资源简介

第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，本节的重点是三角函数的定义，多以选择题和填空题为主．
本节通过三角函数的概念考查学生的数学抽象及数学运算核心素养．
授课提示：对应学生用书第60页
知识点一　角的概念与弧度制
1．角的概念及推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad．
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(l表示弧长)
角度与弧度的换算
①1°＝
rad；②1
rad＝
弧长公式
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
?
温馨提醒
?
1．β，α终边相同?β＝α＋2kπ，k∈Z．
2．β，α终边关于x轴对称?β＝－α＋2kπ，k∈Z．
3．β，α终边关于y轴对称?β＝π－α＋2kπ，k∈Z．
4．β，α终边关于原点对称?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z．
1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ－45°(k∈Z)
B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
解析：与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．
答案：C
2．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)
A．10π　　　　　　　
B．9π
C．π
D．π
解析：∵200°＝，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l＝×1＝．
答案：D
3．角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．
答案：－　二
知识点二　任意角的三角函数
三角函数
正　弦
余　弦
正　切
定　义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin
α
x叫做α的余弦，记作cos
α
叫做α的正切，记作tan
α
续表
三角函数
正　弦
余　弦
正　切
各象限符号
一
＋
＋
＋
二
＋
－
－
三
－
－
＋
四
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
?
温馨提醒
?
二级结论
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．若α∈，则tan
α＞α＞sin
α．
必明易错
已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝，当不是单位圆上的点时，若圆的半径为r，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝．
1．(易错题)若点在角α的终边上，则sin
α的值为(　　)
A．－　　
B．－　　　
C．　　
D．
解析：∵角α的终边上一点的坐标为，即，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin
α＝－．
答案：A
2．(2021·济南模拟)已知角α的终边与单位圆交于点，则tan
α＝(　　)
A．－
B．－
C．－
D．－
解析：根据三角函数的定义，tan
α＝＝＝－．
答案：D
3．(2021·青岛质检)设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos
θ－sin
θ＝________．
解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin
θ＝－，cos
θ＝，所以2cos
θ－sin
θ＝2×－＝．
答案：
授课提示：对应学生用书第61页
题型一　象限角与终边相同的角　　
1．（2020·高考全国卷Ⅱ）若α为第四象限角，则（　　）
A．cos
2α＞0　　　　　　　　
B．cos
2α＜0
C．sin
2α＞0
D．sin
2α＜0
解析：∵α是第四象限角，∴sin
α＜0，cos
α＞0，
∴sin
2α＝2sin
αcos
α＜0．
答案：D
2．集合中角表示的范围（阴影部分）是（　　）
解析：由集合．
当k为偶数时，集合与表示相同的角；
当k为奇数时，集合与表示相同的角；
所以集合中表示的角的范围为选项C．
答案：C
3．若角α和β的终边关于y轴对称，则必有（　　）
A．α＋β＝　　　　　
B．α＋β＝π，k∈Z
C．α＋β＝2kπ，k∈Z
D．α＋β＝（2k＋1）π，k∈Z
解析：如图所示，设0＜α′＜π，0＜β′＜π分别是和角α，β终边相同的角，则由角α′和β′的终边关于y轴对称，可得α′＋β′＝π，由终边相同的角可得α＋β＝（2k＋1）π，k∈Z．
答案：D
4．（2021·绵阳质检）点A（sin
2
019°，cos
2
019°）在直角坐标平面上位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：sin
2
019°＝sin
219°＝－sin
39°＜0，cos
2
019°＝cos
219°＝－cos
39°＜0．选C．
答案：C
1．象限角的两种判断方法
（1）图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
（2）转化法：先将已知角化为k·360°＋α（0°≤α<360°，k∈Z）的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2．求或nθ（n∈N＋）所在象限的方法
（1）将θ的范围用不等式（含有k，且k∈Z）表示．
（2）两边同除以n或乘以n．
（3）对k进行讨论，得到或nθ（n∈N＋）所在的象限．
题型二　扇形的弧长及面积公式的应用　　
1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（　　）
A．2　　　　　　
B．sin
2
C．
D．2sin
1
解析：如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交于D．
则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，
且AC＝AB＝1，
在Rt△AOC中，
AO＝＝，即r＝，
从而的长为l＝α·r＝．
答案：C
2．（2021·乐山模拟）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦×矢＋矢2），弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田（如图所示），按照上述公式计算出弧田的面积为_________．
解析：由题意可得∠AOB＝，OA＝4．在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2．由AD＝AOsin＝4×＝2，可得弦AB＝2AD＝4．所以弧田面积＝（弦×矢＋矢2）＝×（4×2＋22）＝4＋2．
答案：4＋2
3．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的倍，则该弧所对的圆心角是原来的　　　　倍．
解析：设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为．将半径变为原来的一半，弧长变为原来的倍，则弧度数变为＝3·，即弧度数变为原来的3倍．
答案：3
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
（1）明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时要注意角的单位必须是弧度．
（2）分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程（组）求解．
题型三　三角函数的定义　　
[例]　（1）若sin
α·tan
α＜0，且＜0，则角α是（　　）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
（2）已知角α的终边上一点P（－，m）（m≠0），且sin
α＝，求cos
α，tan
α的值．
[解析]　（1）由sin
α·tan
α＜0可知sin
α，tan
α异号，从而α为第二或第三象限的角，由＜0，可知cos
α，tan
α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．
（2）设P（x，y）．由题设知x＝－，y＝m，
所以r2＝|OP|2＝（－）2＋m2（O为原点），r＝，
所以sin
α＝＝＝，
所以r＝＝2，3＋m2＝8，解得m＝±．
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，
所以cos
α＝＝－，tan
α＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
所以cos
α＝＝－，tan
α＝．
[答案]　（1）C　（2）见解析
1．已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
2．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
[题组突破]
1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos
2θ＝（　　）
A．－　　　　　　　
B．－
C．
D．
解析：设P（t，2t）（t≠0）为角θ终边上任意一点，则cos
θ＝．当t＞0时，cos
θ＝；当t＜0时，cos
θ＝－．因此cos
2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－．
答案：B
2．sin
2·cos
3·tan
4的值（　　）
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
解析：（1）因为<2<3<π<4<，所以sin
2>0，cos
3<0，tan
4>0．
所以sin
2·cos
3·tan
4<0，所以选A．
答案：A
　三角函数定义中的核心素养
数学抽象——三角函数定义的创新应用问题
[例]　如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为（　　）
[解析]　因为P0（，－），所以∠P0Ox＝－．
因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t后，
得∠POP0＝t，所以∠POx＝t－．
由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，
因此d＝2．令t＝0，则d＝2＝，当t＝时，d＝0．
[答案]　C
解决此类问题的关键是抓住三角函数定义，在确定旋转角后，利用定义写出点的坐标值．
[对点训练]
如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为　　　_________．
解析：如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ，Q为垂足．
根据题意得劣弧＝2，
故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－，
|CQ|＝cos＝sin
2，
|PQ|＝sin＝－cos
2，
所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin
2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos
2，
所以P点的坐标为（2－sin
2，1－cos
2），
故＝（2－sin
2，1－cos
2）．
答案：（2－sin
2，1－cos
2）
PAGE第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，本节的命题重点是同角三角函数的基本关系和诱导公式的应用，单独命题的概率较低．本讲知识多作为工具考查三角恒等变形或研究三角函数的图像与性质，以选择题和填空题为主．
本节通过同角三角函数基本关系及诱导公式考查考生的数学运算核心素养及分类讨论思想的应用．
授课提示：对应学生用书第63页
知识点一　同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
（2）商数关系：tan
α＝．
?
温馨提醒
?
同角三角函数关系式的常用变形
（sin
α±cos
α）2＝1±2sin
αcos
α；
sin
α＝tan
α·cos
α．
1．已知α为第二象限角，化简：cos
α
＋sin
α
＝（　　）
A．sin
α＋cos
α　　　　　　　
B．sin
α－cos
α
C．1＋sin
α
D．1－sin
α
解析：原式＝cos
α＋sin
α
＝cos
α＋sin
α
＝cos
α·＋sin
α·
＝sin
α－cos
α．
答案：B
2．若sin
α＝，<α<π，则tan
α＝_________．
解析：因为<α<π，所以cos
α＝－＝－，
所以tan
α＝＝－．
答案：－
3．已知tan
α＝2，则的值为_________．
解析：原式＝＝＝3．
答案：3
知识点二　诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α（k∈Z）
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos
α
sin
α
－sin
α
正切
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan
α
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变，符号看象限
1．若sin＝，则cos＝（　　）
A．－
B．－
C．
D．
解析：∵＋＝，
∴cos＝cos＝sin＝．
答案：C
2．化简·sin（α－π）·cos（2π－α）的结果为_________．
解析：原式＝·（－sin
α）·cos
α＝－sin2α．
答案：－sin2α
3．已知A＝＋（k∈Z），则A的值构成的集合是_________．
解析：当k＝2n（n∈Z）时，
A＝＋
＝＋＝2．
当k＝2n＋1（n∈Z）时，
A＝＋
＝＋
＝－1＋（－1）＝－2．
答案：{2，－2}
授课提示：对应学生用书第64页
题型一　三角函数的诱导公式　　
1．已知tan＝，则tan的值为（　　）
A．　　　　　　
B．
C．－
D．－
解析：tan＝tan＝tan
＝－tan＝－．
答案：C
2．（2021·合肥二检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin（π＋α）等于（　　）
A．－
B．－
C．
D．
解析：由诱导公式可得
sin
π＝sin＝－sin＝－，
cos
π＝cos＝cos
＝，
即P．
由三角函数的定义可得
sin
α＝＝，
则sin（π＋α）＝－sin
α＝－．
答案：B
3．（2021·黔东南模拟）已知直线y＝－x＋1的倾斜角为α，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：由已知有k＝tan
α＝－，
＝
＝·＝，
故＝．
答案：B
4．已知a＝tan，b＝cos，c＝sin，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
解析：由已知，a＝tan＝－tan＝－，b＝cos＝cos＝，c＝sin＝－sin＝－，因而b＞a＞c．
答案：B
5．（2020·唐山模拟）已知sin＝，那么tan
α的值为（　　）
A．－　　　　　　　
B．－
C．±
D．±
解析：sin＝化为cos
α＝，那么sin
α＝±，tan
α＝±．
答案：C
6．（2021·苏州模拟）化简：＝_________．
解析：
＝
＝cos
α．
答案：cos
α
应用诱导公式的思路与技巧
（1）应用诱导公式的一般思路
①化大角为小角；
②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
（2）常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
题型二　同角三角函数基本关系式的应用　　
考法（一）　知一求二问题
[例1]　若α∈，sin（π－α）＝，则tan
α＝（　　）
A．－　　　　　　　
B．
C．－
D．
[解析]　因为α∈，sin
α＝，
所以cos
α＝－，所以tan
α＝－．
[答案]　C
利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
考法（二）　弦切互化
[例2]　（1）已知＝5，则cos2α＋sin
2α的值是（　　）
A．
B．－
C．－3
D．3
（2）已知θ为第四象限角，sin
θ＋3cos
θ＝1，则tan
θ＝_________．
[解析]　（1）由＝5得＝5，
可得tan
α＝2，则cos2α＋sin
2α＝cos2α＋sin
αcos
α＝＝＝．
（2）由（sin
θ＋3cos
θ）2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin
θcos
θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos
θ≠0，所以6sin
θ＝－8cos
θ，所以tan
θ＝－．
[答案]　（1）A　（2）－
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型．
考法（三）　sin
α±cos
α、sin
αcos
α之间的关系
[例3]　（2021·成都二诊）已知α为第二象限角，且sin
α＋cos
α＝，则cos
α－sin
α＝（　　）
A．　　　
B．－　　　　
C．±　　　
D．－
[解析]　法一：（整体代入法）由sin
α＋cos
α＝两边同时平方，得1＋2sin
αcos
α＝，则2sin
αcos
α＝－，
所以（cos
α－sin
α）2＝1－2sin
αcos
α＝1＋＝．
因为α为第二象限角，所以cos
α－sin
α＝－．
故选B．
法二：（换元法）sin
α＋cos
α＝，①
令cos
α－sin
α＝t．②
由①2＋②2，得2sin2
α＋2cos2
α＝＋t2，
即2＝＋t2，
整理得t2＝2－＝，解得t＝±．
因为α为第二象限角，所以cos
α－sin
α<0，
故cos
α－sin
α＝－．
法三：（列方程法）由sin
α＋cos
α＝两边同时平方，
1＋2sin
αcos
α＝，
则2sin
αcos
α＝－，即sin
αcos
α＝－．
所以sin
α，cos
α是方程x2－x－＝0的两根，
解方程得x1＝－，x2＝．
因为α
是第二象限角，所以sin
α＝，cos
α＝－，
所以cos
α－sin
α＝－．
[答案]　B
对于sin
α＋cos
α，sin
α－cos
α，sin
αcos
α这三个式子，知一可求二，若令sin
α＋cos
α＝t，则sin
αcos
α＝，sin
α－cos
α＝±（注意根据α的范围选取正、负号），体现了方程思想的应用．
[题组突破]
1．（2021·西安模拟）已知α∈，sin
α＝－，则cos（π－α）的值为（　　）
A．－
B．
C．
D．－
解析：∵α∈，sin
α＝－，∴cos
α＝，
∴cos（π－α）＝－cos
α＝－．
答案：A
2．若α为三角形的一个内角，且sin
α＋cos
α＝，则这个三角形是（　　）
A．正三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
解析：由sin
α＋cos
α＝，得
（sin
α＋cos
α）2＝，∴1＋2sin
αcos
α＝，
2sin
αcos
α＝－，∵α∈（0，π），
∴α为钝角．
答案：D
3．若tan
α＝，则cos2α＋2sin
2α＝（　　）
A．
B．
C．1
D．
解析：tan
α＝，则cos2α＋2sin
2α＝＝＝．
答案：A
　同角三角函数关系式中的核心素养
（一）数学抽象——分类讨论思想在化简求值中的应用
[例1]　在△ABC中，若sin（2π－A）＝－sin（π－B），cos
A＝－cos（π－B），则C＝_________．
[解析]　由已知得
①2＋②2，得2cos2
A＝1，即cos
A＝±，
当cos
A＝时，cos
B＝，又A，B是三角形的内角，
所以A＝，B＝，所以C＝π－（A＋B）＝π；
当cos
A＝－时，cos
B＝－，又A，B是三角形的内角，所以A＝π，B＝π，不符合题意，舍去．
综上，C＝π．
[答案]　π
三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．
（二）创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题
[例2]　已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos
2α＝，则|a－b|＝（　　）
A．　　　　　　　　　
B．
C．
D．1
[解析]　由cos
2α＝，得cos2α－sin2α＝，
∴＝，即＝，
∴tan
α＝±，即＝±，
∴|a－b|＝．
[答案]　B
本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重考查了逻辑推理与数学运算核心素养．
[题组突破]
1．已知曲线f（x）＝x3在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为α，则＝（　　）
A．　　　
B．2　　　　
C．　　　
D．－
解析：由f′（x）＝2x2，得tan
α＝f′（1）＝2，所以＝＝．
答案：C
2．已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝_________．
解析：由sin＝，知cos＝．
因为θ为第四象限角，所以－θ为第一象限角，－θ为第一象限角或第二象限角．又因为cos＝，所以－θ为第一象限角．所以tan＝，tan＝－．
答案：－
PAGE第三节　三角恒等变形
命题分析预测
学科核心素养
本节在近五年均有考查，重点考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的综合应用，主要体现在：（1）三角函数的化简；（2）三角函数的求值；（3）通过恒等变形研究函数的性质等，既有选择题又有填空题，难度中等．掌握三角函数的和差公式、二倍角公式的正用、逆用是解决问题的关键．
本节通过三角恒等变形考查考生的数学运算核心素养．
授课提示：对应学生用书第66页
知识点　三角恒等变形公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）cos（α－β）＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β；
（2）cos（α＋β）＝cos
αcos
β－sin
αsin
β；
（3）sin（α＋β）＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β；
（4）sin（α－β）＝sin
αcos
β－cos
αsin
β；
（5）tan（α＋β）＝；
（6）tan（α－β）＝．
2．二倍角公式
（1）sin
2α＝2sin
αcos
α；
（2）cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
（3）tan
2α＝．
?
温馨提醒
?
1．四个必备结论
（1）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝；
（2）升幂公式：1＋cos
2α＝2cos2α，1－cos
2α＝2sin2α；
（3）公式变形：tan
α±tan
β＝tan（α±β）（1?tan
αtan
β）；
（4）辅助角公式：asin
x＋bcos
x＝sin（x＋φ）．
2．半角公式
（1）sin
＝±
；
（2）cos＝±
；
（3）tan＝±
＝＝．
以上称之为半角公式，符号由所在象限决定．
1．若sin
α＝，则cos
2α＝（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．－
D．－
解析：cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×＝．
答案：B
2．sin
347°cos
148°＋sin
77°·cos
58°＝_________．
解析：sin
347°cos
148°＋sin
77°cos
58°
＝sin（270°＋77°）cos（90°＋58°）＋sin
77°cos
58°
＝（－cos
77°）·（－sin
58°）＋sin
77°cos
58°
＝sin
58°cos
77°＋cos
58°sin
77°
＝sin（58°＋77°）＝sin
135°＝．
答案：
3．化简：＝_________．
解析：原式＝
＝＝＝．
答案：
4．（2021·杭州质检）若tan
α＝3，tan（α－β）＝2，则tan
β＝_________．
解析：tan
β＝tan[α－（α－β）]
＝
＝＝．
答案：
第一课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
授课提示：对应学生用书第67页
题型一　三角函数公式的基本应用　　
1．已知sin
α＝，α∈，tan（π－β）＝，则tan（α－β）的值为（　　）
A．－　　　　　　　
B．
C．
D．－
解析：因为sin
α＝，α∈，所以cos
α＝－＝－，所以tan
α＝＝－．因为tan（π－β）＝＝－tan
β，所以tan
β＝－，则tan（α－β）＝＝－．
答案：A
2．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知α∈（0，π），且3cos
2α－8cos
α＝5，则sin
α＝（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：由3cos
2α－8cos
α＝5，得3（2cos2α－1）－8cos
α＝5，
即3cos2α－4cos
α－4＝0，
解得cos
α＝－或cos
α＝2（舍去）．
又因为α∈（0，π），所以sin
α＞0，
所以sin
α＝＝
＝．
答案：A
3．（2020·高考江苏卷）已知sin2＝，
则sin
2α的值是_________．
解析：∵sin2＝
＝（1＋sin
2α），
∴＝，
∴sin
2α＝．
答案：
4．计算的值为_________．
解析：＝＝＝＝．
答案：
三角函数公式的应用策略
（1）使用两角和与差的三角函数公式时，首先要记住公式的结构特征．
（2）使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
题型二　三角变形求值　　
考法（一）　变角问题
[例1]　（1）已知α，β均为锐角，且sin
α＝，tan（α－β）＝－，求cos
β的值；
（2）已知cos＝，求sin的值．
[解析]　（1）∵α，β∈，
从而－<α－β<．又∵tan（α－β）＝－<0，
∴－<α－β<0．∴sin（α－β）＝－．
cos（α－β）＝．
∵α为锐角，且sin
α＝，∴cos
α＝．
∴cos
β＝cos[α－（α－β）]
＝cos
αcos（α－β）＋sin
αsin（α－β）
＝×＋×＝．
（2）sin＝sin
＝cos＝cos
＝2cos2－1＝2×－1＝－．
角的拆分与组合技巧
（1）已知角表示未知角
例如，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β），
α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β，
α＝－＝＋．
（2）互余与互补关系
例如，＋＝π，＋＝．
（3）非特殊角转化为特殊角的和或差
例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°．
考法（二）　变名问题
[例2]　求值：－sin
10°．
[解析]　原式＝－sin
10°·
＝－sin
10°·
＝－sin
10°·
＝－2cos
10°＝
＝
＝
＝＝．
明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
[提醒]　转化思想是实施三角变形的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．
[题组突破]
1．设α，β都是锐角，且cos
α＝，sin（α＋β）＝，则cos
β＝_________．
解析：由已知得sin
α＝＝，
因为sin（α＋β）＝α且α＋β>α，
所以α＋β∈，所以cos（α＋β）＝－．
于是cos
β＝cos[（α＋β）－α]
＝cos（α＋β）cos
α＋sin（α＋β）sin
α
＝－×＋×＝．
答案：
2．已知cos（75°＋α）＝，则cos（30°－2α）的值为_________．
解析：cos（75°＋α）＝sin（15°－α）＝，
所以cos（30°－2α）＝1－2sin2（15°－α）＝1－＝．
答案：
3．＝_________．（用数字作答）
解析：＝＝＝＝．
答案：
　三角恒等变形中的核心素养
创新应用——三角变形与数学文化的创新问题
[例]　公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0．618，这一数值也可以表示为m＝2sin
18°，若m2＋n＝4，则＝（　　）
A．8　　　　　　　
B．4
C．2
D．1
[解析]　由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4（1－sin218°）＝4cos218°，＝＝＝＝2．
[答案]　C
理解数学文化内容，结合题目条件进行三角变形求值是关键．
[对点训练]
（2021·武汉模拟）《周髀算经》中给出了弦图，如图所示，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos（α－β）的值为（　　）
A．
B．
C．
D．0
解析：设大正方形的边长为1，由小正方形与大正方形面积之比为4∶9，可得小正方形的边长为，由题图可得cos
α－sin
α＝，①
sin
β－cos
β＝，②
cos
α＝sin
β，sin
α＝cos
β，
①×②可得＝cos
αsin
β＋sin
αcos
β－cos
αcos
β－sin
αsin
β＝sin2β＋cos2β－cos（α－β）＝1－cos（α－β），
解得cos（α－β）＝．
答案：A
PAGE第二课时　简单的三角恒等变形
授课提示：对应学生用书第69页
题型一　三角函数式的化简　　
1．（2021·东莞考前冲刺）cos2＋sin2等于（　　）
A．1　　　　　　　　
B．1－cos
2x
C．1＋cos
2x
D．1＋sin
2x
解析：由cos2＋sin2＝
＋＝（1＋sin
2x＋1＋sin
2x）＝1＋sin
2x．
答案：D
2．化简：＝（　　）
A．1
B．
C．
D．2
解析：原式＝＝＝＝．
答案：C
3．＝_________．
解析：由题意
＝
＝
＝＝＝2．
答案：2
4．若180°＜α＜270°，则
＝　　　　_________．
解析：原式＝
＝
，
因为180°＜α＜270°，所以cos
α＜0，
从而上式＝
，
＝
＝
，
因为90°＜＜135°，所以sin
＞0，
从而上式＝sin
．
答案：sin
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
题型二　三角函数式求值　　
考法（一）　给角求值
[例1]　（1）化简等于（　　）
A．－2　　　　　　　　
B．－
C．－1
D．1
（2）计算＝_________．
[解析]　（1）＝＝＝－1．
（2）原式＝
＝＝＝＝－4．
[答案]　（1）C　（2）－4
三角函数给角求值问题的解题策略
一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变形转化为求特殊角的三角函数值问题．另外此类问题也常通过代数变形（比如：正负项相消、分子分母相约等）的方式来求值．
考法（二）　给值求值
[例2]　已知cos＝，若π＜x＜π，则的值为_________．
[解析]　法一：由π＜x＜π，得π＜x＋＜2π．
又cos＝，所以sin＝－，
所以cos
x＝cos＝coscos＋sinsin＝×－×＝－，
从而sin
x＝－，tan
x＝7．
则＝＝＝－．
法二：由法一得tan＝－．
又sin
2x＝－cos＝－cos
＝－2cos2＋1＝－＋1＝．
则＝
＝＝＝sin
2x·＝sin
2x·tan＝×＝－．
[答案]　－
给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变形把求解目标用已知条件表达出来．
考法（三）　给值求角
[例3]　若sin
2α＝，sin（β－α）＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是_________．
[解析]　因为α∈，所以2α∈，
又sin
2α＝，所以2α∈，
所以cos
2α＝－且α∈，
又因为sin（β－α）＝，β∈，
所以β－α∈，所以cos（β－α）＝－，
所以cos（α＋β）＝cos[（β－α）＋2α]
＝cos（β－α）cos
2α－sin（β－α）sin
2α
＝×－×＝，
又α＋β∈，所以α＋β＝．
[答案]　π
通过某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：
（1）已知正切函数值，则选正切函数．
（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好．
[提醒]　对角的范围的限定是求角问题中的难点，一般来说对角的范围的限定可从以下两方面进行：（1）题目给定的角的范围；
（2）利用给定的各个三角函数值来限定，如由三角函数值的正负可挖掘出角的范围，也可借助特殊角的三角函数值和函数的单调性来确定角的范围，注意应尽量使角的范围精准，避免增根．
[题组突破]
1．（2020·高考全国卷Ⅲ）已知2tan
θ－tan＝7，则tan
θ＝（　　）
A．－2
B．－1
C．1
D．2
解析：2tan
θ－tan＝2tan
θ－＝7，解得tan
θ＝2．
答案：D
2．已知2tan
αsin
α＝3，－＜α＜0，则cos的值是（　　）
A．0　　　
B．　　　　
C．1　　　
D．
解析：由2tan
αsin
α＝3，得＝3，即2cos2α＋3cos
α－2＝0，∴cos
α＝或cos
α＝－2（舍去）．∵－＜α＜0，∴sin
α＝－，∴cos＝cos
αcos＋sin
αsin
＝0．
答案：A
3．已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝，tan
β＝－，则2α－β的值为_________．
解析：tan
α＝tan（α－β＋β）＝＝＝，所以tan（2α－β）＝tan（α＋α－β）＝＝＝1．
由tan
α＝，得tan
α＜1，则0＜α＜，得0＜2α＜．
由tan
β＝－，知β∈，
得－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－π．
答案：－π
题型三　三角恒等变形的综合应用　　
[例]　已知函数f（x）＝（2cos2x－1）sin
2x＋cos
4x．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）若α∈（0，π），且f＝，求tan的值．
[解析]　（1）因为f（x）＝（2cos2x－1）sin
2x＋cos
4x＝cos
2xsin
2x＋cos
4x＝（sin
4x＋cos
4x）＝sin，所以函数f（x）的最小正周期T＝．令2kπ＋≤4x＋≤2kπ＋，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z．所以函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z．
（2）因为f＝，所以sin＝1．又α∈（0，π），所以－＜α－＜，所以α－＝，故α＝．因此tan＝＝＝2－．
三角恒等变形的综合应用主要是将三角变形与三角函数的性质相结合，通过变形把函数化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式，再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
[对点训练]
已知函数f（x）＝cos2x＋2sincos
－sin2x．
（1）当x∈时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（θ）＝，求tan2的值．
解析：（1）依题意，知f（x）＝cos
2x＋sin
2x＝2sin．
因为x∈，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，
则－1≤2sin≤2，
于是当x∈时，f（x）min＝－1，f（x）max＝2．
（2）因为f（θ）＝，所以sin＝，
所以cos＝sin＝
sin＝，
于是tan2＝＝＝＝．
　三角函数求值中的核心素养
数学运算——三角函数求值中的素养问题
数学运算就是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的核心素养．三角函数求值中的数学运算根据的是三角函数公式进行给角求值、给值求值和给值求角，旨在培养学生的准确、快速的运算能力．
[例]　已知coscos＝－，α∈．
（1）求sin
2α的值；
（2）求tan
α－的值．
[解析]　（1）coscos＝cos·sin＝sin＝－，
即sin＝－．
因为α∈，所以2α＋∈，
所以cos
＝－，
所以sin
2α＝sin
＝sincos－cossin
＝－×－×
＝．
（2）因为α∈，
所以2α∈，
又由（1）知sin
2α＝，
所以cos
2α＝－．
所以tan
α－＝－
＝
＝
＝－2×
＝2．
发现角之间的联系如：＋＝，2α＋＝2，利用tan
α＝进行切弦互化，利用sin2α＋cos2α＝1进行正、余弦互化，本题体现了数学运算核心素养．
[对点训练]
（2021·宜兴月考）已知sin＝，α∈．
（1）求cos
α；
（2）求f（x）＝cos
2x＋sin
αsin
x的最值．
解析：（1）∵sin＝，α∈．
∴cos＝－，
∴cos
α＝cos＝－×＋×＝．
（2）由（1）得cos
α＝，∵α∈，∴sin
α＝，
∴f（x）＝cos
2x＋2sin
x＝－2sin2x＋2sin
x＋1＝－2＋，
∴当sin
x＝时，f（x）取得最大值，当sin
x＝－1时，f（x）取得最小值－3．
PAGE第四节　三角函数的图像与性质
命题分析预测
学科核心素养
本节是高考考查的重点，主要考查：（1）三角函数的图像变换；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图像与性质的综合应用，有时也与三角恒等变形综合考查，多以选择题和填空题的形式呈现，难度中等偏下．
本节通过三角函数的图像及性质考查考生的直观想象和数学运算核心素养，及化归思想和整体代换思想的应用．
授课提示：对应学生用书第72页
知识点　三角函数的图像与性质
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
在正弦函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：
（0，0），，（π，0），，（2π，0）．
在余弦函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：
（0，1），，（π，－1），，（2π，1）．
五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）．
2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图像
定义域
R
R
≠kπ＋
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在（k∈Z）上是递增函数，在（k∈Z）上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上是递减函数
在（k∈Z）上是递增函数
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
周期性
周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是2π
周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是2π
周期是kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是π
对称性
对称轴是x＝＋kπ（k∈Z），对称中心是（kπ，0）（k∈Z）
对称轴是x＝kπ（k∈Z），对称中心是（k∈Z）
对称中心是（k∈Z）
?
温馨提醒
?
二级结论
正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
必明易错
1．正切函数的图像是由直线x＝kπ＋（k∈Z）隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是（k∈Z），不能说它在整个定义域内是增函数，如＜，但是tan
＞tan，正切函数不存在减区间．
2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
3．研究三角函数的单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．
1．（2021·沈阳模拟）若函数y＝2sin
2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则（　　）
A．T＝π，A＝1　　　　　　
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
解析：最小正周期T＝＝π，最大值A＝1．
答案：A
2．y＝tan
2x的定义域是_________．
解析：由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan
2x的定义域是．
答案：
3．函数f（x）＝3sin在区间上的值域为_________．
解析：当x∈时，2x－∈，
所以sin∈，
故3sin∈，
所以函数f（x）在区间上的值域是．
答案：
4．函数y＝tan图像的对称中心是_________．
解析：由x＋＝π，k∈Z，得x＝π－，k∈Z．
答案：（k∈Z）
5．（2021·青岛模拟）函数f（x）＝sin（－2x）的单调增区间是_________．
解析：由f（x）＝sin（－2x）＝－sin
2x，令2kπ＋≤2x≤2kπ＋（k∈Z）得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）．
答案：（k∈Z）
授课提示：对应学生用书第73页
题型一　三角函数的定义域与值域　　
1．函数y＝lg
sin
x＋
的定义域为_________．
解析：要使函数有意义，则有
即
解得（k∈Z），
所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z．
所以函数y的定义域为．
答案：
2．函数y＝cos，x∈的值域是_________．
解析：∵0＜x≤，∴＜x＋≤π，
又y＝cos
x在[0，π]上是减函数，
∴cos
π≤cos＜cos
，即－≤y＜．
答案：
3．函数y＝cos2x－2sin
x在上的最大值为_________．
解析：设sin
x＝t，则t∈．
∴y＝1－sin2x－2sin
x＝－（t＋1）2＋2，t∈，
故当t＝－，即x＝－时，ymax＝－＋2＝．
答案：
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
2．三角函数值域的不同求法
（1）利用sin
x和cos
x的范围直接求．
（2）把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）的形式求值域．
（3）把sin
x或cos
x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
（4）利用sin
x±cos
x和sin
xcos
x的关系转换成二次函数求值域．
题型二　三角函数的性质　　
　　三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：（1）三角函数的周期性；（2）三角函数的奇偶性；（3）三角函数的对称性；（4）三角函数的单调性．
考法（一）　三角函数的周期性
[例1]　（1）函数y＝2sin2x＋sin
2x的最小正周期是（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．π
D．2π
（2）函数f（x）＝|sin
x|＋|cos
x|的最小正周期是_________．
[解析]　（1）函数y＝2sin2x＋sin
2x＝2×＋sin
2x＝sin＋1，则函数的最小正周期为＝π．
（2）∵f＝＋
＝|cos
x|＋|sin
x|＝f（x），
∴f（x）的最小正周期是．
[答案]　（1）C　（2）
三角函数的周期求法
（1）利用周期定义．
（2）利用公式：y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为．
（3）利用图像．
考法（二）　三角函数的奇偶性
[例2]　函数f（x）＝3sin，φ∈（0，π）．
（1）若f（x）为偶函数，则φ＝　　　　；
（2）若f（x）为奇函数，则φ＝_________．
[解析]　（1）∵f（x）＝3sin为偶函数，
∴－＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈（0，π），∴φ＝．
（2）∵f（x）＝3sin为奇函数，
∴－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈（0，π），∴φ＝．
[答案]　（1）　（2）
函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）是奇函数?φ＝kπ（k∈Z）；函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）是偶函数?φ＝kπ＋（k∈Z）；函数y＝Acos（ωx＋φ）（x∈R）是奇函数?φ＝kπ＋（k∈Z）；函数y＝Acos（ωx＋φ）（x∈R）是偶函数?φ＝kπ（k∈Z）．
考法（三）　三角函数的对称性
[例3]　已知函数f（x）＝asin
x＋cos
x（a为常数，x∈R）的图像关于直线x＝对称，则函数g（x）＝sin
x＋acos
x的图像（　　）
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
[解析]　因为函数f（x）＝asin
x＋cos
x（a为常数，x∈R）的图像关于直线x＝对称，
所以f（0）＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g（x）＝sin
x＋cos
x＝sin，
函数g（x）的对称轴方程为x＋＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，对称轴为直线x＝．
所以g（x）＝sin
x＋acos
x的图像关于直线x＝对称．
[答案]　C
1．对于函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点（x0，0）是否是函数图像的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断．
2．函数图像的对称性与周期T之间有如下结论：①若函数图像相邻的两条对称轴分别为x＝a与x＝b，则最小正周期T＝2|b－a|；②若函数图像相邻的两个对称中心分别为（a，0），（b，0），则最小正周期T＝2|b－a|；③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为（a，0）与x＝b，则最小正周期T＝4|b－a|．
考法（四）　三角函数的单调性
[例4]　（1）（2019·高考全国卷Ⅱ）下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是（　　）
A．f（x）＝|cos
2x|
B．f（x）＝|sin
2x|
C．f（x）＝cos|x|
D．f（x）＝sin|x|
（2）已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是_________．
[解析]　（1）作出函数f（x）＝|cos
2x|的图像，如图：
由图像可知f（x）＝|cos
2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f（x）＝|sin
2x|的周期为，在区间上单调递减，f（x）＝cos|x|的周期为2π．f（x）＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D．
（2）法一：由＜x＜π，ω＞0，得＋＜ωx＋＜ωπ＋，又y＝sin
x的单调递减区间为，k∈Z，所以，k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z．又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋＞0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈．
法二：由已知＝≥，所以0＜ω≤2，又＜x＜π，得＜ωx＋＜π．
当≤ωx＋≤π时，f（x）单调递减，解得≤x≤，于是应有解得≤ω≤．
[答案]　（1）A　（2）
已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解；
（3）周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式（组）求解．
[题组突破]
1．（2021·合肥联考）函数f（x）＝sin－cos
2x的图像的一条对称轴的方程可以是（　　）
A．x＝－　　　　　　　　　
B．x＝
C．x＝－
D．x＝
解析：f（x）＝sin－cos
2x＝sin
2x－cos
2x＝sin．令2x－＝＋kπ（k∈Z），可得x＝π＋π（k∈Z）．令k＝1可得函数图像的一条对称轴的方程是x＝π．
答案：B
2．（2021·常德检测）将函数f（x）＝sin的图像向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图像，则下列说法不正确的是（　　）
A．g（x）的最小正周期为π
B．g＝
C．x＝是g（x）图像的一条对称轴
D．g（x）为奇函数
解析：由题意得g（x）＝sin＝sin
2x，所以最小正周期为π，g＝sin
＝，直线x＝不是g（x）图像的对称轴，g（x）为奇函数．
答案：C
3．（2021·湖南四地联考）已知f（x）＝cos
2x＋acos在区间上是增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A．[－2，＋∞）
B．（－2，＋∞）
C．（－∞，－4）
D．（－∞，－4]
解析：f（x）＝cos
2x＋acos＝1－2sin2x－asin
x在上是增函数，y＝sin
x在上单调递增且sin
x∈．
令t＝sin
x，t∈，则y＝－2t2－at＋1在上单调递增，则－≥1，因而a∈（－∞，－4]．
答案：D
　三角函数性质中的核心素养
数学运算——三角函数中ω值（范围）的求法问题
1．利用三角函数的对称性求解
[例1]　已知函数f（x）＝cos（ω＞0）的一条对称轴为x＝，一个对称中心为点，则ω有（　　）
A．最小值2　　　　　
B．最大值2
C．最小值1
D．最大值1
[解析]　因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以对称中心到对称轴x＝间的距离用周期可表示为－＝＋（k∈Z，T为周期），解得（2k＋1）T＝π，又T＝，所以（2k＋1）·＝π，则ω＝2（2k＋1），当k＝0时，ω＝2最小．
[答案]　A
三角函数的对称轴必经过其图像上的最高点或最低点，函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的对称中心就是其图像与x轴的交点，故可利用三角函数的极值点（最值点）、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值或范围．
2．利用三角函数的最值求解
[例2]　已知函数f（x）＝2sin
ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________．
[解析]　显然ω≠0．
若ω＞0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f（x）＝2sin
ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥．
若ω＜0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f（x）＝2sin
ωx在区间上的最小值为－2．所以ω≤－，解得ω≤－2．
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是（－∞，－2]∪．
[答案]　（－∞，－2]∪
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．
[题组突破]
1．若函数y＝cos（ω∈N＋）图像的一个对称中心是，则ω的最小值为_________．
解析：依题意得cos＝0，则＋＝＋kπ（k∈Z）?ω＝6k＋2（k∈Z），又ω∈N＋，所以ω的最小值为2．
答案：2
2．已知f（x）＝sin（ω＞0），f＝f，且f（x）在区间内有最小值无最大值，则ω＝_________．
解析：因为f＝f，而＝，所以f（x）的图像关于直线x＝对称，又f（x）在区间内有最小值无最大值，所以f（x）min＝f＝sin＝－1，所以＋＝2kπ＋，k∈Z，解得ω＝8k＋．再由f（x）在区间内有最小值无最大值，得＝T≥－，解得ω≤12，所以0＜ω≤12，所以k＝0，ω＝．
答案：
PAGE第五节　y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用
命题分析预测
学科核心素养
从近五年高考来看，本节是高考的热点，主要考查y＝Asin（ωx＋φ）的图像变换及性质应用．多以选择题考查，难度中档．
本节通过y＝Asin（ωx＋φ）的图像及性质考查学生的直观想象和数学运算核心素养．
授课提示：对应学生用书第76页
知识点一　“五点法”画图
1．函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
y＝Asin（ωx＋φ）
0
A
0
－A
0
1．（2021·沈阳调研）函数y＝sin在区间上的简图是（　　）
解析：由f（0）＝sin＝－，排除选项B，D；由f＝sin＝，排除选项C．
答案：A
2．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为（　　）
A．2，4π，　　　　
B．2，，
C．2，，－
D．2，4π，－
解析：由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－．
答案：C
知识点二　y＝Asin（ωx＋φ）的图像变换
　由函数y＝sin
x的图像通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图像的两种方法：
法一　　　　　　　　　　　法二
?
温馨提醒
?
1．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
2．由y＝Asin
ωx的图像得到y＝Asin（ωx＋φ）的图像时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
1．（易错题）要得到函数y＝cos（2x＋1）的图像，只要将函数y＝cos
2x的图像（　　）
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：∵y＝cos（2x＋1）＝cos，∴只要将函数y＝cos
2x的图像向左平移个单位长度即可．
答案：C
2．将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（　　）
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin＝2sin．
答案：D
3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b，则这段曲线的函数解析式为　　　　_________．
解析：从题图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期，
所以A＝×（30－10）＝10，b＝×（30＋10）＝20，
又×＝14－6，所以ω＝．
又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6，14]．
答案：y＝10sin＋20，x∈[6，14]
授课提示：对应学生用书第77页
题型一　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及变换
1．要得到函数f（x）＝cos
x（sin
x＋cos
x）的图像，可将函数g（x）＝cos
x（sin
x－cos
x）的图像（　　）
A．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析：函数f（x）＝cos
x（sin
x＋cos
x）＝sin＋，函数g（x）＝cos
x（sin
x－cos
x）＝－＝sin－，所以将函数g（x）的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到f（x）的图像．
答案：A
2．为得到函数y＝cos的图像，只需将函数y＝sin的图像（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：y＝cos＝sin＝sin，只需将函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，即y＝sin＝sin．
答案：D
3．（2021·福州模拟）若ω>0，函数y＝cos的图像向右平移个单位长度后与函数y＝sin
ωx的图像重合，则ω的最小值为_________．
解析：将函数y＝cos的图像向右平移个单位长度，得y＝cos的图像．因为所得函数图像与y＝sin
ωx的图像重合，所以－＋＝＋2kπ（k∈Z），解得ω＝－－6k（k∈Z），因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值．
答案：
1．三角函数的图像变换有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．三角函数名不同的图像变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．
2．对函数y＝sin
x，y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的图像，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|．
题型二　求y＝Asin（ωx＋φ）的解析式　　
[例]　已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，若锐角A满足f·f＝，则tan
A＝（　　）
A．　　　　　　　　
B．
C．
D．
[解析]　法一：设f（x）的最小正周期为T，由题图可知T＝，得T＝π＝，∴ω＝2．又当x＝－时，f（x）＝0，∴2×＋φ＝kπ（k∈Z），又|φ|<，∴φ＝，∴f（x）＝sin．
ff＝sinsin＝，由＋A＋－A＝，得sinsin＝cossin＝，即sin＝cos
2A＝．
∵A为锐角，∴2A＝，A＝，故tan
A＝．
法二：设f（x）的最小正周期为T，由题图可知T＝，得T＝π＝，∴ω＝2．∵f（x）＝sin（2x＋φ）的图像可由y＝sin
2x的图像至少向左平移个单位长度得到，且|φ|<，∴φ＝，∴f（x）＝sin．由f·f＝，得sinsin＝（cos2A－sin2A）＝cos
2A＝，cos
2A＝．∵A为锐角，
∴2A＝，A＝，故tan
A＝．
[答案]　B
确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法
（1）求A，b．确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝．
（2）求ω．确定函数的最小正周期T，则ω＝．
（3）求φ常用的方法：
①代入法：把图像上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图像与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”（即图像的“峰点”）时，ωx＋φ＝＋2kπ（k∈Z）；“最小值点”（即图像的“谷点”）时，ωx＋φ＝＋2kπ（k∈Z）．
[题组突破]
1．如图，函数f（x）＝Asin（2x＋φ）的图像过点（0，），则f（x）的函数解析式为（　　）
A．f（x）＝2sin
B．f（x）＝2sin
C．f（x）＝2sin
D．f（x）＝2sin
解析：由题意知，A＝2，函数f（x）的图像过点（0，），所以f（0）＝2sin
φ＝，由|φ|<，得φ＝，所以f（x）＝2sin．
答案：B
2．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则f＝_________．
解析：由函数的图像可得A＝，×＝－，可得ω＝2，则2×＋φ＝π＋2kπ（k∈Z），又0<φ<，所以φ＝，故f（x）＝sin，所以f＝－．
答案：－
题型三　三角函数的图像与性质的综合应用　　
[例]　设函数f（x）＝sin＋sin，其中0<ω<3，已知f＝0．
（1）求ω；
（2）将函数y＝f（x）的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图像，求g（x）在上的最小值．
[解析]　（1）因为f（x）＝sin＋sin，
所以f（x）＝sin
ωx－cos
ωx－cos
ωx＝sin
ωx－cos
ωx
＝
＝sin．
由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z，
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2．
（2）由（1）得f（x）＝sin，
所以g（x）＝sin
＝sin．
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g（x）取得最小值－．
解决三角函数图像与性质综合问题的方法
先将y＝f（x）化为y＝asin
x＋bcos
x的形式，再用辅助角公式化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，最后借助y＝Asin（ωx＋φ）的性质（如周期性、对称性、单调性等）解决相关问题．
[对点训练]
已知函数f（x）＝2sin2－cos
2x－1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若h（x）＝f（x＋t）的图像关于点对称，且t∈（0，π），求t的值．
解析：（1）因为f（x）＝－cos－cos
2x＝sin
2x－cos
2x＝2＝2sin，
故f（x）的最小正周期为π．
（2）由（1）知h（x）＝2sin，
由题意知2×＋2t－＝kπ（k∈Z），
得t＝＋（k∈Z），
又t∈（0，π），故t＝或．
　函数y＝Asin（ωx＋φ）应用中的核心素养
（一）数学建模——y＝Asin（ωx＋φ）的实际应用问题
[例1]　如图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径为4．8
m，巨轮上最低点与地面之间的距离为0．8
m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（0≤θ<2π）角到OB，设B点与地面之间的距离为h，则h与θ的关系式为（　　）
A．h＝5．6＋4．8sin
θ
B．h＝5．6＋4．8cos
θ
C．h＝5．6＋4．8cos
D．h＝5．6＋4．8sin
[解析]　过点O向右作与地面平行的射线OC（图略），则∠BOC＝θ－，根据三角函数的定义，得点B到射线OC的距离为4．8
sin，所以h＝5．6＋4．8sin．
[答案]　D
解决三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型中的待定系数．
（二）创新应用——三角函数的零点与不等式综合问题
[例2]　（2019·高考全国卷Ⅲ）设函数f（x）＝sin（ω>0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：
①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点；
②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点；
③f（x）在单调递增；
④ω的取值范围是．
其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①④　　　　　　　　　
B．②③
C．①②③
D．①③④
[解析]　已知f（x）＝sin（ω＞0）在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图像的右端点的横坐标在[a，b）上，此时f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点，但f（x）在（0，2π）可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，由f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋＜6π，得ω的取值范围是，所以④正确；当x∈时，＜ωx＋＜＋＜＜，所以f（x）在单调递增，所以③正确．
[答案]　D
三角函数的零点、不等式问题的求解思路
（1）把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A>0，ω>0）．
（2）画出长度为一个周期的区间上的函数图像．
（3）利用图像解决有关三角函数的零点、不等式问题．
[题组突破]
1．（2021·佛山四校联考）已知x0＝是函数f（x）＝sin（2x＋φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：因为x0＝是函数f（x）＝sin（2x＋φ）的一个极大值点，所以sin＝1，
解得φ＝2kπ－，k∈Z．
不妨取φ＝－，
此时f（x）＝sin，
令2kπ＋<2x－<2kπ＋（k∈Z），
得kπ＋取k＝0，得函数f（x）的一个单调递减区间为．
答案：B
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（　　）
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：据图可知－3＋k＝2，得k＝5，所以ymax＝3＋5＝8．
答案：C
PAGE第六节　正弦定理和余弦定理
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，该节是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变形等进行综合命题，既有选择题、填空题，也有解答题．
本节通过正、余弦定理及其应用考查考生的数学运算、数学建模核心素养．
授课提示：对应学生用书第80页
知识点一　正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos
A；b2＝c2＋a2－2cacos
B；c2＝a2＋b2－2abcos
C
常见变形
（1）a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C；（2）sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝；（3）a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C；（4）asin
B＝bsin
A，bsin
C＝csin
B，asin
C＝csin
A
cos
A＝；cos
B＝；cos
C＝
?
温馨提醒
?
二级结论
三角形中的常用结论
（1）A＋B＝π－C，＝－．
（2）在三角形中，大边对大角，反之亦然．
（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
（4）在△ABC中，tan
A＋tan
B＋tan
C＝tan
A·tan
B·tan
C．
必明易错
1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．
2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．
D．
解析：∵cos∠BAC＝＝＝－，
又∵0<∠BAC<π，∴∠BAC＝．
答案：C
2．（易错题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，c＝，C＝，则A＝（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．或
D．或
解析：由正弦定理＝，
得sin
A＝＝．
∵a答案：A
3．在△ABC中，acos
A＝bcos
B，则这个三角形的形状为_________．
解析：由正弦定理，得sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，
即sin
2A＝sin
2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形
知识点二　三角形的面积
　三角形的面积
S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B＝＝（a＋b＋c）·r（r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R，r．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C＝（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：由题可知S△ABC＝absin
C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin
C，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos
C，所以sin
C＝cos
C．因为C∈（0，π），所以C＝．
答案：C
2．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于_________．
解析：因为＝，所以sin
B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2．
答案：2
授课提示：对应学生用书第81页
题型一　利用正、余弦定理解三角形　
1．（2020·高考全国卷Ⅲ）在△ABC中，cos
C＝，AC＝4，BC＝3，则cos
B＝（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．
D．
解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos
C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3，
所以cos
B＝＝＝．
答案：A
2．（2019·高考全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为_________．
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B．
又∵b＝6，a＝2c，B＝，
∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，
∴c＝2，a＝4，
∴S△ABC＝acsin
B＝×4×2×＝6．
答案：6
3．（2019·高考全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设（sin
B－sin
C）2＝sin2A－sin
Bsin
C．
（1）求A；
（2）若a＋b＝2c，求sin
C．
解析：（1）由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin
Bsin
C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc．
由余弦定理得cos
A＝＝．
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°．
（2）由（1）知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得sin
A＋sin（120°－C）＝2sin
C，
即＋cos
C＋sin
C＝2sin
C，可得cos（C＋60°）＝－．
因为0°＜C＜120°，所以sin（C＋60°）＝，
故sin
C＝sin（C＋60°－60°）
＝sin（C＋60°）cos
60°－cos（C＋60°）sin
60°＝．
　应用正、余弦定理的解题技巧
技巧
解读
适合题型
边化角
将表达式中的边利用公式a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C化为角的关系
等式两边是边的齐次形式
角化边
将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化，出现角的余弦值用余弦定理转化
等式两边是角的齐次形式，比如a2＋b2－c2＝λab形式
和积互化
a2＝b2＋c2－2bccos
A＝（b＋c）2－2bc（1＋cos
A）．可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边
出现b＋c，bc等结构形式
题型二　利用正、余弦定理判断三角形形状　　
[例]　（2021·秦皇岛模拟）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos
B＋acos
C＝b＋c，则△ABC的形状为（　　）
A．等边三角形　　　　　　
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
[解析]　法一：由余弦定理及已知得a×＋a×＝b＋c，所以a2b＋c2b－b3＋a2c＋b2c－c3＝2b2c＋2bc2，得b2＋c2＝a2，故A＝90°，所以△ABC为直角三角形．
法二：因为acos
B＋acos
C＝b＋c，由正弦定理得sin
Acos
B＋sin
Acos
C＝sin
B＋sin
C，即sin
Acos
B＋sin
Acos
C＝sin（A＋C）＋sin（A＋B），化简得cos
A（sin
B＋sin
C）＝0，在△ABC中，sin
B＋sin
C≠0，则cos
A＝0，所以△ABC为直角三角形．
[答案]　D
判断三角形形状的常用技巧
若已知条件中既有边又有角，则
（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
（2）化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
[对点训练]
（2021·河南洛阳模拟）在△ABC中，已知2acos
B＝c，
sin
Asin
B（2－cos
C）＝sin2＋，则△ABC为（　　）
A．等边三角形　　　　　　　
B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形
D．钝角三角形
解析：将已知等式2acos
B＝c利用正弦定理化简得2sin
Acos
B＝sin
C，
因为sin
C＝sin（A＋B）＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以2sin
Acos
B＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
即sin
Acos
B－cos
Asin
B＝sin（A－B）＝0，
因为A与B都为△ABC的内角，
所以A－B＝0，即A＝B．
因为sin
Asin
B（2－cos
C）＝sin2＋，
所以sin
Asin
B（2－cos
C）＝（1－cos
C）＋＝1－cos
C，
所以－（2－cos
C）＝1－cos
C，
所以－（－cos
C－1）（2－cos
C）＝1－cos
C，
即（cos
C＋1）（2－cos
C）＝2－cos
C，
整理得cos2C－2cos
C＝0，即cos
C（cos
C－2）＝0，所以cos
C＝0或cos
C＝2（舍去），所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形．
答案：B
题型三　与三角形面积有关的问题　　
[例]　（2020·高考全国卷Ⅰ）△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．
（1）若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
（2）若sin
A＋sin
C＝，求C．
[解析]　（1）由题设及余弦定理，
得28＝3c2＋c2－2×c2×cos
150°，
解得c＝－2（舍去）或c＝2，从而a＝2．
因此△ABC的面积为×2×2×sin
150°＝．
（2）在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin
A＋sin
C＝sin（30°－C）＋sin
C
＝sin（30°＋C），
故sin（30°＋C）＝．
而0°＜C＜30°，所以30°＜30°＋C＜60°，
所以30°＋C＝45°，故C＝15°．
求解与三角形面积有关的问题的步骤
[对点训练]
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos
A＝（2c－a）cos
B．
（1）求B；
（2）若b＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解析：（1）由bcos
A＝（2c－a）cos
B，得2ccos
B＝bcos
A＋acos
B．由正弦定理可得2sin
Ccos
B＝sin
Bcos
A＋sin
Acos
B＝sin（A＋B）＝sin
C，因为sin
C≠0，所以cos
B＝．因为0（2）因为S△ABC＝acsin
B＝，所以ac＝4．
又13＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋c2－ac，所以a2＋c2＝17，所以a＋c＝5，故△ABC的周长为5＋．
　正弦定理、余弦定理应用中的核心素养
数学运算——解平面图形问题
[例]　（2020·高考全国卷Ⅰ）如图，在平面四边形ABCD中，0<∠DAB<，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为，AB⊥BC．
（1）求sin∠ABD的值；
（2）若∠BCD＝，求BC的长．
[解析]　（1）因为△ABD的面积S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝，所以sin∠DAB＝．又0<∠DAB<，所以∠DAB＝，所以cos∠DAB＝cos
＝．由余弦定理得BD＝＝，
由正弦定理得sin∠ABD＝＝．
（2）因为AB⊥BC，所以∠ABC＝，sin∠DBC＝sin＝cos∠ABD＝＝．在△BCD中，由正弦定理＝可得CD＝＝．由余弦定理DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2，可得3BC2＋4BC－5＝0，解得BC＝或BC＝－（舍去）．故BC的长为．
求解该题第（2）问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”，将已知条件和第（1）问中所求值转化为△BCD内的边角关系．解决平面图形中的计算问题时，学会对条件进行分类与转化是非常重要的，一般来说，尽可能将条件转化到三角形中，这样就可以根据条件类型选用相应的定理求解．如该题中，把条件转化到△BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长．
[对点训练]
如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD为其对角线，已知BC＝1，且cos∠BCD＝－．
（1）若AC平分∠BCD，且AB＝2，求AC的长；
（2）若∠CBD＝45°，求CD的长．
解析：（1）若对角线AC平分∠BCD，
即∠BCD＝2∠ACB＝2∠ACD，
所以cos∠BCD＝2cos2∠ACB－1＝－，
因为cos∠ACB>0，所以cos∠ACB＝．
因为在△ABC中，BC＝1，AB＝2，cos∠ACB＝，
所以由余弦定理AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC·cos∠ACB可得AC2－AC－3＝0，
解得AC＝，或AC＝－（舍去），
所以AC的长为．
（2）因为cos∠BCD＝－，
所以sin∠BCD＝＝．
又因为∠CBD＝45°，
所以sin∠CDB＝sin（180°－∠BCD－45°）
＝sin（∠BCD＋45°）
＝（sin∠BCD＋cos∠BCD）＝，
所以在△BCD中，
由正弦定理＝，
可得CD＝＝5，即CD的长为5．
PAGE第七节　解三角形应用举例
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的高考来看，本节内容直接命题较少，主要涉及高度、距离、角度等实际应用问题．
本节主要考查考生的数学建模、数学运算核心素养．
授课提示：对应学生用书第84页
知识点　测量中的有关术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α
例：（1）北偏东α：（2）南偏西α：
?
温馨提醒
?
易混淆方位角与方向角的概念
1．方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
2．“方位角”与“方向角”的范围：方位角大小的范围是[0°，360°），方向角大小的范围是．
1．（易错题）若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的（　　）
A．北偏东15°　　　　　
B．北偏西15°
C．北偏东10°
D．北偏西10°
解析：如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°．
∴点A在点B的北偏西15°．
答案：B
2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50
m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则可以计算出A，B两点的距离为　　　　
m．
解析：由正弦定理得＝，又因为∠B＝30°，
所以AB＝＝＝50（m）．
答案：50
3．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝　　　　米．
解析：由题图可得∠PAQ＝α＝30°，
∠BAQ＝β＝15°，在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，
又∠PBC＝γ＝60°，
所以∠BPA＝（90°－α）－（90°－γ）＝γ－α＝30°，
所以＝，所以PB＝a，
所以PQ＝PC＋CQ＝PB·sin
γ＋asin
β
＝a×sin
60°＋asin
15°＝a．
答案：a
授课提示：对应学生用书第84页
题型一　距离问题　　
[例]　（2021·宁德质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径（即A，B两点间的距离），现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为_________．
[解析]　由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，
由正弦定理得AC＝＝＝40（＋）．
在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，
所以∠DBC＝30°，
由正弦定理＝，
得BC＝＝＝160sin
15°＝40（－）．
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1
600×（8＋4）＋1
600×（8－4）＋2×1
600×（＋）×（－）×＝1
600×16＋1
600×4＝1
600×20＝
32
000，
解得AB＝80．
故图中海洋蓝洞的口径为80．
[答案]　80
求距离问题的两个注意事项
（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
[对点训练]
如图，为了测量两山顶D，C间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，在A位置时，观察D点的俯角为75°，观察C点的俯角为30°；在B位置时，观察D点的俯角为45°，观察C点的俯角为60°，且AB＝
km，则C，D之间的距离为　　　　
km．
解析：在△ABD中，因为∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，
所以∠ADB＝60°，由正弦定理可得＝，
即＝，
所以AD＝＝（km）．
由题意得∠ABC＝120°，
∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝
km．
所以AC＝3
km．
在△ACD中，
由余弦定理得
CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcos∠DAC＝5，
即CD＝
km．
答案：
题型二　高度问题　　
[例]　如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600
m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝　　　　
m．
[解析]　由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°．
又AB＝600
m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300
m．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan
30°＝300×＝100（m）．
[答案]　100
利用正、余弦定理求解高度问题应注意的三个问题
（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是关键．
（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出错．
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
[对点训练]
为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B的同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40
m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1
m，则发射塔高AB＝　　　　
m．
解析：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1
m，∠AEF＝30°．
在△BCD中，由正弦定理得
BC＝＝＝20（m）．所以EF＝20
m．在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20×＝20（m），
所以AB＝AF＋BF＝20＋1（m）．
答案：20＋1
题型三　角度问题　　
[例]　在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12
n
mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10
n
mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14
n
mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
[解析]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°．
根据余弦定理得（14x）2＝122＋（10x）2－240xcos
120°，
解得x＝2（负值舍去）．故AC＝28，BC＝20．
根据正弦定理得＝，
解得sin
α＝＝．
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为．
测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和
距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
[提醒]　方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
[对点训练]
如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos
θ的值．
解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
120°＝2
800，所以BC＝20．
由正弦定理，得＝，
即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝．
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝．
由θ＝∠ACB＋30°，得cos
θ＝
cos（∠ACB＋30°）
＝cos∠ACB·cos
30°－sin∠ACBsin
30°＝．
　解三角形应用问题中的核心素养
数学建模——三斜求积公式的应用
我国南宋著名数学家秦九韶（约1202－1261）的著作《数书九章》卷五“田域类”中有一题：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何．”该题就是已知三角形的三边长，求三角形的面积．《数书九章》给出的解法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”写成公式形式就是△ABC的面积S＝，其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a>b>c．这个公式中的三斜具有“对称性”，a，b，c只要分别表示三角形的三边即可，不一定专指大斜、中斜与小斜．
秦九韶给出的“三斜求积”公式与海伦公式（△ABC的面积S＝，其中△ABC的三边分别为a，b，c，p＝，海伦公式的特点是形式漂亮，便于记忆）形异而质相同，填补了我国传统数学的一个空白，代表了我国古代已具有很高的数学水平，是我国数学史上的一颗明珠．
[例]　南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”（即△ABC的面积S＝，其中△ABC的三边分别为a，b，c，且a>b>c）并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为（　　）
A．82平方里　　　　　　　
B．83平方里
C．84平方里
D．85平方里
[解析]　由题意知三角形沙田的三边长分别为13里、14里、15里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S＝＝84（平方里）．
[答案]　C
[对点训练]
《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？其大意为：如图所示，立两个三丈高的标杆BC和DE，两标杆之间的距离BD＝1
000步，两标杆的底端与海岛的底端H在同一直线上，从前面的标杆B处后退123步，人眼贴地面，从地上F处仰望岛峰，A，C，F三点共线，从后面的标杆D处后退127步，人眼贴地面，从地上G处仰望岛峰，A，E，G三点也共线，则海岛的高为（注：1步＝6尺，1里＝180丈＝1
800尺＝300步）（　　）
A．1
255步
B．1
250步
C．1
230步
D．1
200步
解析：因为AH∥BC，所以△BCF∽△HAF，所以＝．因为AH∥DE，所以△DEG∽△HAG，所以＝．又BC＝DE，所以＝，即＝，所以HB＝30
750步，又＝，所以AH＝＝1
255（步）．
答案：A
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