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考点8 立体几何
—2022届高考数学一轮复习考点易错题提升练
【易错点分析】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.一般地，表面积=侧面积+底面积.
多面体 侧面展开图 面积公式
棱柱 （如三棱柱）

棱锥 （如三棱锥）

棱台 （如三棱台）

2.圆柱、圆锥、圆台的表面积
旋转体 侧面展开图 面积公式
圆柱
底面积：
侧面积：
表面积：
圆锥
底面积：
侧面积：
表面积：
圆台
上底面面积：
下底面面积：
侧面积：
表面积：
3.柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积公式
柱体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
锥体 （为底面面积，为高），（为底面半径，为高）
台体 （分别为上、下底面面积，为高），
（分别为上、下底面半径，为高）
4.球的表面积和体积
（1）球的表面积：设球的半径为，则球的表面积为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
（2）球的体积：设球的半径为，则球的体积为.
5.直线与直线平行：
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.
6.等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
7.直线与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
，，且.
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
8.直线与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
，，.
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
9.平面与平面平行的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
，，，，
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
10.平面与平面平行的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
，，.
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
11.异面直线所成的角：
（1）定义：已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（2）异面直线所成的角的取值范围：.
（3）两条异面直线互相垂直：两条异面直线所成的角是直角，即时，与互相垂直，记作.
12.直线与平面垂直的概念
定义 如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作，
直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.它们唯一的公共点叫做垂足.
画法图示 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示
点到面的距离 线到面的距离
两面间的距离
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
13.直线与平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
，，，，
.
该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.
14.直线和平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，图中直线.
斜足 斜线和平面的交点，图中点.
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.
直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角；
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；
一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是的角.
取值范围
15.直线与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行.
，
16.二面角的概念
概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
记法 棱为，面分别为的二面角记为.
也可在内（棱以外的半平面部分）分别取点，记作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角.
图示
符号 ，，，，，，是二面角的平面角.
范围
规定 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
17.平面与平面垂直
（1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作.如图
（2）判定定理：
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
，.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
18.平面与平面垂直的性质定理
自然语言 图形语言 符号语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
，，，.
该定理可简记为“若面面垂直，则线面垂直”.
19.一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别是u，v，则.
20.直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如下图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则.
21.平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为，则.
【提升练习】
1.如图，点P为四边形ABCD外一点，平面平面ABCD，，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( )
A. B.
C.平面平面 D.平面平面
2.如图，在空间直角坐标系中有长方体，则点B到直线的距离为( )
A. B. C. D.1
3.已知三棱锥四个顶点均在表面积为的球面上，，则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知球O的半径，三棱锥内接于球平面，且，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知在菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥，且使得棱，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，点在线段上运动，则( )
A.直线平面
B.三棱锥的体积为定值
C.异面直线与所成角的取值范围是
D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
7.在直三棱柱中，且，设其外接球球心为，且球的表面积为，则的面积为_____________________.
8.已知圆锥的顶点为S，母线所成角的余弦值为.与圆锥底面所成角为45°.若的面积为，则该圆锥的侧面积为______________.
9.如图，在矩形中，为的中点，将沿直线翻折至的位置，得到如图所示的几何体，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是_______________.(只填序号)
①存在某个位置，使得；
②在翻折过程中，的长是定值；
③若，则；
④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.
10.如图所示，已知四边形是边长为2的菱形，，平面平面.
(1)求证：平面平面；
(2)若四边形为直角梯形，且，求二面角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为，E为AD的中点，所以.又平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD，所以，，所以A，B结论一定成立.又平面PBE，所以平面平面ABCD，所以C结论一定成立.若平面平面PAD，则平面PBE，必有，此关系不一定成立，故选D.
2.答案：B
解析：过点B作BE垂直于，垂足为E，设点E的坐标为.由题图得，，，所以，，.
因为，，所以解得所以，所以点B到直线的距离，故选B.
3.答案：C
解析：本题考查三棱锥的外接球及体积的最大值.根据题意知，是一个直角三角形，其面积为4，其外接圆的圆心为斜边AC的中点.设外接圆的圆心为Q，当MQ与平面ABC垂直时，三棱锥的体积最大.设球心为O，半径为R，则得点O到平面ABC的距离所以三棱锥体积的最大值为故选C.
4.答案：D
解析：本题考查三棱锥的外接球以及线面角的求解.如图，取AB的中点D，连接.由，得.因为平面平面，所以.因为，所以平面，故为PC与平面所成角.设的外接圆圆心为，半径为r，连接，则，即，解得所以，所以.由题可知，则，所以，故选D.
5.答案：C
解析：本题考查三棱雉的外接球的表面积.由题意可知为等边三角形.如图所示，设外接球的球心为O，等边三角形BCD的中心为取BD的中点F，连接由，得又，所以平面AFC，且可求得而所以在平面AFC中过点A作CF的垂线，与CF的延长线交于点E，由平面AFC得又所以平面BCD.过点O作于点G，则四边形是矩形.又，所以.设外接球的半径为则由，得解得故三棱锥外接球的表面积故选C.
6.答案：ABD
解析：对于选项A，连接，易知，且平面，则，所以平面，故；同理，连接，易证得.故平面，故A正确.对于选项B，，因为点在线段上运动，所以，面积为定值，又到平面的距离即为到平面的距离，也为定值，故三棱锥的体积为定值，B正确.对于选项C，当点与线段的端点重合时，与所成角取得最小值，为，故C错误.对于选项D，因为直线平面，所以若直线与平面所成角的正弦值最大，则直线与直线所成角的余弦值最大，此时位于的中点处，即所成角为，设正方体棱长为1，在中，，故D正确.故选ABD.
7.答案：
解析：由球的表面积为，得半径.设分别为的中点，连接，又，故的外心为的中点，外接球的球心为的中点，如图.连接，在中，，故.在中，，故，故.
8.答案：
解析：如图所示，设S在底面的射影为，连接.的面积为，.与底面所成的角为45°，，
底面周长圆锥的侧面积为.
9.答案：②④
解析：对于①，如图1，取的中点，连接，连接交于，连接，则，
若，则，易得，又三线共面共点，
显然不可能，故①错误.
对于②，如图1，可得(定值)，(定值)，(定值)，由余弦定理可得，所以是定值，故②正确.
对于③，如图2，取的中点，连接，若，则易得平面，可得，从而，显然不成立，故③不正确.
对于④，当平面平面时，三棱锥的体积最大，易得的中点就是三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为1，故外接球的表面积是.故④正确.故答案为②④.
10.答案：(1)因为四边形是菱形，所以.
又平面，平面平面，
平面平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
(2)设，连接，因为四边形为直角梯形，平面，平面平面，
平面平面，所以平面.
因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面.
解法一 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量易，
易知，
即
令，解得.
设平面的法向量，
易知，
即
令，解得.
，
由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
解法二 如图，因为平面且平面，
所以.
又为的中点，所以.
又，
所以.
过作交于点，连接，
则，
所以为二面角的平面角.
在中，，
所以，同理，
在中，，所以，所以，所以，
所以，则.
在中，.
所以二面角的余弦值为.

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