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幂函数
知识讲解
一、幂函数的定义
定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．
二、幂函数的图象
函数的图象：
定义域
值域
单调性
单调递增
在上减
在上增
单调递增
单调递增
在和上单调递减
公共点
图象所在象限
一、三
一、二
一、三
一
一、三
三、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；
（3）时，①幂函数在上是减函数；
②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．
（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；
（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
经典例题
填空题
1．函数y=x﹣2在x∈[，3]上的最小值是　
　．
2．若幂函数f（x）满足f（8）=，则函数f（x）的单调递增区间是　
　．　
3．y=是偶函数，且在（0，+∞）是减函数，则整数a的值是　
　．　　
4．幂函数y=（k2﹣2k﹣2）x1﹣k在（0，+∞）上是减函数，则k=　
　．
5.若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是　
．　
6．已知函数，那么不等式f（2x﹣3）＜f（5）的解集为　
　．　
7．对于函数f（x）=定义域内的任意x1，x2且x1≠x2，给出下列结论：
（1）f（x1+x2）=f（x1）?f（x2）
（2）f（x1?x2）=f（x1）?f（x2）
（3）＞0
（4）f（）＞
其中正确结论为：　
　．　
8．对于幂函数，若0＜x1＜x2，则，大小关系是　
．　
二．解答题
9．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点A（）．
（1）求实数α的值；
（2）求证：f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．
　
10．已知幂函数f（x）=（m2﹣5m+7）x﹣m﹣1（m∈R）为偶函数．
（1）求的值；
（2）若f（2a+1）=f（a），求实数a的值．
　
11．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系
　
12．已知f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣1是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解不等式f（x﹣2）＞16．
　
13．已知幂函数f（x）=（m∈N+）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足的a的取值范围．
　
14．已知函数是幂函数．
（Ⅰ）
求m的值；
　
15．幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）xm图象关于y轴对称，且函数f（x）=g（x）﹣2ax+1在x∈[﹣1，2]上的最小值为﹣2．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求实数a的值．幂函数
知识讲解
一、幂函数的定义
定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数．
二、幂函数的图象
函数的图象：
定义域
值域
单调性
单调递增
在上减
在上增
单调递增
单调递增
在和上单调递减
公共点
图象所在象限
一、三
一、二
一、三
一
一、三
三、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；
（3）时，①幂函数在上是减函数；
②在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近．
（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；
（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；
经典例题
一．填空题
1．函数y=x﹣2在x∈[，3]上的最小值是　　．
【解答】解：函数y=x﹣2在[，3]上是减函数，
所以当x=3时，y取得最小值为，
故答案为：．
　
2．若幂函数f（x）满足f（8）=，则函数f（x）的单调递增区间是　（﹣∞，0）　．
【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数）．
∵f（8）=，
∴8α=，
解得α=．
∴f（x）=．
∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣∞，0）．
故答案为：（﹣∞，0）．
　
3．y=是偶函数，且在（0，+∞）是减函数，则整数a的值是　2　．
【解答】解：若函数y=xa2﹣4a是偶函数，则a2﹣4a须为偶数，
∵函数在（0，+∞）是减函数，∴a2﹣4a＜0?0＜a＜4
∴a=2．
故答案为：2．
　　
4．幂函数y=（k2﹣2k﹣2）x1﹣k在（0，+∞）上是减函数，则k=　3　．
【解答】解：∵y=（k2﹣2k﹣2）x1﹣k是幂函数，
∴k2﹣2k﹣2=1，
∴k=3或k=﹣1，
当k=﹣1时，y=x2在（0，+∞）上是增函数，不合题意，舍去．
当k=3时，y=x﹣2在（0，+∞）上是减函数，
故k=3．
故答案为：3．
　
5.若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是　（﹣∞，）　．
【解答】解：∵2α=8?α=3，则f（x）=x3，
由f（2﹣a）＞f（a﹣1），?2﹣a＞a﹣1?a＜；
则满足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是（﹣∞，），
故答案为：（﹣∞，）．
　
6．已知函数，那么不等式f（2x﹣3）＜f（5）的解集为　（﹣1，4）　．
【解答】解：函数是定义在R上的偶函数，
且在[0，+∞）上为增函数，
若不等式f（2x﹣3）＜f（5）
则|2x﹣3|＜5，
即﹣5＜2x﹣3＜5，
解得：x∈（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）．
　
7．对于函数f（x）=定义域内的任意x1，x2且x1≠x2，给出下列结论：
（1）f（x1+x2）=f（x1）?f（x2）
（2）f（x1?x2）=f（x1）?f（x2）
（3）＞0
（4）f（）＞
其中正确结论为：　（2）（3）（4）　．
【解答】解：（1）当x1=1，x2=2时，f（x1+x2）=f（2）=，f（x1）?f（x2）=1×1=1，∴错误；
（2）f（x1?x2）==?=f（x1）?f（x2），∴正确．
（3）＞0，∴函数f（x）=为增函数，∴正确；
（4）f（）＞的函数为凸函数，∴正确．
故（2）（3）（4）正确．
故答案为（2）（3）（4）
　
8．对于幂函数，若0＜x1＜x2，则，大小关系是　＞　．
【解答】解：由于幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，则当0＜x1＜x2
时，应有
＞，
故答案为
＞．
　
二．解答题
9．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点A（）．
（1）求实数α的值；
（2）求证：f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．
【解答】解：（1）设幂函数的解析式为y=xa，
又∵幂函数的图象经过点A（，）．
∴=a，
解得a=﹣
（2）由（1）得，
则
当x∈（0，+∞）时，y′＜0恒成立
故f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．
　
10．已知幂函数f（x）=（m2﹣5m+7）x﹣m﹣1（m∈R）为偶函数．
（1）求的值；
（2）若f（2a+1）=f（a），求实数a的值．
【解答】解：（1）由m2﹣5m+7=1得m=2或3，…2
当m=2时，f（x）=x﹣3是奇函数，∴不满足．
当m=3时，∴f（x）=x﹣4，满足题意，…4
∴函数f（x）的解析式f（x）=x﹣4，所以．…6
（2）由f（x）=x﹣4和f（2a+1）=f（a）可得|2a+1|=|a|，…8
即2a+1=a或2a+1=﹣a，∴a=﹣1或．…12
　
11．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系
【解答】解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：
（1）定义域[0，+∞），既不是奇函数也不是偶函数，在[0，+∞）是增函数；
通过上面分析，可以得出对应关系为：（1）?（A），（2）?（F），（3）?（E），（4）?（C），（5）?（D），（6）?（B）．
　
12．已知f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣1是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解不等式f（x﹣2）＞16．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣1是幂函数，
∴m2﹣m﹣1=1，解得：m=﹣1或m=2，
m=﹣1时，f（x）=x4，m=2时，f（x）=x﹣11，
若f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
则m=﹣1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x4，
由f（x﹣2）＞16，
得：（x﹣2）4＞24，
故|x﹣2|＞2，解得：x＞4或x＜0，
　
13．已知幂函数f（x）=（m∈N+）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足的a的取值范围．
【解答】解：∵m∈N+，∴m=1，2．
又函数的图象关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3是偶数，
而22﹣2×2﹣3=﹣3为奇数，12﹣2×1﹣3=﹣4为偶数，∴m=1．…（5分）
∵函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，
∵
∴a﹣1＞3+2a＞0或0＞a﹣1＞3+2a或a﹣1＜0＜3+2a…（9分）
解得a＜﹣4或
故a的取值范围为{a|a＜﹣4或}
…（12分）
　
14．已知函数是幂函数．
（Ⅰ）
求m的值；
【解答】解：（Ⅰ）根据题意得，
即，
∴m=2．
　
15．幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）xm图象关于y轴对称，且函数f（x）=g（x）﹣2ax+1在x∈[﹣1，2]上的最小值为﹣2．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求实数a的值．
【解答】解：（1）由m2﹣m﹣1=1知m=2或m=﹣1．…（2分）
①当m=2时，g（x）=x2，符合题意；…（3分）
②当m=1时，g（x）=x﹣1，不符合题意，舍去．…（4分）
∴g（x）=x2．…（5分）
（2）f（x）=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+1﹣a2．
①当a＜﹣1时，f（x）min=f（﹣1）=2+2a=﹣2，∴a=﹣2；…（8分）
②当a＞2时，f（x）min=f（2）=5﹣4a=﹣2，∴，与a＞2矛盾，舍去；…（11分）
③当﹣1≤a≤2时，，
∴或，又﹣1≤a≤2，∴．…（14分）
综上，a=﹣2或．…（15分）

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