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考点11 概率与统计—2022届高考数学一轮复习考点易错题提升练
【易错点分析】
1.
名称 定义 符号表示
包含关系 若事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） （或）
相等关系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，则称事件A与事件B相等 A=B
并事件 （和事件） 事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或）
交事件 （积事件） 事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或）
互斥事件 若为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
对立事件 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且（U为全集）
2.古典概率模型：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概率：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
（1）在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是.
（2）对于古典概型，任何事件的概率为.
4.离散型随机变量的分布列
（1）如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
（2）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为取每一个值的概率，则下表称为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.
X

…
…
P

…
…
5.离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1）；
（2）；
（3）.
6.常见的离散型随机变量的概率分布模型
（1）两点分布
若随机变量X的分布列为
X 0 1
P
p
则称X服从两点分布.
（2）超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，其中恰有X件次品，则
，其中，且，称分布列
X 0 1 … m
P

…
为超几何分布.
7.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X

…
…
P

…
…
（1）均值
称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
（2）方差
称为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值的平均偏离程度，并称为随机变量X的标准差，记为.
8.均值与方差的性质
（1）.
（2）.
9.两点分布的均值、方差
若X服从两点分布，则.
10.条件概率及其性质
（1）一般地，设A，B为两个事件，且，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率.
（2）条件概率的性质：
（i）；
（ii）如果B和C是两个互斥事件，则.
11.全概率公式
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称此公式为全概率公式.
12.相互独立事件
（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件.
（2）若A与B相互独立，则，.
（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立.
（4）若，则A与B相互独立.
13.独立重复试验与二项分布
独立重复试验 二项分布
定义 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验（也叫n重伯努利试验） 一般地，在n次独立重复试验（n重伯努利试验）中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，此时称随机变量X服从二项分布，记作
计算公式 用表示第i次试验结果，则 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
14.二项分布的均值与方差：若，则，.
15.正态曲线的定义
函数（其中实数和为参数）的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
16.正态曲线的特点
（1）曲线位于x轴上方且与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线对称；
（3）曲线在处达到峰值；
（4）曲线与x轴之间的面积为1；
（5）当一定时，曲线随着的变化而沿x轴移动；
（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”.
17.正态分布的定义及表示
如果对于任何实数，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布，记作.
18.简单随机抽样
（1）定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个不放回地抽取n（）个个体作为样本，如果每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.
（2）最常用的简单随机抽样方法有两种：随机数法和抽签法.
19.分层抽样
（1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样.
（2）应用范围：总体是由差异明显的几个部分组成的.
（3）分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，抽样比 .
20.频率分布表与频率分布直方图
频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下：
（1）求极差，即求一组数据中最大值与最小值的差；
（2）决定组距与组数；
（3）将数据分组；
（4）列频率分布表，落在各小组内的数据的个数叫做频数，每小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率，计算各小组的频率，列出频率分布表；
（5）画频率分布直方图，依据频率分布表画出频率分布直方图，其中纵坐标（小长方形的高）表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即每个小长方形的面积.
各个小长方形面积的总和等于1.
21.频率分布折线图和总体密度曲线
（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.
（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作频率分布直方图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.
22.用样本的数字特征估计总体的数字特征
数字特征 样本数据 频率分布直方图
众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标
中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标
平均数 样本数据的算术平均数 每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和
方差和标准差反映了数据波动程度的大小.
方差：；
标准差：.
23.百分位数
（1）把100个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第p+1个数据分别为.可以发现，区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数.
（2）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
（3）四分位数
常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数（即中位数），第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
24.变量间的相关关系
（1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系.与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.
（2）在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系称为负相关.
25.两个变量的线性相关
（1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
（2）回归直线方程
①最小二乘法：通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
②回归方程：方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据
的回归方程，其中是待定参数.
，其中称为样本点的中心.
（3）相关系数r
①；
②当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.当r的绝对值大于或等于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系.
（4）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.在线性回归模型中，因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化，在统计中，我们把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量.
26.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量.
27.列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为和，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：


总计
a b
c d
总计


可构造一个随机变量，其中为样本容量.
28.独立性检验
利用独立性假设、随机变量来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
两个分类变量X和Y是否有关系的判断标准：
统计学研究表明：当时，认为X与Y无关；
当时，有95%的把握说X与Y有关；
当时，有99%的把握说X与Y有关；
当时，有99.9%的把握说X与Y有关.
【提升练习】
1.某中学有高中生1500人，初中生1000人.该校为了解学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中随机抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有30人，则的值为( )
A.20 B.50 C.40 D.60
2.不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球，现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为( )
A. B. C. D.
3.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下：
加工零件数/个 2 3 4 5
加工时长 26
49 54
根据上表可得回归方程，则实数为( )
A.37.3 B.38 C.39 D.39.5
4.甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制(每局都分出胜负)，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是，则甲以3：1获胜的概率是( )
A. B. C. D.
5.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：)服从正态分布，则估计苹果直径在内的概率为( )
附：若，则.
A.0.682 7 B.0.841 3 C.0.818 6 D.0.954 5
6.某市有四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览的概率为，游览和的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量表示该游客游览的景点的个数，则下列判断正确的是( )
A.游客至多游览一个景点的概率是 B.
C. D.
7.已知随机变量的分布列为，则___________，随机变量的数学期望______________.
8.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全性.某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123).已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为_________________.
9.国家逐步推行新的高考制度.新高考不再分文、理科，而是采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1 000名学生(其中男生550人，女生450人)中，采用分层抽样的方法从中随机抽取名学生进行调查.
(1)已知抽取的n名学生中有女生45人，求n的值及抽取到的男生人数；
(2)学校计划在高一上学期开设选修中的物理和地理两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目)，下表是根据调查结果得到的2×2列联表.请将列联表补充完整，并依据的独立性检验，分析选择科目与性别是否有关；
单位：人
选择物理 选择地理 总计
男生
10
女生 25

总计


(3)在抽取的选择地理的学生中用分层随机抽样的方法再抽取6名学生，然后从这6名学生中抽取2名学生了解他们对地理的选课意向情况，求2名学生中至少有1名男生的概率.
附表及公式：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
，其中.
10.某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取200盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好.由测量结果得到如下频率分布直方图：
(1)求的值，并估计这200盒产品的该项指标值的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
(2)①将频率视为概率，由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布，计算该批产品该项指标值落在内的概率；
②国家有关部门规定每盒产品该项质量指标值不低于150为合格，且按该项质量指标值从低到高依次分为合格、优良、优秀三个等级，其中为优良，不高于180为合格，高于220为优秀.在①的条件下，设该公司生产该产品1万盒的成本为15万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表所示，求该产品每万盒的平均利润.
等级 合格 优良 优秀
售价 10 20 30
附：若，则.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意，得，解得.故选B.
2.答案：C
解析：解法一 将2个白球分别记为，3个黄球分别记为.从箱子中随机摸出2个球，所有情况是，共10种，摸出的这2个球颜色不同的情况有，共6种，故所求概率为，选C.
解法二 所求概率为，选C.
3.答案：C
解析：根据题意可得，又回归直线过中心点，所以，解得.
4.答案：A
解析：由题可知，5局3胜制，甲以3：1获胜，则第4局甲胜，且前3局甲胜2局，故所求概率.故选A.
5.答案：C
解析：由题意知.则.，所以，，故估计苹果直径在内的概率为0.818 6.选C.
6.答案：ABD
解析：记该游客游览个景点为事件，则，，所以游客至多游览一个景点的概率为，故A正确.随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，，，故B正确.，，故C错误.，故D正确.故选ABD.
7.答案：；
解析：因为随机变量的分布列为，所以，解得，所以随机变量的分布列为



1




所以，随机变量的数学期望.
8.答案：
解析：某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字只能是0，1，2，3，4，5，6，
验证码的首位数字是0的个数为，
验证码的首位数字是1的个数为，
验证码的首位数字是2的个数为，
验证码的首位数字是3的个数为，
验证码的首位数字是4的个数为，
验证码的首位数字是5的个数为，
验证码的首位数字是6的个数为1，
所以该验证码的首位数字是1的概率为.
9.答案：(1)由题意得，，解得.则抽取到的男生人数为.
(2)补充完整的列联表如下：
单位：人
选择物理 选择地理 总计
男生 45 10 55
女生 25 20 45
总计 70 30 100
零假设为：选择科目与性别无关.计算可得，依
据的独立性检验，推断不成立，即认为选择科目与性别有关.
(3)从30名选择地理的学生中用分层随机抽样的方法抽取6名学生，则这6名学生中有2名男生，4名女生，设男生编号分别为1，2，女生编号分别为a，b，c，d，从这6名学生中抽取2名学生，所有可能的结果为，共15种，至少有一名男生的结果为，共9种，
所以2名学生中至少有1名男生的概率.
10.答案：(1)由，得，
则平均值，故这200盒产品的该项指标值的平均值约为200.
(2)①由题意可得，则，则该批产品的该项质量指标值落在内的概率为0.954 5.
②设每盒该产品的售价为元，由①可得的分布列为
10 20 30
0.022 75 0.954 5 0.022 75
则每盒该产品的平均售价为，
故该产品每万盒的平均利润为(万元).

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