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考点3 导数及其应用—2022届高考数学一轮复习考点提升练
一．选择题
1.已知曲线在点处的切线方程为，则( )
A. B.
C. D.
2.已知函数有极值，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知函数与函数的图像在区间上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知定义域为R的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二．填空题
7.已知定义在R上的偶函数，其导函数为，若，则不等式的解集是________.
8.已知函数，存在m，n，使得，且，则的最小值为_______________.
9.已知函数，其中a为正实数，若在上无最小值，且在上是单调递增函数，则实数a的取值范围为_____________.
三．综合题
10.已知函数.
（1）求在区间上的值域；
（2）是否存在实数a，对任意的，在上总存在两个不同的使得？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由.
答案以及解析
一．选择题
1.答案：D
解析：令，则.
曲线在点处的切线方程为，
即解得故选D.
2.答案：C
解析：，
，
函数在R上存在极值，
函数在R上不是单调函数，
有两个不相等的实数根，
即，
解得或，故选C.
3.答案：C
解析：由题意知，在上恒成立，即在上恒成立.
令，其导函数恒成立.故的最小值为，故.故选C.
4.答案：A
解析：由题意可得在上恰有两个实数解，
即在上恰有两个实数解，
即在上恰有两个实数解.
令，
则，
函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
.
5.答案：C
解析：由题意知当时，恒成立，即恒成立.
当时，在上单调递减，成立；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，故.
所以.
当时，恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，
易知为函数在上唯一的极小值点，也是最小值点，故，所以.
综上可知，的取值范围是.故选C.
6.答案：D
解析：令，则，
定义域为R的函数满足，
在R上恒成立，函数在R上单调递增，
当时，由，知，
当时，不等式显然成立.
当时，，不等式可化为，
整理得，即，
所以，得，所以；
当时，，不等式可化为，
整理得，即，
所以，得，所以.
综上所述，原不等式的解集为.
二．填空题
7.答案：
解析：构造函数，所以，
可得函数在上单调递增.因为是偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增.由，即得.又因为，所以不等式的解集为.
8.答案：
解析：易知的定义域为，
.
令，即，，
因为存在m，n，使得，且，
所以在上有两个不相等的实数根m，n，且，，
所以，，
所以
.
令，
则，当时，恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即的最小值为.
9.答案：
解析：，
，
若在上无最小值，
则在上单调，
在上恒成立或在上恒成立，
或，
而函数在上单调递减，
且时，时，，
或，而a为正实数，故.①
，
函数在区间上单调递增，
在区间上恒成立，
在区间上恒成立.
而.②
由①②得.
三．综合题
10.答案：（1）易得，当时，单调递增，
当时，单调递减，
且，
在上的值域为.
（2）由已知得，且，
当时，（当且仅当时等号成立），在上单调递增，不合题意.
当时，（当且仅当时等号成立），在上单调递减，不合题意.
当时，令，得.
当时，单调递减，
当时，单调递增，.
由（1）知在上的值域为，
而，
所以对任意的，在区间上总存在两个不同的，使得，
当且仅当
即
由①得.
设，
则，
当单调递减，，
无解.
综上，满足条件的实数a不存在.

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