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考点6 数列
—2022届高考数学一轮复习考点易错题提升练
【易错点分析】
1.等差数列通项公式：.
2.等差中项公式：.
3.等差数列前n项和公式：.
4.等差数列的性质：
已知数列是等差数列，是的前n项和.
（1）若，则有.
（2）等差数列的单调性：当时，是递增函数；当时，是递减函数；当时，是常数列.
（3）若是等差数列，公差为d，则是公差为的等差数列.
（4）若是等差数列，则也是等差数列，其首项与的首项相同，其公差是的公差的.
（5）若是等差数列，分别为的前m项，前2m项，前3m项的和，则成等差数列，公差为（d为数列的公差）.
5.等比数列通项公式：.
6.等比中项公式：.
7.等比数列前n项和公式：.
8.等比数列的前n项和的性质：
（1）当（或且k为奇数）时，是等比数列.
（2）若，则成等比数列.
（3）若数列的项数为2n，与分别为偶数项与奇数项的和，则；若项数为，则.
9.数列求和的方法：
（1）公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解.
（2）分组求和法：根据数列或数列通项公式的特征，将其分解为一些可以直接求和的数列（如等差数列、等比数列、常数列等），再分组求和.
（3）错位相减法：在数列中，是等差数列，是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和.
（4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和，分式型数列的求和多用此法.
常见的裂项方法：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥若为等差数列，公差为，则.
（5）倒序相加法
已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”.先把求和的式子倒过来写，然后对两个求和的式子进行相加，即可求出该数列的前n项和.
（6）并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和.形如，可采用并项求和法.
【提升练习】
1.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
A.-1，-2，-3，-4，… B.-1，，，，…
C.-1，-2，-4，-8， … D.1，，，，…，
2.已知等差数列的前n项和为，则( )
A.3 B.6 C.9 D.12
3.已知正项等比数列中，与的等差中项为9，则( )
A.729 B.332 C.181 D.96
4.设数列的前n项和为.若，则数列的前40项的和为( )
A. B. C. D.
5.古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何?”意思是一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问：这个女子每天分别织布多少?根据上述已知条件，若要使该女子织布的总尺数不少于30，则所需的天数至少为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
6.已知数列满足.记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
7.设等差数列的前项和为，若，则____________，的最小值为________________.
8.设是等比数列的前项和，若，则______________.
9.若数列满足，则称数列为“差半递增”数列.若数列为“差半递增”数列，且其通项与前项和满足，则实数的取值范围是______________.
10.已知数列满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）若，设数列的前n项和为，求及其最小值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：对于A，数列-1，-2，-3，-4，…是递减数列，故A不符合题意；对于B，数列-1，，，，…是递增数列，也是无穷数列，故B符合题意；对于C，数列-1，-2，-4，-8，…是递减数列，故C不符合题意；对于D，此数列不是无穷数列，故D不符合题意.故选B.
2.答案：B
解析：设等差数列的公差为.，.故选B.
3.答案：D
解析：本题考查等比数列基本量的计算和等差中项、等比中项.设正项等比数列的公比为，由可得，即.由与的等差中项为9，可得，即可得解得或(舍)，则故选D.
4.答案：D
解析：根据，可知当时，.当时，，上式成立，，，其前n项和，其前40项的和.故选D.
5.答案：C
解析：设该女子第一天织布尺，则，解得，所以前天织布的总尺数为，由，得，所以的最小值为8.
6.答案：ABD
解析：由，得，所以，，故A正确.由，得，即，所以，故B正确.易知，所以，故C不正确.易知，所以，所以，故D正确.故选ABD.
7.答案：0；
解析：设等差数列的首项为，公差为.由，得，.
方法一：.
当或5时，取最小值，为.
方法二：.由得，且时，，故当或5时，取最小值，为.
8.答案：
解析：方法一：设数列的公比为，且，即.
.
方法二：由可设，由等比数列中成等比数列，得，解得，则.
9.答案：
解析：由题意知，①，当时，，得；
当时，②，①②并化简，得，故数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以，因为数列为“差半递增”数列，所以，解得.
10.答案：（1）当时，，.
当时，，
，即.
经检验，首项也符合上式，则数列的通项公式为.
（2）由（1）得.
，①
则.②
①-②，得
.
故.
，的最小值为.

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