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幂函数
知识讲解
一、幂函数的定义
定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．
二、幂函数的图象
函数的图象：
定义域
值域
单调性
单调递增
在上减
在上增
单调递增
单调递增
在和上单调递减
公共点
图象所在象限
一、三
一、二
一、三
一
一、三
三、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；
（3）时，①幂函数在上是减函数；
②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．
（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；
（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
经典例题
一．解答题（共11小题）
1．已知幂函数f（x）=（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）﹣ax﹣3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意m2﹣5m+7=1，
解得：m=2或3，
若f（x）是偶函数，
故f（x）=x2；
（2）g（x）=f（x）﹣ax﹣3=x2﹣ax﹣3，
g（x）的对称轴是x=，
若g（x）在[1，3]上不是单调函数，
则1＜＜3，解得：2＜a＜6．
　
2．已知幂函数y=f（x）=x（其中﹣2＜m＜2，m∈Z）满足
（1）在区间（0，+∞）上为增函数
（2）对任意的x∈R，都有f（﹣x）+f（x）=0，求同时满足（1）、（2）的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时f（x）的值域．
【解答】解：∵幂函数y=f（x）在区间（0，+∞）为增函数，
则﹣2m2﹣m+3＞0，
即2m2+m﹣3＜0，
解得：m∈（﹣，1），
又∵m∈Z，
∴m=﹣1，或m=0，
当m=﹣1时，y=f（x）=x2为偶函数，不满足f（﹣x）+f（x）=0；
当m=0时，y=f（x）=x3为奇函数，满足f（﹣x）+f（x）=0；
当x∈[0，3]时，f（x）∈[0，27]，
即函数f（x）的值域为[0，27]．
　
3．已知幂函数f（x）=x9﹣3m（m∈N
）的图象关于原点对称，且在R上单调递增．
（1）求f（x）表达式；
（2）求满足f（a+1）+f（3a﹣4）＜0的a的取值范围．
【解答】解：（1）幂函数f（x）=x9﹣3m（m∈N
）的图象关于原点对称，
且在R上单调递增，
可得9﹣3m＞0，
解得m＜3，m∈N
，
可得m=1，2，
若m=1，则f（x）=x6的图象不关于原点对称，舍去；
若m=2，则f（x）=x3的图象关于原点对称，
且在R上单调递增，成立．
则f（x）=x3；
（2）由（1）可得奇函数f（x）在R上单调递增，
f（a+1）+f（3a﹣4）＜0，
可得f（a+1）＜﹣f（3a﹣4）=f（4﹣3a），
即为a+1＜4﹣3a，
解得a＜．
　
4．已知幂函数y=x3m﹣9（m∈N
）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上函数值随x增大而减小．
（1）求m的值；
【解答】解：（1）由幂函数y=x3m﹣9（m∈N
）的图象关于y轴对称，
且在（0，+∞）上函数值随x增大而减小．
∴3m﹣9＜0，且为偶数，m∈N
．
解得m=1．
　
5．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
【解答】解：（1）∵幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
∴﹣m2+2m+3＞0，且﹣m2+2m+3为偶数，
解得m=1，
∴f（x）=x4．
（2）函数g（x）=+2x+c=x2+2x+c，
g（x）＞2，化为c＞﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3≤3．
∵g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，
∴c＞[﹣（x+1）2+3]max=3，当且仅当x=﹣1时取等号．
∴实数c的取值范围是c＞3．
　
6．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值并写出f（x）的解析式；
（2）试判断是否存在a＞0，使函数g（x）=（2a﹣1）x﹣a?f（x）+1在[﹣1，2]上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵f（x）是幂函数，
∴m2﹣2m+1=1，解得：m=0或m=2，
而f（x）在（0，+∞）递增，故m=0，
故f（x）=x2；
（2）由（1）g（x）=（2a﹣1）x﹣ax2+1，
=﹣a（x﹣）2+，
①当∈[﹣1，2]，即a∈[，+∞）时，=，
a=2，g（﹣1）=﹣4，g（2）=﹣1；
②当∈（2，+∞）时，解得﹣＜a＜0，
∵a＞0，∴这样的a不存在．
③当∈（﹣∞，﹣1），即a∈（0，）时，
g（﹣1）=，g（2）=﹣4，解之得，这样的a不存在．
综①②③得，a=2．
即当a=2时，结论成立．
　
7．已知函数f（x）=﹣xm，且f（4）=﹣．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．
【解答】解：（1）∵f（4）=﹣，
∴﹣4m=﹣．∴m=1．
（2）f（x）=﹣x在（0，+∞）上单调递减，证明如下：
任取0＜x1＜x2，则
f（x1）﹣f（x2）==（x2﹣x1）．
∵0＜x1＜x2，
∴x2﹣x1＞0，+1＞0．
∴f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2），
即f（x）=﹣x在（0，+∞）上单调递减．
　
8．）已知函数f（x）是幂函数，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（f（））=8
求函数f（x）的解析式
【解答】解：（1）设幂函数f（x）=xα，α为常数；
∴f（）==，
∴f（f（））==8，
∴=3，解得α=±3；
又f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
∴α=﹣3，
∴f（x）=x﹣3；
9．已知幂函数y=f（x）的图象过点（8，m）和（9，3）．
（1）求实数m的值；
（2）若函数g（x）=af（x）（a＞0，a≠1）在区间[16，36]上的最大值等于最小值的2倍，求实数a的值．
【解答】解：（1）由题意，设幂函数f（x）=xα，图象过点（8，m）和（9，3），
可得9α=3，∴α=，
∴f（x）==；
∴m=f（8）==2，
即m的值为2；
（2）函数g（x）=af（x）=，
∵x∈[16，36]，
∴∈[4，6]；
①当0＜a＜1时，g（x）min=a6，g（x）max=a4，
由a4=2a6，
解得a=；
②当a＞1时，g（x）min=a4，g（x）max=a6，
由a6=2a4，解得a=．
综上，实数a的值为或．
　
10．给出集合A={﹣2，﹣1，，，，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=xa为奇函数；指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数．
（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明；
（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．
【解答】解：（1）a=3．…1分
∵指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数，
∴a＞1，
∴a只可能为2或3．
而当a=2时，幂函数f（x）=x2为偶函数，
只有当a=3时，幂函数f（x）=x3为奇函数．
（只需简单说明理由即可，无需与答案相同）…2分
（2）f（x）=x3在（0，+∞）上为增函数．…1分
证明：在（0，+∞）上任取x1，x2，x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=x13﹣x23
=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）
=，
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）=x3在（0，+∞）上为增函数．…3分
（3）f[g（x）]=（3x）3=33x，
g[f（x）]=，
∴33x=，…2分
根据指数函数的性质，
得3x=x3，
∴x1=0，x2=，x3=．
…1分．幂函数
知识讲解
一、幂函数的定义
定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．
二、幂函数的图象
函数的图象：
定义域
值域
单调性
单调递增
在上减
在上增
单调递增
单调递增
在和上单调递减
公共点
图象所在象限
一、三
一、二
一、三
一
一、三
三、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；
（3）时，①幂函数在上是减函数；
②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．
（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；
（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
经典例题
一．解答题（共11小题）
1．已知幂函数f（x）=（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）﹣ax﹣3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．
　
2．已知幂函数y=f（x）=x（其中﹣2＜m＜2，m∈Z）满足
（1）在区间（0，+∞）上为增函数
（2）对任意的x∈R，都有f（﹣x）+f（x）=0，求同时满足（1）、（2）的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时f（x）的值域．
3．已知幂函数f（x）=x9﹣3m（m∈N
）的图象关于原点对称，且在R上单调递增．
（1）求f（x）表达式；
（2）求满足f（a+1）+f（3a﹣4）＜0的a的取值范围．
4．已知幂函数y=x3m﹣9（m∈N
）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上函数值随x增大而减小．
求m的值；
5．已知幂函数f（x）=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=+2x+c，若g（x）＞2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．
6．已知幂函数在（0，+∞）上单调递增．
（1）求m的值并写出f（x）的解析式；
（2）试判断是否存在a＞0，使函数g（x）=（2a﹣1）x﹣a?f（x）+1在[﹣1，2]上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
7．已知函数f（x）=﹣xm，且f（4）=﹣．
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并给予证明．
　
8．）已知函数f（x）是幂函数，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且f（f（））=8
求函数f（x）的解析式
9．已知幂函数y=f（x）的图象过点（8，m）和（9，3）．
（1）求实数m的值；
（2）若函数g（x）=af（x）（a＞0，a≠1）在区间[16，36]上的最大值等于最小值的2倍，求实数a的值．
10．给出集合A={﹣2，﹣1，，，，1，2，3}．已知a∈A，使得幂函数f（x）=xa为奇函数；指数函数g（x）=ax在区间（0，+∞）上为增函数．
（1）试写出所有符合条件的a，说明理由；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并证明；
（3）解方程：f[g（x）]=g[f（x）]．

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