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第二课时　定点、定值、探究性问题
授课提示：对应学生用书第174页
考点一　圆锥曲线的定点问题
[例]　(2020·湖南郴州二模)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点．
(1)若以A，B为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝16，求抛物线C的标准方程；
(2)过A，B分别作抛物线的切线l1，l2，证明：l1，l2的交点在定直线上．
[解析]　(1)由抛物线的定义可得p＋6＝8，得p＝2，
故抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)证明：由x2＝2py得其焦点坐标为F.
设Aeq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(x,2p)))，Beq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2，\f(x,2p)))，
直线AB：y＝kx＋，代入抛物线方程，得x2－2kpx－p2＝0，
∴x1x2＝－p2.①
对y＝求导得y′＝，
∴抛物线过点A的切线的斜率为，切线方程为y－eq
\f(x,2p)＝(x－x1)，②
抛物线过点B的切线的斜率为，切线方程为y－eq
\f(x,2p)＝(x－x2)，③
由①②③得y＝－.
∴l1与l2的交点P的轨迹方程是y＝－，即l1，l2的交点在定直线上．
[破题技法]　定点问题主要是由线系(直线系)过定点问题
具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点．
椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为8.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵△ABF2的周长为4a，∴4a＝8，∴a＝2.
又∵e＝＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，
∴椭圆E的方程是＋＝1.
(2)由?(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，设P(x0，y0)，判别式Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0，同时有x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，易得Q(4，4k＋m)．
若定点M存在，则必在x轴上，因此，可设M(t，0)，由·＝0得(4t－4)＋t2－4t＋3＝0.
由解得t＝1.所以存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.
考点二　圆锥曲线的定值问题
[例]　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，P是C上的一个动点，且△F1PF2面积的最大值为4.
(1)求C的方程；
(2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x＝2于M，N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值．
[解析]　(1)设P(x0，y0)，椭圆的半焦距为c.
因为S△F1PF2＝|F1F2|·|y0|≤·2c·b＝bc，
所以bc＝4.
又e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以a＝4，b＝2，c＝2，
所以C的方程为＋＝1.
(2)证明：由(1)可知A(－4，0)，B(4，0)，F1(－2，0)．
由题意可知，x0≠2，且x0≠±4.
设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
则直线PA的方程为y＝k1(x＋4)，
令x＝2，得y＝6k1，故M(2，6k1)．
直线PB的方程为y＝k2(x－4)，
令x＝2，得y＝－2k2，故N(2，－2k2)．
记以MN为直径的圆为圆D，则D(2，3k1－k2)．
如图，F1T是圆D的一条切线，切点为T，连接F1D，DT.
则|F1T|2＝|F1D|2－|DT|2，
所以|F1T|2＝16＋(3k1－k2)2－(3k1＋k2)2＝16－12k1k2，又k1＝，k2＝，
所以k1·k2＝·＝eq
\f(y,x－16)，
由eq
\f(x,16)＋eq
\f(y,12)＝1，得y＝－(x－16)，
所以k1·k2＝－，
则|F1T|2＝16－12k1k2＝16－12×＝25，
所以|F1T|＝5.
故切线长为定值5.
[破题技法]　此类问题求解的一种思路是找准变化的主元，设为参数，建立参变量与其他量的关系(如函数关系、方程关系、不等式关系等)，探求目标式，通过代数运算将目标式用参变量表示出来，这一步是求解的难点也是关键所在，然后再恒等变形得到定值．另一种思路是通过特殊值或极端情形探索出定值是多少，然后进行一般性计算或证明．
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：－＝1，椭圆C2：x2＋＝1，若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．
证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝2，|OM|＝，则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线ON的方程为y＝kx，
则直线OM的方程为y＝－x.
由得
所以|ON|2＝.同理|OM|2＝.
设O到直线MN的距离为d，
因为在Rt△MON中，(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2·|ON|2，
所以＝＋＝＝，即d＝.
综上，O到直线MN的距离是定值．
考点三　圆锥曲线的存在性问题
[例]　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A(0，4)的直线l与椭圆C交于M、N两点，F是椭圆C的上焦点．问：是否存在直线l，使得S△MAF＝S△MNF？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)由题意知＝，b＝，且a2＝b2＋c2，解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)存在．理由如下：
由题意可知l的斜率一定存在，
设l为y＝kx＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立?(3k2＋4)x2＋24kx＋36＝0，
∴
∵S△MAF＝S△MNF，∴M为线段AN的中点，∴x2＝2x1，④
将④代入②解得x1＝－，⑤
将④代入③得x＝，⑥
将⑤代入⑥解得k2＝，⑦
将⑦代入①检验成立，∴k＝±，即存在直线l：6x－y＋4＝0或6x＋y－4＝0符合题意．
[破题技法]　解决存在性问题的注意事项
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采用另外的途径．
(2020·徐州模拟)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与垂直？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解析：(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，
整理得x2＋2kx＋1＝0.①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于①中
Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，
解得k<－或k>.
即k的取值范围为∪.
(2)不存在，理由如下：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①得，x1＋x2＝－，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝＋2.
因为(＋)⊥，＝(－，1)，
所以(x1＋x2)·(－)＋y1＋y2＝0，
即：－·(－)－＋2＝0.
解得：k＝－，由(1)知k2>，与此相矛盾，
所以不存在常数k使＋与垂直．
PAGE第八节　直线与圆锥曲线的综合问题
授课提示：对应学生用书第171页
[基础梳理]
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定
代数法：把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解
l与C的交点
a＝0
b＝0
无解(含l是双曲线的渐近线)
无交点
b≠0
有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)
一个交点
a≠0
Δ>0
两个不等的解
两个交点
Δ＝0
两个相等的解
一个交点
Δ<0
无实数解
无交点
2.弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝
·|y1－y2|＝·．
直线与圆锥曲线相交与相切的区别与联系
(1)直线与椭圆相交?有两个交点．
相切?有一个公共点．
(2)直线与双曲线相交时，可以为一个公共点，即直线与渐近线平行；可以为两个公共点，直线与渐近线不平行．直线与双曲线相切时，只有一个公共点．
(3)直线与抛物线相交，当直线平行对称轴时，只有一个公共点，当直线与对称轴不平行，有两个公共点．直线与抛物线相切时，只有一个公共点．
[四基自测]
1．(基础点：直线与抛物线的关系)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－　　
B．－1　　　
C．－　　　
D．－
答案：C
2．(基础点：直线截椭圆的弦长)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为(　　)
A．2
B．
C.
D.
答案：C
3．(基础点：椭圆的焦点三角形)已知F1，F2是椭圆16x2＋25y2＝1
600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________．
答案：64
4．(基础点：双曲线的通径)F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，过F作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，则|AB|＝________．
答案：6
第一课时　最值、范围、证明问题
授课提示：对应学生用书第172页
考点一　弦及弦长问题
[例]　(1)过椭圆＋＝1的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝2，则直线AB的方程为(　　)
A．x＋y－3＝0　　　
B．x±y－3＝0
C.x＋y－3＝0
D.x±y－3＝0
[解析]　由题意知，椭圆＋＝1的右焦点为F(3，0)，设直线AB的方程为x＝ty＋3，代入椭圆方程＋＝1中得(t2＋4)y2＋6ty－3＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝＋＝，所以|AB|＝＝＝2，解得t2＝2，所以t＝±，所以直线AB的方程为x＝±y＋3，即x±y－3＝0.选D.
[答案]　D
(2)(2020·沈阳监测)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是________．
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1，,y＝4x2，))两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则＝＝2，即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
[答案]　2x－y－1＝0
[破题技法]　处理弦的问题，一般是联立方程组，结合根与系数的关系，用直线斜率或纵截距作为主元，注意斜率不存在的情况．
如果涉及弦的中点与斜率问题，往往用点差法：点差法的基本步骤是设点(即设出弦的端点坐标)——代入(即代入曲线方程)——作差(即两式相减，求出斜率)，建立关系．
已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A、B两点，且点P是线段的中点．
解析：假设可作直线L，设A(x1，y2)，B(x2，y2)，
则eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\f(y,2)＝1，①,x－\f(y,2)＝1，②))
①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，
又∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝2，
此时AB的方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1，
由得x2－2x＋＝0，
∴Δ＝4－4×＜0，无解，
故不存在这样的直线．
考点二　证明几何结论问题
[例]　(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
[解析]　(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2，2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0.
由得ky2－2y－4k＝0，
可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋
＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.
综上，∠ABM＝∠ABN.
[破题技法]　圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.
解析：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.
进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.
(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.又＝(－a，b)，
从而有·＝－a2＋b2
＝(5b2－a2)．
由(1)可知a2＝5b2，
所以·＝0，故MN⊥AB.
考点三　最值与范围问题
[例]　(2020·安徽知名示范高中联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin
θ＋ycos
θ－1＝0相切(θ为常数)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的最大值．
[解析]　(1)由题意，得
解得故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)由(1)得F1(－1，0)，F2(1，0)．
①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M，N，
∴＝，＝，
故·＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由消去y得，
(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)，
则·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2
＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1)＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2＝＋＋1＋k2＝＝－，
由k2≥0，可得·∈.
综上，·的最大值为.
[破题技法]　最值问题的2种基本解法
几何法
根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)
代数法
建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决的(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)
已知点A，B分别为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，点P(0，－2)，直线BP交E于点Q，＝，且△ABP是等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．
解析：(1)由△ABP是等腰直角三角形，知a＝2，B(2，0)．
设Q(x0，y0)，由＝，得x0＝，y0＝－，
代入椭圆方程，解得b2＝1，
∴椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率存在，设方程为y＝kx－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去y，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
由直线l与E有两个不同的交点，
得Δ＞0，
则(－16k)2－4×12×(1＋4k2)＞0，解得k2＞.①
由坐标原点O位于以MN为直径的圆外，
则·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，
则x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1－2)(kx2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·－2k·＋4＞0，
解得k2＜4.②
联立①②可知＜k2＜4，
解得－2＜k＜－或＜k＜2，
故直线l斜率的取值范围为∪.
PAGE第七节　双曲线
授课提示：对应学生用书第167页
[基础梳理]
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
续表
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
1．在双曲线的定义中，|MF1|－|MF2|＝2a，表示靠近F2的一支，|MF2|－|MF1|＝2a，表示靠近F1的一支．
2．双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长．
3．方程－＝1(mn＞0)表示的曲线
(1)当m＞0，n＞0时，表示焦点在x轴上的双曲线．
(2)当m＜0，n＜0时，则表示焦点在y轴上的双曲线．
4．方程的常见设法
(1)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
(2)若渐近线的方程为y＝±x，则可设双线曲方程为－＝λ(λ≠0)．
[四基自测]
1．(基础点：双曲线的标准方程)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(　　)
A．x2－＝1　　　　　　
B．－y2＝1
C．x2－＝1
D.－＝1
答案：A
2．(基础点：双曲线的定义)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11　　　　
B．9　　　　
C．5　　　　
D.3
答案：B
3．(基础点：双曲线的渐近线)双曲线x2－＝1的渐近线方程为________．
答案：y＝±x
4．(基础点：双曲线的焦距)双曲线－＝1的焦距为________．
答案：2
授课提示：对应学生用书第167页
考点一　双曲线的定义及应用
挖掘1　利用定义求双曲线方程/
自主练透
[例1]　(1)已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)
A．x＝0　　　　　　　
B．－＝1(x≥)
C.－＝1
D.－＝1或x＝0
[解析]　动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：①动圆M与两圆都外切；②动圆M与两圆都内切；③动圆M与圆C1外切、与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切、与圆C2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M的轨迹方程为x＝0；在③的情况下，设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－.
故得|MC1|－|MC2|＝2；
在④的情况下，同理得|MC2|－|MC1|＝2.
由③④得|MC1|－|MC2|＝±2.已知|C1C2|＝8，
根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程为－＝1.故选D.
[答案]　D
(2)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x≥)
B．－＝1(x≤－)
C.＋＝1(x≥)
D.＋＝1(x≤－)
[解析]　设动圆的半径为r，由题意可得|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，所以|MC1|－|MC2|＝2＝2a，故由双曲线的定义可知动点M在以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线的右支上，即a＝，c＝4?b2＝16－2＝14，故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1(x≥)．
[答案]　A
挖掘2　利用定义求点到焦点的距离/
互动探究
[例2]　(1)(2020·陕西师大附中模拟)设过双曲线x2－y2＝9右焦点F2的直线交双曲线的左支于点P，Q，若|PQ|＝7，则△F2PQ的周长为(　　)
A．19　　　　　　　　
B．26
C．43
D.50
[解析]　如图所示，由双曲线的定义
可得
①＋②得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，
∴△F2PQ的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|
＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.
[答案]　B
(2)(2020·河南郑州一模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为y＝±x，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2＋(y＋)2＝1上一点，则|MN|＋|MF2|的最小值为(　　)
A．8
B．9
C．10
D.11
[解析]　由题意知2a＝6，则a＝3，又由＝得b＝1，所以c＝＝，则F1(－，0)．根据双曲线的定义知|MF2|＝2a＋|MF1|＝|MF1|＋6，所以|MN|＋|MF2|＝|MN|＋|MF1|＋6＝|EN|＋|MN|＋|MF1|＋5≥|F1E|＋5＝＋5＝9，当且仅当F1，M，N，E共线时取等号，故选B.
[答案]　B
(3)已知双曲线C：－＝1(b＞0)，F1、F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A、B，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝(　　)
A．4
　
B．8
C．16
　　
D．32
[解析]　由双曲线定义知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，由于|AF1|＝|BF1|，所以两式相加可得|AF2|－|BF2|＝4a，而|AB|＝|AF2|－|BF2|，
∴|AB|＝4a，由双曲线方程知a＝4，∴|AB|＝16，故选C.
[答案]　C
[破题技法]　应用双曲线定义时要注意
(1)距离之差的绝对值，不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是一支．
(2)2a<|F1F2|，否则轨迹是射线或不存在．
(3)求双曲线方程时，注意标准形式的判断及焦点位置，否则x2与y2的系数会错．
(4)注意a、b、c的关系易错易混(c>a>0，c>b>0)．
考点二　双曲线的方程及性质
挖掘1　利用双曲线的性质求方程/
自主练透
[例1]　(1)经过点(2，1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切的双曲线的标准方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　
B．－y2＝1
C.－＝1
D.－＝1
[解析]　法一：设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得＝1，解得k＝±.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将(2，1)代入可得－＝1，由得故所求双曲线的标准方程为－＝1.故选A.
法二：设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，将(2，1)代入方程可得，4m－n＝1①.双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，可得＝1，即＝3②，由①②可得m＝，n＝，所以该双曲线的标准方程为－＝1.选A.
[答案]　A
(2)若双曲线经过点(3，)，且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的方程是________．
[解析]　设双曲线的方程是y2－＝λ.因为双曲线过点(3，)，所以λ＝2－＝1.所以双曲线的方程为y2－＝1.
[答案]　y2－＝1
(3)(2020·成都模拟)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．
[解析]　法一：椭圆＋＝1的焦点为(0，3)和(0，－3)，
∴双曲线的焦距为2c＝6.
由双曲线的定义得
－＝8－4＝4＝2a.
∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，
双曲线方程为－＝1.
法二：设双曲线的方程为＋＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．
故所求双曲线方程为－＝1.
[答案]　－＝1
[破题技法]　求双曲线标准方程的方法
方法
解读
题型
定义法
根据定义求a2和b2，常用到|PF1|－|PF2|＝±2a
双曲线上有点到焦点的距离条件
性质法
利用双曲线的性质，如渐近线、焦点等
已知双曲线的某些性质
挖掘2　求双曲线的离心率或渐近线方程/
互动探究
[例2]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A.
B．
C．2
D.
[解析]　设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F的坐标为(c，0)．由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.故选A.
[答案]　A
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　)
A.
B．
C．2
D.3
[解析]　双曲线－＝1的右焦点坐标为(，0)，一条渐近线的方程为y＝x，不妨设点P在第一象限，由于|PO|＝|PF|，则点P的横坐标为，纵坐标为×＝，即△PFO的底边长为，高为，所以它的面积为××＝.故选A.
[答案]　A
[破题技法]　求离心率的方法
方法
解法
题型
直接法
直接求a，b，c，利用e＝
或e＝
适合易求a、b、c
构造法
构造a、b、c间的等式或不等式的齐次关系
可能是a、c或a、b的关系
挖掘3　共焦点的椭圆与双曲线/
自主练透
[例3]　(1)已知椭圆C1：＋y2＝1(m＞1)与双曲线C2：－y2＝1(n＞0)的焦点重合，e1，e2，分别为C1，C2的离心率，则(　　)
A．m＞n且e1e2＞1　　　
B．m＞n且e1e2＜1
C．m＜n且e1e2＞1
D.m＜n且e1e2＜1
[解析]　设P为椭圆与双曲线在第一象限内的公共点，
F1，F2为它们的左、右公共焦点，
则|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2n，∴m＞n，由结论一得eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＝2，
法一：(利用均值不等式)
∵e1≠e2，∴2＝eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＞，e1e2＞1，故选A.
法二：(利用三角换元)
由eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＝2，0＜e1＜1，e2＞1，
可设＝cos
θ，＝sin
θ，0＜θ＜，
则e1e2＝＞1.
法三：(利用消元法)
∵eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＝2，∴eq
\f(1,e)＝2－eq
\f(1,e)，
eq
\f(1,ee)＝－eq
\f(1,e)＋eq
\f(2,e)＝－eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)－1))eq
\s\up12(2)＋1，
由0＜e1＜1，e2＞1且eq
\f(1,e)＋eq
\f(1,e)＝2，得1＜eq
\f(1,e)＜2，
令t＝eq
\f(1,e)，f(t)＝－(t－1)2＋1，
则eq
\f(1,ee)＝f(t)，t∈(1，2)，
f(t)在(1，2)上单调递减，f(1)＝1，f(2)＝0，
故0＜eq
\f(1,ee)＜1，即e1e2＞1.
[答案]　A
(2)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值是(　　)
A.
B．
C．1
D.
[解析]　由结论二得eq
\f(1,e)＋eq
\f(3,e)＝4，同(1)的三种方法均可得到e1e2≥，故选B.
[答案]　B
[破题技法]　1.已知椭圆C1：eq
\f(x2,a)＋eq
\f(y2,b)＝1(其中a1＞b1＞0)与双曲线C2：eq
\f(x2,a)－eq
\f(y2,b)＝1(其中a2＞0，b2＞0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则eq
\f(b,e)＋eq
\f(b,e)＝b＋b.
2．已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则eq
\f(1－cosθ,e)＋eq
\f(1＋cosθ,e)＝2.
PAGE第六节　抛物线
授课提示：对应学生用书第164页
[基础梳理]
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内．
(2)与一个定点F和一条定直线l距离相等．
(3)l不经过点F.
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0(x轴)
x＝0(y轴)
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
焦点弦性质
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)＋＝.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(6)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.
[四基自测]
1．(基础点：抛物线定义)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)
A.　　　
B．　　　　
C.　　　　
D．0
答案：B
2．(基础点：求抛物线标准方程)以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为3，则其方程是(　　)
A．y＝4x2
B．y＝8x2
C．y2＝4x
D.y2＝8x
答案：D
3．(基础点：抛物线的定义)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D.4个
答案：C
4．(易错点：抛物线的性质)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
答案：y2＝－8x或x2＝－y
授课提示：对应学生用书第165页
考点一　抛物线的定义及应用
挖掘　抛物线上点到焦点的距离/
自主练透
[例]　(1)(2020·河北三市联考)过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A、B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)
A.　　　　　　　　　
B．
C.
D.2
[解析]　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D、E(图略)．
∵|PA|＝|AB|，∴，
又eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x1,y＝4x2))，得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.
[答案]　A
(2)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)
A．2－1
B．2－2
C.－1
D.－2
[解析]　由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0，4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1，0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝－1＝－1.选C.
[答案]　C
(3)过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝10，则AB的中点到y轴的距离等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D.4
[解析]　AB的中点到抛物线准线的距离为＝5，所以AB的中点到y轴的距离为5－1＝4.
[答案]　D
[破题技法]　利用抛物线的定义可解决的常见问题
(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．
(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，可以利用定义进行相互转化．
考点二　抛物线的方程及性质
挖掘　抛物线方程与性质的关系/
自主练透
[例]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　
B．3
C．4
D.8
[解析]　抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，
椭圆＋＝1的焦点坐标为(±，0)．
由题意得＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.
故选D.
[答案]　D
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且＋3＝0，直线MN交l于点P，NN′⊥l，垂足为N′.若△MN′P的面积为24，则F到l的距离为(　　)
A．4　　　
B．6　　　　
C．8　　　　
D．12
[解析]　作出图形如图，作MM′⊥l，垂足为M′，设|NF|＝m(m＞0)，则|NN′|＝m.由＋3＝0，得|MF|＝3m，则|MM′|＝3m，过点N作NG⊥MM′，垂足为G，则|M′G|＝m，|MG|＝2m，所以∠NMG＝60°，所以|MP|＝6m，|NP|＝2m，|N′P|＝m，S△MN′P＝·|MM′||N′P|＝×3m×m＝24，所以m＝4.易知F为线段MP的中点，所以F到l的距离为p＝＝6.
[答案]　B
(3)(2020·江西萍乡一模)已知抛物线C：y2＝2
px(p＞0)的焦点为F，准线l：x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－，则△MAF的面积为(　　)
A.
B．2
C．4
D.8
[解析]　如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝2.
∵直线AF的斜率为－，
∴∠AFN＝60°.
∴∠MAF＝60°，|AF|＝4.
由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，∴△AMF是边长为4的等边三角形．
∴S△AMF＝×42＝4.故选C.
[答案]　C
[破题技法]　1.求抛物线标准方程的方法及注意点
(1)方法
求抛物线的标准方程的主要方法是定义法和待定系数法．若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
(2)注意点
①当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；
②要掌握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；
③要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
考点三　直线与抛物线的综合问题
挖掘1　直线与抛物线相交问题/
自主练透
[例1]　(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5　　　　　　　　　　
B．6
C．7
D.8
[解析]　由题意知直线MN的方程为y＝(x＋2)，
联立直线与抛物线的方程，得
解得或
不妨设M为(1，2)，N为(4，4)．
又∵抛物线焦点为F(1，0)，
∴＝(0，2)，＝(3，4)，
∴·＝0×3＋2×4＝8.
故选D.
[答案]　D
[破题技法]　直线与抛物线交点问题的解题思路
(1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组．
(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决．
挖掘2　抛物线的焦点弦问题/
互动探究
[例2]　(1)经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，如果A、B在抛物线C的准线上的射影分别为A1、B1，那么∠A1FB1等于(　　)
A.
B．
C.
D.
[解析]　由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝×π＝，即∠A1FB1＝.
[答案]　C
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
①求l的方程；
②求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
[解析]　①由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
②由①得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
[破题技法]　解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法
(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
挖掘3　抛物线与其他曲线的综合/
互动探究
[例3]　(2019·高考全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
[解析]　(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.
由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，
解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|－|MP|为定值．
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.
PAGE第五节　椭
圆
授课提示：对应学生用书第161页
[基础梳理]
1．椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
图形
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
续表
性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
1．e与：因为e＝＝＝，所以离心率e越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e越小，则越大，椭圆就越圆．
2．点与椭圆的位置关系
已知点P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)＜1；
(2)点P(x0，y0)在椭圆上?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)＝1；
(3)点P(x0，y0)在椭圆外?eq
\f(x,a2)＋eq
\f(y,b2)＞1.
3．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P为短轴端点；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P为长轴端点．
4．若点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝θ，则S△PF1F2＝b2tan.
5．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点F作x轴的垂线，交椭圆于A，B，则|AB|＝.
6．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，P(x0，y0)是椭圆上任意一点，则|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0.
7．若P为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点，则a－c≤|PF|≤a＋c.
[四基自测]
1．(易错点：椭圆的概念)下列说法中正确的个数是(　　)
①平面内到两定点距离之和为常数是动点的轨迹是椭圆的必要不充分条件；②椭圆的离心率越大，椭圆越接近圆；③若方程＋＝1表示椭圆，则(5－k)(k－3)＞0；④椭圆离心率e∈(0，1)．
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D.0
答案：B
2．(基础点：椭圆的定义)已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　)
A．2
B．3
C．5
D.7
答案：D
3．(基础点：椭圆的方程与性质)已知椭圆的一个焦点为F(1，0)，离心率为，则椭圆的标准方程为________．
答案：＋＝1
4．(易错点：椭圆方程的特征)已知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于________．
答案：8
授课提示：对应学生用书第162页
考点一　椭圆的定义及应用
挖掘1　利用椭圆定义求方程/
自主练透
[例1]　(1)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝169，圆C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　　　
B．＋＝1
C.－＝1
D.＋＝1
[解析]　设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，
∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1.
[答案]　D
(2)已知动圆M过定点A(－3，0)并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64相切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
[解析]　因为点A在圆B内，
所以过点A的圆与圆B只能内切，
因为定圆圆心坐标为B(3，0)，
所以|AB|＝6.
所以|BM|＝8－|MA|，即|MB|＋|MA|＝8＞|AB|，
所以动点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
即a＝4，c＝3.故b2＝7.即椭圆方程为＋＝1.
[答案]　＋＝1
挖掘2　椭圆定义的应用/
互动探究
[例2]　(1)(2020·郑州第二次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为(　　)
A.＋y2＝1
B．＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[解析]　由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.
[答案]　D
(2)已知点P(x，y)在椭圆＋＝1上，F1，F2是椭圆的两个焦点，若△PF1F2的面积为18，则∠F1PF2的余弦值为________．
[解析]　椭圆＋＝1的两个焦点为F1(0，－8)，F2(0，8)，由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝20，
两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝202，
由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2＝162，
两式相减得2|PF1||PF2|(1＋cos∠F1PF2)＝144，
又S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18，
所以1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，
解得cos∠F1PF2＝.
[答案]　
[破题技法]　椭圆定义应用技巧思路
应用
解读
求方程
条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程
求焦点三角形
求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正、余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a.平方是常用技巧
求最值
利用|PF1|＋|PF2|＝2a为定值，利用基本不等式求|PF1|·|PF2|最值或利用三角形求最值．如a＋c、a－c
考点二　椭圆的标准方程及应用
挖掘　求椭圆方程的方法/
自主练透
[例]　(1)(2020·宁德模拟)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1　　　　　　
B．＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
[解析]　设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.
又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，
则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，
故椭圆方程为＋＝1.
[答案]　A
(2)(2020·成都模拟)与椭圆＋＝1有相同离心率且经过点(2，－)的椭圆方程为________．
[解析]　因为e＝＝＝＝
＝，
若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为＋＝1(m＞n＞0)，
则1－＝，从而＝，＝.
又＋＝1，所以m2＝8，n2＝6.
所以方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(h＞k＞0)，
则＋＝1，且＝，解得h2＝，k2＝.
故所求方程为＋＝1.
[答案]　＋＝1或＋＝1
(3)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．求椭圆C2的方程．
[解析]　法一：(待定系数法)：由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，解得a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.
法二：(椭圆系法)：因椭圆C2与C1有相同的离心率，且焦点在y轴上，故设C2：＋x2＝k(k>0)，即＋＝1.
又2＝2×2，故k＝4，故C2的方程为＋＝1.
[破题技法]　求椭圆标准方程的方法
方法
解读
适合题型
定义法
根据题目的条件，判断是否满足椭圆的定义，若满足，求出相应的a，b，c的值，即可求得方程
涉及两焦点的距离问题
待定系数法
(1)如果已知椭圆的中心在原点，且确定焦点所在位置，可设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程；(2)当焦点位置不确定时，可以分类讨论，也可以设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n>0)
能够明确椭圆的焦点位置
椭圆系法
根据共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其他条件确定方程.
具有某共同特征的椭圆求标准方程
考点三　椭圆的几何性质
挖掘1　求离心率(范围)/
自主练透
[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为(　　)
A.　　　
B．　　　　
C.　　　
D.
[解析]　∵a2＝4＋22＝8，
∴a＝2，∴e＝＝＝.
故选C.
[答案]　C
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A.
B．
C.
D.
[解析]　如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，
|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
故选D.
[答案]　D
(3)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A、B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A.
B．
C.
D.[－1，1)
[解析]　设椭圆左焦点为F′，连接AF′、BF′.由椭圆的对称性可知，四边形AFBF′为平行四边形，又·＝0，即FA⊥FB，故平行四边形AFBF′为矩形，所以|AB|＝|FF′|＝2c.
设|AF′|＝n，|AF|＝m，则在直角三角形AF′F中，m＋n＝2a，
m2＋n2＝4c2，①
得mn＝2b2，②
①÷②得＋＝，
令＝t，得t＋＝.
又由|FB|≤|FA|≤2|FB|得1≤≤2，则＝t∈[1，2]，
∴t＋＝∈，
又＝＝，则可得≤e≤，即离心率的取值范围是.故选A.
[答案]　A
[破题技法]　求椭圆离心率的关键点
(1)分析题设中所给量与离心率有什么关系(直接的或间接的)．
(2)转化条件，求离心率所用的量．
①若直接可求出a、b、c的具体值，用公式e＝＝.
②构造a、b、c之间的齐次关系，进而求或的整体值．
③若求e的具体值，构造方程，若求e的范围，构造不等式．
④根据e∈(0，1)进行取舍．
挖掘2　根据椭圆性质求值或范围/
互动探究
[例2]　(1)(2020·广东七校4月联考)已知点P为椭圆＋＝1上的动点，EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一直径，则·的最大值和最小值分别是(　　)
A．16，12－4
B．17，13－4
C．19，12－4
D.20，13－4
[解析]　EF是圆N的直径，∴|NE|＝|NF|＝1，且＝－，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝2－1，设P(x0，y0)，则有eq
\f(x,16)＋eq
\f(y,12)＝1，即x＝16－y，又N(0，1)，
∴||2＝x＋(y0－1)2＝－(y0＋3)2＋20，又∵y0∈[－2，2]，∴当y0＝－3时，||2取得最大值20，则(·)max＝20－1＝19.当y0＝2时，||2取得最小值13－4，则(·)min＝12－4.综上，·的最大值和最小值分别为19，12－4，故选C.
[答案]　C
(2)(2020·山东烟台模拟)已知F(2，0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，过F且垂直于x轴的弦长为6，若A(－2，)，点M为椭圆上任一点，则|MF|＋|MA|的最大值为________．
[解析]　设椭圆的左焦点为F′，
由椭圆的右焦点为F(2，0)，得c＝2，又过F且垂直于x轴的弦长为6，即＝6，
则＝＝3，解得a＝4，
所以|MF|＋|MA|＝8－|MF′|＋|MA|＝8＋|MA|－|MF′|，
当M，A，F′三点共线时，|MA|－|MF′|取得最大值，
(|MA|－|MF′|)max＝|AF′|＝，
所以|MF|＋|MA|的最大值为8＋.
[答案]　8＋
考点四　椭圆的综合应用
挖掘　椭圆中的综合问题/
自主练透
[例]　(2020·湖南永州二模)已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0＜m＜2)，且动点M的轨迹曲线C过点N.
(1)求m的值；
(2)若直线l：y＝kx＋与曲线C有两个不同的交点A，B，且·＝2(O为坐标原点)，求k的值．
[解析]　(1)由0＜m＜2，得2m＜4，可知：曲线C是以两定点F1(－m，0)，F2(m，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2，
设曲线C的方程为＋＝1，
把点N代入
得＋＝1，解得b2＝1，由c2＝a2－b2，解得c2＝3，所以m＝.
(2)由(1)知曲线C的方程为＋y2＝1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程得
消去y得x2＋2kx＋1＝0，
则有Δ＝4k2－1＞0，得k2＞.
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝＝2.
得k2＝＞，
所以k的值±.
[破题技法]　1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
2．设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝
＝
(k为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
PAGE第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系
授课提示：对应学生用书第158页
[基础梳理]
1．直线与圆的位置关系与判断方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．
①d②d＝r?直线与圆相切；
③d>r?直线与圆相离．
(2)代数法：联立方程，消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.
①Δ>0?直线与圆相交；
②Δ＝0?直线与圆相切；
③Δ<0?直线与圆相离．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法位置关系　　
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
续表
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
3.两圆公切线的条数
位置关系
内含
内切
相交
外切
外离
公切线条数
0
1
2
3
4
圆的方程两种设法技巧：
(1)经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＋λ(Ax＋By＋C)＝0.
(2)经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
[四基自测]
1．(基础点：直线与圆的位置关系)直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为(　　)
A．相离　　　　　　　　
B．相切
C．相交且不过圆心
D.相交过圆心
答案：A
2．(基础点：圆与圆的位置关系)两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　)
A．相交
B．内切
C．外切
D.内含
答案：B
3．(基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________．
答案：
4．(易错点：求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．
答案：0或
授课提示：对应学生用书第158页
考点一　直线与圆的位置关系
挖掘1　直线与圆位置关系的判断/
自主练透
[例1]　(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　
B．相切
C．相离
D.不确定
[解析]　法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
法二：(几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交．
法三：(代数法)由消去y，整理得：(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，Δ＝(－2m2)2－4(1＋m2)(m2－5)＝4(4m2＋5)＞0，故直线l与圆相交．
[答案]　A
(2)(2020·湖北荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是(　　)
A．2
B．－2
C．1
D.－1
[解析]　∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1，1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.
[答案]　B
(3)若直线kx－y＋2＝0与圆x2＋y2－2x－3＝0没有公共点，则实数k的取值范围是________．
[解析]　由题知，圆x2＋y2－2x－3＝0可写成(x－1)2＋y2＝4，圆心(1，0)到直线kx－y＋2＝0的距离d＞2，即
＞2，解得0＜k＜.
[答案]　
挖掘2　直线与圆相切问题/
互动探究
[例2]　(1)(2020·洛阳三校联考)已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是(　　)
A．y＝x＋2－
B．y＝x＋1－
C．y＝x－2＋
D.y＝x＋1－
[解析]　由已知得A(－1，0)，B(0，1)，则易得kAB＝1，M，所以切线斜率为1，故切线方程为
y＋－1＝x－＋1，即y＝x＋2－.
[答案]　A
(2)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－
B．－或－
C．－或－
D.－或－
[解析]　由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.
[答案]　D
(3)若圆心在x轴上，半径为的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是(　　)
A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
[解析]　设圆心坐标为(a，0)(a＜0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以＝，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
[答案]　D
挖掘3　直线与圆相交问题/
互动探究
[例3]　(1)过点(1，1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A．2　　　　　　　　
B．4
C．2
D.5
[解析]　由圆的几何性质可知，当点(1，1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝2＝2＝4.
[答案]　B
(2)若圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，且被直线x－y＝0截得的弦长为2，则圆Ω的方程为(　　)
A．x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25
B．x2＋(y－2)2＝9或(x－1)2＋(y－2)2＝10
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x＋4)2＋(y－2)2＝17
D．(x＋4)2＋(y－2)2＝25或(x－4)2＋(y－1)2＝16
[解析]　由于圆Ω过点(0，－1)，(0，5)，
所以圆心在直线y＝2上，
设圆心坐标为(a，2)，
由题意得＝
，
解得a＝0或a＝－4.
当a＝0时，圆心坐标为(0，2)，半径为3；
当a＝－4时，圆心坐标为(－4，2)，半径为5，
所以圆Ω的方程为x2＋(y－2)2＝9或(x＋4)2＋(y－2)2＝25.故选A.
[答案]　A
(3)已知过点P(t，0)(t>0)的直线l被圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0截得弦AB长为4，若直线l唯一，则该直线的方程为________．
[解析]　将圆C的方程化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝9，
∴圆心C(1，－2)，半径r＝3.又由题意可知，圆心C到直线l的距离为＝，∴所有满足题意的直线l为圆D：(x－1)2＋(y＋2)2＝5的切线．又∵直线l唯一，∴点P在圆D上．∴(t－1)2＋4＝5.∴t＝2或t＝0(舍去)．该切线方程为(2－1)(x－1)＋(y＋2)(0＋2)＝5，即直线l的方程为x＋2y－2＝0.
[答案]　x＋2y－2＝0
(4)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．
[解析]　因为·＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°.设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tan
θ＝2，k＝tan
＝－3，又B(5，0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得，所以点A的横坐标为3.
[答案]　3
[破题技法]　直线与圆位置关系的求解方法
问题
解题技巧
图例
直线与圆位置关系判断
利用圆心到直线的距离d与半径r比较进行判断
求弦长
巧借垂径定理，利用|AB|＝2(d为弦心距，r为圆的半径)求解直线与圆相交所得弦长
求切线方程
(1)若点(x0，y0)在圆上，斜率存在时，先求点与圆心连线的斜率k，由切线与过切点、圆心的直线垂直的关系知切线的斜率为－，由点斜式方程可求出切线方程
(2)若点(x0，y0)在圆外，当斜率k存在时，设直线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径求出斜率，即可得出切线方程
考点二　圆与圆的位置关系
挖掘　利用圆与圆的关系求解/
自主练透
[例]　(1)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0相切，则m＝(　　)
A．－11　　　　　　　
B．9
C．19
D.9或－11
[解析]　依题意可得C1(0，0)，C2(3，4)，则|C1C2|＝＝5.又r1＝1，r2＝，25－m＞0，
当两圆外切时，r1＋r2＝＋1＝5，解得m＝9，
当两圆内切时，|r2－r1|＝5，
即|－1|＝5，
得＝6，解得m＝－11.
[答案]　D
(2)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)
A．3
B．4
C．2
D.8
[解析]　如图，连接O1A、O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O1O＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝，∴在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2×＝2，
∴AB＝2AC＝4.故选B.
[答案]　B
(3)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．2　　　
B．4　　　　
C．8　　　　
D．9
[解析]　由题意可知，圆C1的圆心为(－2a，0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1.所以＋＝·(4a2＋b2)
＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立，所以＋的最小值为9.故选D.
[答案]　D
[破题技法]　1.判断两圆位置关系的方法
几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
求两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
而两圆公共弦的方程就是将两圆方程相减，消去x2，y2后的方程．
考点三　圆的综合问题
挖掘1　与圆有关的最值问题/
自主练透
[例1]　已知实数x、y满足x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值与最小值；
(2)求y－x的最大值、最小值；
(3)求x2＋y2的最大值、最小值．
[解析]　(1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
如图所示，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
[破题技法]　与圆有关的最值问题的几何转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
挖掘2　直线与圆的综合问题/
互动探究
[例2]　已知圆C经过点(2，4)，(1，3)，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．
(1)求圆C的方程；
(2)请问·是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；
(3)若·＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．
[解析]　(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则依题意，得解得
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)·为定值．
过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，易得|AT|2＝7，∴·＝||·||cos
0°
＝|AT|2＝7，∴·为定值，且定值为7.
(3)依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8＝12，即＝4，解得k＝1，又当k＝1时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝x＋1.
[破题技法]　与圆有关的参数范围问题常见思路
(1)直接利用条件，画出几何图形，结合图形用几何法求参数的范围．
(2)根据位置关系列不等式组，用代数法求参数范围．
(3)构造关于参数的函数关系，借助函数思想求参数的范围．
挖掘3　点圆的应用/
互动探究
[例3]　求经过点M(3，－1)且与圆C：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点N(1，2)的圆的方程．
[解析]　圆C的方程可化为标准方程：
(x＋1)2＋(y－3)2＝5，圆心为(－1，3)．
由M、N可求出MN的中垂线方程为y＝x－，①
圆心C和N所在直线方程为y＝－x＋，②
联立①②解得圆心坐标为(，)，半径为
，则圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝.
PAGE第三节　圆的方程
授课提示：对应学生用书第156页
[基础梳理]
1．圆的定义、方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫作圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)
半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
条件：D2＋E2－4F>0
圆心：
半径：r＝
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
(2)点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)21．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件：A＝C≠0，B＝0，且D2＋E2－4F＞0.
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
[四基自测]
1．(基础点：圆的一般方程与标准方程的互化)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A．(2，3)　　　　　　　　
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D.(2，－3)
答案：D
2．(基础点：求圆的方程)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案：C
3．(基础点：求圆的方程)△AOB中，A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则△AOB外接圆的方程为____________________．
答案：x2＋y2－4x－3y＝0
4．(易错点：二元二次方程表示圆的条件)若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．
答案：(－2，)
授课提示：对应学生用书第156页
考点一　求圆的方程
挖掘　求圆的方程/
自主练透
[例]　(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1，2)的圆的方程是(　　)
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
[解析]　根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1，2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
[答案]　A
(2)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________．
[解析]　法一：几何法
设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即
＝，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：待定系数法
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：待定系数法
设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为，
由题意得
解得D＝2，E＝4，F＝－5.
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
[答案]　x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
(3)在平面直角坐标系xOy中，以点A(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
[解析]　因为直线与圆相切，所以半径等于圆心到直线的距离，r＝＝＝＝，因为1＋m2≥2m，所以≤1，所以r≤＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
[答案]　(x－1)2＋y2＝2
[破题技法]　求圆的方程的方法
方法
解读
适合题型
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程，常用的几何性质如下：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线
题设条件中有明显的几何特征
续表
方法
解读
适合题型
待定系数法
(1)根据条件设出圆的方程，一般地，若题目中有与圆心和半径有关的信息，选择标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，若已知圆上三点坐标(或三点坐标易求)，选择一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；(2)由题目给出的条件，列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程
题设条件中有明显的代数特征　
1．将本例(1)改为圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
解析：根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圆的方程为x2＋y2－10y＝0，故选B.
答案：B
2．本小题(3)改为：在平面直角坐标系xOy中，过点A(1，0)作直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)的垂线，垂足为B，以A，B的连线段为直径的所有圆中，半径最大的圆的一般方程为________．
解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)过定点
C(2，－1)，所以直径AB的最大值为|AC|＝，
所以所求半径最大的圆的标准方程为
＋＝，
化为一般方程为x2＋y2－3x＋y＋2＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y＋2＝0
考点二　与圆有关的轨迹问题
挖掘1　直接法求与圆有关的轨迹方程/
自主练透
[例1]　已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为，则点M的轨迹方程为________．
[解析]　设点M(x，y)，由题意得＝，
整理得x2＋y2＋2x－3＝0.
[答案]　x2＋y2＋2x－3＝0
　将本题改为“M与A(3，0)，O(0，0)距离之比为λ”，则动点M的轨迹方程是什么？其轨迹是什么图形．
解析：由题意得＝，
整理得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2－6x＋9＝0.
当λ＝1时，轨迹方程为x＝，表示OA的垂直平分线．
当λ≠1时，方程为(x－)2＋y2＝，
表示为以(，0)为圆心，半径为的圆．
挖掘2　相关点(代入法)求轨迹方程/
自主练透
[例2]　(1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1　
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
[解析]　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
[答案]　A
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为________．
[解析]　设P(x，y)，圆心C(1，1)．
因为P点是过点A的弦的中点，所以⊥.
又因为＝(2－x，3－y)，＝(1－x，1－y)．
所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.
所以点P的轨迹方程为＋(y－2)2＝.
[答案]　＋(y－2)2＝
[破题技法]　与圆有关的轨迹问题的四种求法
将本例(1)变为P(4，－2)，A是x2＋y2＝4的动点．M是线段PA上的点满足＝λ(λ＞0)，则动点M的轨迹还是圆吗？
解析：由题意得＝λ，
设M(x，y)，A(x0，y0)，
∴(x－4，y＋2)＝λ(x0－x，y0－y)，
即
∴
∵x＋y＝4，
∴＋＝4，
即(x－)2＋(y＋)2＝
表示以为圆心，半径为的圆．
PAGE第二节　直线的位置关系与距离公式
授课提示：对应学生用书第153页
[基础梳理]
三种距离
三种距离
条件
公式
两点间的距离
A(x1，y1)，B(x2，y2)
|AB|＝
点到直线的距离
P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d
d＝
两平行线间的距离
直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d
d＝
1．点到直线的距离公式
(1)直线方程为一般式．
(2)公式中分母与点无关．
(3)分子与点及直线方程都有关．
2．两平行直线间的距离
(1)是一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)也可以看成是两条直线上各取一点的最短距离．
[四基自测]
1．(基础点：点到直线的距离)点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(　　)
A.　　　　　　　　　
B．
C.
D.
答案：D
2．(基础点：直线的交点)直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则a的值为________．
答案：
3．(基础点：两平行线间的距离)已知两平行线l1：2x＋3y＝6，l2：2x＋3y－1＝0，则l1与l2间距离为________．
答案：
4．(易错点：点到直线距离的应用)已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．
答案：－4或
授课提示：对应学生用书第154页
考点一　直线的交点及应用
挖掘　直线交点的应用/
自主练透
[例]　(1)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
[解析]　法一：由方程组得x＝0，y＝2，即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－x，即4x＋3y－6＝0.
法二：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为l⊥l3，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.
[答案]　4x＋3y－6＝0
(2)过点M(0，1)作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为________．
[解析]　过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别是，(0，8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，其图像与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有①
②
由①解得xA＝，由②解得xB＝.
因为点M平分线段AB，所以xA＋xB＝2xM，
即＋＝0，解得k＝－.
所以所求直线为y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0.
[答案]　x＋4y－4＝0
(3)已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
[解析]　法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别为A′(3，－4)，B′(3，－9)，截得的线段A′B′的长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.
解方程组
得A，
解方程组得B.
由|AB|＝5，
得＋＝52.
解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.
综上可知，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.
法二：如图所示，作直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0.
l1与x、y轴的交点A(－1，0)、B(0，－1)，
l2与x、y轴交点C(－6，0)、D(0，－6)．
所以|BD|＝5，|AC|＝5.
过点(3，1)与l1、l2截得的线段长为5.
即平行x轴或y轴．
所以所求直线方程为x＝3或y＝1.
[破题技法]　1.两直线交点的求法
求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．
2．求过两直线交点的直线方程的方法
(1)直接法：①先求出两直线的交点坐标；②结合题设中的其他条件，写出直线方程；③将直线方程化为一般式．
(2)直线系法：①设过两直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.
②利用题设条件，求λ的值，得出直线方程．
③验证A2x＋B2y＋C2＝0是否符合题意．
(3)数形结合法，求直线截得的线段长．
考点二　距离问题
挖掘　距离问题的应用/
自主练透
[例]　(1)(2020·昆明模拟)点P到点A′(1，0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于，这样的点P共有(　　)
A．1个　　　　　　
B．2个
C．3个
D.4个
[解析]　设点P(x，y)，由题意知
＝|x＋1|，且＝，
所以即　①
或　②
解①得或
解②得因此，这样的点P共有3个．
[答案]　C
(2)已知两条平行直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为，则直线l1的方程为________．
[解析]　因为l1∥l2，所以＝≠，
所以或
①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，
把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，
所以＝，解得n＝－22或18.
故所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0.
②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，
把l2的方程写成4x－8y－2＝0，
所以＝，解得n＝－18或22.
故所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0.
[答案]　2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0
[破题技法]　应用点到直线的距离公式与两平行线间的距离公式时应注意：
(1)用点到直线的距离公式，直线方程必须为一般式；
(2)两平行线间的距离公式，两直线方程中x，y的系数分别相同；
(3)两个公式中的“绝对值”号不可盲目去掉，要等价变化．
考点三　对称问题
挖掘1　求对称点、直线/
自主练透
[例1]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
[解析]　(1)设对称点A′的坐标为(m，n)，
由已知可得
解得即A′.
(2)在直线m上取一点，如B(2，0)，则B关于l的对称点必在m′上，设对称点为B′(a，b)，
则由得B′.
设m与l的交点为N，由得N(4，3)．
设直线m′上任意一点的坐标为(x，y)，由两点式得直线m′的方程为＝，即9x－46y＋102＝0.
(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)．则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
法二：设直线l关于点A的对称直线l′上的任意一点P(x，y)，则点P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)．
∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
挖掘2　利用对称性求解直线方程/
互动探究
[例2]　(1)(2020·淮安模拟)已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．
[解析]　设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以解得a＝1，b＝0.
又反射光线经过点N(2，6)．
所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
[答案]　6x－y－6＝0
(2)已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为__________________________________________________．
[解析]　A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线．点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．
设A1(x1，y1)，
则有
解得所以A1(0，3)．
同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．
所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.
[答案]　2x－y＋3＝0
(3)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小．
[解析]　设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，则
解得
故A′(－2，8)．
P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解方程组得
故所求的点P的坐标为(－2，3)．
[破题技法]　有关对称问题的规律方法
方法
解读
中心对称
点关于点
点M(x1，y1)与N(x，y)关于P(a，b)对称，利用中点
直线关于点
l1关于A对称的直线：取B∈l1，求B关于A的对称点B′，利用斜率相等，求点斜式
轴对称
点关于直线对称
点A关于l1的对称点A′，利用A′A的中点在l1上，且AA′⊥l，求A′点
线l1关于线l对称l1∩l＝A
利用A∈l2，且取B∈l1，求B关于l的对称点B′，由A和B′求方程
若l1∥l
利用平行线l1与l，l与l2之间的距离相等；或者利用斜率相等
考点四　点、线及位置关系、距离的应用
挖掘　构造距离求最值(创新问题)/
互动探究
[例]　(1)设x＞0，y＞0，满足2x＋y＝1，则x＋
的最小值为(　　)
A.　　　
B．　　　　
C．1　　　
D.
[解析]　因为x，y∈R＋，满足2x＋y＝1，设z＝x＋，其可表示为直线2x＋y＝1在第一象限的点P(x，y)到y轴的距离d与到原点的距离|PO|的和．
设原点关于直线2x＋y＝1的对称点O1(m，n)，
则由
解得所以O1.
由对称性可得|PO1|＝|PO|，所以z＝|PO1|＋d，故PO1⊥y轴时z最小．
故当且仅当x＝，y＝时z＝x＋取最小值，故选A.
[答案]　A
(2)已知实数x满足|2x＋1|＋|2x－5|＝6，则x的取值范围是________．
[解析]　由|2x＋1|＋|2x－5|＝6可得|x－(－)|＋|x－|＝3，它表示数轴上的动点x到定点－与的距离之和为3.又定点－与之间的距离恰好为3，故有x∈[－，]．
[答案]　[－，]
[破题技法]　本解法利用绝对值的几何意义，转化为数轴上的点之间的距离问题，使解题过程直观快捷．
(3)设a＞0，若f(x)＝＋(x∈R)的最小值为10，则a＝________．
[解析]　f(x)
＝＋，
它表示动点P(x，0)到点A(3a，－a)与B(－a，2a)的距离之和，即f(x)＝|PA|＋|PB|.
由已知条件可知：f(x)＝|PA|＋|PB|的最小值为10.
因为a＞0，所以点A，B在x轴的两侧，故对x轴上的动点P(x，0)，一定有|PA|＋|PB|≥|AB|，故|PA|＋|PB|的最小值为|AB|.
于是有|AB|＝10，
即＝10，
又a＞0，解得a＝2.
[答案]　2
[破题技法]　构造距离后，把已知条件转化为x轴上的动点到两定点的距离之和的最小值为10，便于顺利得到关于a的方程进行求解．
(4)求函数y＝
＋的最小值．
[解析]　此类问题直接用代数方法求解，困难较大，我们注意到和分别可变形为和，便可分别看成是点(x，0)到另两点(1，1)和(3，2)的距离，即问题化为x轴上一动点(x，0)到另两定点(1，1)和(3，2)的距离之和的最小值．结合图形(图略)，易得ymin＝.
[破题技法]　此类问题直接用代数方法求解，困难较大，我们往往对解析式通过变形赋予一定的几何意义，利用数到形的转变解决这类问题．
PAGE第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
授课提示：对应学生用书第150页
[基础梳理]
1．直线的倾斜角
(1)定义：
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)．
2．直线的斜率
条件
公式
直线的倾斜角θ，且θ≠90°
k＝tan__θ
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)
且x1≠x2
k＝
3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件
两直线位置关系
斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2
平行
k1＝k2
k1与k2都不存在
垂直
k1k2＝－1
k1与k2一个为零、另一个不存在
4.直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x1，y1)
y－y1＝k(x－x1)
不含直线x＝x1
斜截式
斜率k与直线在y轴上的截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点(x1，y1)，(x2，y2)
＝(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式
直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b
＋＝1(a≠0，b≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
5.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1，P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
1．斜率与倾斜角的两个关注点
(1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k＝tan
α，图像为：
(2)当倾斜角为90?
时，直线垂直于x轴，斜率不存在．
2．直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.
[四基自测]
1．(基础点：根据两点求斜率)过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　
B．4
C．1或3
D.1或4
答案：A
2．(基础点：直线的倾斜角与斜率的关系)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A.　　
B．　　　
C.　　
D.
答案：D
3．(基础点：直线的点斜式方程)已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－，则直线l的方程为________．
答案：3x＋4y－14＝0
4．(易错点：直线的截距概念)过点(5，0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________．
答案：3x＋5y－15＝0或7x＋5y－35＝0
授课提示：对应学生用书第151页
考点一　直线的倾斜角与斜率
挖掘1　依据两点求斜率、倾斜角/
自主练透
[例1]　(1)(2020·常州模拟)若ab<0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．
[解析]　kPQ＝＝<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为.
[答案]　
(2)(2020·太原模拟)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．
[解析]　如图所示，kPA＝＝－4，kPB＝＝.要使直线l与线段AB有交点，则有k≥或k≤－4.
[答案]　(－∞，－4]∪
挖掘2　依据直线方程求斜率、倾斜角/
互动探究
[例2]　(1)直线2xcos
α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　
B．
C.
D.
[解析]　直线2xcos
α－y－3＝0的斜率k＝2cos
α，
因为α∈，所以≤cos
α≤，
因此k＝2·cos
α∈[1，
]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan
θ∈[1，
]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
[答案]　B
(2)直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，求a的取值范围．
[解析]　当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a≠－1时，直线l的斜率为－.
则有－>1或－<0，
解得－10.综上可知，实数a的取值范围是∪(0，＋∞)．
[破题技法]　直线倾斜角与斜率的关系
(1)当α∈且由0增大到时，k由0增大到＋∞.
(2)当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k由－∞趋近于0(k≠0)．
(3)任何直线都对应着[0，π)内的唯一的一个倾斜角，但不是所有的直线都存在斜率．
考点二　求直线方程
挖掘　求直线方程的方法/
自主练透
[例]　求适合下列条件的直线方程：
(1)求过点(2，1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为6的直线方程；
(2)求经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
[解析]　(1)法一：由题意可设直线方程为＋＝1.
则解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
法二：设直线方程为y＝kx＋b，则在x轴上的截距为－，所以b＋＝6，①
又直线过点(2，1)，则2k＋b＝1.②
由①②得
或
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
(2)当直线不过原点时，
设所求直线方程为＋＝1，
将(－5，2)代入所设方程，
解得a＝－，
此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.
当直线过原点时，斜率k＝－，
直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0，
综上可知，所求直线方程为
x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
[破题技法]　1.求直线方程的方法
方法
解读
题型
直接法
直接求出直线方程所需要的标量
适合于直线标量易求的题目
待定系数法
设出直线方程形式，待定其中的标量
适合于条件较多而隐含的题目
注意：考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．
2．设直线方程的常用技巧
(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y＝kx＋b(需保证斜率存在)；
(2)已知直线横截距x0，常设其方程为x＝my＋x0(它不适用于斜率为0的直线)；
(3)已知直线过点(x0，y0)，当斜率k存在时，常设其方程为y－y0＝k(x－x0)，当斜率k不存在时，则其方程为x＝x0；
(4)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线可表示为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；
(5)与直线l：Ax＋By＋C＝0垂直的直线可表示为Bx－Ay＋C1＝0；
(6)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).
在本例(2)中，改为“过点A(－5，2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为”，求直线方程．
解析：设所求直线在x轴的截距为a，在y轴上的截距为b，则，∴，或.
∴方程为x＋y＋3＝0或4x＋25y－30＝0.
考点三　两条直线的位置关系
挖掘1　利用平行、垂直求参数/
自主练透
[例1]　已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m，n的值，使
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
[解析]　(1)∵l1∥l2，∴
解得或
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(2)当且仅当2m＋8m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2.
又－＝－1，∴n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
1．“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，故l1∥l2.
当l1∥l2时，若l1与l2斜率不存在，则a＝0；
若l1与l2斜率都存在，则a≠0，有－＝－且≠，解得a∈?，故当l1∥l2时，有a＝0.故选C.
答案：C
2．已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
挖掘2　利用平行或垂直关系求直线方程/
互动探究
[例2]　(1)已知点P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为________．
[解析]　当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线P1P2的斜率k＝＝－，得所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为(－1，4)，所以直线方程为x＝－1.综上所述，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
[答案]　x＋3y－5＝0或x＝－1.
(2)已知正方形的中心为点M(－1，0)，一条边所在直线方程是x＋3y－5＝0.求正方形其他三边所在直线的方程．
[解析]　如图，过M作边AD所在直线x＋3y－5＝0的垂线，垂足为E.
|ME|＝
＝.
设直线BC的方程为x＋3y－m＝0，则M到BC的距离是.
令＝.
解得m＝－7，或m＝5.
所以，直线BC的方程为x＋3y＋7＝0.
因为直线AB与AD垂直，所以设它的方程为3x－y－n＝0.
则M到AB的距离是.
令＝.
解得n＝3，或n＝－9.
所以，直线AB，CD的方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
[破题技法]　两直线位置关系的判断方法
方法
平行
垂直
适合题型
化成斜截式
k1＝k2，且b1≠b2
k1k2＝－1
斜率
存在一般式
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0
无限制
直接法
k1与k2都不存在，且b1≠b2
k1与k2中一个不存在，另一个为零
k不存在
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