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直线的点斜式方程同步练习
一、选择题
过点P(1,1)作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为4，则直线l有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
已知直线l过圆x2+y2?2x=0的圆心，且与直线2x?y?1=0平行，则l的方程是（ ）
A. 2x+y?2=0 B. 2x?y+2=0 C. 2x?y?3=0 D. 2x?y?2=0
已知点A(?5,0)，B(?1,?3)，若圆C：x2+y2=r2(r>0)上恰有两点M，N到直线AB的距离为2，则r的取值范围为(??? )
A. (1,5) B. (2,5) C. (1,5) D. (2,5)
过直线x+y?3=0和2x?y=0的交点，且与直线2x?y?1=0垂直的直线方程是（ ）
A. x+2y?4=0 B. 2x?y?3=0 C. x?2y+3=0 D. x+2y?5=0
过点P(1,12)且倾斜角为45?的直线在y轴上的截距是(? ?)
A. ?10 B. 10 C. ?11 D. 11
过点(1,0)且与直线x?2y?2=0垂直的直线方程是(??? )．
A. 2x+y?2=0 B. 2x?y?2=0
C. 2x+2y?1=0 D. 2x?2y?1=0
已知椭圆y29+x2=1，过点P(12,12)的直线与椭圆交于A、B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为（ ）
A. 9x+y?5=0 B. 9x?y?4=0 C. 2x+y?2=0 D. x+y?5=0
设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=(????)
A. 303 B. 6 C. 12 D. 73
直线y?2=mx+m经过一定点，则该点的坐标是(????)
A. (?2,2) B. (?1,2) C. (2,?1) D. (2,1)
圆和圆交于，两点，则弦的垂直平分线方程是（ ）
A. B. C. D.
直线l：kx?y+1?2k=0，当k变化时，所得直线都通过的定点是（ ）
A. (2,?1) B. (1,?2) C. (2,1) D. (1,?2)
经过点M1,1且在两坐标轴上截距相等的直线是(??? )
A. x+y=2 B. x+y=1
C. x+y=2或y=x D. x=1或y=1
二、填空题
已知直线l过定点(1,0)，且倾斜角为π3，则直线l的一般式方程为______．
已知点A(2,5)和点B(4,7)，点P在y轴上，若|PA|+|PB|的值最小，则点P的坐标为______．
过点A(?1,?3)，斜率是直线y=3x的斜率的?14倍的直线方程为________．
(1)设点P是曲线y=13x3?x2?3x?3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是________________．
(2)已知函数f(x)=x3?3ax，若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，则a的取值范围是_________．
f(x)=x2+lnx，则f(x)在x=1处的切线方程为______．
曲线f(x)=lnx?2x2在点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．
三、解答题
已知直线l经过点P(3,1)，且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．
已知△ABC的三个顶点A(4,?6)，B(?4,1)，C(?1,4)．
试求：(1)AC边上高BD所在的直线方程；
(2)△ABC的面积．
已知直线l经过点(3,?2)．
(1)若l与直线y=2x垂直，求l的方程(结果用一般式表示)；
(2)若l在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求l的方程(结果用一般式表示)．
已知直线l:mx+y?3m?1=0恒过定点A．
(1)若直线l经过点A且与直线2x+y?5=0垂直，求直线l的方程．
(2)若直线l经过点A且坐标原点到直线l的距离等于3，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：设直线的方程为：y?1=k(x?1)，(k≠0)．
令x=0，解得y=1?k；令y=0，解得x=1?1k．
∴12|(1?k)(1?1k)|=4，
化为(k?1)2=±8k，即k2?10k+1=0，k2+6k+1=0，
由于△>0，可得两个方程共有4个不同的解．
因此直线l共有4条．
2.【答案】D
【解析】解：圆x2+y2?2x=0的圆心为(1,0)，
由题意可知，所求直线l的斜率为2，
则直线l的方程为y?0=2(x?1)，即2x?y?2=0．
3.【答案】C
【解答】
解：直线AB的方程为y=0+3?5+1x+5，即3x+4y+15=0，
所以圆心(0,0)到直线AB的距离为d=0+0+1532+42=3，
由圆C上恰有两点M，N到直线AB的距离为2，所以r?d<2，即r?3<2，
所以1故选C．
4.【答案】D
【解答】
解：由题意得：
2x?y=0x+y?3=0,
解得x=1y=2,
因为直线2x?y?1=0的斜率是2，
故其垂线的斜率是：?12，
∴所求方程是：y?2=?12(x?1)，
所以直线方程是x+2y?5=0．
故选D．
5.【答案】D
【解答】
解：由题意直线的斜率是tan45°=1．
故直线l的方程为y?12=1×(x?1)，
令x=0可得y=11，即直线l在y轴截距为11．
故选：D．
6.【答案】A
【解答】
解：直线x?2y?2=0的斜率为12，
由所求直线与直线x?2y?2=0垂直，
∴所求直线的斜率为?2，
∵所求直线过点(1,0)，
∴直线方程为y=?2x?1，
即2x+y?2=0．
故选A．
7.【答案】A
【解答】解：直线AB与椭圆y29+x2=1相交于AB两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∴y129+x12=1y229+x22=1，两式相减：(y1+y2)(y1?y2)9+(x1+x2)(x1?x2)=0，
P(12,12)为AB的中点，
∴x1+x2=1??y1+y2=1，
∴k=y1?y2x1?x2=?9，
∴直线AB的方程为y?12=?9(x?12)，
整理得：9x+y?5=0．
故选A．
8.【答案】C
【解答】
解：由y2=3x得其焦点F(34,0)，准线方程为x=?34，
则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为：
y=tan30°(x?34)=33(x?34)，
代入抛物线方程，消去y，得16x2?168x+9=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=16816=212，
所以|AB|=x1+34+x2+34
=34+34+212=12．
故选C．
9.【答案】B
【解答】
解：由y?2=mx+m变形成y?2=m(x+1)，
不论m取何值，当x=?1时，y=2，
所以直线恒过定点(?1,2)．
故选B．
10.【答案】C
【解答】
解：圆C1:x2+y2?4x+6y=0的圆心坐标为C1(2,?3)，圆C2:x2+y2?6x=0的圆心坐标为C2(3,0)，
则直线C1C2的斜率为?3?02?3=3，
则直线C1C2的方程为y=3(x?3)，即3x?y?9=0，
所以弦AB的垂直平分线方程是3x?y?9=0，
故选C．
11.【答案】C
【解答】
解：直线l：kx?y+1?2k=0可以写成y?1=k(x?2)，
由点斜式方程知直线过定点(2,1)．
故选C．
12.【答案】C
【解答】
解：当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是y?1=x?1，即y=x；
当直线不过原点时，设直线的方程是：xa+ya=1，把点M(1,1)代入方程得a=2，直线的方程是x+y=2．
综上，所求直线的方程为y=x或x+y=2
故选C．
13.【答案】3x?y?3=0
【解析】解：∵直线l的倾斜角为π3，∴斜率k=tanπ3=3，
又直线l过点(1,0)，
∴直线l的方程为y=3(x?1)，即3x?y?3=0
故答案为：3x?y?3=0
14.【答案】(0,173)
【解答】
解：点A(2,5)关于y轴对称的点A′(?2,5)，
连接A′B与y轴交于点P，此时|PA|+|PB|的值最小，
直线A′B的解析式为y?5=7?54?(?2)[x?(?2)]，即y=13x+173，
令x=0，得y=173，所以P(0,173).
故答案为：(0,173).
15.【答案】3x+4y+15=0
【解析】设所求直线的斜率为k，依题意k=?14×3=?34．
又直线经过点A(?1,?3)，
因此所求直线方程为y+3=?34(x+1)，
即3x+4y+15=0．
16.【答案】；
(2)?∞,13．
【解答】
解：设切线的斜率为k，则，
当时，k有最小值?4，又f(1)=?203，
所以切线方程为，
即．
故答案为．
【解答】
解：因为，则，
若直线对任意的都不是曲线的切线，
则直线的斜率为?1，与直线没有交点，
又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率，
则当时取最小值，，
解得：a<13，
则a的取值范围为?∞,13，
故答案为?∞,13．
17.【答案】3x?y?2=0
【解答】
解：由f(x)=x2+lnx得：，
．
又f(1)=1．
∴函数f(x)=x2+lnx在x=1处的切线方程为y?1=3×(x?1)．
即3x?y?2=0．
故答案为：3x?y?2=0．
18.【答案】16
【解答】
解：因为f(x)=ln?x?2x2，
∴f′(x)=1x?4x，
所以切线的斜率k=f′(1)=?3，f(1)=?2，
∴曲线f(x)=ln?x?2x2在点(1,f(1))处的切线为y+2=?3(x?1)，即3x+y?1=0，
当x=0时，y=1，当y=0时，x=13，
∴曲线f(x)=ln?x?2x2在点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为：S=12×1×13=16．
故答案为16．
19.【答案】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，
此时与l1、l2的交点分别为A′(3,?4)或B′(3,?9)，
截得的线段AB的长|AB|=|?4+9|=5，符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k(x?3)+1．
解方程组y=k(x?3)+1x+y+1=0得
A(3k?2k+1,?4k?1k+1).
解方程组y=k(x?3)+1x+y+6=0得
B(3k?7k+1,?9k?1k+1).
由|AB|=5．
得(3k?2k+1?3k?7k+1)2+(?4k?1k+1+9k?1k+1)2=52．
解之，得k=0，直线方程为y=1．
综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．
解法二：由题意，直线l1、l2之间的距离为d=|1?6|2=522，
且直线L被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5，
设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ=5225=22，故θ=45°．
由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°，
又由直线l过点P(3,1)，故直线l的方程为：x=3或y=1．
解法三：设直线l与l1、l2分别相交A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+y1+1=0，x2+y2+6=0．
两式相减，得(x1?x2)+(y1?y2)=5.①
又(x1?x2)2+(y1?y2)2=25.②
联立①、②可得x1?x2=5y1?y2=0或x1?x2=0y1?y2=5
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°．
故所求的直线方程为x=3或y=1．
20.【答案】解：(1)直线AC的斜率kAC=4?(?6)(?1)?4=?2；
∵BD⊥AC，
∴kBD·kAC=?1．
∴kBD·(?2)=?1，得：kBD=12．
又因为直线BD过点B(?4,1)，
∴y?1=12(x+4)，
化简得：BD所在的直线方程为x?2y+6=0．
(2)∵kAC=?2，
∴直线AC的方程为：y?4=?2(x+1)，
即：2x+y?2=0，
联立方程组得：2x+y?2=0x?2y+6=0,
解得x=?25y=145,∴D(?25,145)．
∴|BD|=(?25+4)2+(145?1)2=955，
|AC|=(4+1)2+(?6?4)2=55，
∴S△ABC=12|AC|?|BD|=12×55×955=452．
21.【答案】解：(1)因为l与直线y=2x垂直，所以l的斜率为?12，?
由点斜式可得，l的方程为y+2=?12(x?3)，
即x+2y+1=0.??
(2)当直线l过原点时，l的斜率为k=?23，? ?
所以l的方程为y=?23x，即2x+3y=0，
当直线l不过原点时，设直线l的方程为xa+ya=1，
代入(3,?2)，得a=1，
所以l的方程为x+y?1=0，
综上，l的方程为2x+3y=0或x+y?1=0.?????????????????
22.【答案】解：(1)由mx+y?3m?1=0得m(x?3)+(y?1)=0，直线过定点(3,1)，
故A的坐标为(3,1)
直线2x+y?5=0的斜率为k1=?2．
直线l经过点A且与直线2x+y?5=0垂直，则k2=?1k1=12．
故直线l的方程为y?1=12(x?3)，
即x?2y?1=0;
(2)①当直线l斜率不存在时，因为直线过点A，所以直线方程为x=3(符合);
②当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx?3k+1，即kx?y?3k+1=0．
因为原点到直线的距离为3，即|?3k+1|k2+1=3，
得k=?43，
所以直线l的方程为4x+3y?15=0;
综上所以直线l的方程为x=3或4x+3y?15=0．

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