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第八节　函数与方程
授课提示：对应学生用书第32页
[基础梳理]
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
与x轴的交点
(x1，0)，(x2，0)
(x1，0)
无交点
零点个数
2
1
0
1．两个注意点
(1)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．
2．三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图像在零点两侧时，函数值可能变号，也可能不变号．
3．三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图像与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
[四基自测]
1．(基础点：零点个数)函数f(x)＝lg
x＋x－6的零点个数为(　　)
A．0　　　　　　　　　　　
B．1
C．2
D．3
答案：B
2．(基础点：零点区间判断)函数f(x)＝ex－1＋4x－4的零点所在区间为(　　)
A．(－1，0)
B．(0，1)
C．(1，2)
D．(2，3)
答案：B
3．(易错点：分段函数的零点)设函数f(x)＝，g(x)＝f(x)＋x－1的零点为________．
答案：0或1
4．(基础点：求零点)函数f(x)＝2sin
x－sin
2x在[0，π]内的零点为________．
答案：0或π
授课提示：对应学生用书第33页
考点一　确定函数零点所在区间
挖掘　估算零点区间/
自主练透
[例]　(1)设f(x)＝ln
x＋x－4，则f(x)的零点所在区间为(　　)
A．(0，1)　　
B．(1，2)　　　
C．(2，3)　　　
D．(3，4)
[解析]　f(2)＝ln
2－2＜0，f(3)＝ln
3－1＞0，
在(2，3)内．
[答案]　C
(2)设函数f(x)＝x－ln
x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
[解析]　令f(x)＝0得x＝ln
x．作出函数y＝x和y＝ln
x的图像，如图，
显然y＝f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．
[答案]　D
[破题技法]　确定函数零点所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
(2)图像法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．
(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(4)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
考点二　函数零点的个数
[例]　(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin
x－sin
2x在[0，2π]的零点个数为(　　)
A．2　　　　　　　　　　　
B．3
C．4
D．5
[解析]　令f(x)＝0，得2sin
x－sin
2x＝0，
即2sin
x－2sin
xcos
x＝0，
∴2sin
x(1－cos
x)＝0，∴sin
x＝0或cos
x＝1.
又x∈[0，2π]，
∴由sin
x＝0得x＝0，π或2π，由cos
x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．
故选B.
[答案]　B
(2)已知函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的零点的个数是(　　)
A．4　　　　　　　　　　　
B．3
C．2
D．1
[解析]　由f[f(x)]＋1＝0得f[f(x)]＝－1，
由f(－2)＝f＝－1得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝；
若f(x)＝，则x＝－或x＝.
综上可得函数y＝f[f(x)]＋1的零点的个数是4，故选A.
[答案]　A
[破题技法]　函数零点个数的判断方法
方法
解读
适合题型
直接法
令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点
基本初等函数
图像法
画出函数f(x)的图像，函数f(x)的图像与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数
分段函数、绝对值函数
转化法
将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0?h(x)－g(x)＝0?h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图像的交点个数
复杂函数
已知函数f(x)＝－cos
x，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：(转化法)函数f(x)＝－cos
x＝0的零点个数为＝cos
x的根的个数，即函数h(x)＝与g(x)＝cos
x的图像的交点个数．如图所示，在区间[0，2π]上交点个数为3，故选C.
答案：C
考点三　函数零点的应用
挖掘1　已知函数零点或方程根的个数求参数/
互动探究
[例1]　(1)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a有3个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C．(－e2，－1)
D．(－∞，－1)
[解析]　x＜0时，f(x)＝－(x＋1)ex，f′(x)＝－(2＋x)ex，由f′(x)＞0，得x＜－2，由f′(x)＜0，得x＞－2，
∴f(x)在(－∞，－2)上递增，在(－2，0)上递减，故f(x)max＝f(－2)＝，且x＜－1时，f(x)＞0，画出y＝f(x)的图像如图，由图知当0＜a＜时，y＝f(x)与y＝a的图像有三个交点，即g(x)有三个零点，所以实数a的取值范围是，故选A.
[答案]　A
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－　　　　
B.
C.　　　　
D．1
[解析]　由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图像的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.故选C.
[答案]　C
[破题技法]　解决已知函数零点的存在情况求参数的取值范围问题时，应该根据零点的存在情况，利用函数零点的存在性定理、二次函数的判别式等得到关于参数的不等式(组)，然后求解即可．破解此类题的关键点：
(1)转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图像的交点的情况；
(2)列式，根据零点存在性定理或结合函数图像列式；
(3)下结论，求出参数的取值范围或根据图像得出参数的取值范围．
挖掘2　已知函数在某区间上有零点求参数/
互动探究
[例2]　(1)(2020·安庆模拟)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C.
D．
[解析]　由x2－ax＋1＝0得a＝x＋，其中x∈.
∵函数y＝x＋在上为减函数，在(1，3)为增函数，∴ymin＝2，ymax＝.∴a∈.
[答案]　D
(2)已知函数f(x)＝2ln
x，g(x)＝mx＋1，若f(x)与g(x)的图像上存在关于直线y＝1对称的点，则实数m的取值范围是________．
[解析]　由题意知f(x)与g(x)的图像上存在关于直线y＝1对称的点，若g(x)＝mx＋1的图像关于直线y＝1对称的图像的解析式为y＝－mx＋1，则直线y＝－mx＋1与y＝2ln
x的图像在上有交点，直线y＝－mx＋1过定点(0，1)，当直线y＝－mx＋1经过点时，得m＝3e，若直线y＝－mx＋1与y＝2ln
x的图像相切，设切点为(x1，y1)，则
解得
∴－≤m≤3e时，直线y＝－mx＋1与y＝2ln
x的图像在上有交点，即f(x)与g(x)的图像上存在关于直线y＝1对称的点，
故实数m的取值范围是[－2e，3e]．
[答案]　[－2e，3e]
[破题技法]　已知根或零点的区间求参数，要根据区间建立不等关系，其关键点为：
(1)构造方程或函数(反解参数)；
(2)利用零点区间，求解函数的值域或不等式；
(3)确定参数范围．
挖掘3　函数零点实际意义/
互动探究
[例3]　如图①是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图像．
(1)试说明图①上点A、B的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，根据图②提出扭亏为赢的建议．
[解析]　(1)A是当x＝0(无乘客)亏损1个单位．
B是当x＝1.5时，y＝0收支持平(为函数的零点)．
(2)由图②知，函数图像向上平移；
函数零点变小，收支持平时，乘客数变小，
其建议可以是票价不变，降低运行成本，
如换新能源车，延长每趟车次发车的时间差等．
[破题技法]　函数的零点即函数图像与x轴交点的横坐标，此时函数值为0，代表一种平衡状态，以此为界，可研究赢亏问题．
PAGE第九节　函数模型及其应用
授课提示：对应学生用书第34页
[基础梳理]
1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质
函数性质　　
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax＜xn＜ax
解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义，以上过程用框图表示如下：
[四基自测]
1．(基础点：指数函数换型)某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为(　　)
A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)
B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)
C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)
D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)
答案：B
2．(基础点：拟合函数模型)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
(　　)
x
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y＝2x　　　　　　　
B．y＝log2x
C．y＝(x2－1)
D．y＝2.61cos
x
答案：B
3．(基础点：分段函数模型)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100
km，票价是0.5元/km，如果超过100
km，超过100
km的部分按
0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________．
答案：y＝
4．(基础点：二次函数模型)有一批材料可以建成200
m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)
答案：2
500
m2
授课提示：对应学生用书第35页
考点一　由函数图像刻画变化过程
挖掘　体会函数中变量的关系/
自主练透
[例]　
(1)(2020·安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)
[解析]　由图形可知，张大爷的行走路线是：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，C符合．
[答案]　C
(2)2018年6月，上海合作组织青岛峰会后，青岛成为国内外旅游的好去处，随着游客的增加，菜价上涨，某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务
Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)
[解析]　由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大．
[答案]　B
[破题技法]　判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
考点二　已知函数模型的实际问题
挖掘　函数模型的应用/
互动探究
[例]　为了贯彻落实习近平总书记提出的“决战决胜脱贫攻坚战”，某地开展了“万名干部下基层”，以实际行动践行初心使命，某工作队结合所驻村的自然条件，帮助村民投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．
(1)求f(50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？
[解析]　(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，∴f(50)＝80＋4＋×150＋120＝277.5(万元)．
(2)f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依题意得?20≤x≤180，
故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．
令t＝，则t∈[2，6]，
y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，
当t＝8，
即x＝128时，f(x)取得最大值，f(x)max＝282.
∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．
[破题技法]　对于已知函数模型解决问题
(1)将题目中已知函数变量转化为实际量理解．
(2)根据实际意义，求自变量x的取值范围(定义域)．
(3)根据函数模型，确定要解决的问题及方法．
(4)回答实际问题．
考点三　构建函数模型的实际问题
挖掘1　构建一次函数、二次函数、分段函数模型/
自主练透
[例1]　(2020·西宁模拟)牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
[解析]　(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)＝－＋.
即当x＝时，y取得最大值.
(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0因为当x＝时，ymax＝，
所以0<＋又因为k>0，所以0挖掘2　构建y＝x＋(a>0)函数模型/
互动探究
[例2]　(2020·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
[解析]　(1)因为每件产品售价为5元，则x万件产品的销售收入为5x万元，依题意得：当0L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3，
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－，所以L(x)＝
(2)当0当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15(万元)．
此时，当且仅当x＝，即x＝10时，L(x)取得最大值15万元．
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
挖掘3　构建指数、对数模型的实际问题/
互动探究
[例3]　候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1
m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
[解析]　(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0
m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3
＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1
m/s，故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2
m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
挖掘4　拟合函数的选择/
互动探究
[例4]　某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)．其中p，q均为常数且q＞1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推x∈[0，5])
(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；
(2)对(1)中所选的函数f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，记g(x)＝，经过多年的统计发现，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？
[解析]　(1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，
故应该选择②f(x)＝px2＋qx＋7.
(2)由f(2)＝11，f(3)＝10解得f(x)＝－x2＋4x＋7.
g(x)＝＝－
＝－.
因为－≤－2，
当且仅当x＋1＝3即x＝2时等号成立．
所以明年拓展外销的时间应为6月1号．
[破题技法]　1.建立函数模型的技巧
(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图像为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图像与性质求解．
(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图像为抛物线(或抛物线的一部分)等，一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图像、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．
2．建立函数模型的步骤
―→―→―→.
PAGE第十节　变化率与导数、导数的运算
授课提示：对应学生用书第37页
[基础梳理]
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义
称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝．
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q
)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．
1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件，要注意这一点，如(xn)′＝nxn－1中，n≠0且n∈Q
.′＝，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．
2．(1)f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.
(2)f′(x)是一个函数，与f′(x0)不同．
3．(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．
[四基自测]
1．(基础点：求导数值)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于(　　)
A．0　　　　　　　　　
B．e
C．2e
D．e2
答案：C
2．(易错点：导数的运算)已知f(x)＝x·ln
x，则f′(x)＝(　　)
A.
B．x＋1
C.＋x
D．ln
x＋1
答案：D
3．(基础点：求切线)函数f(x)＝x3在(0，0)处的切线为(　　)
A．不存在
B．x＝0
C．y＝0
D．y＝x
答案：C
4．(易错点：求切点)曲线y＝ex过点(0，0)的切线的斜率为________．
答案：e
授课提示：对应学生用书第38页
考点一　导数的计算
挖掘1　求导函数值/
自主练透
[例1]　(1)设函数f(x)＝1－ex的图像与x轴交于P点(x0，y0)，则f′(x0)＝________．
[解析]　令1－ex0＝0，∴x0＝0，
而f′(x)＝－ex，∴f′(x0)＝f′(0)＝－e0＝－1.
[答案]　－1
(2)若函数f(x)＝ln
x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________．
[解析]　∵f′(x)＝－2f′(－1)x＋3，
∴f′(－1)＝－1＋2f′(－1)＋3，
解得f′(－1)＝－2，∴f′(1)＝1＋4＋3＝8.
[答案]　8
(3)若f(x)＝sin，则f′＝________．
[解析]　∵f(x)＝sin，
∴f′(x)＝cos，
∴f′＝cos＝－.
[答案]　－
挖掘2　已知导数值求自变量/
互动探究
[例2]　(1)已知函数f(x)＝x(2
020＋ln
x)且f′(x0)＝2
021，则x0＝(　　)
A．e2　　　　　　　　　
B．1
C．ln
2
D．e
[解析]　∵f(x)＝x(2
020＋ln
x)＝2
020x＋xln
x，
∴f′(x)＝2
020＋ln
x＋x·＝2
021＋ln
x，
又f′(x0)＝2
021，∴ln
x0＝0，∴x0＝1.
[答案]　B
(2)已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，若f′(x0)＝0，则x0＝________．
[解析]　∵f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，
∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(ln
x)′＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1.
∴f′(x0)＝－2＋，
∴－2＋＝0，∴x0＝.
[答案]　
[破题技法]　1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
2．求导公式或求导法则中，要注意“＋”“－”的变化，如(cos
x)′＝－sin
x．区分f′(x)与f′(x0)．
3．复合函数的求导，要分清复合的层次．
考点二　导数的几何意义及应用
挖掘1　利用导数几何意义求切点、斜率、
切线/
互动探究
[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若?(x)为奇函数，则曲线y＝?(x)在点(0，0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x　　　　　
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
[解析]　法一：∵?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，
∴?′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又?(x)为奇函数，∴?(－x)＝－?(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，
∴a＝1，∴?′(x)＝3x2＋1，∴?′(0)＝1，
∴曲线y＝?(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
法二：∵?(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，
∴?′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，
∴a＝1，即?′(x)＝3x2＋1，∴?′(0)＝1，
∴曲线y＝?(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.
故选D.
[答案]　D
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．
[解析]　y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，
∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
[答案]　y＝3x
(3)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(Ⅰ)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(Ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)：
①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；
②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2
③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin
x；
④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan
x；
⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln
x.
[解析]　对于①，由y＝x3，得y′＝3x2，则y′|x＝0＝0，直线y＝0是过点P(0，0)的曲线C的切线，又当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y＝0两侧，∴命题①正确；对于②，由y＝(x＋1)2，得y′＝2(x＋1)，则y′|x＝－1＝0，而直线l：x＝－1斜率不存在，在点P(－1，0)处不与曲线C相切，
∴命题②错误；对于③，由y＝sin
x，得y′＝cos
x，则y′|x＝0＝1，直线y＝sin
x是过点P(0，0)的曲线C的切线，又x∈(－，0)时，x＜sin
x，x∈(0，)时，x＞sin
x，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y＝x两侧，∴命题③正确；对于④，由y＝tan
x，得y′＝，则y′|x＝0＝1，直线y＝x是过点P(0，0)的曲线的切线，又x∈(－，0)时，tan
x＜x，x∈(0，)时，tan
x＞x，满足曲线C在P(0，0)附近位于直线y＝x两侧，∴命题④正确；对于⑤，由y＝ln
x，得y′＝，则y′|x＝1＝1，曲线在P(1，0)处的切线为y＝x－1，设g(x)＝x－1－ln
x，得g′(x)＝1－，当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上的极小值也是最小值为g(1)＝0，∴直线y＝x－1恒在曲线y＝ln
x的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误，故答案为①③④.
[答案]　①③④
[破题技法]　求曲线的切线方程，注意已知点是否为切点，其关键点为：
(1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程，为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步：将点P(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
挖掘2　根据导数的几何意义求解析式中的参数/
互动探究
[例2]　(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln
x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1　　　　　
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
[解析]　y′＝aex＋ln
x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又∵切线方程为y＝2x＋b，
∴即a＝e－1，b＝－1.故选D.
[答案]　D
(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________．
[解析]　∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，
∴a＋1＝－2，得a＝－3.
[答案]　－3
(3)若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝(a＞0)存在公共切线，则a的取值范围为(　　)
A．(0，1)
B．(1，]
C．[，2]
D．[，＋∞)
[解析]　易知曲线y＝x2在点(m，m2)处的切线斜率为2m，曲线y＝在点(n，)处的切线的斜率为，故2m＝，由斜率公式得2m＝，即m＝2n－2，则4n－4＝有解，即y＝4x－4，y＝的图像有交点即可，两图像相切时有a＝，所以a≥，故选D.
[答案]　D
[破题技法]　有关切线问题求参数
对于此类问题，首先明确参数存在何处．其关键点为：
(1)利用切点，求f′(x0)，利用斜率建立关系k＝f′(x0)．
(2)利用切点的双重性，既在切线上又在曲线上建立关系．
(3)联立方程组求解．
PAGE第十一节　导数在研究函数中的应用
第一课时　导数与函数的单调性
授课提示：对应学生用书第41页
[基础梳理]
函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导：
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
导数与函数单调性的关系
(1)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；
(2)若f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件．
[四基自测]
1．(易错点：混淆f(x)的图像)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图像，则下列判断中正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(－3，0)上是减函数
B．函数f(x)在区间(－3，2)上是减函数
C．函数f(x)在区间(0，2)上是减函数
D．函数f(x)在区间(－3，2)上是单调函数
答案：A
2．(易错点：忽视定义域)函数f(x)＝x－ln
x的单调递减区间为(　　)
A．(0，1)　　　　　　　　
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
答案：A
3．(基础点：求单调区间)函数f(x)＝cos
x＋xsin
x，x∈(0，π)的递增区间为________．
答案：(0，)
4．(基础点：导数的应用)函数f(x)＝x3＋ax在R上为增函数，则a的取值范围为________．
答案：[0，＋∞)
授课提示：对应学生用书第41页
考点一　用导数讨论函数的单调性，求单调区间
挖掘1　用导数判断简单函数的单调性/
自主练透
[例1]　(1)(2020·邯郸模拟)已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln
x，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A．(0，)和(1，＋∞)　　　
B．(0，1)和(2，＋∞)
C．(0，)和(2，＋∞)
D．(1，2)
[解析]　函数f(x)＝x2－5x＋2ln
x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函数f(x)的单调递增区间是(0，)和(2，＋∞)．
[答案]　C
(2)设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
[解析]　∵f(x)＝x(ex－1)－x2，
∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0.
当x∈[－1，0]时，f′(x)≤0.
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减．
[答案]　(－∞，－1)，(0，＋∞)　[－1，0]
[破题技法]　根据导数与函数单调性的关系，通过导函数f′(x)的零点得到函数的单调区间，破解此类题的关键点：
(1)求定义域，利用使函数有意义的条件求解函数的定义域；
(2)求导数，根据基本初等函数的导数以及求导法则求出函数f(x)的导函数f′(x)；
(3)讨论导函数的符号，不等式f′(x)>0的解集就是函数f(x)的单调递增区间，不等式f′(x)<0的解集就是函数f(x)的单调递减区间．
挖掘2　讨论含参数的函数的单调性/
互动探究
[例2]　(1)(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b，讨论f(x)的单调性；
[解析]　f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)(2018·高考全国卷Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋aln
x，讨论f(x)的单调性．
[解析]　?(x)的定义域为(0，＋∞)，
?′(x)＝－－1＋＝－.
①若a≤2，则?′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，
?′(x)＝0，
所以?(x)在(0，＋∞)上单调递减．
②若a＞2，令?′(x)＝0，得
x＝或x＝.
当x∈∪时，
?′(x)＜0；
当x∈时，
?′(x)＞0.
所以?(x)在，上单调递减，在上单调递增．
[破题技法]　对于含参数的函数的单调性要注意对参数的讨论．
考点二　导数在函数单调性中的应用
挖掘1　导数与解函数不等式、比较大小/
互动探究
[例1]　(1)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，若对于任意实数x，有f(x)－f′(x)＞0，则(　　)
A．ef(2
018)＞f(2
019)
B．ef(2
018)＜f(2
019)
C．ef(2
018)＝f(2
019)
D．ef(2
018)与f(2
019)大小不能确定
[解析]　令g(x)＝，则g′(x)＝＝，因为f(x)－f′(x)＞0，所以g′(x)＜0，所以函数g(x)在R上单调递减，所以g(2
018)＞g(2
019)，即＞，所以ef(2
018)＞f(2
019)，故选A.
[答案]　A
(2)定义在R上的连续函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝x2，且x＜0时，f′(x)＜x恒成立，则不等式f(x)－f(1－x)≥x－的解集为(　　)
A.　　　　
B.
C.
D．(－∞，0)
[解析]　令g(x)＝f(x)－x2，
则g(x)＋g(－x)＝0?g(x)为奇函数，又x＜0时，g′(x)＝f′(x)－x＜0?g(x)在(－∞，0)上递减，则g(x)在(－∞，＋∞)上递减，
由f(x)－f(1－x)≥x－知f(x)－x2≥f(1－x)－(1－x)2，
即g(x)≥g(1－x)，从而x≤1－x?x≤，所以所求不等式的解集为.故选A.
[答案]　A
[破题技法]　1.含有“f′(x)”的不等关系，其隐含条件是挖掘某函数的单调性，通过对不等关系变形，发现函数．
2．常见的构造函数思路
(1)已知f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)型：联想构造函数F(x)＝f(x)g(x)．
(2)已知“f′(x)g(x)－f(x)g′(x)”型：联想构造函数F(x)＝.
(3)已知“f(x)＋f′(x)”型：联想构造函数F(x)＝exf(x)．
(4)已知“f′(x)ln
x＋”型：联想构造函数F(x)＝f(x)ln
x.
挖掘2　已知函数单调性求参数/
互动探究
[例2]　设函数f(x)＝ex－ax2，若f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围．
[解析]　∵f(x)＝ex－ax2，x∈(0，＋∞)，
∴f′(x)＝ex－2ax.
要使f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则f′(x)＝ex－2ax≥0恒成立，
即a≤在(0，＋∞)恒成立．
设h(x)＝，∴h′(x)＝，
∴x∈(0，1)时，h′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，
∴h(x)在(0，1)为减，在(1，＋∞)为增，
∴h(x)min＝h(1)＝，
∴a≤.
[破题技法]　由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．
1．已知函数f(x)＝2cos
x·(m－sin
x)－3x在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－1，1]　　　　　
B．[－1，]
C．[－，]
D．(－，)
解析：因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f′(x)＝－2msin
x＋4sin2x－5≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
令sin
x＝t(－1≤t≤1)，则g(t)＝4t2－2mt－5≤0在[－1，1]上恒成立，所以解得－≤m≤.故选C.
答案：C
2．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
(3)若f(x)在区间(－1，1)上单调递减，试求a的取值范围．
解析：(1)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．
(2)因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．
(3)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，得a≥3x2在(－1，1)上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3，即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1，1)上单调递减．
PAGE第二课时　导数与函数的极值、最值
授课提示：对应学生用书第43页
[基础梳理]
1．函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点：
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点：
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫作函数的极大值点，f(b)叫作函数的极大值．
2．函数的最值与导数的关系
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．注意两种条件
(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．
(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．分清极值与最值的关系
(1)极值与最值的关系：极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．
(2)若函数f(x)的图像连续，则f(x)在[a，b]内一定有最值．
(3)若函数f(x)在[a，b]内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
(4)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．
[四基自测]
1．(基础点：极值与导数的关系)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)
A．1个　　　　　　　
B．2个
C．3个
D．4个
答案：A
2．(基础点：闭区间上的函数的最值)函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是(　　)
A．－
B．－
C．－4
D．－
答案：A
3．(易错点：极小值点)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________．
答案：2
4．(基础点：极值与最值关系)函数y＝xex的最小值是________．
答案：－
授课提示：对应学生用书第43页
考点一　求函数的极值或极值点
挖掘　极值的存在性问题/互动探究
[例]　(2019·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln
x－x－1.证明：
(1)f(x)存在唯一的极值点；
(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[证明]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝＋ln
x－1＝ln
x－.
因为y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln
2－＝>0，
故存在唯一x0∈(1，2)，使得f′(x0)＝0.
又当x当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
因此，f(x)存在唯一的极值点．
(2)由(1)知f(x0)0，
所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.
由α>x0>1得<1又f＝ln－－1＝＝0，
故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．
综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
[破题技法]　1.利用导数研究函数极值的一般步骤
(1)确定函数定义域；
(2)求导数f′(x)及f′(x)＝0的根；
(3)根据方程f′(x)＝0的根将函数定义域分成若干区间，列出表格，检查导函数f′(x)零点左右f′(x)的值的符号，如果左正右负，那么y＝f(x)在这个根处取极大值，如果左负右正，那么y＝f(x)在这个根处取极小值．如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．
2．判断极值点的个数
首先确定导数的零点的个数，再根据极值的定义，确定零点是否为极值点．
已知函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cos
x－sin
x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
解析：(1)由题意f′(x)＝x2－ax，
所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，
所以f′(3)＝3，
因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cos
x－sin
x，
所以g′(x)＝f′(x)＋cos
x－(x－a)sin
x－cos
x
＝x(x－a)－(x－a)sin
x
＝(x－a)(x－sin
x)，
令h(x)＝x－sin
x，
则h′(x)＝1－cos
x≥0，
所以h(x)在R上单调递增．
因为h(0)＝0，
所以当x＞0时，h(x)＞0；
当x＜0时，h(x)＜0.
①当a＜0时，g′(x)与g(x)的函数关系为
x
(－∞，a)
a
(a，0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
极大
?
极小
?
所以当x＝a时，g(x)有极大值为g(a)＝－a3－sin
a.
当x＝0时，g(x)有极小值g(0)＝－a.
②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin
x)．
当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值．
③当a＞0时，g′(x)与g(x)的函数关系为：
x
(－∞，0)
0
(0，a)
a
(a，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
极大
?
极小
?
所以当x＝0时g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；
当x＝a时g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－a3－sin
a.
综上所述，
当a＜0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－a3－sin
a，极小值是g(0)＝－a；
当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；
当a＞0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a3－sin
a.
考点二　利用导数求函数的最值问题
挖掘　含参数的函数的最值/
互动探究
[例]　(2019·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0[解析]　(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减；
若a＝0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递增；
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)当0于是m＝－＋2，M＝
所以M－m＝
当0所以M－m的取值范围是.
当2≤a<3时，单调递增，
所以M－m的取值范围是.
综上，M－m的取值范围是.
[破题技法]　1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若f(x)在(a，b)内只有一个极值，则该极值为最值．
设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2(k∈R)．
(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k＝1时，求f(x)在[0，2]上的最值．
解析：(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，
f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．
由f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝ln
2＞0.
由f′(x)＞0，得x＜0或x＞ln
2.
由f′(x)＜0，得0＜x＜ln
2.
所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)和(ln
2，＋∞)，
单调减区间为(0，ln
2)．
(2)由(1)可知x＝0和x＝ln
2是f(x)的极值点，
且0∈[0，2]，ln
2∈[0，2]，
f(0)＝－1，f(ln
2)＝(ln
2－1)·eln
2－(ln
2)2＝2(ln
2－1)－(ln
2)2，
由(1)可知f(0)＝f(1)＝－1，
在(ln
2，＋∞)上f(x)为增函数，
∴f(2)＞f(1)＞f(ln
2)，
∴f(x)的最大值为f(2)＝e2－4.
f(x)的最小值为f(ln
2)＝2ln
2－2－(ln
2)2.
考点三　利用极值、最值求参数
挖掘　已知最值求参数/
互动探究
[例]　(2019·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．
[解析]　(1)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减．
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)<0.
故f(x)在，(0，＋∞)单调递增，在单调递减．
(2)满足题设条件的a，b存在．
①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递增，所以f(x)在区间[0，1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1.
②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0，1]单调递减，所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b.此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝4，b＝1.
③当0＜a＜3时，由(1)知，f(x)在[0，1]的最小值为f＝－＋b，最大值为b或2－a＋b.
若－＋b＝－1，b＝1，则a＝3，与0＜a＜3矛盾．
若－＋b＝－1，2－a＋b＝1，则a＝3或a＝－3或a＝0，与0＜a＜3矛盾．
综上，当a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1时，f(x)在[0，1]的最小值为－1，最大值为1.
[破题技法]　1.已知函数极值点x0，求解析式中的参数，常利用f′(x0)＝0列方程求参数，求出参数后还要检验所求参数值是否满足x0的极值点特征．
2．函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在极值点，则转化为函数y＝f′(x)在区间(a，b)内存在变号零点．
3．若已知最值时，需清楚最值何时取到．
已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝xf(x)－ax＋1，若g(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求实数a的取值范围．
解析：(1)f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以f′(x)＝.
当f′(x)＝0时，x＝1.
f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
(0，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
－
0
＋
f(x)
?
?
极小值
?
故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)．
(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)，
所以g′(x)＝ex－a，
当a≤1时，g′(x)＝ex－a＞0，
即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点．
当a＞1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln
a；
令g′(x)＝ex－a＞0，得x∈(ln
a，＋∞)；
令g′(x)＝ex－a＜0，得x∈(0，ln
a)．
故g(x)在(0，ln
a)上递减，在(ln
a，＋∞)上递增，
所以g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，
且极小值点为x＝ln
a.
故实数a的取值范围是a＞1.
PAGE第十二节　导数的综合应用
授课提示：对应学生用书第45页
[基础梳理]
1．利用导数证明不等式
若证明f(x)2．利用导数解决不等式的恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3．利用导数研究函数的零点
用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决．
1．研究函数图像的交点、方程的根、函数的零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等．
2．给出了具体的函数关系式，只需研究这个函数的性质即可．
3．函数关系式中含有比例系数，根据已知数据求出比例系数得到函数关系式，再研究函数的性质．
4．没有给出函数关系，需要先建立函数关系，再研究函数的性质．
第一课时　导数与不等式问题
授课提示：对应学生用书第45页
考点一　不等式证明
[例]　(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数?(x)＝aex－ln
x－1.
(1)设x＝2是?(x)的极值点，求a，并求?(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，?(x)≥0.
[解析]　(1)?(x)的定义域为(0，＋∞)，?′(x)＝aex－.
由题设知，?′(2)＝0，所以a＝.
从而?(x)＝ex－ln
x－1，?′(x)＝ex－.当0＜x＜2时，?′(x)＜0；当x＞2时，?′(x)＞0.
所以?(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a≥时，?(x)≥－ln
x－1.设g(x)＝－ln
x－1，则g′(x)＝－.当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞0.
所以x＝1是g(x)的最小值点．
故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，?(x)≥0.
[破题技法]　利用导数证明不等式f(x)＞g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min＞g(x)max；
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)＞0.
设函数f(x)＝，求证f(x)＜.
证明：f(x)＝(x＞0)，
∴f′(x)＝.
令f′(x)＝0，即1－2ln
x＝0，∴x＝e.
x∈(0，e)，f′(x)＞0，x∈(e，＋∞)，f′(x)＜0，
∴f(x)在(0，e)上为增函数，在(e，＋∞)为减函数，
∴f(x)max＝f(e)＝，
∴f(x)≤＜.
考点二　不等式恒成立问题
[例]　已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)．
(1)若a＝1，求函数f(x)的图像在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若当x＞0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
[解析]　(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)，f′(x)＝xex＋ex－4，
当x＝0时，f(0)＝2，f′(0)＝－3，
所以所求切线方程为y＝－3x＋2.
(2)法一：f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)，f′(x)＝a(x＋1)ex－2(a＋1)，
由条件可得，f(1)≥0，解得a≥＞0，
令h(x)＝f′(x)＝a(x＋1)ex－2(a＋1)，
则h′(x)＝a(x＋2)ex，当x＞0时，h′(x)＞0，所以h(x)＝f′(x)单调递增，
而f′(0)＝－2－a＜0，f′(1)＝2ea－2a－2≥0，所以方程f′(x)＝0存在唯一根x0，x0∈(0，1]，使得函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f(x0)＝ax0ex0－(a＋1)(2x0－1)，当x＞0时，要使f(x)≥0恒成立，只需f(x0)≥0即可，
又x0满足ex0＝，
得f(x0)＝eq
\f(（a＋1）（－2x＋x0＋1）,x0＋1)，
因为x0∈(0，1]，所以－2x＋x0＋1≥0，所以f(x0)≥0，所以f(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
所以实数a的取值范围为[，＋∞)．
法二：由条件可得，f(1)≥0，解得a≥＞0，
当x＞0时，f(x)≥0恒成立，等价于xex≥(2x－1)对任意的x＞0恒成立，等价于当x＞0时，函数y1＝xex的图像总不在直线y2＝(2x－1)的下方．
令Q(x)＝xex(x＞0)，则Q′(x)＝(x＋1)·ex＞0，所以Q(x)＝xex(x＞0)单调递增；
令P(x)＝Q′(x)＝(x＋1)ex(x＞0)，则P′(x)＝(x＋2)ex＞0，
所以P(x)＝(x＋1)ex(x＞0)单调递增，所以Q(x)＝xex(x＞0)为凹函数，
又y2＝(2x－1)是过定点(，0)的直线系，当直线与曲线相切时，可设切点为T(x0，y0)(x0＞0)，
则
即
解得x0＝1，此时切线的斜率为Q′(1)＝2e，
则当x＞0时，要使f(x)≥0恒成立，只需≤2e即可，解得a≥.
故a的取值范围是[，＋∞)．
[破题技法]　不等式恒成立问题的求解策略
(1)已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法，其一般步骤如下：
(2)如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a＞0，Δ＜0或a＜0，Δ＜0)求解．
(3)不等式存在性问题的求解策略
“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．
已知函数f(x)＝(x≠0)．
(1)判断函数f(x)在区间上的单调性；
(2)若f(x)＜a在区间上恒成立，求实数a的最小值．
解析：(1)f′(x)＝，
令g(x)＝xcos
x－sin
x，x∈，
则g′(x)＝－xsin
x，
显然，当x∈时，
g′(x)＝－xsin
x＜0.
即函数g(x)在区间上单调递减，且g(0)＝0，
从而g(x)在区间上恒小于零，所以f′(x)在区间上恒小于零，所以函数f(x)在区间上单调递减．
(2)不等式f(x)＜a，x∈恒成立，即sin
x－ax＜0恒成立．
令φ(x)＝sin
x－ax，x∈，
则φ′(x)＝cos
x－a，且φ(0)＝0.
当a≥1时，在区间上φ′(x)＜0，即函数φ(x)单调递减，
所以φ(x)＜φ(0)＝0，
即sin
x－ax＜0恒成立，
当0＜a＜1时，φ′(x)＝cos
x－a＝0在区间上存在唯一解x0，
当x∈(0，x0)时，φ′(x)＞0，
故φ(x)在区间(0，x0)上单调递增，且φ(0)＝0，
从而φ(x)在区间(0，x0)上大于零，这与sin
x－ax＜0恒成立相矛盾，
当a≤0时，在区间上φ′(x)＞0，
即函数φ(x)单调递增，且φ(0)＝0，得sin
x－ax＞0恒成立，这与sin
x－ax＜0恒成立相矛盾．
故实数a的最小值为1.
考点三　不等式存在性问题
[例]　设函数f(x)＝aln
x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
(1)求b；
(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．
[解析]　(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b，
由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.
(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝aln
x＋x2－x，
f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)．
①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<成立的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1②若1，
故当x∈时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，
f(x)在上单调递减，在上单调递增．
所以，存在x0≥1，使得f(x0)<成立的充要条件为f<.
而f＝aln＋＋>，所以不合题意．
③若a>1，则f(1)＝－1＝<.
综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)．
[破题技法]　不等式存在性问题，也是转化为函数最值问题，其关键点为：
(1)存在x使f(x)≥a成立?f(x)max≥a.
(2)存在x使f(x)≤b成立?f(x)min≤b.
(3)任意x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)min>g(x2)min.
(4)存在x1∈M，存在x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)max>g(x2)min.
(5)存在x1∈M，任意x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x1)max>g(x2)max.
已知函数f(x)＝ln
x＋－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设m∈R，对任意的a∈(－1，1)，总存在x0∈[1，e]，使得不等式ma－f(x0)＜0成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝－＝，x＞0.
令f′(x)＞0，得x＞1，因此函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．
令f′(x)＜0，得0＜x＜1，因此函数f(x)的单调递减区间是(0，1)．
(2)依题意，ma＜f(x)max.由(1)知，f(x)在x∈[1，e]上是增函数．
所以f(x)max＝f(e)＝ln
e＋－1＝.
所以ma＜，即ma－＜0对于任意的a∈(－1，1)恒成立．
所以解得－≤m≤.
所以m的取值范围是.
PAGE第二课时　导数与函数的零点问题
授课提示：对应学生用书第47页
考点一　利用导数判断函数的零点个数或区间
[例]　已知函数f(x)＝1＋x－＋－＋…＋，g(x)＝1－x＋－＋－…－，设函数F(x)＝f(x＋2)·g(x－3)，且函数F(x)的零点均在区间[a，b](a＜b，a，b∈Z)内，求b－a的最小值．
[解析]　f′(x)＝1－x＋x2－x3＋…＋x2
018＝＞0，
所以f(x)在[a，b](a＜b，a，b∈Z)上为增函数，至多有一个零点．
f(－1)＝1＋(－1)－＋－…＋＝－－－…－＜0，
f(0)＝1＞0，所以f(x)的零点x满足－1＜x＜0，所以f(x＋2)的零点x1满足－1＜x1＋2＜0，则－3＜x1＜－2.
g′(x)＝－1＋x－x2＋x3－…－x2
018＝－＜0，
所以g(x)在[a，b](a＜b，a，b∈Z)上为减函数，至多有一个零点．
g(1)＝1－1＋－＋…＋－＞0，g(2)＜0，
所以g(x)的零点x满足1＜x＜2，所以g(x－3)的零点x2满足1＜x2－3＜2，所以4＜x2＜5，
故b－a的最小值为5－(－3)＝8.
[破题技法]　判断函数零点个数的方法
(1)直接解方程法，令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；(2)利用零点的存在性定理，定理的使用前提不仅要求函数图像在区间[a，b]上是连接不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还要注意结合函数的图像与性质才能确定函数有多少个零点；(3)数形结合法，将原问题转化为两个函数图像的交点个数问题．
(2019·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin
x－xcos
x－x，f′(x)为f(x)的导数．
(1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点；
(2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．
解析：(1)证明：设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos
x＋xsin
x－1，g′(x)＝xcos
x.
当x∈时，g′(x)>0；当x∈时，g′(x)<0，
所以g(x)在上单调递增，在上单调递减．
又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2，
故g(x)在(0，π)存在唯一零点．
所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．
(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.
由(1)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．
又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)≥0.
又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0，故f(x)≥ax.
因此，a的取值范围是(－∞，0]．
考点二　由函数零点或方程的根求参数问题
[例]　已知函数f(x)＝ln
x－kx＋1(k为常数)，若f(x)有且只有一个零点，求k的取值组成的集合．
[解析]　易知f′(x)＝(x＞0)．
①k≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
而f(ek－2)＝k－2－k·ek－2＋1＝k(1－ek－2)－1≤－1＜0，f(1)＝1－k＞0，故f(x)在(ek－2，1)上存在唯一零点，满足题意．
②k＞0时，令f′(x)＞0，得x＜，则f(x)在(0，)上单调递增；令f′(x)＜0，得x＞，则f(x)在(，＋∞)上单调递减．
若f()＝0，即k＝1，显然满足题意．
若f()＞0，即0＜k＜1，而f()＝＜0，又f()＝2ln－＋1＝2(ln－)＋1，令h(x)＝ln
x－x＋1(x＞0)，则h′(x)＝，令h′(x)＞0，得x＜1，故h(x)在(0，1)上单调递增；令h′(x)＜0，得x＞1，故h(x)在(1，＋∞)上单调递减．故有h(x)≤h(1)＝0，则h()＝ln
－＋1＜0，
即ln
－＜－1.
则f()＝2(ln
－)＋1＜－1＜0，故f(x)在(，)上有唯一零点，在(，)上有唯一零点，不符合题意．
易知f()＜0时不符合题意．
综上，k的取值组成的集合是{k|k≤0或k＝1}．
[破题技法]　已知函数(方程)零点的个数求参数的取值范围
(1)函数在定义域上单调，满足零点存在性定理．
(2)若函数不是严格单调函数，则结合图像求最小值或最大值．
(3)分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图像交点的个数．
若函数f(x)＝ax－x2(a＞1)有三个不同的零点，求实数a的取值范围．
解析：令f(x)＝ax－x2＝0，可得ax＝x2.
(1)当x＜0时，函数y＝ax与y＝x2的图像有一个交点；
(2)当x＞0时，两边同时取自然对数得xln
a＝2ln
x，
即ln
a＝，
由题意得函数y＝ln
a与g(x)＝的图像在(0，＋∞)上有两个不同的交点，g′(x)＝，令g′(x)＞0，解得0＜x＜e，则g(x)在(0，e)上单调递增，令g′(x)＜0，解得x＞e，则g(x)在(e，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(e)＝，ln
a＜，
∴1＜a＜e时有两个交点；
又x＜0时，必有一个交点，
∴1＜a＜e时，函数f(x)＝ax－x2(a＞1)有三个不同的零点．
考点三　零点双变量问题
[例]　已知f(x)＝ex－ax有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则下列不等关系正确的是(　　)
A．a＜e　　　　
B．x1＋x2＞2
C．x1·x2＞1
D．有极小值点x0且x1＋x2＞2x0
[解析]　①对于选项A，
(分离参数)若a＝0，不符合题意，故a≠0，令f(x)＝0，得＝.
设g(x)＝，则g′(x)＝(1－x)e－x，进而可得g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，所以g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝.由此可画出直线y＝与曲线y＝g(x)，如图所示，由图知，0＜＜，所以a＞e，故选项A错误．
②对于选项B，
(分离参数＋构造函数)由①可得g(x)在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，由g(x1)＝g(x2)及图可得0＜x1＜1＜x2，所以2－x2＜1.欲证x1＋x2＞2，即证x1＞2－x2.因为函数g(x)在(－∞，1)上是增函数，所以即证g(x1)＞g(2－x2)．
又g(x1)＝g(x2)，所以即证g(x2)＞g(2－x2)，即g(x2)－g(2－x2)＞0(x2＞1)．
设F(x)＝g(x)－g(2－x)＝－(x＞1)，
可得F′(x)＝(x－1)(ex－2－e－x)＞0(x＞1)．
所以函数F(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以F(x)＞F(1)＝0(x＞1)．
所以g(x2)＞g(2－x2)(x2＞1)，所以x1＋x2＞2，故选项B正确．
[答案]　B
[破题技法]　求解零点双变量问题的常用策略：一是构造新函数；二是将原问题转化为极值点或拐点偏移问题．
设函数f(x)＝ex＋sin
x，g(x)＝x.若存在x1，x2∈[0，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)成立，则x2－x1的最小值是________．
解析：设x2－x1＝t，由f(x1)＝g(x2)得x2＝2(ex1＋sin
x1)＝x1＋t，所以t＝2(ex1＋sin
x1)－x1，
所以x2－x1的最小值即函数F(x)＝2(ex＋sin
x)－x在[0，＋∞)上的最小值．
因为F′(x)＝2ex＋2cos
x－1(x≥0)，所以令φ(x)＝2ex＋2cos
x－1(x≥0)，
则φ′(x)＝2(ex－sin
x)＞0，所以函数F′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
从而F′(x)≥F′(0)＝2＋2－1＝3＞0，所以F(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以F(x)≥F(0)＝2，故x2－x1的最小值为2.
答案：2
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