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考点10 计数原理
—2022届高考数学一轮复习考点易错题提升练
【易错点分析】
1.排列与排列数
（1）排列：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
（2）排列数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.
2.组合与组合数
（1）组合：从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（2）组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.
3.二项式定理
公式叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项.
4.二项展开式形式上的特点
（1）项数为.
（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
（4）二项式系数为.
6.二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.
（2）增减性与最大值：对于二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，二项展开式的中间一项（第项）的二项式系数最大，即最大的二项式系数为.当n是奇数时，二项展开式的中间两项（第项和第项）的二项式系数相等且最大，即最大的二项式系数为和.
（3）二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即.
【提升练习】
1.在的展开式中，的系数为( )
A.10 B. C.5 D.
2.中国古代的五音一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的同侧，那么不同音序的排列种数为( )
A.120 B.90 C.80 D.60
3.的展开式中的系数为( )
A. B. C.10 D.15
4.若的展开式中二项式系数之和为256，则二项展开式中有理项系数之和为( )
A.85 B.84 C.57 D.56
5.展开式中的系数为( )
A.120 B.135 C.140 D.100
6.某地区开展了7种不同类型的社会服务活动.其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展，3种活动只在上午开展，2种活动只在下午开展.小王参加了2种不同的活动，且分别安排在上午、下午，那么不同安排方案的种数是( )
A.12 B.16 C.18 D.24
7.已知的展开式中各项系数之和为，第二项的二项式系数为，则( )
A.
B.
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含项的系数为54
8.的展开式中的系数为______________.
9.某人将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球随机放入编号分别为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子中放一个小球.若球的编号与盒子的编号相同，则视为放对，否则视为放错，则全部放错的情况有___________________种.
10.的展开式中的常数项为_______________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：的展开式的通项为，令，得的系数为.
2.答案：C
解析：若“角”在两端，则“宫、羽”一定在“角”的同侧，此时有种排法；
若“角”在第二或第四个位置，则有种排法；
若“角”在第三个位置，则有种排法.
故可排成种不同音序.故选C.
3.答案：A
解析：的通项为，当时，；当时，，故的展开式中的系数为，选A.
4.答案：A
解析：由题意知，解得，所以，其二项展开式的通项，则当时，为有理项，所以二项展开式中有理项系数之和为，故选A.
5.答案：B
解析：的展开式的通项，分别令，可得展开式中的系数为，故选B.
6.答案：C
解析：若小王没参加既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有种方案；
若小王参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一，则有种方案；
若小王上午、下午都参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动，则有2种方案.
所以不同的安排方案共有(种).故选C.
7.答案：ABD
解析：令，得的展开式中各项系数之和为，所以，选项A正确；的展开式中第二项的二项式系数为，所以，选项B正确；的展开式的通项公式为，令，则，所以展开式中不存在常数项，选项C错误；令，则，所以展开式中含项的系数是，选项D正确.
8.答案：60
解析：解法一 因为，所以展开式中含的项为，所以展开式中的系数为60.
解法二 由于的展开式中项不含，所以的展开式中项就是的展开式中的项，所以，所以的展开式中的系数为60.
9.答案：44
解析：解法一 第一步，若1号盒子放错，则1号盒子有种不同的放法；第二步，考虑与1号盒子中所放小球编号相同的盒子的放法，若该盒子中的小球编号恰好为1，则5个小球全部放错的放法有(种)，若该盒子中的小球编号不是1，则5个小球全部放错的放法有(种).由计数原理可知，5个小球全部放错的放法有(种).
解法二 将5个小球分别放入5个盒子中，且每个盒子中放一个小球，共有种不同的放法，其中恰有1个小球放对的情况有(种)，恰有2个小球放对的情况有(种)，恰有3个小球放对的情况有(种)，恰有4个小球放对的情况有0种，恰有5个小球放对的情况有1种，故全部放错的情况有(种).
10.答案：31
解析：的展开式的通项，则的展开式中的常数项为.

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