线线平行。
符号表示：

a ∥α
a β => a∥ b
α∩β = b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ = a => a∥ b
β∩γ = b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
、定义：如果直线 L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L与平面α互相垂直，记作 L
⊥α，直线 L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 L的垂面。如图，直线与平面垂直时 ,它们唯一公共点 P
叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面
垂 直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α -l-β或α -AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直 的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章 直线与方程
（ 1）直线的倾斜角
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定义： x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x轴平行或重合时 ,
我们规定它的倾斜角为 0度。因此，倾斜角的取值范围是 0°≤α＜ 180°
（ 2）直线的斜率
①定义： 倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用 k表示。
即 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直 线 l与 x轴平行或重合时 , α =0° , k = tan0° =0;
当直线 l与 x轴垂直时 , α = 90° , k 不存在 .
当 时， ； 当 时， ； 当 时， 不存在。
② 过两点的直线的斜率公式 ： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠ x2）
注意下面四点： (1)当 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90°；
(2)k与 P1、 P2的顺序无关；
(3)以后 求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 ；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（ 3）直线方程
①点斜式： 直线斜率 k，且过点
注意： 当直线的斜率为 0°时， k=0，直线的方程是 y=y1。
当直线的斜率为 90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因 l上每一点的横坐标
都等于 x1，所以它的方程是 x=x1。
②斜截式： ，直线斜率为 k，直线在 y轴上的截距为 b
③两点式： （ ）直线两点 ，
④截矩式： 其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的 截距 分
别为 。
⑤一般式： （ A， B不全为 0）

注意： ○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：
平行于 x轴的直线： （ b为常数）； 平行于 y轴的直线： （ a为常数）；
（ 6）两直线平行与垂直 当 ， 时，
；

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（ 7）两条直线的交点
相交
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交点坐标即方程组 的一组解。
方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合
（ 8）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点，
则
（ 9）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离
（ 10）两平行直线距离公式
已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，
： ，则 与 的距离为
第四章 圆与方程
、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫 圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（ 1）标准方程 ，圆心 ，半径为 r；
点 与圆 的位置关系：
当 > ，点在圆外
当 = ，点在圆上
当 < ，点在圆内
（ 2）一般方程
当 时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为
（ 3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，
b， r；若利用一般方程，需要求出 D， E， F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有 相离，相切，相交 三种情况：
（ 1） 设 直 线 ，圆 ，圆心 到 l 的 距 离 为
，则有 ； ；

（ 2）过圆外一点的切线：① k不存在，验证是否成立② k存在，设点斜式方程，用 圆心到该直线距离
=半径 ，求解 k，得到方程【一定两解】
2 2 2
(3)过圆上一点的切线方程：圆 (x-a)+(y-b)=r，圆上一点为 (x0， y0)，则过此点的切线方程为
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2
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r
必修三
：辗转相除法与更相减损术 （ 1）辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步
骤如下：
① 用较大的数 m除以较小的数 n得到一个商 和一个余数 ； ② 若 ＝ 0，则 n为 m， n的最大公
约数；若 ≠ 0，则用除数 n除以余数 得到一个商 和一个余数 ； ③ 若 ＝ 0，则 为 m， n的最大
公约数；若 ≠ 0，则用除数 除以余数 得到一个商 和一个余数 ；…… 依次计算直至
＝ 0，此时所得到的 即为所求的最大公约数。
（ 2）更相减损术
① 任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2约简；若不是，执行第二步。 ② 以较大的
数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等
为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
（ 3）辗转相除法与更相减损术的区别：
① 都是求最大公约数的方法，计算上 辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗
转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
② 从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0则得到，而更相减损术则以减数与差
相等而得到
8：秦九韶算法与排序 （ 1）秦九韶算法概念：
n n-1
f(x)=anx+an-1x +… .+a1x+a0求值问题
n n-1 n-1 n-2 n-2 n-3
f(x)=anx+an-1x +… .+a1x+a0=( anx +an-1x +… .+a1)x+a0 =(( anx +an-1x +… .+a2)x+a1)x+a0
=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即 v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次
多项式的值，即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0
这样，把 n次多项式的求值问题转化成求 n个一次多项式的值的问题。
第二章：统计
：简单随机抽样
类别 共同点 各自特点 相互关系 适用范 围
简单随 抽样过程 从总体中逐个抽取 总体中的
机抽样 中每个个体被 个体数较少
系统抽 抽取的机会相 将总体均匀分成几部分，按 再起时部分抽样时 总体中的
样 等 事先确定的规则在各部分抽取 采用简单随机抽样 个数较多
分成抽 经总体分成几层，分层进行 各层抽样时采用简 总体由差
样 抽取 单随机抽样 异明显的几部
分组成
：用样本的数字特征估计总体的数字特征
（ 1）样本均值：
（ 2）样本标准差：
用样本估计总体时，如果抽样 的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息 ，但从样本得到的信息
会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
（ 3）众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（可以是多个）。
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（ 4）中位数：在样本数据中，累计频率为 1.5时所对应的样本数据值（只有一个）。

第三章：概 率
：概率的基本性质
（ 1）必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，因此 0≤ P(A)≤ 1
（ 2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（ 3）若 A∩ B为不可能事件，即 A∩ B= ，那么 称事件 A与事件 B互斥；
（ 4）若 A∩ B为不可能事件， A∪ B为必然事件，那么称事件 A与事件 B互为对立事件；
（ 5）当事件 A与 B互斥时，满足加法公式： P(A∪ B)= P(A)+ P(B)；
若事件 A与 B为对立事件，则 A∪ B为必然事件，所以 P(A∪ B)= P(A)+ P(B)=1，于是有 P(A)=1— P(B)
（ 6）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件 A与事件 B在一次试验中不会同时发生，
其具体包括三种不同的情形： ① 事件 A 发生且事件 B 不发生； ② 事件 A 不发生且事件 B 发生； ③ 事件 A
与事件 B同时不发生，而对立事件是指事件 A 与事件 B有且仅有一个发生，其包括两种情形； ④ 事件 A发
生 B不发生； ⑤ 事件 B发生事件 A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

3：基本事件
（ 1）基本事件：基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个，它是试验中不能再分
的最简单的随机事件。
（ 2）基本事件的特点： ① 任何两个基本事件是互斥的 ② 任何事件（除不可能事件外）都可以表示成
基本事件的和。

4：古典概型：
（ 1）古典概型的条件：古典概型是一种特殊的数学模型，这种模型满足两个条件：
① 试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 ② 所有基本事件必须是有限个。
（ 2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
②求出事件 A所包含的基本事件数，然后利用公式
5：几何概型
（ 1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度（面积或体积）成比例，
则称这样的概率模型为几何概率模型；
（ 2）几何概型的概率公式： ；
（ 3）几何概型的特点： ① 试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； ② 每个基本事件出
现的可能性相等．


注意：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在
一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，值域该区域的大小
有关。如果随即事件 所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为 0，则它出现的概率为 0，
但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为 1，但他
不是必然事件。

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综上可得：必然事件的概率为 1；不可能事件的概率为 0。
概率为 1的事件不一定为必然事件；概率为 0的事件不一定为不可能事件。

必修
第一章 三角函数（初等函数二）
、与角 终边相同的角的集合为
7、弧度制与角度制的换算公式： ， ， ．
8、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ，
， ．
9、设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点 的距离是
，则 ， ， ．
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限
余弦为正．
11、三角函数线： ， ， ．
12、同角三角函数的基本关系： y
P T
； v
O M A x
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
性
质
图
象

定义

域
值
域
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当 当
时， 时，
；当
最 既无最大值也无最
；当
值 小值
时，
时，
．
．
周
期性
奇 奇函数 偶函数 奇函数
偶性
在

在 在
上
上是增函数；
单 是 增 函 数 ； 在
在
调性 上 是 增 函
上是减函数． 数．

上是减函数．
对称中心 对称中心
对称中心

对
称性 对称轴 对称轴
无对称轴


第二章 平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为 的向量．
单位向量：长度等于 个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
⑴ 三角形法则的特点：首尾相连．
⑵ 平行四边形法则的特点：共起点．

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⑶ 三 角 形 不 等 式 ：
．
⑷ 运算性质：
① 交 换 律 ：
；
② 结合律： ；

③ ．
⑸ 坐 标 运 算 ： 设 ， ，则


．

18、向量减法运算：
⑴ 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向 量．

⑵ 坐 标 运 算 ： 设 ， ，则
．
设 、 两点的坐标分别为 ， ，则 ．
23、平面向量的数量积：
⑴ ．零向量与 任一向量的数量积为 ．
⑵ 性质：设 和 都是非零向量，则 ① ． ② 当 与 同向时， ；当 与
反向时， ； 或 ． ③ ．
⑷ 坐标运算：设两个非零向量 ， ，则 ．
若 ，则 ，或 ．
设 ， ，则 ．
设 、 都 是 非 零 向 量 ， ， ， 是 与 的 夹 角 ， 则
．
第三章 三角恒等变换
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24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
⑸ （ ）；
⑹ （ ）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴ ．
⑵ （ ， ）．
⑶ ．
26、 ，其中 ．
必修
第一章 解三角形
、正弦定理：在 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边， 为 的外接圆的半径，
则有 ．
2、正弦定理的变形公式： ① ， ， ；
② ， ， ； ③ ；
④ ．
（正弦定理主要用来解决两类问题： 1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和
一边，求其余的量。）
3、三角形面积公式： ．
4、余弦定理：在 中，有 ， ， ．
5、余弦定理的推论： ， ， ．
(余弦定理主要解决的问题： 1、已知两边和夹 角，求其余的量。 2、已知三边求角 )
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6、如何判断三角形的形状：设 、 、 是 的角 、 、 的对边，则： ① 若 ，
则 ；
② 若 ，则 ； ③ 若 ，则 ．
附：三角形的四个“心”；
重心：三角形三条中线交点 .
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 .
内心：三角形三 内角的平分线相交于一点 .
垂心：三角形三边上的高相交于一点
第二章 数列
、如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，
这个常数称为等差数列的公差．符号表示 : 。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：
① ② 2 ( ) ③ ( 为常数
12、由三个数 ， ， 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则 称为 与 的等差中项．若
，则称 为 与 的等差中项．
13、若等差数列 的首项是 ，公差是 ，则 ．
14、通项公式的变形： ① ； ② ； ③ ；
④ ； ⑤ ．
15、 若 是等差数列， 且 （ 、 、 、 ），则 ；若 是
等差数列，且 （ 、 、 ），则 ．
16 、 等 差 数 列 的 前 项 和 的 公 式 ： ① ； ② ．③

18、如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，
这个常数称为等比数列的公比．符号表示： （注：①等比数列中不会出现值为 0的项 ；②同号位
上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
① ② ( ， )

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③ ( 为非零常数 ).
④ 正数列 { }成等比的充要条件是数列 { }（ ）成等比数列 .
19、在 与 中间插入一个数 ，使 ， ， 成等比数列，则 称为 与 的等比中项．若 ，
则称 为 与 的等比中项．（注：由 不能得出 ， ， 成等比，由 ， ， ）
20、若等比数列 的首项是 ，公比是 ，则 ．
21、 通项公式的变形 ： ① ；
22、若 是等比数列，且 （ 、 、 、 ），则 ；若 是等比
数列，且 （ 、 、 ），则 ．
23 、 等 比 数 列 的前 项 和 的 公 式 ： ① ．②

24、 对任意的数列 { },?} N?
? >FJN? ,??3+ ?
③ 非零 ． ． 常数列既可为等比数列，也可为等差数列 .（不是非零，即不可能有等比数列）
附：数列求和的常用方法
公式法 :适用于等差、 等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法 :适用于 其中 { }是各项不为 0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、含
阶乘的数列等。
3.错位相减法 :适用于 其中 { }是等差数列， 是各项不为 0的等比数列。
4.倒序相加法 : 类似于等差数列前 n项和公式的推导方法 .












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第三章 不等式

一元二次不等式的求解：

特例① 一元一次不等式 ax>b解的讨论；
2
②一元二次不等式 ax+bx+c>0(a>0)解的讨论 .

二次函数
（ ）的图
象
一元二次方程 有两相等实根
有两相异实根
无实根






对于 a<0的不等式可以先把 a化为正后用上表来做即可。
11、设 、 是两个正数，则 称为正数 、 的算术平均数， 称为正数 、 的几何平均数．
12、 均值不等式定理 ： 若 ， ，则 ，即 ．
13、 常用的基本不等式 ：
① ； ② ；
③ ； ④ ．
14、极值定理：设 、 都为正数，则有：
⑴ 若 （和为定值），则当 时，积 取得最大值 ． ⑵ 若 （积为定值），则当
时，和 取得最小值 ．

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