资源简介

集合的初步（2）
集合的基本运算
知识讲解
一、交集、并集、补集概念
1.交集
定义：由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．
记作（读作“交”），即且
①
数学符号表示：且
②
Venn图反映：
2.并集
定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．
并集．（读作“并”）
①
数学符号表示：
或
②
Venn图反映：
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集的补集，记作，即且
①数学符号表示：
且
②Venn图反映：
二、集合的运算性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
三、容斥原理
．
典型例题
1．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．
（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；
（Ⅱ）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．
所以B={x|2≤x≤4}，
根据题意，由图可得：C=A∩（CUB），
因为B={x|2≤x≤4}，则CUB={x|x＞4或x＜2}，
而A={x|1≤x≤3}，则C=A∩（CUB）={x|1≤x＜2}；
（Ⅱ）因为集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2≤x≤4}，
所以A∪B={x|1≤x≤4}，．
若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），
则有，
解得2＜a≤3，
即实数a的取值范围为（2，3]．
　2．设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B=?，求m的范围．
【解答】解：集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，
若A∩B=?，
当B=?，可得m+1＞2m﹣1，解得m＜2；
当B≠?，可得或，
得或，
即为m∈?或m＞4，
综上可得m的范围是m＞4或m＜2．
3．已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，
（1）当a=0时，求A∩B，A∪（CRB）；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=0时，A={x|0≤x≤8}，
∵B={x|x＜﹣1或x＞5}，全集为R，
∴A∩B={x|5＜x≤8}，?RB={x|﹣1≤x≤5}，
则A∪?RB={x|﹣1≤x≤8}；
（2）∵A∪B=B，∴A?B，
∴a+8＜﹣1或a＞5，
解得：a＜﹣9或a＞5．
　
4．已知全集U=R，集合A={x|﹣3≤x≤4}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．
（1）若m=3时，求A∪（?UB）；
（2）若A∪B=A，试求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）m=3时，B={x|2≤x≤7}，?UB={x|x＞7或x＜2}，
A={x|﹣3≤x≤4}，
则A∪（?UB）={x|x≤4或x＞7}；
（2）若A∪B=A，则B?A，
①B=?时，可得m﹣1＞3m﹣2
解得m＜；
②B≠?时，可得，解得．
综上所述，m≤2．
　
5．已知集合A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），B={x|x2﹣4x+a=0，a∈R}．
（Ⅰ）若A∩B≠?，求a的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B=B，求a的取值范围．
【解答】解：令f（x）=x2﹣4x+a=（x﹣2）2+a﹣4，则对称轴为x=2，
（Ⅰ）由题意得B≠?，∴△=16﹣4a≥0，解得a≤4…①
∵A∩B≠?，又∵A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
∴f（3）＜0，解得a＜3…②，
由①②得，实数a的取值范围为（﹣∞，3）．
（Ⅱ）∵A∩B=B，
∴B?A，当△=16﹣4a＜0，即a＞4时，B=?，这时满足A∩B=B，
当△=16﹣4a≥0时，B≠?，此时a≤4…③，
∵B?A，
∴f（﹣1）＜0，解得a＜﹣5…④，
由③④，得a＜﹣5．
综上所述，得实数a的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪[4，+∞）．
　
6．已知全集U=R，集合A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．
（1）m=3时，求A∪（?UB）；
（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）把m=3代入得：B={x|2≤x≤7}，
∴?UB={x|x＜2或x＞7}，
∵A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}={x|﹣3≤x≤4}，
∴A∪（?UB）={x|x≤4或＞7}；
（2）∵A∩B=B，
∴B?A，
∴当B=?，即m﹣1＞3m﹣2，此时m＜；
当B≠?，即m﹣1≤3m﹣2，此时m≥，则有，
解得：﹣2≤m≤2，此时≤m≤2，
综上，m的范围是{m|m≤2}．
　
7．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（m+1）x+（m2﹣5）=0}
（1）若A∩B={2}，求实数m的值；
（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x2+2（m+1）x+（m2﹣5）=0}
∵A∩B={2}，∴2∈B．
即4+4（m+1）+（m2﹣5）=0，解得m=﹣1或m=﹣3
若m=﹣1，x2﹣4=0，x=±2符合题意；
若m=﹣3，x2﹣4x+4=0，x=2符合题意；
综上：m=﹣1或m=﹣3；
（2）∵A∪B=A，∴B?A
①B=?，△=4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，即m＜﹣3
②B为单元集，△=0得m=﹣3，若m=﹣3时，B={2}符合
③B为双元集，则B={1，2}．由无解
综上：m取值范围是{m|m≤﹣3}．
　
8．设全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，若A∩?UB={2}，求a、b的值．
【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，
若A∩?UB={2}，则2∈A，
可得4+2a﹣12=0，解得a=4，
即有A={x|x2+4x﹣12=0}={2，﹣6}，
则﹣6∈B，
可得36﹣6b+b2﹣28=0，
解得b=2或b=4，
则B={﹣6，4}或B={﹣6，2}．
显然b=4舍去．
故a=4，b=2．
　
9．已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}．
（1）若集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，求实数t的取值范围；
（2）若集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，且A∩B={x|2≤x≤3}，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）集合A={x|x2﹣3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}，
∵集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，
∴t≤2，
（2）∵集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，
令x2﹣ax+b=0，
∵A∩B={x|2≤x≤3}，
∴3是方程x2﹣ax+b=0的一个根，且△=a2﹣4b＞0
∴9﹣3a+b=0，
∴b=3a﹣9，
∴a2﹣4（3a﹣9）=a2﹣12a+36=（a﹣6）2＞0，
解得a≠6
∵方程的另一个根为x+3=a，
即x=a﹣3，∵A∩B={x|2≤x≤3}，
∴1＜a﹣3≤2，
解得4＜a≤5
故a的取值范围为（4，5]
　
10．已知A={x|x2+x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B=R，求a、b的值．
【解答】解：集合A={x|x2+x＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}
∵A∪B=R
∴B中的元素至少有{x|﹣1≤x≤0}
∵A∩B={x|0＜x≤2}，
∴B={x|﹣1≤x≤2}
∴﹣1，2是方程x2+ax+b=0的两个根，
∴a=﹣1，b=﹣2
即a，b的值分别是﹣1，﹣2．
　
11．已知集合，关于x的不等式|x|＜2的解集为B
（1）求A∩?RB；
（2）设P={x|x∈A∩?RB，x∈Z}，Q={x|m﹣1≤x≤m+1}若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围．
【解答】解：集合={x|﹣3＜x＜4}，
关于x的不等式|x|＜2的解集为B={x|﹣2＜x＜2}；
（1）?RB={x|x≤﹣2或x≥2}，
∴集合A∩?RB={x|﹣3＜x≤﹣2或2≤x＜4}；
（2）P={x|x∈A∩?RB，x∈Z}={﹣2，2，3}，
Q={x|m﹣1≤x≤m+1}，
若P中只有两个元素属于Q，
则，或，
解得m∈?，或2≤m≤3，
∴m的取值范围是2≤m≤3．
　
12．已知集合，集合B={x||x﹣a|≤1，x∈R}．
（1）求集合A；
（2）若B∩?RA=B，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由，得?﹣1＜x≤2，
∴A=（﹣1，2]．
（2）CRA=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B=[a﹣1，a+1]，
由B∩CRA=B，得B?CRA，
所以a+1≤﹣1或a﹣1＞2
所以a的范围为（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）．
　
13．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．
（1）若a=2，求A∩B，A∩（?RB）；
（2）若A∪B=R，求a的取值范围．
【解答】解：（1）a=2时，集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）≥0}=（﹣∞，1]∪[2，+∞），
B={x|x≥2﹣1}={x|x≥1}=[1，+∞）；
A∩B={1}∪[2，+∞）；
?RB=（﹣∞，1），
∴A∩（?RB）=（﹣∞，1）；
（2）当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣2，+∞）；
若A∪B=R，则a﹣2≤1，∴1＜a≤3；
当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；
当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣2，+∞），
若A∪B=R，则a﹣2≤a，显然成立，∴a＜1；
综上，a的取值范围是（﹣∞，3]．集合的初步（2）
集合的基本运算
知识讲解
一、交集、并集、补集概念
1.交集
定义：由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．
记作（读作“交”），即且
①
数学符号表示：且
②
Venn图反映：
2.并集
定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．
并集．（读作“并”）
①
数学符号表示：
或
②
Venn图反映：
3.补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作
补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集的补集，记作，即且
①数学符号表示：
且
②Venn图反映：
二、集合的运算性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
三、容斥原理
．
典型例题
1．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．
（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；
（Ⅱ）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D?（A∪B），求实数a的取值范围．
　2．设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B=?，求m的范围．
3．已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，
（1）当a=0时，求A∩B，A∪（CRB）；
（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
　
4．已知全集U=R，集合A={x|﹣3≤x≤4}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．
（1）若m=3时，求A∪（?UB）；
（2）若A∪B=A，试求实数m的取值范围．
　
5．已知集合A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），B={x|x2﹣4x+a=0，a∈R}．
（Ⅰ）若A∩B≠?，求a的取值范围；
（Ⅱ）若A∩B=B，求a的取值范围．
　
6．已知全集U=R，集合A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．
（1）m=3时，求A∪（?UB）；
（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．
　
7．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（m+1）x+（m2﹣5）=0}
（1）若A∩B={2}，求实数m的值；
（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．
　
8．设全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，若A∩?UB={2}，求a、b的值．
9．已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}．
（1）若集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，求实数t的取值范围；
（2）若集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，且A∩B={x|2≤x≤3}，求实数a的取值范围．
　
10．已知A={x|x2+x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B=R，求a、b的值．
　
11．已知集合，关于x的不等式|x|＜2的解集为B
（1）求A∩?RB；
（2）设P={x|x∈A∩?RB，x∈Z}，Q={x|m﹣1≤x≤m+1}若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围．
　
12．已知集合，集合B={x||x﹣a|≤1，x∈R}．
（1）求集合A；
（2）若B∩?RA=B，求实数a的取值范围．
　
13．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．
（1）若a=2，求A∩B，A∩（?RB）；
（2）若A∪B=R，求a的取值范围．

展开更多......

收起↑