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第二章匀变速直线运动的研究
第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系
【素养目标】
1.知道匀速直线运动的位移与v?t图象中矩形面积的对应关系.
2．理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关匀变速直线运动问题
3．知道x?t图象，能应用x?t图象分析物体的运动
4．了解利用极限思想推导位移公式的方法.
【必备知识】
知识点一、匀变速直线运动的位移
1.匀速直线运动的位移
（1）位移公式：x＝vt.
（2）v-t图象特点：
①平行于时间轴的直线．
②位移在数值上等于v?t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．如图所示．
匀变速直线运动的位移
（1）推导：通过“微元法”可以得出，初速度为v0、做匀变速直线运动的物体，其v-t图像与t轴所围成的梯形面积就代表物体的位移，如图所示，从而推导出位移公式。
（2）位移公式：x＝v0t＋at
2.
【点睛】
当v0＝0时，x＝at
2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系；
当a＝0时，x＝v0t，即表示匀速直线运动的位移与时间的关系。
（3）对公式x＝v0t＋at
2的理解
①适用条件：位移公式x＝v0t＋at
2适用于匀变速直线运动．
②公式的矢量性：因为v0、a、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向，一般以v0的方向为正方向．
若a与v0同向，则a取正值；
若a与v0反向，则a取负值；
若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正；
若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负．
（4）如图所示，A、B表示物体做匀速直线运动，C表示物体处于静止状态．
①匀速直线运动的x?t图象为一条倾斜直线，静止物体的x?t图象为一条平行于时间轴的直线．
②x?t图象的物理意义：描述了物体的位移随时间的变化关系．
③x?t图象的斜率等于物体的运动速度．
④初速度为零的匀加速直线运动：由x＝at
2可知，其x?t图象是一条过原点的抛物线，如图中线D所示．
知识点二、速度与位移的关系
1.推导过程
2．公式：
3.对
的理解
①适用范围：仅适用于匀变速直线运动，对其他运动不适用
②标矢性：公式中v、、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选取初速度的方向为正方向。
物体做加速运动时，a取正值；物体做减速运动时，a取负值，代入公式进行计算
若计算得出x＞0，说明位移与初速度方向相同；若计算得出x＜0，说明位移与初速度方向相反。
4.特殊形式
①当=0时，=（物体做初速度为0的匀加速直线运动）
②当v=0时，-（物体做匀减速运动至停止，如刹车过程）
知识点三、匀变速直线运动的重要推论
1．平均速度公式：＝＝
即：做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半．
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t秒末的速度为v.
由x＝v0t＋at
2得，
①
平均速度＝＝v0＋at.
②
由速度公式v＝v0＋at知，当t′＝时，
＝v0＋a，
③
由②③得＝
④
又v＝＋a
⑤
由③④⑤解得＝，所以＝＝.
2．逐差相等
匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等．做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT
2.
推导：x1＝v0T＋aT
2，x2＝v0·2T＋a·T
2，x3＝v0·3T＋aT
2，…，
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT
2；xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT
2；xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT
2，…，
故xⅡ－xⅠ＝aT
2，xⅢ－xⅡ＝aT
2，…，
所以，Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT
2.
【课堂检测】
1.如图所示为一质点运动的位移-时间图像，曲线为一段圆弧，则下列说法中正确的是（??
）
A.?质点做曲线运动??????????????????????????????????????????????????B.?质点可能做匀速圆周运动
C.?质点在t1时刻离开出发点最远?????????????????????????????D.?质点运动的速率先减小后增大
【答案】
D
【解析】AB．位移时间图像只规定了两个方向（正方向和负方向），所以位移时间图像只能用来描述直线运动，A不符合题意，B不符合题意；
C．在t1时刻质点的位移为零，表示质点在t1时刻回到出发点，C不符合题意；
D．由斜率看出，质点的速度先减小后增大，D符合题意。
故答案为：D。
【分析】位移的图象只规定了两个方向所以质点做直线运动；利用图象斜率可以判别速度的变化；利用坐标可以判别其位移的大小。
2.一辆汽车以
的速度在平直公路上匀速行驶，因故突然紧急刹车，随后汽车停了下来。刹车时做匀减速运动的加速度大小为
，则（??
）
A.?刹车时汽车做匀减速运动的总时间为
??????????????B.?刹车时汽车在
末的速度大小为
C.?刹车时汽车在前
内通过的位移为
???????????D.?刹车时汽车通过的总位移为
【答案】
C
【解析】A．刹车时汽车做匀减速运动的总时间为
A不符合题意；
B．刹车时汽车在5s末汽车已经停止，则6s末的速度大小为0，B不符合题意；
C．刹车时汽车在前
内通过的位移为
C符合题意；
D．刹车时汽车通过的总位移为
D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】运用匀变速运动的速度公式可以求得时间，汽车刹车计算速度时要注意刹车停止的时间，运用匀变速的位移公式求位移即可。
【素养作业】
1.某列车离开车站后做匀加速直线运动，从某时刻开始计时，前1
s内的位移为10
m，前2
s内的位移为25
m，则前3秒内的位移为???
(??
)
A.?40
m???????????????????????????????????B.?45
m???????????????????????????????????C.?50
m???????????????????????????????????D.?55
m
【答案】
B
【解析】第1
s内的位移x1＝10
m，第2
s内的位移x2＝(25－10)
m＝15
m，由x2－x1＝x3－x2得第3秒内的位移x3＝20
m，前3
s的位移x＝x1＋x2＋x3＝45
m．
故答案为：B
【分析】物体做匀变速直线运动，相邻两段相同时间内所谓的位移之差是定值，结合数据求解第一段位移，相加即为前三秒的位移。
2.一辆汽车从车站由静止出发，做匀加速直线运动。运动一段时间之后司机发现一乘客未上车，立即紧急刹车，做匀减速直线运动。从启动到停止，总共用时10秒，前进了20米，在此过程中，汽车的最大速度是（??
）
A.?1.5m/s????????????????????????????????B.?3m/s????????????????????????????????C.?4m/s????????????????????????????????D.?无法确定
【答案】
C
【解析】设最大速度为v，则根据平均速度公式，汽车加速过程和减速过程的平均速度均为
，则有
解得
故答案为：C。
【分析】汽车做先做匀加速直线运动，后做匀减速直线运动；假设汽车的最大速度，结合题目给出的物体的初末速度、运动位移和运动时间，利用运动学公式列方程求解即可。
3.某物体做匀变速直线运动的位移跟时间的关系式是s＝0.5t＋t2
，
则该物体??
(??
)
A.?初速度为1
m/s???????????B.?加速度为1m/s2???????????C.?前2
s内位移为5
m???????????D.?第2
s内位移为5
m
【答案】
C
【解析】根据位移时间公式：
与
比较系数可得：
，
，AB不符合题意；前2
s内位移为：
，C符合题意；第2
s内位移为：
，D不符合题意．
故答案为：C
【分析】结合题目中给出的物体位移与时间的关系，对比匀变速直线运动公式，求出物体的初速度和加速度，再结合选项分析求解即可。
4.在水平面上有A，B两点，相距0.2m，—质点由a向b做匀变速直线运动，经过0.2s的时间先后通过A，B两点，则该质点通过A，B中点时的速度大小（??
）
A.?若该质点做匀加速运动。则大于1m/s，若该质点做匀减速运动。则小于1m/s
B.?若该质点做匀加速运动。则小于1m/s，若该质点做匀减速运动，则大于1m/s
C.?无论做匀加速运动还是匀减速运动均小于1m/s
D.?无论做匀加速运动还是匀减速运动均大于1m/s
【答案】
D
【解析】物体在A，B两点间的平均速度
根据推论得知：物体做匀变速直线运动时，物体在A，B两点间的平均速度等于中点时刻的瞬时速度，总小于中间位置的瞬时速度，所以无论该质点做匀加速运动还是匀减速运动，通过A，B中点时的速度大小均大于1m/s。D符合题意，ABC不符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据平均速度公式计算平均值，根据结论，位移中点速度总是<时间中点速度。
5.某物体的位移随时间变化规律是x=－3t+4t2
，
x和t的单位分别为m和s，则物体运动的初速度、加速度分别是（??
）
A.?3m/s、2m/s2??????????????B.?3m/s、－8m/s2??????????????C.?－3m/s、4m/s2??????????????D.?－3m/s、8m/s2
【答案】
D
【解析】根据匀变速直线运动的位移时间公式
，结合位移随时间变化规律是x=－3t+4t2
，
可得物体运动的初速度为
加速度为
得
故答案为：D。
【分析】通过观察变化规律关系式，发现跟位移时间关系的表达式很相似，通过对比，可以接的初速度和加速度。
6.甲、乙两车在同一条直道上行驶，它们运动的位移x随时间t变化的关系如图所示。已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10s处。则下列说法正确的是（??
）
A.?甲车的初速度为零??????????????????????????????????????????????B.?乙车的初位置在x0=80
m处
C.?乙车的加速度大小为4
m/s2????????????????????????????????D.?5
s时两车相遇，此时甲车速度较大
【答案】
B
【解析】A.
甲车的初速度为4m/s，A不符合题意；
B.
乙车10s末速度为零，其加速度为
B符合题意；
C.
乙车的加速度大小为1.6m/s2
，
C不符合题意；
D．5
s末图像相交表示两车相遇在20m处。
乙车5s末的速度为
甲车5s末的速度为
，D不符合题意。
故答案为：B。
【分析】x-t图像斜率表示速度，两条线的交点表示两个物体处在同一个位置。
7.冬天大雾天气的时候高速公路经常封道，否则会造成非常严重的车祸。如果某人大雾天开车在高速上行驶，设能见度（观察者与能看见的最远目标间的距离）为50m，该人的反应时间为0.5s，若汽车的行驶时速度为20m/s，为安全行驶，则整个过程汽车运动的最大加速度为（??
）
A.?2m/s2?????????????????????????????????B.?3m/s2?????????????????????????????????C.?4m/s2?????????????????????????????????D.?5m/s2
【答案】
D
【解析】反应的距离为
则由
得，最大加速度为
故答案为：D。
【分析】由匀速直线运动规律求出位移；结合速度位移关系即可求得加速度。
8.甲、乙两物体从同一点开始沿一直线运动，甲的x–t和乙的v–t图象如图所示，下列说法中错误的是（?
）
A.?甲在3
s末回到出发点，甲运动过程中，距出发点的最大距离均为4
m
B.?2~4
s内乙的加速度不变
C.?第3
s内甲、乙两物体速度方向相同
D.?2~4
s内甲的位移大小为8
m，乙的位移大小为0
m
【答案】
C
【解析】A、甲的x-t图象，纵坐标表示位置的变化，斜率表示速度，故0~2s沿正向做匀速直线运动，2~4s沿负向做匀速直线运动，4~6s沿正向做匀速直线运动；3s末和6s末回到出发点，最大位移为2s时的4m；A正确，不符合题意.
B、乙的v-t图象，纵坐标表示瞬时速度，斜率表示加速度，则2~4s为加速度方向为负，大小相同；B正确，不符合题意.
C、由甲的x-t图象读出第3s内斜率为负表示沿负方向的速度，由乙的v-t图象读出第3s内的纵坐标为正表示沿正向的速度；C错误，符合题意.
D、甲在2~4s内的位移为纵坐标的变化
，乙在2~4s内的位移为图象的面积
；D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】甲图纵坐标达标x，所以3s末回到出发点，最大距离就是纵坐标最大为4m。v-t图像斜率是加速度，所以2s-4s的加速度不变。第3s甲往回返，速度为负向，乙图第3s速度是正值正向。2-4s甲位移为纵坐标差值8m，乙为图像面积0m。

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