资源简介

第一节　集合
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的全国卷的考查情况来看，该节是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，均以集合的基本运算为主，同时考查不等式的求解.
本节主要以函数、方程、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，考查考生的分类讨论思想和数学运算核心素养.
授课提示：对应学生用书第1页
知识点一　元素与集合、集合间基本关系
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“?”表示)．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系
关系
自然语言
符号语言
Venn图
子集
集合A中任意一个元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)
A?B(或B?A)
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中
A?B(或B?A)
集合相等
集合A，B中的元素完全相同或集合A，B互为子集
A＝B
?
温馨提醒
?
1.集合的子集和真子集具有传递性：若A?B，B?C，则A?C；若A?B，B?C，则A?C.
2．含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
1．若集合P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A．a∈P　　　　　　　
B．{a}∈P
C．{a}?P
D．a?P
解析：因为a＝2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以a?P.
答案：D
2．设M为非空的数集，M?{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(　　)
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
解析：由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．
答案：A
3．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由M∪N＝M，得N?M.又M中有2个元素，故其子集的个数为22＝4，所以集合N的个数为4.
答案：D
知识点二　集合的基本运算
运算
自然语言
符号语言
Venn图
交集
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
补集
由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
?UA＝{x|x∈U且x?A}
?
温馨提醒
?
二级结论
A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
必明易错
1．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(?UA)∪B＝(　　)
A．(2，3]
B．(－∞，1]∪(2，＋∞)
C．[1，2)
D．(－∞，0)∪[1，＋∞)
解析：因为?UA＝{x|x＞2或x＜0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(?UA)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．
答案：D
2．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则?U(A∪B)＝________．
答案：{x|x是直角}
3．(易错题)已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．
解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N?M，所以N＝?或N＝M，所以a＝0或a＝.
答案：0或
授课提示：对应学生用书第2页
题型一　集合的概念与关系　　
1.（2021·长沙模拟）设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则（　　）
A.M?N　　　　　　
B.N?M
C.M∈N
D.N∈M
解析：对于集合N，当n＝2k时，x＝4k＋1（k∈Z）；当n＝2k－1时，x＝4k－1（k∈Z）.所以N＝{x|x＝4k＋1或x＝4k－1，k∈Z}，所以M?N.
答案：A
2.（2021·西安五校联考）已知集合A＝{x|－x2＋2
018x≥0}，B＝{x∈N|y＝lg（3－x）}，则集合A∩B的子集个数是（　　）
A.4
B.7
C.8
D.16
解析：A＝[0，2
018]，B＝{x∈N|x＜3}，A∩B＝{0，1，2}，故集合A∩B的子集个数是8.
答案：C
3.若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，则实数m的取值范围为__________.
解析：①若B＝?，则Δ＝m2－4＜0，
解得－2＜m＜2，符合题意；
②若1∈B，则12＋m＋1＝0，
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；
③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，
解得m＝－，些时B＝，不合题意.
综上所述，实数m的取值范围为[－2，2）.
答案：[－2，2）
4.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为__________.
解析：因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.
答案：（16，＋∞）
1.集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.
2.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图或图像帮助分析.
题型二　集合的基本运算　　
　　集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.常见的命题角度有：（1）集合的基本运算；（2）利用集合运算求参数或范围.
考法（一）　集合的基本运算
[例1]　（1）（2020·高考全国卷Ⅱ）已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则?U（A∪B）＝（　　）
A.{－2，3}　　　　　　　　
B.{－2，2，3}
C.{－2，－1，0，3}
D.{－2，－1，0，2，3}
[解析]　∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，∴A∪B＝{－1，0，1，2}.又U＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴?U（A∪B）＝{－2，3}.
[答案]　A
（2）（2021·焦作模拟）若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则（?RA）∪B＝（　　）
A.
B.?
C.[0，＋∞）
D.（0，＋∞）
[解析]　因为A＝{x|2x2－9x＞0}＝，所以?RA＝，又B＝{y|y≥2}，所以（?RA）∪B＝[0，＋∞）.
[答案]　C
解集合运算问题的三个注意点
考法（二）　利用集合的运算求参数
[例2]　（1）（2020·高考全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝（　　）
A.－4
B.－2
C.2
D.4
（2）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（　　）
A.0
B.1
C.2
D.4
（3）（2021·南昌模拟）已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－∞，－3]∪[2，＋∞）
B.[－1，2]
C.[－2，1]
D.[2，＋∞）
[解析]　（1）A＝{x|－2≤x≤2}，B＝.
由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－＝1，所以a＝－2.
（2）根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
（3）集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因为A∪B＝A，则B?A，所以有所以－2≤a≤1.
[答案]　（1）B　（2）D　（3）C
　根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤
[题组突破]
1.（2020·新高考全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（　　）
A.{x|2＜x≤3}　　　　　　
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x＜4}
D.{x|1＜x＜4}
解析：A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2＜x＜4}＝{x|1≤x＜4}.
答案：C
2.（2021·太原模拟）已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x＋2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是（　　）
A.（－2，1）
B.[－1，0]∪[1，2）
C.（－2，－1）∪[0，1]
D.[0，1]
解析：因为集合A＝{x|x（x＋2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝（－2，1]，A∩B＝[－1，0），所以阴影部分表示的集合为?A∪B（A∩B）＝（－2，－1）∪[0，1].
答案：C
3.（2021·湘东模拟）若集合A＝{x|－1≤x≤0}，B＝{x|log2（1－x）≤0}，则A∪B＝（　　）
A.{x|－1≤x＜1}
B.{x|－1＜x≤1}
C.{0}
D.{x|－1≤x≤1}
解析：法一：因为B＝{x|log2（1－x）≤0}＝{x|0＜1－x≤1}＝{x|0≤x＜1}，所以A∪B＝{x|－1≤x＜1}.
法二：因为1?A且1?B，所以1?（A∪B），故排除选项B，D；又－1∈A，所以－1∈（A∪B），所以排除选项C.
答案：A
4.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}.若（?UA）∩B＝?，则m的值为__________.
解析：易知A＝{－2，－1}.由（?UA）∩B＝?，得B?A，
∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，
∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}.
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）×（－2）＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）×（－2）＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件.∴m＝1或2.
答案：1或2
　集合中的核心素养
（一）数学抽象——集合的新定义、新运算问题
[例1]　（1）（2021·南阳模拟）定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin
α，cos
α}，则集合A⊙B的所有元素之和为（　　）
A.1　　　　　　　
B.0
C.－1
D.sin
α＋cos
α
（2）（2021·保定模拟）设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2＋sin
x，x∈R}，那么P－Q＝（　　）
A.{x|0＜x≤1}
B.{x|0≤x＜2}
C.{x|1≤x＜2}
D.{x|0＜x＜1}
[解析]　（1）因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sin
α，cos
α，所以xy的所有可能取值为（重复的只列举一次）：－sin
α，0，sin
α，－cos
α，cos
α，所以所有元素之和为0.
（2）由题意得P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0＜x＜1}.
[答案]　（1）B　（2）D
1.以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象.
2.解决集合的新定义问题的两个切入点
（1）正确理解新定义.这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等.
（2）合理利用集合性质.运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.
（二）创新应用——集合的新性质问题
[例2]　设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
（1）若M＝{2，3，6}，则?UM表示的6位字符串为　　　　；
（2）已知A＝{1，3}，B?U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是__________.
[解析]　（1）由已知得，?UM＝{1，4，5}，则?UM表示的6位字符串为100110.
（2）由题意可知A∪B＝{1，3，6}，而A＝{1，3}，B?U，则B可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B的个数是4.
[答案]　（1）100110　（2）4
创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题.
[题组突破]
1.设A，B是有限集，定义d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数.
命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充要条件；
命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）.（　　）
A.命题①和命题②都成立
B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立，命题②不成立
D.命题①不成立，命题②成立
解析：命题①显然正确，通过如图Venn图亦可知d（A，C）表示的区域不大于d（A，B）＋d（B，C）的区域，故命题②也正确.
答案：A
2.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，且x?B}，A
B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A
B＝__________.
解析：由题意知A－B＝{x|x＞3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}，所以A
B＝[－3，0）∪（3，＋∞）.
答案：[－3，0）∪（3，＋∞）
PAGE第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，高考对本节内容的考查涉及的知识点较广，全国卷主要以其他知识为背景考查命题的真假判断，充分条件、必要条件的判断，题目难度中等，以选择题和填空题为主，有时也以解答题的一问呈现.
本节主要以函数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率、统计、复数等为载体，结合命题、充分条件和必要条件考查考生的转化思想和逻辑推理核心素养.
授课提示：对应学生用书第4页
知识点一　四种命题及其关系
1.四种命题间的相互关系
2.四种命题的真假关系
（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
（2）两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
1.有下列几个命题：
①“若a＞b，则＞”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题.
其中真命题的序号是（　　）
A.①　　　　　　　
B.①②
C.②③
D.①②③
解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题，所以真命题的序号是②③.
答案：C
2.命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（　　）
A.若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0
B.若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
C.若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
D.若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0
解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可.由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.
答案：D
3.已知曲线C：f（x）＝x3－3x，直线l：y＝ax－a，则“a＝6”是“直线l与曲线C相切”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：A
知识点二　充分条件与必要条件
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p?q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q?p
p是q的充要条件
p?q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
?
温馨提醒
?
1.易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.易忽视A是B的充分不必要条件（A?B且BA）与A的充分不必要条件是B（B?A且AB）两者的不同.
1.“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：由（x－1）（x＋2）＝0，得x＝1或x＝－2，所以“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的必要不充分条件.
答案：B
2.（2021·贵阳模拟）设向量a＝（1，x－1），b＝（x＋1，3），则“x＝2”是“a∥b”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝（x－1）·（x＋1），即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件.
答案：A
3.（易错题）条件p：x＞a，条件q：x≥2.
（1）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是　　　　；
（2）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是__________.
解析：设A＝{x|x＞a}，B＝{x|x≥2}，
（1）因为p是q的充分不必要条件，
所以A?B，所以a≥2；
（2）因为p是q的必要不充分条件，
所以B?A，所以a＜2.
答案：（1）a≥2　（2）a＜2
授课提示：对应学生用书第5页
题型一　四种命题的相互关系及真假判断　　
1.命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是（　　）
A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B.若－1＜x＜1，则x2＜1
C.若x＞1或x＜－1，则x2＞1
D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1
解析：命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q，则非p”的形式，所以“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”.
答案：D
2.已知集合P＝，Q＝，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（　　）
A.0　　　　　　　
B.1
C.2
D.4
解析：因为P＝＝
，Q＝，
所以P?Q，
所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，
则原命题的逆否命题为真命题.
原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，
则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.
答案：C
3.（2021·衡阳模拟）给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②“矩形的对角线相等”的逆命题；
③“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题.
其中真命题的序号是__________.
解析：①∵k＞0时，Δ＝4－4（－k）＝4＋4k＞0，∴①是真命题.
②逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题.
③否命题：若xy≠0，则x，y都不为0，是真命题.
答案：①③
1.写一个命题的其他三种命题时需关注两点
（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写.
（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
[提醒]　四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.
2.判断命题真假的两种方法
（1）直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
（2）间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.
题型二　充分条件、必要条件的判断　　
　　充分条件、必要条件是高考的常考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于基础题.常见的命题角度有：（1）定义法判断充分、必要条件；（2）集合法判断充分、必要条件；（3）等价转化法判断充分、必要条件.
考法（一）　定义法判断充分、必要条件
[例1]　（2020·高考天津卷）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析]　求解二次不等式a2＞a可得a＞1或a＜0，
据此可知a＞1是a2＞a的充分不必要条件.
[答案]　A
考法（二）　集合法判断充分、必要条件
[例2]　（2019·高考天津卷）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的（　　）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析]　由x2－5x＜0可得0＜x＜5.由|x－1|＜1可得0＜x＜2.由于区间（0，2）是（0，5）的真子集，故“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件.
[答案]　B
考法（三）　转化法判断充分、必要条件
[例3]　给定两个命题p，q.若非p是q的必要不充分条件，则p是非q的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析]　因为非p是q的必要不充分条件，则q?非p但非pq，其逆否命题为p?非q但非qp，所以p是非q的充分不必要条件.
[答案]　A
　充分条件、必要条件的三种判断方法
（1）定义法：根据p?q，q?p进行判断.
（2）集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.
（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.
[题组突破]
1.（2021·佛山模拟）已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件　　　
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：当x－2＝时，两边平方可得（x－2）2＝2－x，即（x－2）（x－1）＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件.
答案：C
2.（2021·西城模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·（b－c）＝0”是“b＝c”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：由b＝c，得b－c＝0，得a·（b－c）＝0；反之不成立.故“a·（b－c）＝0”是“b＝c”的必要不充分条件.
答案：B
3.（2021·泰安模拟）若p：log2a＜1，q：关于x的一元二次方程x2＋（a＋1）x＋a－2＝0的一根大于零，另一根小于零，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：满足条件p的参数a的取值集合为M＝{a|0＜a＜2}，满足条件q的参数a的取值集合为N＝{a|a＜2}，显然M?N，所以p是q的充分不必要条件.
答案：A
　充要条件中的核心素养
（一）逻辑推理——已知充分、必要条件求参数范围
[例1]　（1）p：关于x的函数y＝|3x－1|－k有两个零点；q：0≤k≤1.则p成立是q成立的（　　）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）已知集合A＝，B＝{x|log3（x＋a）≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________.
[解析]　（1）由题意，作出y＝|3x－1|的图像如图所示，所以关于x的函数y＝|3x－1|－k有两个零点时，0＜k＜1，所以p成立是q成立的充分不必要条件.
（2）由≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x|x≤－2或x≥3}.由log3（x＋a）≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，故B＝{x|x≥3－a}.由题意可知B?A，所以3－a≥3，解得a≤0.故实数a的取值范围是（－∞，0].
[答案]　（1）B　（2）（－∞，0]
根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项
（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.
（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
（二）创新应用——“交汇型”充分、必要条件的判断
[例2]　已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[解析]　因为S4＋S6＞2S5?4a1＋d＋＞2?6d＋15d＞20d?d＞0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
[答案]　C
“交汇型”充分必要条件的问题通常是选取合适的数学背景，把新交汇考点巧妙地融入试题中，虽然它的构思巧妙、题意新颖，但是，它考查的还是基本知识和基本技能.解这类题的关键在于用慧眼去找寻“交汇点”，用心灵去感受题意以及科学合理地运算推理.
[题组突破]
1.（2020·高考北京卷）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sin
α＝sin
β”的（　　）
A.充分而不必要条件　
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：（1）当存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ时，
若k为偶数，则sin
α＝sin（kπ＋β）＝sin
β；
若k为奇数，则sin
α＝sin（kπ－β）＝sin[（k－1）π＋π－β]＝sin（π－β）＝sin
β；
（2）当sin
α＝sin
β时，α＝β＋2mπ或α＋β＝π＋2mπ，m∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ（k＝2m）或α＝kπ＋（－1）kβ（k＝2m＋1），亦即存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ.
所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sin
α＝sin
β”的充要条件.
答案：C
2.已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x||x－4|≤2}.若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数a的取值范围是__________.
解析：由题意，得B＝{x|2≤x≤6}.∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A?B，∴，且a＋3＝6与2a＝2不同时成立.解得1≤a≤3.
答案：[1，3]
PAGE第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
命题分析预测
学科核心素养
从近五年的考查情况来看，高考对本节内容重点考查：（1）全（特）称命题的否定；（2）含有逻辑联结词的命题、全称命题、特称命题的真假判断，以选择题为主，属于基础题.
本节主要以不等式、三角函数、向量等知识为载体，结合逻辑联结词和全（特）称量词考查考生的转化思想和逻辑推理核心素养.
授课提示：对应学生用书第8页
知识点一　简单的逻辑联结词
（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.
（2）命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
?
温馨提醒
?
1.真值表中“p且q”全真才真，“p或q”全假才假.
2.“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.
1.已知p：2是偶数，q：2不是质数，则命题非p，非q，p或q，p且q中真命题的个数为（　　）
A.1　　　　　　　
B.2
C.3
D.4
解析：p真，q假，所以非q和p或q真.
答案：B
2.（2021·陆川模拟）已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是（　　）
A.“p或q”为真命题
B.“p且q”为真命题
C.“非p”为真命题
D.“非q”为假命题
解析：由a＞|b|≥0，得a2＞b2，∴命题p为真命题.∵x2＝4?x＝±2，∴命题q为假命题.∴“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题，“非q”为真命题.综上所述，应选A.
答案：A
知识点二　全称命题与特称命题
1.全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称命题Ｗ.
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做特称命题Ｗ.
2.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
任意x∈M，p（x）
存在x∈M，非p（x）
存在x∈M，p（x）
任意x∈M，非p（x）
?
温馨提醒
?
1.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错.
2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.
3.注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.
1.命题“任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是（　　）
A.存在x∈R，x2＋x≤0
B.存在x∈R，x2＋x＜0
C.任意x∈R，x2＋x≤0
D.任意x∈R，x2＋x＜0
解析：原命题是全称命题，“任意”的否定是“存在”，“≥”的否定是“＜”，因此该命题的否定是“存在x∈R，x2＋x＜0”.
答案：B
2.（2021·辽源模拟）下列命题中的假命题是（　　）
A.存在x∈R，使得log2x＝0
B.任意x∈R，x2＞0
C.存在x∈R，使得cos
x＝1
D.任意x∈R，2x＞0
解析：由于log21＝0，因此存在x∈R，使得log2x＝0为真命题；当x＝0时，x2＝0，因此任意x∈R，x2＞0为假命题；当x＝2π时，cos
x＝1，因此存在x∈R，使得cos
x＝1为真命题；根据指数函数的性质，任意x∈R，2x＞0为真命题.
答案：B
3.（易错题）若p：任意x∈R，ax2＋4x＋1＞0是假命题，则实数a的取值范围为__________.
答案：（－∞，4]
授课提示：对应学生用书第9页
题型一　全称命题与特称命题的否定　　
1.（2021·西安模拟）命题“任意x＞0，＞0”的否定是（　　）
A.存在x＜0，≤0
B.存在x＞0，0≤x≤1
C.任意x＞0，≤0
D.任意x＜0，0≤x≤1
解析：因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0，0≤x≤1.
答案：B
2.已知命题p：存在m∈R，f（x）＝2x－mx是增函数，则非p为（　　）
A.存在m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数
B.任意m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数
C.存在m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数
D.任意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数
解析：由特称命题的否定可得非p为“任意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数”.
答案：D
3.已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：任意f（x）∈A，|f（x）|∈B，则非p为（　　）
A.任意f（x）∈A，|f（x）|?B
B.任意f（x）?A，|f（x）|?B
C.存在f（x）∈A，|f（x）|?B
D.存在f（x）?A，|f（x）|?B
解析：全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：任意f（x）∈A，|f（x）|∈B，得非p为存在f（x）∈A，|f（x）|?B.
答案：C
4.（2021·兰州四校联考）命题“任意x∈R，ex≥x＋1”的否定是（　　）
A.任意x∈R，exB.存在x∈R，ex≥x＋1
C.任意x?R，exD.存在x∈R，ex解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x∈R，ex≥x＋1”的否定是“存在x∈R，ex答案：D
1.写全（特）称命题的否定时，要注意两个方面：一是量词的改写；二是结论的否定.其中对结论的准确否定是解决问题的关键.
2.全称命题为真以及特称命题为假都需要给予严格的证明，其中常用的方法为反证法，反证法的思想源于原命题与逆否命题同真同假.
(题型二　与逻辑联结词有关的应用　　
考法（一）　含有逻辑联结词的真假判断
[例1]　（1）（2021·六安模拟）设命题p：存在x∈（0，＋∞），3x＋x＝；命题q：任意a，b∈（0，8），a＋，b＋中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（　　）
A.p且q　　　　　　　
B.（非p）且q
C.p且（非q）
D.（非p）且（非q）
（2）（2020·高考全国卷Ⅱ）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l?平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①p1∧p4　②p1∧p2　③綈p2∨p3　④綈p3∨綈p4
[解析]　（1）因为f（x）＝3x＋x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＞f（0）＝1＞，所以p假；假设a＋，b＋都小于2，则a＋＋b＋＜4，又根据基本不等式可得a＋＋b＋≥4，矛盾，所以q真，所以（非p）且q为真命题.
（2）p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知非p2，非p3，非p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题是真命题，②中命题是假命题.
[答案]　（1）B　（2）①③④
“p或q”“p且q”“非p”形式命题真假的判断步骤
（1）确定命题构成形式.
（2）判断命题p，q的真假.
（3）根据真值表确定“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假.
考法（二）　已知命题真假求参数范围
[例2]　已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围.
[解析]　依题意知p，q均为假命题，当p为假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q为真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞）.
[变式探究]　若本例中的条件q变为：存在x∈R，x2＋mx＋1＜0，其他条件不变，则实数m的取值范围为__________.
解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4＞0，所以m＞2或m＜－2.由得0≤m≤2，所以m的取值范围是[0，2].
答案：[0，2]
　根据复合命题真假求参数的步骤
（1）根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）.
（2）求出每个命题是真命题时参数的取值范围.
（3）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
[题组突破]
1.（2021·惠州模拟）已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p且q是真命题”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p且q是真命题.必要性：p且q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题.所以“非p为假命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件.
答案：B
2.（2021·安徽江淮十校第三次联考）已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数.若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是__________.
解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假.若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是（－∞，－12）∪（－4，4）.
答案：（－∞，－12）∪（－4，4）
　与命题有关的核心素养
（一）逻辑推理——复合命题的真假判断
[例1]　（2021·泰安模拟）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p或q表示（　　）
A.甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C.甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米
D.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米
[解析]　∵命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，∴命题p或q表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”.
[答案]　D
复合命题真假判断主要通过p、q的真假判断来考查逻辑推理能力，其关键是p、q真假的准确判断.
（二）创新应用——“交汇型”命题真假的判断
[例2]　（2019·高考全国卷Ⅲ）记不等式组表示的平面区域为D.命题p：?（x，y）∈D，2x＋y≥9；命题q：?（x，y）∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q　②綈p∨q　③p∧綈q　④綈p∧綈q
这四个命题中，所有真命题的编号是（　　）
A.①③　　　　　　
B.①②
C.②③
D.③④
[解析]　法一：画出可行域如图中阴影部分所示.
目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距.显然，直线过点A（2，4）时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.
∴2x＋y∈[8，＋∞）.由此得命题p：存在（x，y）∈D，2x＋y≥9正确；
命题q，任意（x，y）∈D，2x＋y≤12不正确.∴①③真，②④假.
法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假.
∴①③真，②④假.
[答案]　A
解决此类问题的关键是抓住交汇点，判断p，q命题的真假.
[题组突破]
1.（2021·芮城模拟）在一次数学测试中，成绩在区间[125，150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为（　　）
A.（非p）或（非q）　　　　
B.p或（非q）
C.（非p）且（非q）
D.p或q
解析：“甲测试成绩不优秀”可表示为非p，“乙测试成绩不优秀”可表示为非q，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为（非p）或（非q）.
答案：A
2.（2021·漳州模拟）已知命题p：椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数f（x）＝的最小值为.则下列命题为真命题的是（　　）
A.p且q
B.（非p）且q
C.非（p或q）
D.p且（非q）
解析：p中椭圆＋＝1的焦点坐标分别为（0，4），（0，－4），双曲线－＝1的焦点坐标分别为（4，0），（－4，0），故p为假命题；q中f（x）＝＝＝＋，设t＝≥2（当且仅当x＝0时，等号成立），则f（t）＝t＋在区间[2，＋∞）上单调递增，故f（x）min＝，故q为真命题.所以（非p）且q为真命题.
答案：B
PAGE

展开更多......

收起↑