资源简介

不等式
第一节　不等式的性质、一元二次不等式
命题分析预测
学科核心素养
本节是高考的热点，主要命题点有：(1)不等式的性质及应用，常以不等式为载体与函数相结合考查，注意不等式的等价变形；(2)不等式的解法，常与集合的基本运算相结合考查；(3)一元二次不等式的恒成立问题，常与函数结合考查．一般以选择题和填空题的形式出现，难度不大．
本节通过不等式的性质、解法及应用，考查转化与化归思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养．
授课提示：对应学生用书第119页
知识点一　不等式的性质
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b>0?a>b．
(2)a－b＝0?a＝b．
(3)a－b<0?a2．不等式的性质
(1)对称性：a>b?b(2)传递性：a>b，b>c?a>c；
(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c；
a>b，c>d?a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；
a>b>0，c>d>0?ac>bd；
(5)可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0?>(n∈N，n≥2)．
?
温馨提醒
?
若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞(b－m＞0)；＞；＜(b－m＞0)．
1．若a>b>0，cA．－>0　　　　
B．－<0
C．>
D．<
解析：因为c又0ac，
又因为cd>0，所以>，即>．
答案：D
2．若a，b都是实数，则“－＞0”是“a2－b2＞0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：－＞0?＞?a＞b?a2＞b2，但由a2－b2＞0?/－＞0．
答案：A
3．若0＜a＜b，且a＋b＝1，则将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________．
解析：令a＝，b＝，则2ab＝2××＝，
a2＋b2＝＋＝，故a＜2ab＜＜＝a2＋b2＜b．
答案：a＜2ab＜＜a2＋b2＜b
知识点二　一元二次不等式
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异实数根x1，x2(x1有两相等实数根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1?
?
?
温馨提醒
?
二级结论
1．ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0(x∈R)．
2．ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0(x∈R)．
必明易错
1．对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
2．当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是?，要注意区别．
1．(易错题)若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(－∞，－1)
C．
D．∪(1，＋∞)
解析：①m＝－1时，不等式为2x－6＜0，即x＜3不合题意．②m≠－1时，则解得m＜－．
答案：C
2．当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为(　　)
A．－2
B．－3
C．－1
D．－
解析：若－≤0，即a≥0时，成立；若a＜0，由Δ＝a2－4≤0，得－2≤a＜0，综上，a≥－2．
答案：A
3．不等式＜1的解集是________．
解析：＜1?＜0
?＞0?x＞1或x＜－1．
答案：{x|x＞1或x＜－1}
授课提示：对应学生用书第120页
题型一　不等式性质及应用　　
1．（2021·大连摸底）若a，b∈R，且a＞|b|，则（　　）
A．a＜－b　　　　　　
B．a＞b
C．a2＜b2
D．＞
解析：∵a＞|b|，|b|≥b，∴a＞b．
答案：B
2．（2021·绵阳第一次诊断）已知p：a＜0，q：a＞a2，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由q：a＞a2，得0＜a＜1，又p：a＜0，所以p是q的既不充分也不必要条件．
答案：D
3．（2021·广州一调）已知实数x，y满足＜，则下列关系式中恒成立的是（　　）
A．tan
x＞tan
y
B．ln（x2＋2）＞ln（y2＋2）
C．＞
D．x3＞y3
解析：法一：因为＜，所以x＞y．由于y1＝tan
x在R上不是单调函数，所以选项A不正确；又x2－y2＝（x－y）（x＋y）的正负不确定，所以x2和y2的关系不确定，所以选项B不正确；又－＝的正负不确定，所以和的关系不确定，所以选项C不正确．
法二：因为＜，所以x＞y．由于y2＝x3是R上的单调递增函数，所以x3＞y3．
答案：D
4．已知1A．m>n
B．mC．m＝n
D．以上选项都有可能
解析：由m＝ab－1，n＝ba－1，1得ln
m＝（b－1）ln
a，ln
n＝（a－1）ln
b，
所以要比较m，n的大小，即比较，的大小．
设f（x）＝（x>1），
则f′（x）＝＝．
设g（x）＝x－1－xln
x，
则g′（x）＝1－ln
x－1＝－ln
x，
当x>1时，g′（x）<0，所以g（x）即f′（x）<0，所以f（x）为（1，＋∞）上的减函数．
因为1f（b），
即>，（b－1）ln
a>（a－1）ln
b，ln
m>ln
n，从而m>n．
答案：A
不等式性质应用问题的三大常见类型及解题策略
（1）利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
（2）与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p?q和q?p是否正确，要注意特殊值法的应用．
（3）与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
题型二　一元二次不等式的解法　　
1．不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________．
解析：原不等式等价于即
即解得
借助于数轴，如图所示，
所以原不等式的解集为{x|－2≤x＜－1或2＜x≤3}．
答案：[－2，－1）∪（2，3]
2．已知不等式ax2－bx－1＞0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．
解析：由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a＜0，所以
解得
即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，
解得x≥3或x≤2．
答案：{x|x≥3或x≤2}
3．求不等式12x2－ax＞a2（a∈R）的解集．
解析：因为12x2－ax＞a2，
所以12x2－ax－a2＞0，
即（4x＋a）（3x－a）＞0，
令（4x＋a）（3x－a）＝0，
得x1＝－，x2＝．
当a＞0时，－＜，
不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式变形为x2＞0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a＜0时，－＞，
解集为．
综上所述，当a＞0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a＜0时，不等式的解集为．
1．解一元二次不等式的四个步骤
一化
把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式
二判
计算对应方程的判别式
三求
求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根
四写
利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集
2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
（1）二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
题型三　一元二次不等式恒成立问题　　
　　一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．常见的命题角度有：（1）形如f（x）≥0（f（x）≤0）（x∈R）确定参数范围；（2）形如f（x）≥0（x∈[a，b]）确定参数范围；（3）形如f（x）≥0（参数m∈[a，b]）确定x的范围．
考法（一）　形如f（x）≥0（f（x）≤0）（x∈R）确定
参数范围
[例1]　若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（　　）
A．（－3，0）　　　　　　　
B．[－3，0）
C．[－3，0]
D．（－3，0]
[解析]　当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则解得－3＜k＜0．
综上，满足不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是（－3，0]．
[答案]　D
一元二次不等式在R上恒成立的条件
不等式类型
恒成立条件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0
考法（二）　形如f（x）≥0（x∈[a，b]）确定参数范围
[例2]　设函数f（x）＝mx2－mx－1．若对于x∈[1，3]，f（x）＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解析]　要使f（x）＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
即m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．
有以下两种方法：
法一：令g（x）＝m＋m－6，x∈[1，3]．
当m＞0时，g（x）在[1，3]上是增函数，
所以g（x）max＝g（3）＝7m－6＜0，
所以m＜，
所以0＜m＜；
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g（x）在[1，3]上是减函数，
所以g（x）max＝g（1）＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0．
综上所述，m的取值范围是．
法二：因为x2－x＋1＝＋＞0，
又因为m（x2－x＋1）－6＜0，
所以m＜．
因为函数y＝
＝在[1，3]上的最小值为，
所以只需m＜即可．
所以，m的取值范围是．
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
（1）若f（x）>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f（x）>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）．
（2）转化为函数值域问题，即已知函数f（x）的值域为[m，n]，则f（x）≥a恒成立?f（x）min≥a，即m≥a；f（x）≤a恒成立?f（x）max≤a，即n≤a．
考法（三）　形如f（x）≥0（参数m∈[a，b]）确定
x的范围
[例3]　对任意m∈[－1，1]，函数f（x）＝x2＋（m－4）x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
[解析]　由f（x）＝x2＋（m－4）x＋4－2m＝（x－2）m＋x2－4x＋4，
令g（m）＝（x－2）m＋x2－4x＋4．
由题意知在m∈[－1，1]上，g（m）的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3．
故当x的取值范围为（－∞，1）∪（3，＋∞）时，对任意的m∈[－1，1]，函数f（x）的值恒大于零．
一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
[对点训练]
　已知函数f（x）＝x2＋ax＋3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[－2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a∈[4，6]时，f（x）≥0恒成立，求实数x的取值范围．
解析：（1）因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4（3－a）≤0，即a2＋4a－12≤0，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
（2）当x∈[－2，2]时，设g（x）＝x2＋ax＋3－a≥0恒成立，分如下三种情况讨论（如图所示）：
ⅰ如图①，当g（x）的图像恒在x轴或x轴上方且满足条件时，有Δ＝a2－4（3－a）≤0，即－6≤a≤2．
ⅱ如图②，g（x）的图像与x轴有交点，
但当x∈[－2，＋∞）时，g（x）≥0，
即即
可得解得a∈?．
ⅲ如图③，g（x）的图像与x轴有交点，
但当x∈（－∞，2]时，g（x）≥0．
即即
可得
所以－7≤a≤－6，
综上，实数a的取值范围是[－7，2]．
（3）令h（a）＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h（a）≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋．
所以实数x的取值范围是（－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞）．
　不等式解法中的核心素养
数学运算——不等式解法的创新应用
[例]　（2021·石家庄市高三二检）已知函数f（x）＝若f（－a）＋f（a）≤2f（1），则实数a的取值范围是（　　）
A．（－∞，－1]∪[1，＋∞）
B．[－1，0]
C．[0，1]
D．[－1，1]
[解析]　若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝xln（1＋x）＋x2＝f（x），同理可得x＜0时，f（－x）＝f（x），且x＝0时，f（0）＝f（0），所以f（x）为偶函数．当x≥0时，易知f（x）＝xln（1＋x）＋x2为增函数，所以不等式f（－a）＋f（a）≤2f（1）等价于2f（a）≤2f（1），即f（a）≤f（1），即f（|a|）≤f（1），则|a|≤1，解得－1≤a≤1．
[答案]　D
本题的关键是利用条件判断f（x）的单调性．从而将抽象不等式进行转化．
[对点训练]
（2021·福州市高三质检）设函数f（x）＝则满足不等式f（x2－2）＞f（x）的x的取值范围是（　　）
A．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
B．（－∞，－）∪（，＋∞）
C．（－∞，－）∪（2，＋∞）
D．（－∞，－1）∪（，＋∞）
解析：法一：当x＞0时，函数f（x）单调递增；当x≤0时，f（x）＝0，故由f（x2－2）＞f（x），得或解得x＞2或x＜－，所以x的取值范围是（－∞，－）∪（2，＋∞）．
法二：取x＝2，则f（22－2）＝f（2），所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1．1，则f（（－1．1）2－2）＝f（－0．79）＝0，f（－1．1）＝0，所以x＝－1．1不满足题意，排除A．
答案：C
PAGE第二节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的命题情况来看，本节是高考的重点，命题稳定，难度适中．主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值（范围）以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，主要以选择题和填空题的形式出现．
本节通过线性规划问题及其应用，提升考生的数学运算、直观想象和数学建模核心素养及数形结合思想的应用能力．
授课提示：对应学生用书第123页
知识点　简单的线性规划
1．二元一次不等式（组）表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式（组）
线性约束条件
由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式（组）
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解（x，y）
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
?
温馨提醒
?
1．画平面区域时避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为Ax＋By＋C＞0（A＞0）的形式．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
1．不等式组表示的平面区域是（　　）
答案：B
2．（易错题）已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点（x，y）有无数个，则a的值为（　　）
A．－1　　　　　　　
B．1
C．2
D．－2
解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点（x，y）有无数个，所以－a＝kAB＝1，所以a＝－1．
答案：A
3．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1
400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为　　________．（用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨）
解析：用表格列出各数据
A
B
总数
产品吨数
x
y
资金
200x
300y
1
400
场地
200x
100y
900
所以不难看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1
400，200x＋100y≤900．
答案：
授课提示：对应学生用书第124页
题型一　二元一次不等式（组）表示的平面区域　　
1．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（　　）
A．　　　　　　
B．
C．
D．2
解析：作出不等式组表示的平面区域是以点O（0，0），B（－2，0）和A（1，）为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分（含边界），由图知该平面区域的面积为×2×＝．
答案：B
2．已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为（　　）
A．1
B．－1
C．0
D．－2
解析：由于x＝1与x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直或x＝1与kx－y＝0垂直．①当x＋y－4＝0与kx－y＝0垂直时，k＝1，检验知三角形区域面积为1，即符合要求；②当x＝1与kx－y＝0垂直时，k＝0，检验不符合要求．综上，实数k的值为1．
答案：A
3．已知直线y＝kx－3经过不等式组所表示的平面区域，则实数k的取值范围是（　　）
A．
B．∪
C．
D．∪
解析：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，直线y＝kx－3过定点M（0，－3），由解得A（－2，4），当直线y＝kx－3过点A时，k＝＝－；由解得B（2，0），当直线y＝kx－3过点B时，k＝＝．由图形知，实数k的取值范围是∪．
答案：B
根据平面区域确定参数的方法
在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．
题型二　目标函数的最值及应用　　
　　线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有：（1）求线性目标函数的最值；（2）求非线性目标函数的最值；（3）求目标函数中的参数；（4）线性规划的实际应用．
考法（一）　求线性目标函数的最值
[例1]　（2020·高考全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________．
[解析]　画出可行域如图阴影部分所示．由z＝x＋7y得y＝－x＋z．平移直线l0：y＝－x，可知当直线y＝－x＋z过点A时z最大．
由得
即A（1，0）
∴zmax＝1＋7×0＝1．
[答案]　1
求目标函数最值的三步骤
（1）作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线．
（2）平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置．
（3）求值——解方程组求出对应点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
考法（二）　求非线性目标函数的最值
[例2]　（1）设实数x，y满足则u＝的取值范围是（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．
D．
（2）（2021·安徽马鞍山模拟）已知实数x，y满足则x2＋y2的最大值与最小值之和为（　　）
A．5
B．
C．6
D．7
[解析]　（1）在坐标平面上点（x，y）所表示的区域如图所示，根据几何意义，u的值即为区域内的点与坐标原点连线的斜率，显然kOA最小，kOB最大．
由得点A（3，1），由得点B（1，2），
故≤u≤2．
（2）作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，x2＋y2的几何意义是原点O到可行域内点的距离的平方，由图可知，O到直线x＋y－1＝0的距离最小，为．
可行域内的点B与坐标原点的距离最大，为＝．
所以x2＋y2的最大值与最小值之和为5＋＝．
[答案]　（1）A　（2）B
常见的两种非线性目标函数及其几何意义
（1）点到点的距离型：形如z＝（x－a）2＋（y－b）2，表示区域内的动点（x，y）与定点（a，b）的距离的平方．
（2）斜率型：形如z＝，表示区域内的动点（x，y）与定点（a，b）连线的斜率．
考法（三）　线性规划中的参数问题
[例3]　若x，y满足约束条件若z＝2x－3y的最大值为9，则正实数m的值为________．
[解析]　作出x，y满足约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
由图可知z＝2x－3y在点A处取得最大值，
由解得A（3，m－3），
由zmax＝2×3－3（m－3）＝9，解得m＝2．
[答案]　2
求解线性规划中含参数问题的基本方法
（1）把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围．
（2）先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
考法（四）　线性规划的实际应用
[例4]　为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1
200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是________．
[解析]　设买排球x个，篮球y个，买排球和篮球的个数之和z＝x＋y．
则即
由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．
联立解得A（8，4），化目标函数z＝x＋y为y＝－x＋z，由图可知，当直线y＝－x＋z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值，此时z＝8＋4＝12．
[答案]　12
解答线性规划实际问题的三步骤
（1）根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数．
（2）准确作出可行域，求出最优解．
（3）将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案．
[题组突破]
1．（2021·石家庄市高三模拟）已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为（　　）
A．－3　　　　　　　
B．
C．3
D．4
解析：画出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线过点B时，z＝2x＋y取得最大值．
由得所以B（2，－1），故zmax＝2×2－1＝3．
答案：C
2．若x，y满足且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为（　　）
A．
B．
C．1
D．2
解析：若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－2与3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分别交于A（2，4），B，直线mx－y＝0经过其中一点，所以m＝2或m＝．当m＝时，经检验不符合题意，舍去，故m＝2．
答案：D
3．某届冬奥会中国运动健儿发挥稳定，向世界展现了良好的精神风貌．在饮食方面，每天的中餐主办方向运动员提供A和B两种套餐．已知一个单位的A套餐含有6个单位的蛋白质、6个单位的碳水化合物和12个单位的维生素；一个单位的B套餐含有12个单位的蛋白质、6个单位的碳水化合物和6个单位的维生素．另外，营养师分析：一位运动员每天的中餐需要的营养中至少含有60个单位的蛋白质、42个单位的碳水化合物、54个单位的维生素．若每单位A，B套餐所需费用分别为4元和3元，则在满足上述营养的要求下，每位运动员每天的中餐至少花费　　　　元．
解析：设每位运动员食用x个单位的A套餐，食用y个单位的B套餐，每天中餐的花费为z元，根据题意，得到约束条件
化简得目标函数z＝4x＋3y．作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知目标函数z＝4x＋3y在A（2，5）处取得最小值，所以zmin＝4×2＋3×5＝23，故每位运动员每天的中餐至少花费23元．
答案：23
　线性规划应用中的核心素养
直观想象——线性规划的创新交汇问题
[例]　已知不等式组表示的平面区域为Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2＋y2＝1的两条切线且切点分别为A，B，当∠APB最大时，·的值为（　　）
A．2　　　　　　　
B．
C．
D．3
[解析]　作出平面区域Ω如图中阴影部分所示，当∠APB最大时，∠APO最大，sin∠APO＝＝最大，故|OP|最小，易知|OP|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离d，且d＝2，故sin∠APO
≤，当等号成立时，∠APB＝2∠APO＝60°，且|PA|＝|PB|＝，此时·＝||·||·cos∠APB＝．
[答案]　B
求解此类问题的关键是利用转化思想与数形结合思想进行求解．
[对点训练]
已知实数x，y满足设向量a＝（y－2x，m），b＝（1，－1），若a∥b，则m的最大值为（　　）
A．－6
B．6
C．1
D．－1
解析：因为a＝（y－2x，m），b＝（1，－1），a∥b，所以m＝2x－y，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，并平移，结合图像易知，m＝2x－y取得最大值的最优解为（4，2），所以m的最大值为6．
答案：B
PAGE第三节　基本不等式
命题分析预测
学科核心素养
本节是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件．
本节通过基本不等式及其应用考查考生的数学运算核心素养．
授课提示：对应学生用书第126页
知识点　基本不等式
1．基本不等式≤
（1）基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0．
（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
（3）其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：积定和最小）．
（2）如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）．
?
温馨提醒
?
二级结论
1．三个重要的结论
（1）≥．
（2）＋≥2（ab＞0）．
（3）≤≤≤
（a＞0，b＞0）．
2．利用基本不等式求最值的两个常用结论
（1）已知a，b，x，y为正实数，若ax＋by＝1，则有＋＝（ax＋by）＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝（＋）2．
（2）已知a，b，x，y为正实数，若＋＝1，则有x＋y＝（x＋y）＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝（＋）2．
必明易错
1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
1．（易错题）下列结论正确的个数为（　　）
①函数y＝x＋的最小值是2；
②函数f（x）＝cos
x＋，x∈的最小值等于4；
③“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件；
④若a＞0，则a3＋的最小值为2；
⑤不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．
A．0　　　　　　　
B．1
C．2
D．3
解析：①当x＜0时，y≤－2，故①错误；②cos
x不可能为2，所以等号不可能成立，故②错误；③当x＜0且y＜0时，不等式＋≥2也成立，故③错误；④2不是定值，故④错误；⑤a2＋b2≥2ab对于a，b∈R都成立，而≥只有当a≥0，b≥0才成立，故⑤错误．
答案：A
2．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（　　）
A．80
B．77
C．81
D．82
解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，∴xy≤81，当且仅当x＝y＝9时取等号，∴xy的最大值为81．
答案：C
3．（2021·济宁调研）若正数x，y满足＋＝1，则x＋3y的最小值为（　　）
A．24
B．18
C．12
D．6
解析：由＋＝1得x＋3y＝（x＋3y）＝＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当＝，且＋＝1，即x＝6，y＝2时等号成立，所以x＋3y的最小值为12．
答案：C
4．若把总长为20
m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　　　
m2．
解析：设矩形场地的长为x
m，宽为y
m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积S＝xy≤＝25，当且仅当x＝y＝5时，S取得最大值25
m2．
答案：25
授课提示：对应学生用书第127页
题型一　利用基本不等式求最值　　
　　利用基本（均值）不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，是每年高考的重点内容．常见的命题角度有：（1）通过配凑法求最值；（2）通过常数代换法求最值；（3）通过消元法求最值．
考法（一）　通过配凑法求最值
[例1]　（1）已知0＜x＜1，则x（4－3x）取得最大值时x的值为　　　　；
（2）函数y＝（x＞1）的最小值为________．
[解析]　（1）x（4－3x）＝·（3x）（4－3x）≤·＝，
当且仅当
3x＝4－3x，即x＝时，取等号．
（2）y＝
＝
＝
＝（x－1）＋＋2≥2＋2．
当且仅当（x－1）＝，即x＝＋1时，等号成立．
[答案]　（1）　（2）2＋2
代数式最值的求解方法——配凑法
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键．
[注意]　变形的等价性及基本不等式应用的前提条件．
考法（二）　通过常数代换法求最值
[例2]　（2021·湖北八校联考）已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值为（　　）
A．12　　　　　　　
B．16
C．20
D．24
[解析]　法一：由题意x＋y＝（x＋y）＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当时取等号．
法二：由＋＝1得9x＋y－xy＝0，即（x－1）（y－9）＝9，可知x＞1，y＞9，所以x＋y＝（x－1）＋（y－9）＋10≥2＋10＝16，当且仅当即时取等号．
[答案]　B
常数代换法求最值的步骤
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）．
（2）把确定的定值（常数）变形为1．
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
（4）利用基本不等式求解最值．
考法（三）　通过消元法求最值
[例3]　（1）（2021·上饶联考）已知正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，则的最大值为（　　）
A．8　　　
B．2
C．　　　
D．
（2）已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
[解析]　（1）因为a，b，c都是正数，且满足2a－b＋c＝0，所以b＝2a＋c，所以＝＝＝≤＝，当且仅当c＝2a＞0时等号成立．
（2）由x2＋2xy－3＝0，得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3．
[答案]　（1）C　（2）3
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
[题组突破]
1．（2021·正定期中测试）若正实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
解析：∵＋＝≥2，当且仅当b＝2a时等号成立，∴ab≥2，ab的最小值为2．
答案：C
2．若a＞0，b＞0，lg
a＋lg
b＝lg（a＋b），则a＋b的最小值为（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
解析：由lg
a＋lg
b＝lg（a＋b），得lg（ab）＝lg（a＋b），即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4．
答案：C
3．（2021·阜阳模拟）若直线＋＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a＋b＋的最小值为________．
解析：因为直线＋＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），所以＋＝1，所以b＝＞0，所以a＞1，所以a＋b＋＝（a－1）＋＋2≥4＋2＝6，当且仅当a＝3时等号成立，所以a＋b＋的最小值是6．
答案：6
题型二　基本不等式的实际应用　　
[例]　（2021·泰安调研）某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入（x2＋x）万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？
[解析]　（1）设商品的销售价格提高a元，
则（10－a）（5＋a）≥50，解得0≤a≤5．
所以商品的价格最多可以提高5元．
（2）由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，
若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx＝（x2＋x）＋＋50（x＞5）即可，此时m＝x＋＋≥2＋＝，
当且仅当x＝，即x＝10时，取“＝”．
故销售量至少应达到万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．
利用基本不等式求解实际问题的两个注意点
（1）利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．
[对点训练]
如图，某生态园将一个三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（1）若围墙AP，AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1．5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20
000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
解析：设AP＝x米，AQ＝y米．
（1）x＋y＝200，△APQ的面积S＝xy·sin
120°＝xy．
所以S≤＝2
500．
当且仅当即x＝y＝100时取“＝”．
即AP与AQ的长度都为100米时，可使得三角形地块APQ的面积最大．
（2）由题意得100×（x＋1．5y）＝20
000，
即x＋1．5y＝200．要使竹篱笆用料最省，
只需其长度PQ最短，
所以PQ2＝x2＋y2－2xycos
120°＝x2＋y2＋xy＝（200－1．5y）2＋y2＋（200－1．5y）y＝1．75y2－400y＋40
000＝1．75＋，
当y＝时，PQ有最小值，此时x＝．
即AP长为米，AQ长为米时，可使竹篱笆用料最省．
　基本不等式应用中的核心素养
数学运算——基本不等式的创新交汇问题
基本不等式求最值涉及交汇知识较多，应用广泛，多涉及三角向量、数列、立体几何、解析几何等最值与范围的求法．
[例]　如图，在△ABC中，＝2，过点M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点P，Q，若＝m，＝n（m，n∈R），则mn＋m的最小值为（　　）
A．1　　　　　　　
B．
C．
D．2
[解析]　连接AM（图略），由题知＝＋＝＋＝＋，＝m，＝n，且Q，P，M三点共线，所以存在实数λ使得＝λ＋（1－λ）·，即有＋＝（1－λ）m＋λn，所以＝（1－λ）m，＝λn，解得m＝，n＝．因为点M在点P，Q之间，所以λ∈（0，1），所以mn＋m＝·＋＝＝≥＝2，当且仅当1＋3λ＝，即λ＝时等号成立，mn＋m取得最小值2．
[答案]　D
[题组突破]
1．（2021·吉安期末测试）已知函数f（x）＝，则f（x）的最大值为________．
解析：设t＝sin
x＋2，则t∈[1，3]，则sin2x＝（t－2）2，则g（t）＝＝t＋－4（1≤t≤3），由“对勾函数”的性质可得g（t）在[1，2）上为减函数，在（2，3]上为增函数，又g（1）＝1，g（3）＝，所以g（t）max＝g（1）＝1．即f（x）的最大值为1．
答案：1
2．设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
解析：an＝a1＋（n－1）d＝n，Sn＝，
所以＝＝≥
＝，
当且仅当n＝4时取等号．
所以的最小值是．
答案：
PAGE第四节　推理与证明
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，本节是高考的热点，一般以选择题或填空题的形式考查合情推理和演绎推理；直接证明、间接证明和数学归纳法，一般以函数、不等式、数列等为背景进行考查，题型以解答题为主，综合性较强．
本节主要考查考生的逻辑推理核心素养．
授课提示：对应学生用书第129页
知识点一　合情推理与演绎推理
1．合情推理
类型
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理
2．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
?
温馨提醒
?
1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．
2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．
1．已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是（　　）
A．an＝3n－2　　　　
B．an＝4n－3
C．an＝n2
D．an＝3n－1
解析：由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，得a2＝4，a3＝9，a4＝16．猜得an＝n2．故选C．
答案：C
2．演绎推理“因为对数函数y＝logax（a>0且a≠1）是增函数，而函数y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数”所得结论错误的原因是（　　）
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．大前提和小前提都错误
解析：因为当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，当0答案：A
3．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19，且n∈N＋）成立．类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为__________．
解析：由等比数列的性质bn＋1·b17－n＝bn＋2·b16－n＝…＝b＝1，得b1b2…bn＝b1b2b3b4…b17－n（n<17，n∈N＋）．
答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<17，n∈N＋）
知识点二　证明
1．直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法Ｗ．
（1）综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
综合法又称为：由因导果法（顺推证法）．
（2）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法．
分析法又称为：执果索因法（逆推证法）．
2．间接证明
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
3．数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0∈N＋）时命题成立．
（2）（归纳递推）假设n＝k（k≥n0，k∈N＋）时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．
1．（易错题）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”，假设正确的是（　　）
A．假设三个内角都不大于60度
B．假设三个内角都大于60度
C．假设三个内角至多有一个大于60度
D．假设三个内角至多有两个大于60度
解析：根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60度．故选B．
答案：B
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明（　　）
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C．－1－a2b2≤0
D．（a2－1）（b2－1）≥0
解析：a2＋b2－1－a2b2≤0?（a2－1）（b2－1）≥0．
答案：D
3．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步检验n等于（　　）
A．1　　　
B．2　　　　
C．3　　　
D．4
解析：凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3．
答案：C
授课提示：对应学生用书第130页
题型一　合情推理　　
1．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2＝，3＝，4＝，5＝，则按照以上规律，若8＝具有“穿墙术”，则n＝（　　）
A．35　　　
B．48　　　　
C．63　　　
D．80
解析：根据规律得3＝1×3，8＝2×4，15＝3×5，24＝4×6，…，所以n＝7×9＝63．
答案：C
2．二维空间中，圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2，三维空间中，球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）V＝πr3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝（　　）
A．2πr4
B．3πr4
C．4πr4
D．6πr4
解析：由题意得，二维空间中，二维测度的导数为一维测度；三维空间中，三维测度的导数为二维测度．由此归纳，在四维空间中，四维测度的导数为三维测度，故W＝2πr4．
答案：A
3．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝．类比上述过程，则＝________．
解析：由题意可得＝x（x≥0），整理得（x＋1）（x－2
020）＝0（x≥0），解得x＝2
020，即＝2
020．
答案：2
020
1．类比推理的分类及处理方法
类别
解决
适合题型
类比定义
在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型问题时，可以借助原定义来求解
已知熟悉定义类比新定义
类比性质
从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键
平面几何与立体几何、等差数列与等比数列
类比方法
有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移
已知熟悉的处理方法类比未知问题的处理方法
2．归纳推理问题的常见类型及解题策略
常见类型
解题策略
与数字有关的等式的推理
观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解
与式子有关的推理
观察每个式子的特点，找到规律后可解
与图形变化有关的推理
合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性
题型二　演绎推理　　
[例]　已知函数y＝f（x）满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af（a）＋bf（b）>af（b）＋bf（a），试证明：f（x）为R上的单调递增函数．
[证明]　设x1，x2∈R，取x1则由题意得x1f（x1）＋x2f（x2）>x1f（x2）＋x2f（x1），
所以x1[f（x1）－f（x2）]＋x2[f（x2）－f（x1）]>0，
[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）>0，
因为x10，f（x2）>f（x1）．
综上，y＝f（x）为R上的单调递增函数．
演绎推理的推证规则
（1）演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．
（2）在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．
[对点训练]
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n∈N＋）．证明：
（1）数列是等比数列；
（2）Sn＋1＝4an．
证明：（1）因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
所以（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn），
即nSn＋1＝2（n＋1）Sn．
故＝2·，
故是以1为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）可知＝4·（n≥2），所以Sn＋1＝4（n＋1）·＝4··Sn－1＝4an（n≥2）．
又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，
所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an．
题型三　证明问题　　
　　证明问题分为直接证明与间接证明．其常见的方法有：（1）分析法；（2）综合法；（3）反证法；（4）数学归纳法．
考法（一）　分析法
[例1]　已知a>0，求证：
－≥a＋－2．
[证明]　因为a>0，要证原不等式成立，只需证＋2≥a＋＋，
即证a2＋＋4＋4≥＋2＋2，
只需证·≥a＋，
即证2≥a2＋＋2，
只需证a2＋≥2．
由基本不等式知a2＋≥2显然成立，
所以原不等式成立．
分析法证明问题的思路与适用范围
（1）分析法的思路：
“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“要证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．
（2）分析法证明问题的适用范围：
当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．
考法（二）　综合法
[例2]　若任意x∈D，总有f（x）[证明]　令φ（x）＝ex－1－x，
则φ′（x）＝ex－1．
当－1故φ（x）在区间（－1，0）上为减函数，
因为φ（x）>φ（0）＝0，故ex>1＋x．
令t（x）＝ex－1－x－，则t′（x）＝ex－1－x．
由上述证明过程可知，当x∈（－1，0）时，ex>1＋x恒成立，即当x∈（－1，0）时，t′（x）>0，故t（x）在（－1，0）上为增函数．
所以t（x）故y＝ex是y＝1＋x和y＝1＋x＋在（－1，0）上的一个“严格分界函数”．
综合法的证题思路
（1）综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断（命题）出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
（2）综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
考法（三）　反证法
[例3]　已知f（x）＝ln（1＋ex）－mx（x∈R），对于给定区间（a，b），存在x0∈（a，b），使得＝f′（x0）成立，求证：x0唯一．
[证明]　假设存在x′0，x0∈（a，b），且x′0≠x0，使得＝f′（x0），＝f′（x′0）成立，
即f′（x0）＝f′（x′0）．
因为f′（x）＝－m，记g（x）＝f′（x），
所以g′（x）＝>0，即f′（x）是（a，b）上的单调递增函数．
所以x0＝x′0，这与x′0≠x0矛盾，所以x0是唯一的．
反证法证明问题的三步骤
（1）反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立．（否定结论）
（2）归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾．（推导矛盾）
（3）立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．（命题成立）
考法（四）　数学归纳法
[例4]　已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1．
（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
（2）用数学归纳法证明所得的结论．
[解析]　（1）将n＝1，2，3分别代入可得a1＝，a2＝，a3＝，猜想an＝2－．
（2）证明：①由（1）得n＝1，2，3时，结论成立．
②假设n＝k（k≥3，k∈N＋）时，结论成立，
即ak＝2－，
那么当n＝k＋1时，
a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2（k＋1）＋1，
且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，
所以2k＋1－ak＋2ak＋1＝2（k＋1）＋1＝2k＋3，
所以2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，
即当n＝k＋1时，结论也成立．
1．用数学归纳法证明等式时应注意的问题
（1）用数学归纳法进行证明，其关键在于弄清式子的构成规律，式子两边各有多少项，初始值n0；
（2）由n＝k到n＝k＋1时，除式子两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．
2．“归纳——猜想——证明”的一般步骤
（1）计算（根据条件，计算若干项）．
（2）归纳猜想（通过观察、分析、综合、联想、猜想出一般结论）．
（3）证明（用数学归纳法证明）．
[题组突破]
1．已知a，b∈R，a>b>e（其中e是自然对数的底数）用分析法求证：ba>ab．
证明：因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证aln
b>bln
a，只需证>．
取函数f（x）＝，因为f′（x）＝，所以当x>e时，f′（x）<0，所以函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减．
所以当a>b>e时，有f（b）>f（a），
即>．得证．
2．设a>0，b>0，且a2＋b2＝＋．证明：a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明：假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则有a2＋a＋b2＋b<4．
由a2＋b2＝＋，得a2b2＝1，
因为a>0，b>0，所以ab＝1．
因为a2＋b2≥2ab＝2（当且仅当a＝b＝1时等号成立），
a＋b≥2＝2（当且仅当a＝b＝1时等号成立），
所以a2＋a＋b2＋b≥2ab＋2＝4（当且仅当a＝b＝1时等号成立），
这与假设矛盾，故假设错误．
所以a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
3．已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a，求证：当n∈N＋时，an证明：（1）当n＝1时，因为a2是方程a＋a2－1＝0的正根，所以a2＝，即a1（2）假设当n＝k（k∈N＋，k≥1）时，0≤ak所以a－a＝（a＋ak＋2－1）－（a＋ak＋1－1）＝（ak＋2－ak＋1）（ak＋2＋ak＋1＋1）>0，
又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，
所以ak＋1综上，可知an　演绎推理中的核心素养
逻辑推理——推理能力的创新应用
[例]　（1）（2019·高考全国卷Ⅱ）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（　　）
A．甲、乙、丙　　　　　　
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙
（2）（2021·长沙长郡中学调研）沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A，B，C，D，E，F尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲猜测：D或E答对了．同学乙猜测：C不可能答对．同学丙猜测：A，B，F当中必有1人答对了．同学丁猜测：D，E，F都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[解析]　（1）由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．
（2）若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错；若乙猜对，则丙也猜对，与题意不符，故乙也猜错；若丙猜对，则乙也猜对，与题意不符，故丙猜错；因为甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对，所以丁猜对．故选D．
[答案]　（1）A　（2）D
求解此类题目一般情况利用反设推理方法，即逐个肯定或否定，结合条件进行推理判断，从而得出正确结论．
[对点训练]
某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（　　）
A．今天是周六
B．今天是周四
C．A车周三限行
D．C车周五限行
解析：因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二，也不是周六，所以今天是周四．
答案：B
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