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第三章
三角函数、解三角形
第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数
授课提示：对应学生用书第50页
[基础梳理]
1．任意角的概念
(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．
①正角：按逆时针方向旋转形成的角；
②负角：按顺时针方向旋转形成的角；
③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
2．弧度与角度的互化
(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．
(2)角α的弧度数公式：|α|＝．
(3)角度与弧度的换算：
360°＝2π
rad，1°＝
rad，1
rad＝()°≈57°18′.
(4)扇形的弧长及面积公式：
弧长公式：l＝α·r．
面积公式：S＝l·r＝α·r2.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．
4．终边相同的角的三角函数
sin(α＋k·2π)＝sin__α，
cos(α＋k·2π)＝cos__α，
tan(α＋k·2π)＝tan__α(其中k∈Z)，
即终边相同的角的同一三角函数的值相等．
1．一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．两个关注点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．
3．三角函数定义的推广
设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝.
4．四种角的终边关系
(1)β，α终边相同?β＝α＋2kπ，k∈Z.
(2)β，α终边关于x轴对称?β＝－α＋2kπ，k∈Z.
(3)β，α终边关于y轴对称?β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
(4)β，α终边关于原点对称?β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
[四基自测]
1．(基础点：弧长公式)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　)
A．10π　　　　　　　　　
B．9π
C.
D．
答案：D
2．(易错点：终边相同的角的概念)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ－45°(k∈Z)　　　
B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
答案：C
3．(基础点：象限符号)若角θ满足tan
θ＞0，sin
θ＜0，则角θ所在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：C
4．(基础点：三角函数定义)已知角α的终边过点(－4，3)，则cos
α＋sin
α＝________．
答案：－
授课提示：对应学生用书第51页
考点一　终边相同的角及象限角
挖掘1　求写终边相同的角或区域角/
自主练透
[例1]　(1)(2020·福州模拟)与－2
010°终边相同的最小正角是________．
[解析]　因为－2
010°＝(－6)×360°＋150°，
所以150°与－2
010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2
010°终边相同，故与－2
010°终边相同的最小正角是150°.
[答案]　150°
(2)用角的集合表示下面各区域角(阴影部分)．
[解析]　①射线y＝x表示α＝的终边，y轴上半轴表示β＝的终边，其区域角为{α|2kπ＋≤α≤＋2kπ，k∈Z}．
②x轴正半轴表示α＝0的终边，其区域角为
{α|kπ≤α≤kπ＋，k∈Z}．
③{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}．
④{α|－＋kπ≤α≤kπ＋，k∈Z}．
[破题技法]　1.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．
2．表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．
(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
挖掘2　已知角α的象限，求分角的象限/
自主练透
[例2]　已知sin
α＞0，cos
α＜0，则α所在的象限是(　　)
A．第一象限　　　　　　
B．第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
[解析]　因为sin
α＞0，cos
α＜0，所以α为第二象限角，即＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，则＋kπ＜α＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α为第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角，故选C.
[答案]　C
[破题技法]　象限角的两种判断方法
(1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
[拓展]　求或nθ(n∈N＋)所在象限的方法
(1)将θ的范围用不等式(含有k)表示．
(2)两边同除以n或乘以n.
(3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N＋)所在的象限．
考点二　扇形弧长、面积公式的应用
挖掘　求扇形的弧长、面积、圆心角、半径/
自主练透
[例]　(1)(2020·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为(　　)
A．120平方步　　　　　　　
B．240平方步
C．360平方步
D．480平方步
[解析]　由题意可得：S＝×8×30＝120(平方步)．
[答案]　A
(2)(2020·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2
B．sin
2
C.
D．2
sin
1
[解析]　如图：∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交弧AB于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1，
在Rt△AOC中，AO＝＝，
即r＝，从而弧AB的长为l＝α·r＝.
[答案]　C
(3)(2020·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
[解析]　设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为R，因此该圆心角的弧度数是α＝＝＝.
[答案]　
(4)若扇形的周长为20，当扇形所在圆的半径为________时，
扇形面积最大，最大值为________．
[解析]　由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，
故S扇＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25.
[答案]　5　25
[破题技法]　应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考点三　三角函数的定义
挖掘1　用三角函数的定义求值/
互动探究
[例1]　(1)(2020·大同模拟)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos
α＝－，则x的值为________．
[解析]　∵cos
α＝＝＝－，
∴解得x＝.
[答案]　
(2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin
α＋的值为________．
[解析]　设α终边上任一点为P(k，－3k)，
则r＝＝|k|.
当k＞0时，r＝k，
∴sin
α＝＝－，
＝＝，
∴10sin
α＋＝－3＋3＝0；
当k＜0时，r＝－k，
∴sin
α＝＝，
＝＝－，
∴10sin
α＋＝3－3＝0.
[答案]　0
[破题技法]　1.利用角α终边上一点的坐标求三角函数值，由于点P象限不定，故讨论象限位置．
2．已知角α的终边求三角函数值，其关键点为：
(1)已知角α终边上点P的坐标
①求P到原点的距离．
②利用三角函数定义求解．
(2)已知角α终边所在的直线方程
①根据象限位置，设出α的终边上点P的坐标．
②利用三角函数定义求解．
挖掘2　三角函数值符号的判断/
自主练透
[例2]　(1)(2020·怀化模拟)sin
2·cos
3·tan
4的值(　　)
A．小于0　　　　　　
　　
B．大于0
C．等于0
D．不存在
[解析]　∵<2<3<π<4<π.
∴sin
2>0，cos
3<0，tan
4>0.
∴sin
2·cos
3·tan
4<0.
[答案]　A
(2)已知点P(cos
α，tan
α)在第三象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析]　由题意可得则所以角α的终边在第二象限，故选B.
[答案]　B
[破题技法]　判断三角函数值符号的关键点
(1)确定α的终边所在的象限位置．
(2)根据α终边上P的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横纵坐标同号，正切值为正；异号正切值为负．
考点四　三角函数线的应用
[例]　(1)(2020·石家庄模拟)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sin
α，cos
α，tan
α的大小是(　　)
A．sin
ααα　　
B．cos
ααα
C．sin
ααα
D．tan
ααα
[解析]　如图所示，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可得，AT>OM>MP，故有sin
ααα.
[答案]　C
(2)(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tan
α＜cos
α＜sin
α，则P所在的圆弧是(　　)
A.
B.
C.
D．
[解析]　由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，
在上，tan
α＞sin
α，不满足；
在上，tan
α＞sin
α，不满足；
在上，sin
α＞0，cos
α＜0，tan
α＜0，且cos
α＞tan
α，满足；在上，tan
α＞0，sin
α＜0，cos
α＜0，不满足．
[答案]　C
(3)y＝
的定义域为________．
[解析]　∵sin
x≥，作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为
.
[答案]　
[破题技法]　1.利用三角函数线可求特殊角的三角函数值
如sin
0＝MP＝0，cos
0＝OM＝1，tan
0＝0.
sin＝MP＝1，cos＝OM＝0.
sin
π＝MP＝0，cos
π＝OM＝－1.
2．判断三角函数值符号
如：若α在第一象限，sin
α＝MP与y轴方向一致，为正；cos
α＝OM与x轴方向一致，为正；
若α在第二象限，sin
α＝MP与y轴方向一致，为正；
cos
α＝OM与x轴方向相反，为负．
3．研究三角函数定义域
如sin
α，cos
α不论α终边在何处，MP、OM都有意义，故α∈R；
而tan
α，当α＝±时，作不出正切线，故α≠＋kπ(k∈Z)．
若α∈(0，)，tan
α、sin
α及α的大小如何？
答案：tan
α＞α＞sin
α
PAGE第二节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
授课提示：对应学生用书第53页
[基础梳理]
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．
(2)商数关系：＝tan__x．
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin
α
－sin
α
－sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
余弦
cos
α
－cos
α
cos
α
－cos
α
sin
α
－sin
α
正切
tan
α
tan
α
－tan
α
－tan
α
1．“一个口诀”
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．
2．两个注意
(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．
(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k是奇数或偶数进行讨论．
3．两个推广
tan(－α)＝，tan(＋α)＝－.
[四基自测]
1．(基础点：同角关系)已知sin
α＝，≤α≤π，则tan
α＝(　　)
A．－2　　　　　　
B．2
C.
D．－
答案：D
2．(基础点：诱导公式)sin
210°cos
120°的值为(　　)
A.　　　　　　
B．－
C．－
D．
答案：A
3．(基础点：诱导公式)tan
225°＝________．
答案：1
授课提示：对应学生用书第54页
考点一　同角三角函数关系的应用
挖掘1　公式的直接应用/
自主练透
[例1]　(1)(2020·济南质检)若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α＝(　　)
A.　　　　　　　　
B．－
C.
D．－
[解析]　cos
α＝＝，
∴tan
α＝＝－.
[答案]　D
(2)已知cos
α＝k，k∈R，α∈，则sin
α＝(　　)
A．－
B．
C．±
D．
[解析]　由cos
α＝k，k∈R，α∈，可知k＜0，设角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，OP＝1，所以＝1，得y＝，由三角函数定义可知sin
α＝.
[答案]　B
在本例(1)中，如果只知sin
α＝－，则tan
α＝________．
答案：±
挖掘2　关于sin
α、cos
α的齐次式问题/互动探究
[例2]　(1)(2020·平顶山联考)
已知＝5，则cos2α＋sin
2α＝(　　)
A.
B．－
C．－3
D．3
[解析]　由＝5知tan
α＝2，
∴cos2
α＋sin
2α＝＝＝.
[答案]　A
(2)已知tan
α＝－，求2sin2α＋sin
αcos
α－3cos2α的值．
[解析]　∵sin2α＋cos2α＝1，cos
α≠0，
∴原式＝＝
＝＝－.
挖掘3　“sin
α±cos
α”“sin
αcos
α”及“1”之间的转化/自主练透
[例3]　(1)已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈，则sin
θ－cos
θ的值为(　　)
A.　　　　　　　　
B．－
C.
D．－
[解析]　因为(sin
θ＋cos
θ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sin
θ·cos
θ＝1＋2sin
θcos
θ＝，所以2sin
θcos
θ＝，则(sin
θ－cos
θ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sin
θ·cos
θ＝1－2sin
θcos
θ＝.
又因为θ∈，所以sin
θθ，即sin
θ－cos
θ<0，
所以sin
θ－cos
θ＝－.
[答案]　B
(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．
[解析]　因为sin
1°＝cos
89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝44.
[答案]　44
(3)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝________．
[解析]　∵sin
α＋cos
β＝1，①
cos
α＋sin
β＝0，②
∴①2＋②2得1＋2(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＋1＝1.
∴sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
[答案]　－
[破题技法]　同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan
θ＝化成正弦、余弦，或者利用公式＝tan
θ化成正切
表达式中含有sin
θ，cos
θ与tan
θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝(sin
θ±cos
θ)2?2sin
θcos
θ
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用(sin
θ±cos
θ)2＝1±2sin
θcos
θ的关系进行变形、转化
表达式中含有sin
θ±cos
θ或sin
θcos
θ
次幂升降
(1)对于含有根号的，即形如(其中A是可以转化为形如a2的三角函数式)的式子，常把根号下的式子化为完全平方式，根据二次根式的性质化简或求值.
(2)对于含有高次的三角函数式，一般借助于因式分解、约分、构造sin2θ＋cos2θ＝1来降低次数
出现根号或高次幂的结构形式
考点二　诱导公式的应用
[例]　(1)已知cos＝，则sin＝________．
[解析]　sin＝－sin
＝－sin＝－sin
＝－sin＝－cos＝－.
[答案]　－
(2)设f(α)＝(1＋2sin
α≠0)．
①化简f(α)；
②若α＝－，求f(α)的值．
[解析]　①f(α)＝
＝＝
＝＝.
②当α＝－时，f(α)＝f(－)＝
＝＝＝＝.
[破题技法]　1.诱导公式的作用是异角化同角：
2．应用诱导公式时，注意：
(1)明确函数名是变，还是不变；
(2)明确函数值符号是正还是负；
(3)明确是否直接用公式；
(4)明确各公式的应用顺序．
3．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．
若本例(1)中条件不变，求sin的值．
解析：sin＝sin
＝－cos＝－.
考点三　同角关系的诱导公式的综合应用
挖掘1　以化为“同名”函数为主线/自主练透
[例1]　(1)已知tan
α＝2，则cos(π＋α)·cos的值为________．
[解析]　依题意得cos(π＋α)cos＝cos
αsin
α＝＝＝.
[答案]　
(2)已知α∈，tan
α＝2，求cos值．
[解析]　由题意得，
α∈.
∴sin
α＝，cos
α＝.
∴cos＝cos
αcos＋sin
αsin
＝×＝.
挖掘2　以化为“同角”函数为主线/互动探究
[例2]　(1)已知sin＋cos
α＝－，则cos＝(　　)
A．－　　　　　　　　
B.
C．－
D．
[解析]　由sin＋cos
α＝－，展开化简可得sin＝
－，所以cos＝
cos＝sin＝－.故选C.
[答案]　C
(2)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝__________．
[解析]　因为θ是第四象限角，
且sin＝，
所以θ＋为第一象限角，
所以cos＝，
所以tan＝
＝
＝－＝－.
[答案]　－
(3)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin
α＝，则sin
β＝________．
[解析]　α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z.
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sin
β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin
α＝.
[答案]　
挖掘3　以“变式”为主线/互动探究
[例3]　(1)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2
019)的值为(　　)
A．－1
B．1
C．3
D．－3
[解析]　因为f(4)＝3，所以asin
α＋bcos
β＝3，
故f(2
019)＝asin(2
019π＋α)＋bcos(2
019π＋β)
＝－asin
α－bcos
β＝－(asin
α＋bcos
β)＝－3.
[答案]　D
(2)(2020·福州调研)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos(＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin
α＝________．
[解析]　由已知得－2tan
α＋3sin
β＋5＝0①
tan
α－6sin
β－1＝0②
∴tan
α＝3，
即＝3，又sin2α＋cos2α＝1，
α为锐角，∴sin
α＝.
[答案]　
[破题技法]　1.先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系求解，用诱导公式时务必先使其符合公式形式：变其角，合其形，求其值．
2．诱导公式与同角关系式结合起来，进行“三变”，变角、变名、变式
变名：主要是沟通已知与所求函数名之间的联系，进行转化，正弦?余弦，切?弦．
变角：主要沟通已知角与所求角间的联系：用已知角表示所求角．
PAGE第三节　三角函数的图像与性质
授课提示：对应学生用书第56页
[基础梳理]
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin
x，x∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos
x，x∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：(0，1)，，，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图像
定义域
R
R
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
为增；为减
[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增
为增
对称中心
(kπ，0)
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
3.周期函数
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．
1．一个易混点
正切函数y＝tan
x的单调性只能说：在(kπ－，kπ＋)上k∈Z为增函数，不能说为：在定义域上为增函数．
2．一个易错点
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin
t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
3．三角函数的对称与周期的关系
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
4．关于周期的两个结论
函数y＝|sin
x|，y＝|cos
x|，y＝|tan
x|的周期为π，函数y＝sin|x|，不是周期函数，y＝tan
|x|不是周期函数．
[四基自测]
1．(基础点：正弦函数的单调性)函数y＝sin
x，x∈[－π，π]的单调性是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
答案：B
2．(基础点：正切函数的定义域)函数y＝tan
2x的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：D
3．(易错点：三角函数的值域)f(x)＝cos
2x－3cos
x的最大值为________．
答案：4
4．(基础点：三角函数大小比较)cos
23°，sin
68°，cos
97°从小到大的顺序是________．
答案：cos
97°＜cos
23°＜sin
68°
授课提示：对应学生用书第57页
考点一　有关三角函数的定义域、值域、最值问题
挖掘1　有关三角函数的定义域/
自主练透
[例1]　(1)函数y＝lg
sin
x＋
的定义域为________．
[解析]　要使函数有意义，则有
即
解得(k∈Z)，
所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z.
所以函数的定义域为.
[答案]　
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
[解析]　要使f(x)有意义，则有
kπ－＜x＋＜kπ或kπ＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－π＜x＜kπ－或kπ－＜kπ＋.
[答案]　{x|kπ－π＜x＜kπ－或kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z}
[破题技法]　求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图像来求解．
挖掘2　利用单调性求最值/
互动探究
[例2]　(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D．
[解析]　当x∈时，
2x－∈，sin∈，
故3sin∈，即此时函数f(x)的值域是.
[答案]　B
(2)已知函数f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x.
若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
[解析]　f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x
＝－cos
2x＋sin
2x
＝sin＋，由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在区间上的最大值为.
即sin在区间上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
即m的最小值为.
挖掘3　换元法求三角函数的最值(值域)/互动探究
[例3]　(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________．
[解析]　f(x)＝1－cos2x＋cos
x－＝－cos2x＋cos
x＋＝－＋1，因为x∈，所以cos
x∈
[0，1]，所以当cos
x＝时，函数取得最大值1.
[答案]　1
[破题技法]　1.形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)，(A＞0)(x∈R)其最值都是当sin(ωx＋φ)＝±1或cos(ωx＋φ)＝±1时取得的±A.
2．求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：
(1)形如y＝asin
x＋bcos
x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2
x＋bsin
x＋c的三角函数，可先设sin
x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin
xcos
x＋b(sin
x±cos
x)＋c的三角函数，可先设t＝sin
x±cos
x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
对于(2)(3)类型，主要采用换元法．
令t＝sin
x或t＝cos
x，进而将三角函数转化为关于t的函数．形如y＝asin2x＋bsin
x＋c，可设t＝sin
x，将其转化为二次函数y＝at2＋bt＋c(t∈[－1，1])；形如y＝asin
xcos
x＋b(sin
x±cos
x)＋c，可设t＝sin
x±cos
x，则t2＝1±2sin
xcos
x，即sin
xcos
x＝±(t2－1)，将其转化为二次函数y＝±a(t2－1)＋bt＋c(t∈[－，])．换元时一定要注意新元的取值范围．
考点二　三角函数的单调性
挖掘1　求三角函数的单调区间/
互动探究
[例1]　已知函数f(x)＝cos
2x－2sin2(x－α)，其中0＜α＜，且f()＝－－1.
(1)求α的值；
(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间．
[解析]　(1)由已知得f()＝－－2sin2(－α)＝－－2cos2α＝－－1，
整理得cos2α＝.
因为0＜α＜，所以cos
α＝，α＝.
(2)由(1)知，f(x)＝cos
2x－2sin2(x－)＝cos
2x－1＋cos(2x－)＝cos
2x＋sin
2x－1＝2sin(2x＋)－1.
易知函数f(x)的最小正周期T＝π.
令t＝2x＋，则函数f(x)可转化为y＝2sin
t－1.
显然函数y＝2sin
t－1与y＝sin
t的单调性相同，
当函数y＝sin
t单调递减时，2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
[破题技法]　求三角函数单调区间的方法
代换法
就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解
图像法
画出三角函数的图像，结合图像求它的单调区间
本例题中若求函数f(x)在[－，]上的单调递减区间呢？
解析：由本题可得，函数f(x)＝2sin(2x＋)－1的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．当k＝－1时，函数f(x)的单调递减区间为[－，－]，与给定区间的交集为[－，－]；当k＝0时，函数f(x)的单调递减区间为[，]，与给定区间的交集为[，]．所以函数f(x)在[－，]上的单调递减区间为[－，－]和[，]．
挖掘2　利用单调性比较大小/
自主练透
[例2]　已知函数f(x)＝2sin(x＋)，设a＝f()，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜c＜b　　　　　
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
[解析]　a＝f()＝2sinπ，
b＝f()＝2sin，
c＝f()＝2sin＝2sin，
因为y＝sin
x在[0，]上单调递增，＜π＜，所以c＜a＜b.
[答案]　B
[破题技法]　利用三角函数的单调性比较两个三角函数值的大小，关键是将这两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值．对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．
将本例题中函数改为f(x)＝2cos(x＋)，则a，b，c的大小如何？
解析：a＝f()＝2cosπ，
b＝f()＝2cos，
c＝f()＝2cos＝0，
∴a＞b＞c.
挖掘3　利用单调性求参数/
互动探究
[例3]　(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)若?(x)＝cos
x－sin
x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D．π
[解析]　?(x)＝cos
x－sin
x
＝－＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
y＝sin单调递增，y＝－sin单调递减．
∵函数?(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a]?，
∴0＜a≤，∴a的最大值为.
故选A.
[答案]　A
(2)已知ω＞0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A.
B．
C.
D．
[解析]　函数y＝cos
x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，得k＝1，
所以ω∈.
[答案]　D
(3)若函数f(x)＝sin
ωx(ω＞0)在[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝________．
[解析]　法一：由于函数f(x)＝sin
ωx(ω＞0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二：由题意，得f(x)max＝f()＝sin
ω＝1.
由已知并结合正弦函数图像可知，ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋6k(k∈Z)，所以当k＝0时，ω＝.
[答案]　
[破题技法]　已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法
子集法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离列不等式(组)求解
考点三　三角函数的奇偶性、对称性、周期性
挖掘1　三角函数的周期性、奇偶性/
互动探究
[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数?(x)＝的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　
B.
C．π
D．2π
[解析]　由已知得?(x)＝＝＝＝sin
x·cos
x＝sin
2x，所以?(x)的最小正周期为T＝＝π.
故选C.
[答案]　C
(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2
B．
C．1
D．
[解析]　由题意及函数y＝sin
ωx的图像与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
故选A.
[答案]　A
(3)(2020·银川模拟)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　　)
A.
B．
C.
D．
[解析]　因为f(|x|)＝f(x)，
所以函数f(x)＝3sin是偶函数，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ＝kπ＋，k∈Z，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.
[答案]　C
[破题技法]　1.(1)利用周期函数的图像和定义求周期，发现周期大小与x的系数有关．利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解．
(2)对称性求周期：
①两条对称轴距离的最小值等于；
②两个对称中心距离的最小值等于；
③对称中心到对称轴距离的最小值等于.
(3)特征点法求周期：
①两个最大值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T；
②两个最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T；
③最大值点与最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于.
由于最值点与函数图像的对称轴相对应，则特征点法求周期实质上就是由对称性求解周期．
2．奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin
ωx或y＝Atan
ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos
ωx＋b的形式．
故形如y＝Asin(ωx＋φ)成为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；成为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
y＝Acos(ωx＋φ)成为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；成为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
挖掘2　三角函数的对称性/
互动探究
[例2]　(1)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图像(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
[解析]　函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；
函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－.
对称中心为，当k＝1时为.
[答案]　B
(2)若函数y＝cos(ωx＋)(ω∈N＋)的图像的一个对称中心是(，0)，则ω的最小值为(　　)
A．1
B．2
C．4
D．8
[解析]　依题意得cos(＋)＝0，则＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2，又ω∈N＋，所以ω的最小值为2，故选B.
[答案]　B
(3)已知f(x)＝cos
xsin
2x，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)既是偶函数又是周期函数
B．f(x)的最大值小于1
C．f(x)的图像关于点(，0)对称
D．f(x)的图像关于直线x＝π对称
[解析]　对于选项A，由f(x)＝cos
xsin
2x，得f(－x)＝cos(－x)sin
2(－x)＝－cos
xsin
2x＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，
又f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin
2(x＋2π)＝cos
xsin
2x＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数．
所以f(x)既是奇函数又是周期函数，故A不正确．
对于选项B，因为|cos
x|≤1，|sin
2x|≤1，且等号不能同时成立，
所以无论x取什么值，f(x)＝cos
xsin
2x的函数值均小于1，故B正确．
对于选项C，因为f(x)＋f(π－x)＝cos
xsin
2x＋cos(π－x)sin
2(π－x)＝cos
xsin
2x＋cos
xsin
2x＝2cos
xsin
2x，
不能推出函数f(x)的图像关于点(，0)对称．故C不正确．
对于选项D，因为f(2π－x)＝cos(2π－x)sin
2(2π－x)＝－cos
xsin
2x＝－f(x)，
所以f(x)的图像不关于直线x＝π对称，故D不正确．
综上可得正确的结论是B.
[答案]　B
[破题技法]　对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．
PAGE第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像性质及模型应用
授课提示：对应学生用书第60页
[基础梳理]
1．五点法画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
(1)列表：
X＝ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
sin
X
0
1
0
－1
0
y
0
A
0
－A
0
(2)描点：，，，，．
(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y＝Asin(ωx＋φ)在区间长度为一个周期内的图像．
2．由函数y＝sin
x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤
12个小环节构成6条路线：
(以③⑨?线路为例)
③把y＝sin
x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到y＝sin(x＋φ)的图像；
⑨再把所得图像上的所有点的横坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到y＝sin(ωx＋φ)；
?最后把所有点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍，横坐标不变，就得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
3．y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
1．平移变换的两种单位长度
由y＝sin
x的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．
2．y＝Asin(ωx＋φ)＋b与最值的关系
A＝，b＝.
[四基自测]
1．(基础点：三角函数模型)电流i(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系是i＝5sin，t∈[0，＋∞)，则电流i变化的初相、周期分别是(　　)
A.，　　　　　　　
B.，
C.，
D．，
答案：A
2．(易错点：平移变换)若将函数y＝2sin
2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z)
B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z)
D．x＝＋(k∈Z)
答案：B
3．(基础点：由变换得解析式)把函数y＝sin
x的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移个单位，得到的函数图像的解析式是(　　)
A．y＝cos
2x
B．y＝－sin
2x
C．y＝sin
D．y＝sin
答案：A
4．(基础点：求变换单位)由曲线C1：y＝cos
x，向左平移__________个单位长度，再将横坐标缩小到原来的__________倍，得到曲线C2：y＝cos.
答案：π　
授课提示：对应学生用书第61页
考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换
挖掘1　图像变换/
自主练透
[例1]　(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos
x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[解析]　易知C1：y＝cos
x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图像，再把所得函数的图像向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图像，即曲线C2，故选D.
[答案]　D
(2)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos
ωx的图像，只需将y＝f(x)的图像(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
[解析]　因为T＝π，故ω＝＝2，因此g(x)＝cos
2x＝sin，f(x)＝siny＝sin＝sin.
[答案]　A
挖掘2　作y＝Asin(ωx＋φ)的图像/
互动探究
[例2]　设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图像；
(3)由y＝sin
x经过怎样的变换得到f(x)＝cos(ωx＋φ)的图像(x∈R)．
[解析]　(1)最小正周期T＝＝π，
∴ω＝2.
∵f＝cos＝cos
＝－sin
φ＝，∴sin
φ＝－.
∵－<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)得f(x)＝cos，列表：
x
0
π
π
π
π
2x－
－
0
π
π
π
f(x)
1
0
－1
0
图像如图所示．
(3)f(x)＝cos
＝sin
＝sin，
∴由y＝sin
x向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像，再将图像的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图像，即f(x)＝cos的图像．
[破题技法]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的作法
(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，令z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图像．
(2)图像变换法：由函数y＝sin
x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
提醒：三角函数图像左右平移时应注意的问题
(1)弄清楚平移方向，平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像．
(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
(3)由y＝Asin
ωx的图像得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，需平移的单位数应为，而不是|φ|.
考点二　由函数图像求解析式
挖掘　由图像写解析式/
互动探究
[例]　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示，则将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到的函数图像的解析式为(　　)
A．y＝sin
2x　　　　　　　　
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝cos
2x
[解析]　由题图知，A＝1，
T＝－＝π＝π，所以T＝π＝，所以ω＝2.
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，
所以f(x)的图像向右平移个单位长度得
g(x)＝sin＝sin.故选B.
[答案]　B
(2)已知函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递增区间为________．
[解析]　由图可知＝－＝，A＝2，
即T＝π，A＝2，故ω＝＝2，
又f＝2，
所以2×＋φ＝，故φ＝，
所以f(x)＝2sin，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得
－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
[答案]　(k∈Z)
[破题技法]　由三角函数图像确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，关键是根据图像所反映出的性质求振幅A，周期T及φ.
(1)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(2)求φ，常用方法有：
①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图像上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π.
考点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像性质的综合应用
挖掘1　三角函数图像变换与性质综合问题/
互动探究
[例1]　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，点P、Q、R在f(x)的图像上，坐标分别为(－1，－A)、(1，0)、(x0，0)，△PQR是以PR为底边的等腰三角形，将函数f(x)的图像向右平移5个单位长度后得到函数g(x)的图像，则关于g(x)的说法中不正确的是(　　)
A．g(x)是偶函数
B．g(x)在区间[0，4]上是减函数
C．g(x)的图像关于直线x＝2对称
D．g(x)在[－1，3]上的最小值为－
[解析]　由题意知＝2，所以＝8，ω＝，作PH⊥x轴于点H(图略)，则QH＝2，又因为PQ＝QR＝4，所以A＝2，因为f(x)的图像过Q(1，0)，所以2sin＝0，因为|φ|＜，所以φ＝－，
所以f(x)＝2sin.
易知g(x)＝f(x－5)＝2cos
x，易知A、B、D正确，C错误．故选C.
[答案]　C
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图像大致为(　　)
[解析]　∵f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除A.
当x＝π时，f(π)＝＞0，排除B，C.故选D.
[答案]　D
[破题技法]　先将y＝f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y＝Asin(ωx＋φ)的图像和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．进行平移时，图像平移与坐标系平移是一种相对运动．
挖掘2　与三角函数有关的方程、不等式问题/
互动探究
[例2]　(1)(2020·湖南十四校联考)已知函数f(x)＝2sin
ωx－cos
ωx(ω＞0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为(　　)
A.　　　　　　
B．－
C．2
D．－2
[解析]　依题意可得函数的最小正周期为＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，则ω＝，所以f(1)＝2sin
－cos
＝2，故选C.
[答案]　C
(2)已知函数f(x)＝sin
ωx－cos
ωx(ω＞0)，若方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有4个实数根，则实数ω的取值范围为(　　)
A．(，]
B．(，]
C．(，]
D．(，]
[解析]　因为f(x)＝sin
ωx－cos
ωx＝2sin(ωx－)，作出函数y＝f(x)的大致图像与直线y＝－1，如图所示．
令2sin(ωx－)＝－1，得ωx－＝－＋2kπ或ωx－＝＋2kπ，k∈Z，
所以x＝＋或x＝＋，k∈Z.
设直线y＝－1与曲线y＝f(x)在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，
易知xA＝＋，xB＝＋.
因为方程f(x)＝－1在(0，π)上有且只有4个实数根，
所以xA＜π≤xB，
即＋＜π≤＋，解得＜ω≤.
故选B.
[答案]　B
[破题技法]　对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的零点即是图像与x轴交点的横坐标，对称轴一定穿过图像的最高点或最低点．
考点四　三角函数模型的应用
挖掘　生活中的三角函数模型/
互动探究
[例]　已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b(A＞0，ω＞0)的图像．根据以上数据，
(1)求函数f(t)的解析式；
(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间．
[解析]　(1)由表格得解得
又因为T＝12，所以ω＝＝，
故y＝f(t)＝cos
t＋1.
(2)由题意，令cos
t＋1＞1.25，即cos
t＞，
又因为t∈[0，24]，所以t∈[0，4π]，
故0≤t＜或＜t≤2π.
或2π＜t＜2π＋或2π＋＜t≤2π＋2π，
即0≤t＜2或10＜t≤12或12＜t＜14或22＜t≤24，
所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时．
[破题技法]　三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．
如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，)．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图像，可知从8～14时的图像是y＝
Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像．
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
∴＝14－8＝·，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，
∴所求解析式为
y＝10sin＋40，x∈[8，14]．
PAGE第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
授课提示：对应学生用书第64页
[基础梳理]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β．
(2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β．
(3)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β．
(4)C(α－β)：cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β．
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝．
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝．
2．倍角公式
(1)S2α：sin
2α＝2sin
αcos
α．
(2)C2α：cos
2α＝cos2α－sin2α
＝2cos2α－1
＝1－2sin2α．
(3)T2α：tan
2α＝．
1．和、差、倍公式的转化
2．公式的重要变形
(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升幂公式：1＋cos
2α＝2cos2α，1－cos
2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1?tan
αtan
β)．
(4)辅助角公式：asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ).
[四基自测]
1．(基础点：构造和角公式)已知sin＝，α∈，则sin
α的值为(　　)
A.　　　　　　
B.
C.
D．
答案：D
2．(基础点：逆用公式)化简cos
15°cos
45°－cos
75°sin
45°的值为(　　)
A.
B．
C．－
D．－
答案：A
3．(基础点：倍角公式)若sin
α＝，则cos
2α＝________．
答案：
4．(基础点：正切倍角公式)若α是第二象限角，且sin(π－α)＝，则tan
2α＝________．
答案：－
授课提示：对应学生用书第64页
考点一　两角和、差及倍角公式的直接应用
挖掘1　给值(角)求值/
互动探究
[例1]　(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)tan
255°＝(　　)
A．－2－　　　
B．－2＋
C．2－
D．2＋
[解析]　tan
255°＝tan(180°＋75°)＝tan
75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.
故选D.
[答案]　D
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tan
α＝________．
[解析]　法一：tan
＝tan
＝＝，
解得tan
α＝.
法二：∵tan＝tan
∴tan
α＝tan
＝＝.
[答案]　
(3)已知sin＝，则sin
2α＝________．
[解析]　sin
2α＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－.
[答案]　－
(4)已知f(x)＝2cos·.
设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
[解析]　由已知f(x)＝2cos.
又因为f＝－，
所以2cos＝2cos＝－，
所以sin
α＝.
又因为f＝，
所以2cos＝2cos
β＝，
所以cos
β＝.
又因为α，β∈，所以cos
α＝，sin
β＝，
所以cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β
＝×－×＝－.
挖掘2　给值求角/
互动探究
[例2]　(1)(2020·河南六市联考)已知cos
α＝，cos(α－β)＝，若0＜β＜α＜，则β＝________．
[解析]　由cos
α＝，0＜α＜，
得sin
α＝＝
＝，
又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，
∴sin(α－β)＝＝
＝，
由β＝α－(α－β)得cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)
＝×＋×＝，
∵β∈(0，)，∴β＝.
[答案]　
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan
β＝－，则2α－β的值为________．
[解析]　∵tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，
α∈(0，π)，∴0＜α＜.
又∵tan
2α＝＝＝＞0，
∴0＜2α＜，
∴tan(2α－β)＝1，
∵tan
β＝－＜0，
∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－π.
[答案]　－π
[破题技法]　1.应用三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等．
2．三角函数求值有三类
(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
考点二　两角和、差及倍角公式的逆用和变形用
挖掘1　求值问题/
互动探究
[例1]　(1)计算的值为(　　)
A．－　　　　　　
B.
C.
D．－
[解析]　原式＝
＝＝×＝.
[答案]　B
(2)(2020·辽宁省沈阳四校协作体联考)－＝________．
[解析]　－
＝
＝
＝＝4.
[答案]　4
(3)(2020·重庆市三诊)＝________．(用数字作答)
[解析]　原式＝＝＝＝＝－4.
[答案]　－4
挖掘2　化简问题/
互动探究
[例2]　(1)化简：＝________．
[解析]　原式＝
＝
＝
＝＝cos
2x.
[答案]　cos
2x
(2)(2020·湖南衡阳质检)已知m＝，若sin
2(α＋γ)＝3sin
2β，则m＝(　　)
A.
B．
C.
D．2
[解析]　设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B，2β＝A－B，因为sin
2(α＋γ)＝3sin
2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sin
AcosB＋cos
Asin
B＝3(sin
Acos
B－cos
Asin
B)，即2cos
A·sin
B＝sin
Acos
B，所以tan
A＝2tan
B，所以m＝＝2，故选D.
[答案]　D
[破题技法]　1.将tan(α＋β)＝整理变形为tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)－tan
α·tan
β·tan(α＋β)，
即tan
60°＝tan(20°＋40°)得出tan
20°＋tan
40°后代入．
2．(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形：
sin
αsin
β＋cos(α＋β)＝cos
αcos
β，
cos
αsin
β＋sin(α－β)＝sin
αcos
β，
tan
α±tan
β＝tan(α±β)·(1?tan
α·tan
β)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[拓展]　1±sin
α＝，1＋cos
α＝2cos2
，1－cos
α＝2sin2.
提醒：tan
αtan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，
tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．
挖掘3　创新归纳/互动探究
[例3]　已知：①tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°＝1，②tan
5°
tan
10°＋tan
10°tan
75°＋tan
75°·tan
5°＝1，③tan
20°tan
30°＋tan
30°·tan
40°＋tan
40°·tan
20°＝1成立．由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．
[解析]　观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，则tan
αtan
β＋tan
βtan
γ＋tan
γtan
α＝1.
证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，
所以β＝90°－(α＋γ)，
故tan
β＝tan
[90°－(α＋γ)]＝＝＝＝.
所以tan
αtan
β＋tan
βtan
γ＝1－tan
αtan
γ，
即tan
αtan
β＋tan
βtan
γ＋tan
αtan
γ＝1.
[破题技法]　归纳与猜想，主要考查逻辑推理的核心素养．
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳与类比，另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．
PAGE第六节　简单的三角恒等变形
授课提示：对应学生用书第66页
[基础梳理]
1．升幂公式
(1)1＋cos
2α＝2cos2α．
(2)1－cos
2α＝2sin2α．(说明：从左到右是升幂，从右到左为降幂)
2．辅助角公式
asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ)
.
3．半角公式(不要求记忆)
(1)sin
＝±
.
(2)cos
＝±
.
(3)tan
＝±
＝＝
.
重要的运算变形公式
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin
αcos
βsin
θ＋sin
φ＝2sin
cos
.
sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cos
αsin
βsin
θ－sin
φ＝2cos
sin
.
cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cos
αcos
βcos
θ＋cos
φ＝2coscos
.
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin
αsin
βcos
θ－cos
φ＝－2sin
sin.
tan
＝＝.
[四基自测]
1．(基础点：辅助角公式)函数f(x)＝sin
2x＋cos
2x的最小正周期为(　　)
A．π　　　　　　　　
B.
C．2π
D．
答案：A
2．(易错点：半角函数值符号)已知cos
θ＝－，<θ<3π，那么sin
＝(　　)
A.　
B．－　　C.　　D．－
答案：D
3．(基础点：辅助角公式)f(x)＝sin(x＋3π)－3cos
x的最小值为________．
答案：－
4．(易错点：公式的变形)已知α∈(0，)，2sin
α＝cos
α＋1，则tan＝________．
答案：
授课提示：对应学生用书第66页
考点一　利用变换的“主角”变——角变
[例]　(1)若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，sin＝，则cos＝(　　)
A.　　　　　　　
B．－
C.
D．－
[解析]　因为0＜α＜，所以＜α＋＜，又cos＝，
所以sin＝
＝
＝.因为－＜β＜0，所以＜－＜，
又sin＝，
所以cos＝
＝
＝，
所以cos＝cos
＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.故选C.
[答案]　C
(2)若α∈(0，π)，且sin
α＋2cos
α＝2，则tan＝(　　)
A.
B．
C.
D．
[解析]　法一：由已知得cos
α＝1－sin
α.
代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋(1－sin
α)2＝1，
整理得sin2α－sin
α＝0，解得sin
α＝0或sin
α＝.
因为α∈(0，π)，
所以sin
α＝，故cos
α＝1－×＝.
所以tan＝＝＝.故选A.
法二：因为sin
α＝2sin·cos，cos
α＝1－2sin2，
所以sin
α＋2cos
α＝2可以化为2sin
·cos＋2(1－2sin2)＝2，
化简可得2sin·cos＝4sin2.①
因为α∈(0，π)，所以∈(0，)，
所以sin≠0.
所以①式可化为2cos＝4sin，即tan
＝.
故选A.
[答案]　A
[破题技法]　1.给值求值问题的主要思路是抓住“角”进行变形，即用已知角表示未知角．有两种思路：
(1)α＋2β＝(α＋β)＋β，即先求tan(α＋β)→tan(α＋β＋β)．
(2)α＋2β先求tan
2β
→tan(α＋2β)．
2．从函数概念角度考虑：三角函数的自变量是角，角就成为分析变换的第一个要点．对于一个角，我们要分析它的范围，对于不同的角，我们就要分析它们之间的关系．用已知角表示所求角．如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＋＝(α＋)－(－)，同时注意角的范围．
3．注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”，构造适合公式的形式．
考点二　利用式子的“结构”变—形变
挖掘1　化简与求值/
互动探究
[例1]　(1)化简的结果是(　　)
A．－cos
1　　　　　
B．cos
1
C.cos
1
D．－cos
1
[解析]　原式＝
＝
＝＝cos
1.
[答案]　C
(2)＝________．
[解析]　＝＝＝4sin
α.
[答案]　4sin
α
(3)若f(α)＝2tan
α－，求f()的值．
[解析]　∵f(α)＝2tan
α－＝＋＝，∴f＝＝8.
挖掘2　化简与证明/
互动探究
[例2]　(1)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan
β＝，则(　　)
A．α－3β＝－
B．α－2β＝－
C．α＋3β＝
D．α＋2β＝
[解析]　法一：(化切为弦)因为tan
β＝，
所以＝，即sin
βcos
α＝cos
β＋cos
βsin
α，
整理得sin(β－α)＝cos
β，即sin(β－α)＝sin(－β)，
因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以β－α∈(－，)，－β∈(0，)，
因为函数y＝sin
x在(－，)上单调递增，所以β－α＝－β，
整理得α－2β＝－.故选B.
法二：(化弦为切)因为＝
＝
＝，
所以tan
β＝＝tan[－(－)]＝tan(＋)．
因为α∈(0，)，β∈(0，)，＋∈(，)，
又函数y＝tan
x在(0，)上单调递增，所以β＝＋，
即α－2β＝－，故选B.
[答案]　B
(2)下列等式关系在α使其有意义的条件下，恒成立的有________．
①(sin2α－cos
2α)2＝1－sin
4α；
②tan－＝；
③1＋cos
2α＋2
sin2
α＝2；
④＝tan
2α
[解析]　①(sin
2α－cos
2α)2＝sin22α＋cos22α－2sin
2α·cos
2α＝1－sin
4α(正确)．
②tan－＝＝＝
－(错)．
③1＋cos
2α＋2sin2α＝2cos2α＋2sin2α＝2(正确)．
④＝＝＝tan
α(错)．
[答案]　①③
[破题技法]　1.已知是“和”式，所求是“积”式，要经过“平方”为桥梁进行变形．
cos
α＋cos
β＝→cos2α＋cos2
β＋2cos
αcos
β＝，
sin
α＋sin
β＝→sin2α＋sin2β＋2sin
αsin
β＝.
2．三角函数式总是由一定结构呈现的，要学会观察三角函数式的结构特征，联想所学公式，根据要解决的问题选择变换的方向，类似几何直观，这是一种代数直观能力，看到一个函数解析式就能够联想到函数的性质(对称性、过定点，函数值正负区间，单调性等)．这就是直观想象素养，根据结构和目标确定变换的方向和方法，常用的变换有：
(1)对于含有“sin2x”型，利用sin2x＝.
(2)对于含有“cos2x”型，利用cos2x＝.
(3)对于含有“sin
xcos
x”型，利用sin
xcos
x＝sin
2x.
(4)对于含有“tan
x”型，利用tan
x＝.逐步变为形如“y＝asin
x＋bcos
x”，利用辅助角公式变为y＝sin(x＋φ)型．
考点三　利用三角恒等变换，研究三角函数性质
挖掘　三角函数式化简与性质/互动探究
[例]　已知函数f(x)＝2sin
x(sin
x＋cos
x)－a的图像经过点(，1)，a∈R.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调递增区间；
(2)若当x∈[0，]时，不等式f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)f(x)＝2sin
x(sin
x＋cos
x)－a＝2sin2x＋2sin
xcos
x－a＝1－cos
2x＋sin
2x－a＝sin(2x－)＋1－a.
因为函数f(x)的图像经过点(，1)，所以sin＋1－a＝1，
解得a＝1.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，因为x∈[0，]，所以2x－∈[－，]．
当2x－＝－，
即x＝0时，f(x)min＝－1.
因为f(x)≥m恒成立，所以m≤f(x)min，即m≤－1.
所以实数m的取值范围是(－∞，－1]．
[破题技法]　一般地先将y＝f(x)化为y＝asin
x＋bcos
x的形式，再用辅助角公式化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，最后借助y＝Asin(ωx＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．
(2020·陕西西安一中月考)已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若将f(x)的图像向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．
解析：(1)f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝cos
x＋sin
x＝2sin(x＋)，
于是T＝＝2π.故f(x)的最小正周期为2π.
(2)将函数f(x)＝2sin(x＋)的图像向右平移个单位长度，得g(x)＝2sin(x＋－)＝2sin(x＋)的图像，
令t＝x＋，因为x∈[0，π]，所以t∈[，]．
易知函数h(t)＝2sin
t在[，]上单调递增，在[，]上单调递减，
所以函数h(t)在[，]上的最小值为h()＝2×sin＝－1，即g(x)在区间[0，π]上的最小值为－1，又h(t)的最大值为h()＝2×sin＝2，所以g(x)在区间[0，π]上的最大值为2.
PAGE第七节　正弦定理和余弦定理
授课提示：对应学生用书第68页
[基础梳理]
1．正弦定理
＝＝＝2R，其中R是△ABC的外接圆半径．
正弦定理的常用变形
(1)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C.
(2)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝.
(3)a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C.
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos
A，cos
A＝；
b2＝a2＋c2－2accos
B，cos
B＝；
c2＝a2＋b2－2abcos
C，cos
C＝．
3．勾股定理
在△ABC中，∠C＝90°?a2＋b2＝c2．
4．三角形的面积公式
S△ABC＝aha＝bhb＝chc
＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B．
1．射影定理：bcos
C＋ccos
B＝a，
bcos
A＋acos
B＝c，
acos
C＋ccos
A＝b.
2．三个角A、B、C与诱导公式的“消角”关系
sin(A＋B)＝sin
C，
cos(A＋B)＝－cos
C，
sin
＝cos
，
cos
＝sin
.
3．特殊的面积公式
(1)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)，
(2)S＝，P＝(a＋b＋c)，
(3)S＝＝2R2sin
A·sin
B·sin
C(R为△ABC外接圆半径)．
[四基自测]
1．(基础点：正弦定理)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)
A．4　　　　　　　　　
B．2
C.
D．
答案：B
2．(基础点：正、余弦定理)在△ABC中，若sin2A＋sin2BA．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
答案：C
3．(基础点：正弦定理)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin
A＋acos
B＝0，则B＝________．
解析：∵bsin
A＋acos
B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos
B＝sin
B，∴tan
B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.
答案：
4．(基础点：余弦定理与面积)若△ABC中，A＝，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第68页
考点一　正、余弦定理的简单应用
挖掘1　正弦定理及其应用/自主练透
[例1]　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cos
A＝，则b等于(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D．
[解析]　因为cos
A＝，所以sin
A＝＝
＝，所以sin
C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝cos
45°＋sin
45°＝.
由正弦定理＝，得b＝×sin
45°＝.
[答案]　C
(2)已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则的取值范围是(　　)
A．(，)
B．(，)
C．(，)
D．(，)
[解析]　因为B＝2A，所以sin
B＝sin
2A＝2sin
Acos
A，
由正弦定理得b＝＝2acos
A，所以＝，所以＝＝tan
A.
因为△ABC是锐角三角形，
所以解得＜A＜，
所以＜tan
A＜1，
所以＜tan
A＜.
即的取值范围是(，)．故选D.
[答案]　D
挖掘2　余弦定理及其应用/互动探究
[例2]　(1)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝＋，且A＝75°，则b＝(　　)
A．2
B．4＋2
C．4－2
D．－
[解析]　在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
30°＝4.
∴b＝2.
[答案]　A
(2)在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC边的长为________．
[解析]　由S△ABC＝得×3×ACsin
120°＝，所以AC＝5，因此BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7.
[答案]　7
挖掘3　正、余弦定理混合应用/互动探究
[例3]　已知△ABC满足sin2A＋sin
Asin
B＋sin2B＝sin2C，则角C的大小是________．
[解析]　因为sin2A＋sin
Asin
B＋sin2B＝sin2C，所以a2＋ab＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝－ab，故cos
C＝＝－(0＜C＜π)，所以C＝π.
[答案]　π
[破题技法]　1.求解三角形的一般方法
方法
解读
题型
正弦定理法
直接利用正弦定理(变式)求边、角
(1)已知两角及一边(2)已知两边及一边对角
余弦定理法
直接用余弦定理(变式)求边、角
(1)已知两边及夹角(2)已知三边
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin
A
bsin
A＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
解的个数
1
2
1
1
0
考点二　有关三角形的周长、面积及正、余弦定理的综合应用
挖掘1　已知边角混合关系解三角形/自主练透
[例1]　(2020·河南省最后一次模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin
A＋bsin
B＋bsin
A＝csin
C.
(1)求C；
(2)若a＝2，b＝2，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．
[解析]　(1)因为asin
A＋bsin
B＋bsin
A＝csin
C，
所以由正弦定理可得a2＋b2＋ab＝c2.
由余弦定理得cos
C＝＝－，
又0＜C＜π，所以C＝.
(2)由(1)知C＝，
根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos
C＝22＋(2)2－2×2×2×(－)＝20，
所以c＝2.
由正弦定理＝，得＝，
解得sin
B＝，从而cos
B＝.
设BC的中垂线交BC于点E，
因为在Rt△BDE中，cos
B＝，所以BD＝＝＝，
因为点D在线段BC的中垂线上，所以CD＝BD＝.
挖掘2　有关三角形的面积计算/
互动探究
[例2]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
[解析]　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
B．
又∵b＝6，a＝2c，B＝，
∴36＝4c2＋c2－2×2c2×，
∴c＝2，a＝4，
∴S△ABC＝acsin
B＝×4×2×＝6.
[答案]　6
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin
A.
①求B；
②若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解析]　①由题设及正弦定理得
sin
Asin＝sin
Bsin
A.
因为sin
A≠0，所以sin＝sin
B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，
故cos＝2sin
cos
.
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°.
②由题设及①知△ABC的面积S△ABC＝a.
由①知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.
结合A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，
所以＜a＜2，从而＜S△ABC＜.
因此，△ABC面积的取值范围是.
[破题技法]　1.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．
挖掘3　有关三角形的周长及最值计算/
互动探究
[例3]　(1)在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB＋2BC的最大值为________．
[解析]　因为＝＝＝，所以AB＝2sin
C，BC＝2sin
A，因此AB＋2BC＝2sin
C＋4sin
A
＝2sin＋4sin
A
＝5sin
A＋cos
A＝2sin(A＋φ)，
因为φ∈(0，2π)，A∈(0，)，所以AB＋2BC的最大值为2.
[答案]　2
(2)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；的取值范围是________．
[解析]　由余弦定理得cos
B＝，
∴a2＋c2－b2＝2accos
B．又∵S＝(a2＋c2－b2)，
∴acsin
B＝×2accos
B，∴tan
B＝，∴B＝.
又∵C为钝角，∴C＝－A＞，
∴0＜A＜.
由正弦定理得＝
＝＝＋·.
∵0＜tan
A＜，∴
＞，
∴＞＋×＝2，即＞2.
[答案]　　(2，＋∞)
(3)在△ABC中，cos
C是方程2x2－3x－2＝0的一根．
①求角C；
②当a＋b＝10时，求△ABC周长的最小值．
[解析]　①由2x2－3x－2＝0得x1＝2，x2＝－，又cos
C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，所以cos
C＝－，因此C＝.
②由C＝和余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·(－)＝(a＋b)2－ab，所以c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，
当a＝5时，c最小且c＝＝5，此时a＋b＋c＝10＋5.
所以，△ABC的周长的最小值为10＋5.
[破题技法]三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．
考点三　判断三角形的形状
[例]　(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos
C＋ccos
B＝asin
A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　　　
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
[解析]　法一：因为bcos
C＋ccos
B＝b·＋c·＝＝a，所以asin
A＝a，即sin
A＝1，故A＝，因此△ABC是直角三角形．
法二：因为bcos
C＋ccos
B＝asin
A，
所以sin
Bcos
C＋sin
Ccos
B＝sin2A，
即sin(B＋C)＝sin2A，所以sin
A＝sin2A，
故sin
A＝1，即A＝，
因此△ABC是直角三角形．
法三：由射影定理可得bcos
C＋ccos
B＝a，
所以a＝asin
A，
所以sin
A＝1，A＝，为直角三角形．
[答案]　B
(2)在△ABC中，若2sin
Acos
B＝sin
C，那么△ABC的形状为________．
[解析]　法一：由已知得2sin
Acos
B＝sin
C＝sin(A＋B)
＝sin
A
cos
B＋cos
Asin
B，即sin(A－B)＝0，
因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.
所以△ABC为等腰三角形．
法二：由正弦定理得2acos
B＝c，
再由余弦定理得2a·＝c?a2＝b2?a＝b.
所以△ABC为等腰三角形．
[答案]　等腰三角形
[破题技法]　判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
边角互化法
边化角：用角的三角函数表示边
等式两边是边的齐次形式
角化边：将表达式中的角用边的形式表示
等式两边是角的齐次形式或a2＋b2－c2＝λab
PAGE第八节　解三角形的实际应用
授课提示：对应学生用书第71页
[基础梳理]
实际问题中的常用术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．方位角α的范围是0°≤α<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度
①北偏东m°②南偏西n°
坡角
坡面与水平面的夹角
设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan
α
坡度
坡面的垂直高度h和水平宽度l的比
[四基自测]
1．(基础点：求高度)在200
m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，如图所示，则塔高CB为(　　)
A.
m　　　　　　　　　
B.
m
C.
m
D．
m
答案：A
2．(基础点：方向角)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的北偏西________，西偏北________．
答案：10°　80°
授课提示：对应学生用书第72页
考点一　测量距离与角度
挖掘1　测量距离/
自主练透
[例1]　(1)(河两岸可视两点)如图，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为(　　)
A.米　　　　　　　　
B.米
C.米
D．米
[解析]　在△ABC中，由正弦定理得＝，故AB＝＝.
[答案]　C
(2)(河对岸或不可视两点)如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从点C可以观察到点A、B；找到一个点D，从点D可以观察到点A、C；找到一个点E，从点E可以观察到点B、C.并测量得到一些数据：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A、B两点之间的距离为________．(其中cos
48.19°取近似值)
[解析]　依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝＝2.在△BCE中，∠CBE＝45°，
由正弦定理得BC＝＝3.连接AB(图略)，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC
cos
∠ACB＝10，
∴AB＝.
[答案]　
[破题技法]　测量距离问题的解法
选择合适的辅助测量点，构造三角形，将实际问题转化为求某个三角形的边长问题，再利用正、余弦定理求解．
提醒：解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．
挖掘2　测量角度或航向/
互动探究
[例2]　已知海岛B在海岛A北偏东45°方向上，A，B相距10海里，物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线AB向海岛A移动，同时物体乙从海岛A沿着海岛A北偏西15°方向以4海里/小时的速度移动．
(1)问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；
(2)求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲、乙两物体的最短距离．
[解析]　(1)如图，设经过x小时，物体甲在物体乙的正东方向，则甲与A的距离为10－2x，乙与A的距离为4x，AD＝(10－2x)．
∴cos
15°＝＝cos(45°－30°)，
∴x＝＝5(2－)．
∴经过5(2－)小时，物体甲在物体乙的正东方向．
(2)设经过x小时，甲、乙两物体的距离为d.
由余弦定理得cos
60°＝＝，
∴d2＝28x2－80x＋100，0＜x≤5.
∵函数y＝28x2－80x＋100的图像的对称轴x＝∈(0，5]，∴x＝时，d最小．
∴dmin＝.
[破题技法]　测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
提醒：方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距
12
n
mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10
n
mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14
n
mile的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.
根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos
120°，
解得x＝2.
故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin
α＝＝.
所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为.
考点二　测量高度
挖掘1　同一竖直平面内的高度/自主练透
[例1]　如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为10
m，则树的高度h为(　　)
A．(5＋5)m　　　　　
B．(30＋15)m
C．(15＋30)m
D．(15＋3)m
[解析]　在△PAB中，由正弦定理，得＝，因为sin(45°－30°)＝sin
45°cos
30°－cos
45°sin
30°＝，所以PB＝5(＋)(m)，所以该树的高度h＝PBsin
45°＝(5＋5)(m)．
[答案]　A
挖掘2　不同竖直平面内的高度/互动探究
[例2]　如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100
m，求山高MN.
[解析]　在△ABC中，AC＝100，在△MAC中，
＝，
解得MA＝100，在△MNA中，
＝sin
60°＝，故MN＝150，即山高MN为150
m.
[破题技法]　求解高度问题的三个关注点
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
考点三　解三角形在平面几何中的应用
挖掘1　与三角形有关的传统文化/自主练透
[例1]　(1)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　)
A．6平方米　　　　　　
B．9平方米
C．12平方米
D．15平方米
[解析]　如图，由题意可得∠AOB＝，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，所以可得矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin
＝4×＝2，可得弦＝2AD＝2×2＝4.
所以，弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9平方米，故选B.
[答案]　B
(2)《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝
.现有周长为2＋的△ABC满足sin
A∶sin
B∶sin
C＝(－1)∶∶(＋1)，试用以上给出的公式求得△ABC的面积为(　　)
A.
B．
C.
D．
[解析]　因为sin
A∶sin
B∶sin
C＝(－1)∶∶(＋1)，所以由正弦定理得a∶b∶c＝(－1)∶∶(＋1)，又a＋b＋c＝2＋，
所以a＝－1，b＝，c＝＋1，
则ac＝2－1＝1，c2＋a2－b2＝6－5＝1，
故S＝
＝
＝，故选A.
[答案]　A
挖掘2　多边形问题/互动探究
[例2]　如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝π，AB⊥AD，AB＝1.
(1)若AC＝，求△ABC的面积；
(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.
[解析]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，
所以△ABC的面积S△ABC＝AB×BC×sin∠ABC＝×1××＝.
(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得，＝，即＝，①
在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－(－θ)＝θ－，
由正弦定理得＝，
即＝，②
①②两式相除，得＝，
即4(sin
θ－cos
θ)＝sin
θ，整理得sin
θ＝2cos
θ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，故sin
θ＝，
即sin∠CAD＝.
[破题技法]　1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．
2．寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来．
(2020·成都诊断)如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6.在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED.若∠CED＝，EC＝.
(1)求sin∠BCE的值；
(2)求CD的长．
解析：(1)在△BEC中，由正弦定理，知＝，
因为B＝，BE＝1，CE＝，
所以sin∠BCE＝＝＝.
(2)因为∠CED＝B＝，
所以∠DEA＝∠BCE，
所以cos∠DEA＝＝＝＝.
因为A＝，所以△AED为直角三角形，
又AE＝5，
所以ED＝＝＝2.
在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2××2×(－)＝49.
所以CD＝7.
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