资源简介

平面向量、数系的扩充与复数的引入
第一节　平面向量的概念及线性运算
命题分析预测
学科核心素养
本节在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大．
本节通过平面向量的线性运算，考查考生的直观想象、数学运算核心素养和方程思想、数形结合思想的运用．
授课提示：对应学生用书第87页
知识点一　向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
?
温馨提醒
?
1．对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行．(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．
2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制．
1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有真命题的序号是(　　)
A．①　　　　　　　
B．③
C．①③
D．①②
解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．
答案：A
2．(易错题)设a0为单位向量．①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0．上述命题中，假命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3．
答案：D
知识点二　向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则平行四边形法则
(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|；当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
1．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．
解析：如图所示，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b．
答案：b－a　－a－b
2．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________．
解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝．
答案：－　
3．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．
解析：如图所示，因为＋＝，－＝，所以||＝||．
由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
答案：矩形
知识点三　共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．
?
温馨提醒
?
三个常用结论
(1)P为线段AB的中点?＝(＋)．
(2)G为△ABC的重心?若A，B，C是平面内不共线的点，则＋＋＝0．
(3)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1．
1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　)
A．共线　　　　　　　
B．不共线
C．共线且同向
D．不一定共线
解析：若n≠0，则m与k共线；若n＝0，则m与k不一定共线．
答案：D
2．(易错题)已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________．
解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况．
答案：[2，6]
授课提示：对应学生用书第88页
题型一　平面向量的有关概念及线性运算　　
考法（一）　平面向量的有关概念
1．（2021·南宁质检）已知a，b是两个单位向量，下列命题中错误的是（　　）
A．|a|＝|b|＝1
B．a·b＝1
C．当a，b反向时，a＋b＝0
D．当a，b同向时，a＝b
解析：a，b是两个单位向量，即模为1的向量，对于A，|a|＝|b|＝1，正确；对于B，a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，错误；对于C，当a，b反向时，a＋b＝0，正确；对于D，当a，b同向时，a＝b，正确．
答案：B
2．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”．
其中真命题的序号是_________．
解析：①不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确，因为＝，所以||＝||且∥，又因为A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝．故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．
③正确，因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c．
④不正确，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，真命题的序号是②③．
答案：②③
向量概念的注意点
（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
考法（二）　平面向量的线性运算
1．（2021·云南曲靖一中月考）在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝（　　）
A．a＋b　　　　　　　
B．a－b
C．－a－b
D．－a＋b
解析：＝＋＝＋
＝（－）－
＝－－＝－a－b．
答案：C
2．如图所示，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：法一：由题图可得＝＋＝＋＝＋（＋＋）＝＋（＋）＝＋＝＋．
因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3．
法二：因为＝2，所以－＝2（－），整理得＝＋＝＋（＋）＝＋，以下同法一．
答案：C
平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
（1）向量加法或减法的几何意义：向量加法和减法均适合三角形法则．
（2）求已知向量的和：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
题型二　平面向量共线定理的应用　　
[例]　设两个非零向量a与b不共线．
（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解析]　（1）证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），所以＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝5（a＋b）＝5，
所以，共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
（2）因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），
即（k－λ）a＝（λk－1）b．
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0．所以k2－1＝0．
所以k＝±1．
[变式探究1]　（变条件）若将本例（1）中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？
解析：＋＝（a＋mb）＋3（a－b）＝4a＋（m－3）b，
即＝4a＋（m－3）b．
若A，B，D三点共线，
则存在实数λ，使＝λ，
即4a＋（m－3）b＝λ（a＋b），
所以
解得m＝7．
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
[变式探究2]　（变条件）若将本例（2）中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？
解析：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，
使ka＋b＝λ（a＋kb）（λ<0），
所以所以k＝±1．
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1．
故当k＝－1时，两向量反向共线．
利用共线向量定理解题的策略
（1）a∥b?a＝λb（b≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时才能得出三点共线．即A，B，C三点共线?，共线．
[题组突破]
1．已知O为△ABC内一点，且2＝＋，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为_________．
解析：设线段BC的中点为M，则＋＝2．
因为2＝＋，所以＝，
则＝＝（＋）＝＝＋．
由B，O，D三点共线，得＋＝1，解得t＝．
答案：
2．如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为_________．
解析：∵＝，
∴＝m＋
＝m＋．
∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1．
m＝．
答案：
　共线向量定理应用中的核心素养
数学运算——共线向量定理的推广及应用
[共线定理]　已知，为平面内两个不共线的向量，设＝x＋y，则A，B，C三点共线的充要条件为x＋y＝1．
[例]　如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是_________．
[解析]　由点D是圆O外的一点，可设＝λ（λ>1），则＝＋＝＋λ＝λ＋（1－λ）．因为C，O，D三点共线，令＝－μ（μ>1），所以＝－－·（λ>1，μ>1）．因为＝m＋n，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈（－1，0）．
[答案]　（－1，0）
利用共线定理的推广及数形结合分析是解决此类问题的关键．
[对点训练]
如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为_________．
解析：法一：＝（＋）＝＋．
∵M，O，N三点共线，
∴＋＝1．
∴m＋n＝2．
法二：MN绕O旋转，当N与C重合时，M与B重合，
此时m＝n＝1，∴m＋n＝2．
答案：2
PAGE第二节　平面向量的基本定理及坐标表示
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的高考情况来看，本节重点是平面向量基本定理的应用与坐标计算，多以选择题、填空题形式考查，难度较低．
本节主要考查学生的直观想象与数学运算核心素养．
授课提示：对应学生用书第90页
知识点一　平面向量基本定理
?
温馨提醒
?
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2Ｗ．
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
2．基底给定，同一向量的分解形式唯一．
1．（易错题）e1，e2为不共线的两个向量，下列命题正确的个数为（　　）
①λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对（λ，μ）有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ（λ2e1＋μ2e2）；④若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0．
A．1　　　　　　
B．2
C．3
D．4
解析：对于①、②，由平面向量基本定理可知①正确，②错误；对于③，满足条件的λ有无数多个，故③错误；对于④，因为e1与e2不共线，λe1＋μe2＝0，得λ＝μ＝0，故④正确．
答案：B
2．如图所示，在正方形ABCD中，E为DC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为_________．
解析：因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝．
答案：
知识点二　向量的坐标运算
1．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2．平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则
a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），
a－b＝（x1－x2，y1－y2），
λa＝（λx1，λy1），|a|＝
eq
\r(x＋y)Ｗ．
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1），
||＝
Ｗ．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b?x1y2－x2y1＝0Ｗ．
?
温馨提醒
?
若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0．
1．若P1（1，3），P2（4，0），且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为（　　）
A．（2，2）　　　　　　　
B．（3，－1）
C．（2，2）或（3，－1）
D．（2，2）或（3，1）
解析：由题意得＝或＝，＝（3，－3）．设P（x，y），则＝（x－1，y－3），当＝时，（x－1，y－3）＝（3，－3），所以x＝2，y＝2，即P（2，2）；当＝时，（x－1，y－3）＝（3，－3），所以x＝3，y＝1，即P（3，1）．
答案：D
2．已知向量a＝（2，3），b＝（－1，2），若ma＋nb与a－2b共线，则＝_________．
解析：由向量a＝（2，3），b＝（－1，2），
得ma＋nb＝（2m－n，3m＋2n），a－2b＝（4，－1）．
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，
所以＝－．
答案：－
3．（易错题）已知O为坐标原点，向量＝（2，3），＝（4，－1），且＝3，则||＝_________．
解析：设P（x，y），由题意可得A，B两点的坐标分别为（2，3），（4，－1），
由＝3，
可得
解得故||＝．
答案：
授课提示：对应学生用书第91页
题型一　平面向量基本定理及应用　　
1．如图所示，在△ABC中，BE是边AC上的中线，O是BE的中点，若＝a，＝b，则＝（　　）
A．a＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b
解析：∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，
∴＝．
∵O是BE的中点，
∴＝（＋）＝＋＝a＋b．
答案：D
2．在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝（　　）
A．－　　　　　　　
B．－1
C．
D．－
解析：设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以＝＝（＋）＝－＋×＝－＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－．
答案：D
3．（2021·太原模拟）在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点．若＝λ＋μ，则实数λ＋μ＝_________．
解析：如图所示，∵M，N分别为BC，DC的中点，∴＝＋＝＋＝＋，①
＝＋＝＋，②
由①②得＝－，
＝－，
∴＝＋＝＋＝－＋－＝＋，
∵＝λ＋μ，，不共线，
∴λ＝，μ＝，λ＋μ＝．
答案：
4．（2021·西安调研）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，则实数m的值为_________．
解析：由N是OD的中点得＝＋＝＋（＋）＝＋，
又因为A，N，E三点共线，故＝λ，
即m＋＝λ（＋），
又与不共线，
所以
解得
故实数m＝．
答案：
应用平面向量基本定理应注意的问题
　（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算．
题型二　平面向量的坐标运算及应用　　
[例]　（2021·文登二中模拟）平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（－1，2），c＝（4，1）．
（1）若（a＋kc）∥（2b－a），求实数k；
（2）若d满足（d－c）∥（a＋b），且|d－c|＝，求d的坐标．
[解析]　（1）a＋kc＝（3＋4k，2＋k），2b－a＝（－5，2），
由题意得2×（3＋4k）－（－5）×（2＋k）＝0，
解得k＝－．
（2）设d＝（x，y），则d－c＝（x－4，y－1），
又a＋b＝（2，4），|d－c|＝，
∴
解得或
∴d的坐标为（3，－1）或（5，3）．
[变式探究]　母题条件不变，若a＝λb＋μc．试求λ，μ．
解析：∵λb＋μc＝λ（－1，2）＋μ（4，1）
＝（4μ－λ，2λ＋μ）＝（3，2），
∴
解得
1．向量的坐标运算常建立在向量的线性运算的基础之上，若已知有向线段两端点的坐标，则应考虑坐标运算．
2．解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一结论，通过列方程（组）进行求解．
[题组突破]
1．已知平行四边形ABCD中，＝（3，7），＝（－2，3），对角线AC与BD交于点O，则的坐标为（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．
D．
解析：因为＝＋＝（－2，3）＋（3，7）＝（1，10），所以＝＝，所以＝．
答案：D
2．已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）．若c∥（2a＋b），则λ＝_________．
解析：2a＋b＝（4，2），因为c＝（1，λ），且c∥（2a＋b），所以1×2＝4λ，即λ＝．
答案：
　向量坐标运算中的核心素养
（一）直观想象——向量坐标运算的应用
[例1]　给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为_________．
[解析]　以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A（1，0），B．
设∠AOC＝α，则C（cos
α，sin
α）．
由＝x＋y，得
所以x＝cos
α＋sin
α，y＝sin
α，
所以x＋y＝cos
α＋sin
α＝2sin．
又α∈，
所以当α＝时，x＋y取得最大值2．
[答案]　2
在向量的有关运算中，可利用几何法和坐标法进行巧解，这样既可以提高解题效率，又能提升正确率，体现了数学思维的灵活性，对学生的直观想象和逻辑推理素养有较高要求．
（二）数学建模——平面向量与三角形的“四心”
　设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则：
（1）O为△ABC的外心?||＝||＝||＝．
（2）O为△ABC的重心?＋＋＝0．
（3）O为△ABC的垂心?·＝·＝·．
（4）O为△ABC的内心?a＋b＋c＝0．
[例2]　已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[（1－λ）＋（1－λ）＋（1＋2λ）·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（　　）
A．△ABC的内心　　　
B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心
D．AB边的中点
[解析]　取AB的中点D，则2＝＋，因为＝[（1－λ）＋（1－λ）＋（1＋2λ）]，
所以＝[2（1－λ）＋（1＋2λ）]
＝＋，
而＋＝1，所以P，C，D三点共线，所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
[答案]　C
求解三角形的“四心”问题时，要结合平面向量基本定理及“四心”定义去探究．
[题组突破]
1．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对（x，y）为（　　）
A．
B．
C．
D．
解析：取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON（图略），则⊥，⊥，
＝－＝－（x＋y）＝－y，
＝－＝－（x＋y）＝－x．
由⊥，得2－y·＝0，①
由⊥，得2－x·＝0，②
又因为2＝（－）2＝2－2·＋2，
所以·＝＝－，③
把③代入①②得解得x＝，y＝．
故实数对（x，y）为．
答案：A
2．在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值是（　　）
A．3
B．2
C．2
D．4
解析：由题意，以A为坐标原点，以AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系（图略），则A（0，0），B（1，0），D（0，1），C（1，1）．因为BC＝1，CD＝1，所以BD＝．因为动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，所以圆C的半径为，所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝．设点P的坐标为，因为＝λ＋μ，所以＝λ（1，0）＋μ（0，1）＝（λ，μ），所以所以λ＋μ＝1＋cos
θ＋1＋sin
θ＝2＋（cos
θ＋sin
θ）＝2＋sin，当sin＝1时，λ＋μ取得最大值，最大值为3．
答案：A
PAGE第三节　平面向量的数量积
命题分析预测
学科核心素养
本节在高考中主要考查向量的数量积运算，利用向量数量积解决模长、夹角问题，平行或垂直问题，有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题，主要以小题的形式出现，难度不大．
本节主要通过平面向量的数量积及其应用考查考生的数学运算、直观想象核心素养．
授课提示：对应学生用书第93页
知识点一　向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°
θ＝0°或θ＝180°?a∥b，θ＝90°?a⊥b
?
温馨提醒
?
对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a，b夹角为锐角的必要不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．
1．若向量a，b满足|a|＝，b＝（－2，1），a·b＝5，则a与b的夹角为（　　）
A．90°　　　　　　
B．60°
C．45°
D．30°
解析：∵b＝（－2，1），∴|b|＝＝，∵|a|＝，a·b＝5，∴cos〈a，b〉＝＝＝．又〈a，b〉∈[0，π]．∴a与b的夹角为45°．
答案：C
2．（易错题）已知两个非零向量a与b的夹角为θ，则“a·b>0”是“θ为锐角”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由a·b>0，可得到θ∈，不能得到θ∈；而由θ∈，可以得到a·b>0．
答案：B
知识点二　平面向量的数量积
1．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos
θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos
θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos
θ的乘积
2．向量数量积的运算律
（1）a·b＝b·a．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．
（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c．
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ．
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝eq
\r(x＋y)
夹角
cos
θ＝
cos
θ＝eq
\f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y))
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤eq
\r(（x＋y）（x＋y）)
?
温馨提醒
?
1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c（a≠0）不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．
2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．
3．在用|a|＝求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．
1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为（　　）
A．12
B．6
C．3
D．3
解析：a·b＝|a||b|cos
135°＝－12，所以|b|＝＝6．
答案：B
2．已知向量a＝（2，1），b＝（－1，k），a·（2a－b）＝0，则k＝_________．
解析：因为2a－b＝（4，2）－（－1，k）＝（5，2－k），由a·（2a－b）＝0，得（2，1）·（5，2－k）＝0，
所以10＋2－k＝0，解得k＝12．
答案：12
3．（易错题）已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为_________．
解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos
θ＝4×cos
120°＝－2．
答案：－2
4．设向量a＝（－1，2），b＝（m，1），如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于_________．
解析：a＋2b＝（－1＋2m，4），2a－b＝（－2－m，3），由题意得3（－1＋2m）－4（－2－m）＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝．
答案：
授课提示：对应学生用书第94页
题型一　平面向量数量积的计算　　
1．（2021·西安模拟）已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝（　　）
A．4　　　　　　　
B．3
C．2
D．0
解析：因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2×1－（－1）＝3．
答案：B
2．（2019·高考全国卷Ⅱ）已知＝（2，3），＝（3，t），||＝1，则·＝（　　）
A．－3
B．－2
C．2
D．3
解析：因为＝－＝（1，t－3），所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝（1，0），所以·＝2×1＋3×0＝2．
答案：C
3．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝1．若点Q满足＝2，则·＝（　　）
A．－
B．
C．－
D．
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则Q，D（0，1），C（1，1），所以＝，＝，所以·＝＋1＝．
答案：D
4．（2019·高考天津卷）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝_________．
解析：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝（－）·（＋）＝·＋·－2－·＝5×2×cos
30°＋5×2×cos
180°－12－2×2×cos
150°＝15－10－12＋6＝－1．
答案：－1
求向量a，b的数量积a·b的三种方法
（1）若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．
（2）根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．
（3）若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解．
题型二　平面向量数量积的应用　　
　　平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有：（1）平面向量的模；（2）平面向量的夹角；（3）平面向量的垂直．
考法（一）　平面向量的模
[例1]　（1）（2020·高考全国卷Ⅰ）设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝_________．
（2）已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为_________．
[解析]　（1）将|a＋b|＝1两边平方得a2＋2a·b＋b2＝1．
∵a2＝b2＝1，∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1．
∴|a－b|＝＝＝＝．
（2）建立平面直角坐标系如图所示，则A（2，0），设P（0，y），C（0，b），则B（1，b），则＋3＝（2，－y）＋3（1，b－y）＝（5，3b－4y）．
所以|＋3|
＝（0≤y≤b）．
当y＝b时，|＋3|min＝5．
[答案]　（1）　（2）5
1．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
（1）a2＝a·a＝|a|2或|a|＝．
（2）|a±b|＝＝．
（3）若a＝（x，y），则|a|＝．
2．与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想的应用．
考法（二）　平面向量的夹角
[例2]　（1）（2019·高考全国卷Ⅲ）已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝　　　　；
（2）已知向量a＝（λ，－6），b＝（－1，2），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是_________．
[解析]　（1）由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝．
（2）∵向量a与b的夹角为钝角，
∴a·b＝（λ，－6）·（－1，2）＝－λ－12<0，解得λ>－12．
当a与b共线时，设a＝kb（k<0），
可得
解得
即当λ＝3时，向量a与b共线且反向，此时a·b<0，但a与b的夹角不是钝角．综上，λ的取值范围是（－12，3）∪（3，＋∞）．
[答案]　（1）　（2）（－12，3）∪（3，＋∞）
向量夹角问题的两个注意点
（1）切记向量夹角的范围是[0，π]．
（2）非零向量a与b夹角为锐角?a·b>0且a与b不共线；非零向量a与b夹角为钝角?a·b<0且a与b不共线．
考法（三）　平面向量的垂直
[例3]　（1）（2020·高考全国卷Ⅰ）设向量a＝（1，－1），b＝（m＋1，2m－4），若a⊥b，则m＝_________．
（2）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2．若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为_________．
[解析]　（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．
又a＝（1，－1），b＝（m＋1，2m－4），
∴1×（m＋1）＋（－1）×（2m－4）＝0，解得m＝5．
（2）因为⊥，所以·＝0．
又＝λ＋，＝－，
所以（λ＋）·（－）＝0，
即（λ－1）·－λ2＋2＝0，
所以（λ－1）||||cos
120°－9λ＋4＝0，
所以（λ－1）×3×2×－9λ＋4＝0，
解得λ＝．
[答案]　（1）5　（2）
1．当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．
2．当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0．
[题组突破]
1．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为120°，|b|＝2|a|，则a与c的夹角为（　　）
A．60°　　　
B．150°　　　
C．120°　　　
D．90°
解析：由a＋b＋c＝0，得c＝－（a＋b），所以a·c＝－a·（a＋b）＝－|a|2－a·b＝－|a|2－2|a|2cos
120°＝－|a|2＋|a|2＝0．故夹角为90°．
答案：D
2．（2020·高考全国卷Ⅱ）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝_________．
解析：由题意知（ka－b）·a＝0，即ka2－b·a＝0．
因为a，b为单位向量，且夹角为45°，
所以k×12－1×1×＝0，解得k＝．
答案：
　平面向量数量积应用中的核心素养
数学运算——向量问题坐标化应用
[例]　如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，该矩形所在的平面内一点P满足||＝1，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则（　　）
A．存在点P，使得I1＝I2
B．存在点P，使得I1＝I3
C．对任意的点P，有I2＞I1
D．对任意的点P，有I3＞I1
[解析]　以C为原点，以CD，CB所在直线为x轴，y轴负半轴建立平面直角坐标系（图略），则A（－3，－2），B（0，－2），D（－3，0），＝（3，0），＝（3，2），＝（0，2）．∵||＝1，可设P（cos
α，sin
α），∴＝（cos
α＋3，sin
α＋2），∴I1＝·＝3cos
α＋9，I2＝·＝3cos
α＋2sin
α＋13，I3＝·＝2sin
α＋4，
∴I2－I1＝2sin
α＋4＞0，I2＞I1，A错误，C正确；I3－I1＝－5＋2sin
α－3cos
α＝－5＋sin（α＋φ）＜0，I3＜I1，B错误，D错误．
[答案]　C
向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而
引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．
[对点训练]
△ABC中，A＝90°，AB＝2，AC＝1，设点P，Q满足＝λ，＝（1－λ）．若·＝－2，则λ＝（　　）
A．　　　　　　　
B．
C．
D．2
解析：以点A为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，以的方向为y轴的正方向，建立如图所示平面直角坐标系，由题知B（2，0），C（0，1），P（2λ，0），Q（0，1－λ），＝（－2，1－λ），＝（2λ，－1）．∵·＝－2．
∴1＋3λ＝2，解得λ＝．
答案：A
PAGE第四节　数系的扩充与复数的引入
命题分析预测
学科核心素养
本节是高考的热点，主要考查复数的有关概念和复数的四则运算，一般出现在选择题的较靠前位置，比较简单，属于送分题．
本节通过复数的有关概念和四则运算考查考生的数学运算核心素养和等价转化思想的应用．
授课提示：对应学生用书第96页
知识点一　复数的有关概念及意义
1．复数的有关概念
（1）复数的概念：
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部Ｗ．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
（2）复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）．
（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）．
（4）复数的模：
向量的模r叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝Ｗ．
2．复数的几何意义
（1）复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．
（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量．
?
温馨提醒
?
利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R是前提条件．
1．若复数（a2－3a＋2）＋（a－1）i是纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．1　　　
B．2　　　　
C．1或2　　　
D．－1
解析：由得a＝2．
答案：B
2．（2021·合肥市高三二检）已知复数z满足z·（1－2i）＝i（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：由z·（1－2i）＝i可得z＝＝＝－＋i，则复数z在复平面内对应的点在第二象限．
答案：B
3．（易错题）若a为实数，且＝3＋i，则a＝_________．
解析：由＝3＋i，得2＋ai＝（3＋i）（1＋i）＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4．
答案：4
知识点二　复数的代数运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则
（1）加法：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i；
（2）减法：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i；
（3）乘法：z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i；
（4）除法：＝＝＝＋i（c＋di≠0）．
2．复数加法的运算定律
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
（1）交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）Ｗ．
?
温馨提醒
?
（1）（1±i）2＝±2i；＝i；＝－i．
（2）－b＋ai＝i（a＋bi）．
（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i（n∈N＋）．
（4）i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N＋）．
（5）|z|2＝||2＝z·，|z2|＝||2．
（6）|z1z2|＝|z1||z2|，＝（z2≠0），|zn|＝|z|n．
1．（2020·高考全国卷Ⅰ）若z＝1＋i，则|z2－2z|＝（　　）
A．0　　
B．1　　　
C．　　
D．2
解析：法一：z2－2z＝（1＋i）2－2（1＋i）＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2．
法二：|z2－2z|＝|（1＋i）2－2（1＋i）|＝|（1＋i）（－1＋i）|＝|1＋i||－1＋i|＝2．
答案：D
2．（2020·新高考全国卷Ⅰ）＝（　　）
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析：＝＝＝－i．
答案：D
3．已知（1＋2i）＝4＋3i，则z＝_________．
解析：因为＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i．
答案：2＋i
授课提示：对应学生用书第97页
题型一　复数的有关概念　　
1．（2021·湘潭模拟）若复数z满足（1＋i）z＝2i，是z的共轭复数，则的虚部为（　　）
A．－i　　　
B．1　　　　
C．－1　　　
D．i
解析：由题意可知，z＝＝1＋i，故＝1－i，所以其虚部为－1．
答案：C
2．（2020·高考全国卷Ⅰ）若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝（　　）
A．0
B．1
C．
D．2
解析：∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝＝．
答案：C
3．（2021·衡水中学大联考）已知复数z＝（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z＝＝－＝－i（1＋2i）＝2－i，
即复数z在复平面内对应的点（2，－1）位于第四象限．
答案：D
1．求解复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数有关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi（a，b∈R）的形式，再根据题意求解．
2．复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R）?Z（a，b）?．
3．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
题型二　复数的代数运算　　
[例]　（1）已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2
018＝（　　）
A．1＋i　　　
B．1－i　　　　
C．i　　　
D．0
（2）（2021·兰州质检）已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝（　　）
A．－2i
B．2i
C．－2
D．2
[解析]　（1）法一：因为z＝1＋＝1＋＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2
018＝＝＝＝i．
法二：因为z＝1＋＝1＋＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2
018＝1＋i＋i2＋…＋i2
018＝504×（1＋i－1－i）＋1＋i－1＝i．
（2）法一：由z＝＝1－i，得z2＝（1－i）2＝－2i．
法二：由zi＝1＋i，得（zi）2＝（1＋i）2，则－z2＝2i，即z2＝－2i．
[答案]　（1）C　（2）A
复数代数形式运算问题的解题策略
[题组突破]
1．（2020·高考全国卷Ⅲ）若
（1＋i）＝1－i，则z＝（　　）
A．1－i
B．1＋i
C．－i
D．i
解析：因为＝＝＝－i，所以z＝i．
答案：D
2．若z＝1＋2i，则＝（　　）
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析：由z＝1＋2i，得z＝5，∴＝＝i．
答案：C
3．（2021·烟台高三下学期诊断）已知复数z＝（i为虚数单位），则z的共轭复数等于（　　）
A．－i
B．＋i
C．－i
D．＋i
解析：z＝＝＝－i，＝＋i．
答案：D
　复数运算应用中的核心素养
创新应用——复数的交汇应用问题
[例]　（1）（2021·益阳、湘潭调研）已知命题p：若复数z满足（z－i）（－i）＝5，则z＝6i，命题q：复数的虚部为－i，则下面为真命题的是（　　）
A．（非p）且（非q）　　　
B．（非p）且q
C．p且（非q）
D．p且q
（2）（2021·天津实验中学期中测试）已知复数z＝＋i是纯虚数（i为虚数单位），则tan＝_________．
[解析]　（1）由已知可得，复数z满足（z－i）（－i）＝5，
所以z＝＋i＝6i，
所以命题p为真命题；
复数＝＝，
其虚部为－，故命题q为假命题，
所以命题p且（非q）为真命题．
（2）因为cos
θ－＝0，sin
θ－≠0?cos
θ＝，sin
θ＝－?tan
θ＝－，所以tan（θ－）＝＝－7．
[答案]　（1）C　（2）－7
求解复数与其他知识的交汇问题，一定要仔细运算，提升自身的数学运算素养．
[题组突破]
1．已知复数z＝x＋yi（x，y∈R）满足||≤1，则y≥x＋1的概率为（　　）
A．－
B．－
C．＋
D．＋
解析：复数z＝x＋yi（x，y∈R），||≤1，它的几何意义是以O（0，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．满足y≥x＋1的图像如图中圆内阴影部分所示，则概率P＝＝－．
答案：B
2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是（　　）
A．1－2i
B．－1＋2i
C．3＋4i
D．－3－4i
答案：D
PAGE

展开更多......

收起↑