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对数及其运算
知识讲解
一、对数的概念
1.
对数的概念：如果（，），那么b叫做以a为底N的对数，记作
（，，）．
2.对数恒等式：．
3.对数的性质：
（1）和负数没有对数，即
（2）的对数为，即；
（3）底的对数等于，即．
4.常用对数：以为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底10略去不写，并把写成，即把记做
5.自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数为底的对数．以为底的对数叫做自然对数．通常记作．
二、对数的运算
1.积、商、幂的对数：
（，，，）
2.换底公式：
，
3.对数恒等式：
4.常用结论：，
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．若a2017=b（a＞0，且a≠1），则（　　）
A．logab=2017
B．logba=2017
C．log2017a=b
D．log2017b=a
2．在M=log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，3]
B．（3，4）∪（4，+∞）
C．（4，+∞）
D．（3，4）
3．对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，5）
B．（2，5）
C．（2，3）∪（3，5）
D．（2，+∞）
4．设P=+++，则（　　）
A．0＜P＜1
B．1＜P＜2
C．2＜P＜3
D．3＜P＜4　
5．若，则等于
（　　）
A．
B．
C．
D．
6．化简可得（　　）
A．log34
B．
C．3
D．4　
二．填空题（共5小题）
7．若x满足4x=8，则x=　
　．　
8．已知（a＞0），则=　
　．　
9．若a=log23，则2a+2﹣a=　
　．
10．已知log147=a，log145=b，则用a，b表示log3528=　
　．
　
三．解答题（共2小题）
11．若loga2=m，loga3=n，求a2m+n的值．
　
12．利用对数的换底公式化简下列各式：
（1）logac?logca；
（2）log23?log34?log45?log52；
（3）（log43+log83）（log32+log92）．
　对数及其运算
知识讲解
一、对数的概念
1.
对数的概念：如果（，），那么b叫做以a为底N的对数，记作
（，，）．
2.对数恒等式：．
3.对数的性质：
（1）和负数没有对数，即
（2）的对数为，即；
（3）底的对数等于，即．
4.常用对数：以为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底10略去不写，并把写成，即把记做
5.自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数为底的对数．以为底的对数叫做自然对数．通常记作．
二、对数的运算
1.积、商、幂的对数：
（，，，）
2.换底公式：
，
3.对数恒等式：
4.常用结论：，
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．若a2017=b（a＞0，且a≠1），则（　　）
A．logab=2017
B．logba=2017
C．log2017a=b
D．log2017b=a
【解答】解：若a2017=b（a＞0，且a≠1），则2017=logab，
故选：A．　
2．在M=log（x﹣3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，3]
B．（3，4）∪（4，+∞）
C．（4，+∞）
D．（3，4）
【解答】解：由函数的解析式可得
，解得3＜x＜4，或x＞4．
故选：B．
　
3．对数式log（a﹣2）（5﹣a）中实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，5）
B．（2，5）
C．（2，3）∪（3，5）
D．（2，+∞）
【解答】解：要使对数式b=log（a﹣2）（5﹣a）有意义，
则
，解得a∈（2，3）∪（3，5），
故选：C．
4．设P=+++，则（　　）
A．0＜P＜1
B．1＜P＜2
C．2＜P＜3
D．3＜P＜4
【解答】解：
=log112+log113+log114+log115
=log11（2×3×4×5）
=log11120．
∴log1111=1＜log11120＜log11121=2．
故选：B．
　
5．若，则等于
（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵18b=5，∴=，又，联立解得．
∴====．
　
6．化简可得（　　）
A．log34
B．
C．3
D．4
【解答】解：=log28=log223=3．
故选：C．
　
二．填空题（共5小题）
7．若x满足4x=8，则x=　
　．
【解答】解：∵x满足4x=8，
∴22x=23，
∴2x=3，解得x=．
故答案为：．
　
8．已知（a＞0），则=　
　．
【解答】解：已知（a＞0），
∴
，
故答案为
3．
　
9．若a=log23，则2a+2﹣a=　
　．
【解答】解：∵a=log23，
∴2a==3，
∴2a+2﹣a=2a+
=3+
=．
故答案为：．
10．已知log147=a，log145=b，则用a，b表示log3528=　
　．
【解答】解：∵log3528====
∵log147=a，log145=b∴原式=
故答案为：
　
三．解答题（共2小题）
11．若loga2=m，loga3=n，求a2m+n的值．
【解答】解：∵loga2=m，loga3=n，
∴am=2，an=3，
∴a2m+n=（am）2?an
=4×3
=12．
所求表达式的值为：12
　
12．利用对数的换底公式化简下列各式：
（1）logac?logca；
（2）log23?log34?log45?log52；
（3）（log43+log83）（log32+log92）．
【解答】解：（1）logac?logca=?=1；
（2）log23?log34?log45?log52=???=1；
（3）（log43+log83）（log32+log92）=（+）（+）
=（+）（+）
=?
=．
　

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