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函数的奇偶性
知识讲解
一、函数奇偶性的定义
1.奇函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数．
2.偶函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数．
二、奇偶函数的图象特征
1.函数是偶函数的图象关于轴对称；
2.函数是奇函数的图象关于原点对称．
三、判断函数奇偶性的方法
1.定义法：
首先判断其定义域是否关于原点中心对称．
若不对称，则为非奇非偶函数；
若对称，则再判断或是否为恒等式．
定义的等价形式：，．
2.图象法
3.性质法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
四、奇偶函数的性质
1.函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；
2.函数是偶函数的图象关于轴对称；
3.函数是奇函数的图象关于原点对称．
4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
5.若奇函数的定义域包含0，则．
五、常见函数的奇偶性
1.正比例函数是奇函数；
2.反比例函数是奇函数；
3.函数是非奇非偶函数；
4.函数是偶函数；
5.常函数是偶函数；
6.对勾函数是奇函数；
经典例题
一．填空题（共4小题）
1．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=ex，则有f（x），g（x）的解析式分别为　　．
【解答】解：∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，
则f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）
又∵f（x）﹣g（x）=ex，…①
∴f（﹣x）﹣g（﹣x）=e﹣x，
∴﹣f（x）﹣g（x）=e﹣x，…②
由①②得
故答案为：
　
2．已知函数f（x）=为奇函数．
（1）则a=　1　
（2）函数g（x）=f（x）﹣的值域为　（﹣1，0）∪（0，1）　．
【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=，则有f（﹣x）==，
若函数f（x）为奇函数，则有=﹣，
分析可得，a=1，
（2）由（1）可得，a=1，则f（x）=，
则g（x）=f（x）﹣=﹣=1+﹣，
其中x≠0，
则g（﹣x）=+=+=﹣（﹣）=﹣g（x），则函数g（x）为奇函数，
当x＞0时，函数为增函数，当x→+∞时，g（x）→1，
即当x＞0时，0＜g（x）＜1，∵函数是奇函数，
∴当x＜0时，﹣1＜g（x）＜0，
综上函数的值域为（﹣1，0）∪（0，1），
故答案为：1，（﹣1，0）∪（0，1），
　
3．若x∈[2，+∞），不等式（m﹣m2）x+x2+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是　（）　．
【解答】解：∵x∈[2，+∞），
∴不等式（m﹣m2）x+x2+1＞0可化为
，
令f（x）=，则，
∵x≥2，
∴＞0，
∴f（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[2，+∞）的最小值为f（2）=，
∴不等式（m﹣m2）x+x2+1＞0恒成立等价于
，
解得，
故答案为：．
　
4．若不等式2x2﹣（x﹣a）|x﹣a|﹣2≥0对于任意x∈R恒成立，则实数a的最小值是　　
【解答】解：令x﹣a=t，不等式2x2﹣（x﹣a）|x﹣a|﹣2≥0对于任意x∈R恒成立，
即为2（t+a）2﹣2≥t|t|对一切实数t恒成立，
当t=0，可得a2≥1；
当t＞0时，2（t+a）2﹣2≥t|t|即为t2+4at+2a2﹣2≥0恒成立，
可得若对称轴t=﹣2a≤0，即a≥0，且2a2﹣2≥0，解得a≥1；
若t=﹣2a＞0，即a＜0，且﹣2a2﹣2＜0，不符题意；
当t＜0时，2（t+a）2﹣2≥t|t|即为3t2+4at+2a2﹣2≥0恒成立，
可得若对称轴t=﹣a≤0，即a≥0，且≥0，解得a≥；
若t=﹣a＞0，即a＜0，且2a2﹣2≥0，可得a≤﹣1；
综上可得，原不等式恒成立时，a≥，
可得a的最小值为，
故答案为：．
　
二．解答题（共13小题）
5．已知函数f（x），当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1
（1）若f（x）为R上的奇函数，则函数在R上的解析式为？
（2）若f（x）为R上的偶函数，则函数在R上的解析式为？
【解答】解：（1）设x＞0，则﹣x＜0；
∵当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1，∴f（﹣x）=x2﹣2x﹣1，
∵f（x）为R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2+2x+1，
∴函数在R上的解析式f（x）=；
（2）设x＞0，则﹣x＜0；
∵当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1，∴f（﹣x）=x2﹣2x﹣1，
∴f（x）为R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x﹣1，
且f（0）=f（﹣0）=﹣1，
∴函数在R上的解析式f（x）=．
　
6．已知函数
f（x）=x2﹣|x|+1．
（1）求不等式
f（x）≥2x
的解集；
（2）若关于
x
的不等式f（x）
在[0，+∞）上恒成立，求
a
的取值范围．
【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x2﹣x+1≥2x，
解得：0≤x≤或x≥，
x＜0时，f（x）=x2+x+1≥2x，解得：x＜0，
综上，x∈（﹣∞，]∪[，+∞）；
（2）f（x）≥|+a|，x∈[0，+∞），
故x2﹣x+1≥|+a|，
故，
解得：﹣≤a≤．
　
7．已知函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），对定义域内的任意m，n都有f（m?n）=f（m）+f（n），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=2，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x﹣1）＜4．
【解答】（1）证明：因为对定义域内的任意m，n都有f（m?n）=f（m）+f（n），
所以，令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0；
令m=n=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），即0=2f（﹣1），所以f（﹣1）=0．
对定义域内的任意m，取n=﹣1，有f（﹣m）=f（m）+f（﹣1），即f（﹣m）=f（m），
所以f（x）是偶函数．
（2）证明：设0＜x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1）=f（x1?）﹣f（x1）=f（x1）+f（）﹣f（x1）=f（），
因为当x＞1时f（x）＞0，且＞1，所以f（）＞0，
即f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）．
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解：由f（2）=2，得4=f（2）+f（2）=f（2?2）=f（4），
由（1），（2）得，f（2x﹣1）＜4?f（|2x﹣1|）＜f（4）?0＜|2x﹣1|＜4，
解得﹣＜x＜，且x．
所以不等式的解集为：{x|﹣＜x＜，且x}．
　
8．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x1，x2均有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．
（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；
（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＞0，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．你还能发现f（x）的其他性质吗？
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x1，x2均有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），
∴f（x）=0（x＞0）就是这样的函数（也可用f（x）=log2x）．
（Ⅱ）类比对数函数提出猜想：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明：设0＜x1＜x2，则＞1，
∵x＞1时，f（x）＞0，
∴f（）＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x1?）=f（x1）+f（）﹣f（x1）=f（）＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数（证毕）．
f（x）还具有下列性质：f（x）的图象经过（1，0）；当0＜x＜1时，y＜0．
　
9．（A）6﹣﹣18班已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；
（2）设条件P：当时，不等式f（x）＜5x+1+t恒成立；Q：设奇函数g（x）在[﹣1，1]上是增函数，且g（﹣1）=﹣1，当a∈[﹣1，1]时，g（x）≤t2﹣2at+1
对所有的x∈[﹣1，1]恒成立．
如果满足P成立的实数t的集合记为A，满足Q成立的实数t的集合记为B，求A∩?RB．
【解答】解：（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1），
∴f（0）=﹣2
…..（2分）
令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1），
又∵f（0）=﹣2，
∴f（x）=x2+x﹣2
…..（4分）
（2）不等式f（x）＜5x+1+t
即x2+x﹣2＜5x+1+t
即t＞x2﹣4x﹣3当时，，
又t＞x2﹣4x﹣3恒成立
故
…．（7分）
依题意当|f（a）|=|f（b）|时，t2﹣2at≥0恒成立，
可得t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）
…（10分）
∴B=（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞），
∴CRB=（﹣2，0）∪（0，2）…（11分）
∴A∩CRB=
…（12分）
　
10．设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试判断函数的单调性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2．
【解答】解：（1）令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0
（2）令y=﹣x，得
f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）是R上的奇函数
（3）f（x）是R上的增函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x1＜x2，则x2﹣x1＞0
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）＞0
∴f（x1）＜f（x2）
故f（x）是R上的增函数
∵，∴
∴，
又由y=f（x）是定义在R上的增函数，得
解之得，故．
　
11．函数f（x）满足f（x+2）=﹣，求证：f（x）是周期函数，并求出它的一个周期．
【解答】证明：∵f（x+4）=f（（x+2）+2）=﹣=f（x），
∴f（x）是周期函数，且4是它的一个周期．
　
12.已知f（x）=（a，b为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数并求值域；
（3）求不等式f（2t﹣1）+f（t）＜0的解集．
【解答】解：（1）由题意可得：，解得a=2，b=0，
∴f（x）=．
（2）证明：设任意﹣1＜x1＜x2＜1，，
∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0；
∵﹣1＜x1，x2＜1，∴1﹣x1x2＞0，．
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（﹣1，1）上是增函数．
∴f（x）的值域为（﹣1，1）．
（3）∵f（2t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），
∴．
　
13．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式．
【解答】解：（1）在f（）=f（x）﹣f（y）中，f（x）定义在（0，+∞），
令x=y=1，
则有f（1）=f（1）﹣f（1），
∴f（1）=0．
（2）∵f（6）=1，
∴f（x+3）﹣f（）＜2=f（6）+f（6），
∴f（3x+9）﹣f（6）＜f（6），
即f（）＜f（6）．
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴
解得﹣3＜x＜9．
即不等式的解集为（﹣3，9）
　
14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）．
【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．
∴f（x）是周期为4的周期函数．
（2）解：∵x∈[2，4]，
∴﹣x∈[﹣4，﹣2]，
∴4﹣x∈[0，2]，
∴f（4﹣x）=f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣f（x）=﹣x2+6x﹣8，
又f（4﹣x）=f（﹣x）=﹣f（x），
∴﹣f（x）=﹣x2+6x﹣8，
即f（x）=x2﹣6x+8，x∈[2，4]．
（3）解：∵f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=﹣1
又f（x）是周期为4的周期函数，
f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…
=f（2012）+f（2013）+f（2014）+f（2015）=0，
则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）=f（2016）=f（0）=0．
　
15．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣f（x+2），且当x∈[0，2]时f（x）=x（x﹣2），
（1）求f（﹣1），f（2.5）的值
（2）写出f（x）在[﹣2，2]上的解析式
（3）当x∈[﹣2，0]时，求不等式f（x）＞的解集．
【解答】解：（1）∵f（x）=﹣f（x+2），
∴f（﹣1）=﹣f（1）=1．
f（2.5）=﹣f（0.5）=．
（2）当x∈[﹣2，0]时，x+2∈[0，2]，
∴f（x）=﹣f（x+2）=﹣（x+2）（x+2﹣2）=﹣x（x+2）．
∴f（x）=．
（3）当x∈[﹣2，0]时，f（x）=﹣x（x+2）=﹣x2﹣2x，
由f（x）＞得﹣x2﹣2x＞，
解得：﹣＜x＜﹣．
∴当x∈[﹣2，0]时，求不等式f（x）＞的解集为（﹣，﹣）．
　
16．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，
∴f（0）=0，
即=0，
解得：b=1，
f（﹣1）=﹣f（1），
即=﹣，
解得：a=2
证明：（2）由（1）得：f（x）=，
设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，
故＞0，＞0，＞0．
即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x）在R上是单调减函数；
（3）由（2）知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．
又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式△=4+12k＜0?k＜﹣．
所以k的取值范围是k＜﹣．
　
17．设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2（x1≠x2），都有．
（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；
（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）?M；
（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=也是M中的元素，并举例说明，G（x）=不一定是M中的元素．
【解答】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R，
由f（x1）+f（x2）=x12+x22，
f（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x1x2+x22，
f（x1+x2）﹣f（x1）﹣f（x2）=﹣x12+x1x2﹣x22
=﹣（x1﹣x2）2＜0，
即有f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），
则函数f（x）=x2为M中元素；
（2）证明：函数f（x）是奇函数，定义域为R，
且f（﹣x）=﹣f（x），
图象关于原点对称，
若x＞0时，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），
则x＜0时，f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2），
则条件②不满足，
则f（x）?M；
（3）证明：设f（x）和g（x）都是M中的元素，
当x1，x2对应的点在f（x）或g（x）的图象上，
由题设可得结论成立；
若x1，x2对应的点一个在f（x）图象上，一个在g（x）的图象上，
由f（x1）+g（x2）＞g（x1）+g（x2）＞g（x1+x2），
或f（x1）+g（x2）＞f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），
由题设可得结论成立，
综上可得F（x）=也是M中的元素；
比如：f（x）=x2，g（x）=（x+3）2，
如x≥﹣1.5，可得G（x）=x2，
x＜﹣1.5，可得G（x）=（x+3）2，
取x1=﹣2，x2=﹣1，
可得x1+x2=﹣，G（﹣）=，
f（x1）+f（x2）=+=1，
可得f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2），
则G（x）不一定为M中的元素．函数的奇偶性
知识讲解
一、函数奇偶性的定义
1.奇函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数．
2.偶函数：设函数的定义域为，如果对于内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做偶函数．
二、奇偶函数的图象特征
1.函数是偶函数的图象关于轴对称；
2.函数是奇函数的图象关于原点对称．
三、判断函数奇偶性的方法
1.定义法：
首先判断其定义域是否关于原点中心对称．
若不对称，则为非奇非偶函数；
若对称，则再判断或是否为恒等式．
定义的等价形式：，．
2.图象法
3.性质法：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
四、奇偶函数的性质
1.函数具有奇偶性其定义域关于原点对称；
2.函数是偶函数的图象关于轴对称；
3.函数是奇函数的图象关于原点对称．
4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
5.若奇函数的定义域包含0，则．
五、常见函数的奇偶性
1.正比例函数是奇函数；
2.反比例函数是奇函数；
3.函数是非奇非偶函数；
4.函数是偶函数；
5.常函数是偶函数；
6.对勾函数是奇函数；
经典例题
一．填空题（共4小题）
1．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）=ex，则有f（x），g（x）的解析式分别为　
　．　
2．已知函数f（x）=为奇函数．
（1）则a=　　
（2）函数g（x）=f（x）﹣的值域为　
　．
3．若x∈[2，+∞），不等式（m﹣m2）x+x2+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是　
　．　
4．若不等式2x2﹣（x﹣a）|x﹣a|﹣2≥0对于任意x∈R恒成立，则实数a的最小值是
　
　　
　
二．解答题（共13小题）
5．已知函数f（x），当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1
（1）若f（x）为R上的奇函数，则函数在R上的解析式为？
（2）若f（x）为R上的偶函数，则函数在R上的解析式为？
　
6．已知函数
f（x）=x2﹣|x|+1．
（1）求不等式
f（x）≥2x
的解集；
（2）若关于
x
的不等式f（x）
在[0，+∞）上恒成立，求
a
的取值范围．
7．已知函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），对定义域内的任意m，n都有f（m?n）=f（m）+f（n），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=2，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x﹣1）＜4．
　
8．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），对任意正数x1，x2均有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）．
（Ⅰ）请写出一个这样的函数f（x）；
（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＞0，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．你还能发现f（x）的其他性质吗？
　
9．（A）6﹣﹣18班已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值，及f（x）的解析式；
（2）设条件P：当时，不等式f（x）＜5x+1+t恒成立；Q：设奇函数g（x）在[﹣1，1]上是增函数，且g（﹣1）=﹣1，当a∈[﹣1，1]时，g（x）≤t2﹣2at+1
对所有的x∈[﹣1，1]恒成立．
如果满足P成立的实数t的集合记为A，满足Q成立的实数t的集合记为B，求A∩?RB．
　
10．设函数y=f（x）是定义域在R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）试判断函数的单调性，并求解不等式f（x）+f（2+x）＜2．
　
11．函数f（x）满足f（x+2）=﹣，求证：f（x）是周期函数，并求出它的一个周期．
　
12．已知f（x）=（a，b为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）=
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数并求值域；
（3）求不等式f（2t﹣1）+f（t）＜0的解集．
　
13．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x，y＞0，满足．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，解不等式．
14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）．
　
15．已知函数f（x）对任意实数x都有f（x）=﹣f（x+2），且当x∈[0，2]时f（x）=x（x﹣2），
（1）求f（﹣1），f（2.5）的值
（2）写出f（x）在[﹣2，2]上的解析式
（3）当x∈[﹣2，0]时，求不等式f（x）＞的解集．
　
16．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．
　
17．设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2（x1≠x2），都有．
（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；
（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）?M；
（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=也是M中的元素，并举例说明，G（x）=不一定是M中的元素．

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