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考点4 导数及其应用
—2022届高考数学一轮复习考点易错题提升练
【易错点分析】
1.用导数求函数的单调区间的方法：
（1）当不等式或可解时，确定函数的定义域，解不等式或求出单调区间.
（2）当方程可解时，确定函数的定义域，解方程，求出实数根，把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定在各个区间内的符号，从而确定单调区间.
（3）不等式或及方程均不可解时求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号，得单调区间.
2.已知函数单调性，求参数范围的方法：
（1）利用集合间的包含关系处理：在上单调，则区间是相应单调区间的子集.
（2）转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”.
（3）可导函数在区间上存在单调区间，实际上就是（或）在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围.
3.已知函数求极值：求求方程的根，列表检验在的根的附近两侧的符号，下结论.
4.求函数在上的最大值和最小值的步骤：
（1）若所给的闭区间不含参数，
①求函数在内的极值；
②求函数在区间端点的函数值，；
③将函数的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若所给的闭区间含有参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.
【提升练习】
1.函数的图象在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
2.若函数有两个极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知函数(为自然对数的底数)，，直线是曲线与的公切线，则直线的方程为( )
A. B.或
C. D.或
4.已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的定义域为，则( )
A.为奇函数
B.在上单调递增
C.恰有4个极大值点
D.有且仅有4个极值点
7.曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________________.
8.某厂生产某种产品x件的总成本(单位：万元)，产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时总利润最大.
9.已知函数，当时，的零点个数为___________；若在定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围为_______________.
10.已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，证明：.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以，所以，故函数的图象在点处的切线方程为，即.故选A.
2.答案：A
解析：.因为函数有两个极值点，所以有两个不等的实根，则，解得，故选A.
3.答案：D
解析：设直线与曲线的切点坐标为与曲线的切点坐标为，则消去，整理得，故或所以的方程为或，选D.
4.答案：C
解析：因为在R上单调递增，所以在R上恒成立，即在R上恒成立.令，又，所以，所以.
5.答案：D
解析：的定义域为，由恒成立得恒成立，设，则.设，则恒成立，在上单调递减，又当时，，即.当时，，即.在上单调递增，在上单调递减，.
6.答案：BD
解析：因为的定义域为，所以是非奇非偶函数.，
.
当时，，在上单调递增.
显然，令，得，
分别作出在区间上的图像，如图所示，
由图可知，这两个函数的图像在区间上共有4个公共点，且两图像在这些公共点上都不相切，故在区间上的极值点的个数为4，且只有2个极大值点.
7.答案：
解析：设切点为，对求导得，则曲线的切线的斜率为，解得.所以，则切点为，切线方程为，即.
8.答案：225
解析：设产品单价为m，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，所以(其中k为非零常数).又因为生产100件这样的产品单价为50万元，所以，故.
记生产x件产品时，总利润为，
所以.
则，
由得；
由得，
故函数在上单调递增，在上单调递减.
因此当时，取最大值.
即产量定为225件时，总利润最大.
9.答案：0；
解析：当时，令，则，显然此方程无解，故的零点个数为0.由题意，知，方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的根，可转化为函数与的图象在上有两个不同交点.当直线与的图象相切时，设切点坐标为.令，则，故切点坐标为.由图象可得，要使直线与的图象有两个交点，只需.
10.答案：(1)的定义域为.
若，则，当且仅当时，所以在单调递减.
若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
(2)由(1)知，存在两个极值点时，当且仅当.
由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，
所以等价于.
设函数，由(1)知，在单调递减，又，从而当时，.
所以，即.

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