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函数的单调性
知识讲解
一、函数单调性的定义
1.定义
如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数．
2.等价形式
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数．
3.应用
即若在区间上递增（递减）且（）；
若在区间上递递减且．（）．
1.比较函数值的大小．
2.可用来解不等式．
3.求函数的值域或最值等
二、单调性判别
1.判断前注意
讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2.用于判断的方法
定义法：
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设，是该区间内的任意两个值，且
②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
子区间法：如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；
图象法：
复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减”
；
运算性质法：在公共定义域内
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数．
特殊函数：函数在上单调递增；在上是单调递减．
经典例题
一．填空题（共16小题）
1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）=0，且对任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0，若对于实数x1，x2有如下条件：
①x1＞x2，②|x1|＞|x2|，③|x1|＞x2，④x1＞|x2|，
则其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是　②④　．
【解答】解：∵f（x）﹣f（﹣x）=0，
∴f（﹣x）=f（x），则函数f（x）是偶函数，
∵对任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0，
∴当x∈（﹣∞，0]时，函数为减函数，则当x∈[0，+∞）时，函数f（x）为增函数，
则①x1＞x2，不一定成立，
②|x1|＞|x2|成立，
③|x1|＞x2，不一定成立，
④x1＞|x2|成立，
故答案为：②④
　
2．若f（x）是R上的增函数，且f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B（3，3），则不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是　（﹣1，2）　．
【解答】解：由题意可知f（0）=﹣1，f（3）=3．
∴﹣1＜f（x+1）＜3等价于f（0）＜f（x+1）＜f（3）
又∵f（x）是R上的增函数
∴0＜x+1＜3，∴﹣1＜x＜2
即不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）
　
3．函数y=f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调减函数，且其图象过点（﹣3，2）和（1，﹣2），则不等式|f（x）|＜2的解集为　（﹣3，1）　．
【解答】解：由不等式|f（x）|＜2，
得到：﹣2＜f（x）＜2，
又因为f（x）的图象经过点（﹣3，2）和（1，﹣2），
所以f（﹣3）=2，f（1）=﹣2，
所以f（1）＜f（x）＜f（﹣3），
又f（x）在区间（﹣∞，+∞）上为减函数，
∴x∈（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）
　
4．若f（x）=，则f（x）的单调增区间是　（﹣∞，0），[1，+∞）　，单调减区间是　[0，1]　．
【解答】解：函数的图象为：
则当x＜0时，函数为增函数，
当x≥0时，f（x）=（x﹣1）2，对称轴为x=1，
则当0≤x≤1时，函数单调递减，
当x≥1时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间为（﹣∞，0），[1，+∞），
单调递减区间为[0，1]，
故答案为：（﹣∞，0），[1，+∞）；[0，1]
　
5．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是　0＜a≤1　．
【解答】解：当x≥0时，f（x）=x+a在[0，+∞）上是递增的，∴f（x）≥f（0）=a；
当x＜0时，由f（x）=ax+2a﹣1在（﹣∞，0）上也是递增的知，a＞0，且f（x）＜2a﹣1．
又∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴2a﹣1≤a，解得a≤1．
综上，0＜a≤1．
故答案为：0＜a≤1．
　
6．若函数f（x）=为R上的增函数，则实数a的取值范围是　[3，6）　．
【解答】解：由分段函数f（x）=为R上的增函数，
可得，即，
可得3≤a＜6，
则a的取值范围是[3，6）．
故答案为：[3，6）．
　
7．函数f（x）=|2x+4|+5的单调增区间为　[﹣2，+∞）　．
【解答】解：函数f（x）=|2x+4|+5=
故函数f（x）的单调增区间为[﹣2，+∞），
故答案为：[﹣2，+∞）
　
8．函数y=x|x﹣3|的单调减区间为　　．
【解答】解：；
x≥3时，y=x2﹣3x单调递增，
x＜3时，y=﹣x2+3x在（）上单调递增，在上单调递减；
∴原函数的单调减区间为．
故答案为：．
　
9．函数f（x）=的单调递减区间为　[，4]　．
【解答】解：函数f（x）=，
设t=﹣x2+3x+4，由t≥0，可得﹣1≤x≤4，
则函数y=，
由t=﹣x2+3x+4在[﹣1，]递增，[，4]递减；
而y=在[0，+∞）递增，
由复合函数的单调性：同增异减，
可得函数f（x）=的单调递减区间为[，4]．
故答案为：[，4]．
　
10．已知f（x+1）=﹣x2+1，则f（x）=　2x﹣x2　，的单调递增区间为　（1，2）　．
【解答】解：f（x+1）=﹣x2+1，
令x+1=t，可得x=t﹣1，
则f（t）=1﹣（t﹣1）2=2t﹣t2，
则f（x）=2x﹣x2；
=，
由2x﹣x2＞0，解得0＜x＜2，
定义域为（0，2），且f（x）的对称轴为x=1，
所以内函数在（0，1）单调递增，（1，2）单调递减，
又外函数在（0，+∞）单调递减，
根据复合函数“同增异减”，
原函数y=的单调增区间为（1，2）．
故答案为：2x﹣x2；（1，2）．
　
11．函数f（x）=的单调递减区间是　[0，1），（1，2]　．
【解答】解：；
解f′（x）≤0得，0≤x＜1，或1＜x≤2；
∴原函数的单调递减区间是[0，1），（1，2]．
故答案为：[0，1），（1，2]．
　
12．设函数f（x）=，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的单调递减区间为　[0，1）　．
【解答】解：；
∴；
∴g（x）的单调递减区间为[0，1）．
故答案为：[0，1）．
　
13．已知函数f（x）=，若f（a）＞f（2﹣a），则a的取值范围是　a＞1　．
【解答】解：函数f（x）=在R上单调递增，
∵f（a）＞f（2﹣a），
∴a＞2﹣a，
∴a＞1，
故答案为a＞1
　
14．若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围　0≤a≤　．
【解答】解：由题意，∵f（x）在R上是减函数，
∴x＜0时f（x）=x2﹣ax+1，其过定点（0，1），且x＜0时是减函数，
∴对称轴x=≥0，①
又∵x≥0时，f（x）=﹣x+3a，是减函数，且在R上是减函数，
∴3a≤1，②
又①②得0≤a≤．
　
15．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是　[﹣3，﹣2]　．
【解答】解：要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，
且，
所以有，解得﹣3≤a≤﹣2，
故a的取值范围为[﹣3，﹣2]．
故答案为：[﹣3，﹣2]．
　
16．已知函数f（x）=在（﹣2，+∞）内单调递减，则实数a的取值范围　（﹣∞，）　．
【解答】解：由题意可得，当x＞﹣2时，函数的导数f′（x）==≤0，
解得a≤，但当a=时，f（x）=，为常数，不满足条件，
故a的范围是（﹣∞，），
故答案为：（﹣∞，）．
　
二．解答题（共6小题）
17．已知f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，并且f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，求实数m的取值范围．
【解答】解：∵f（x）在（﹣2，2）上是减函数
∴由f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，得f（m﹣1）＞f（1﹣2m）
∴即
解得，
∴m的取值范围是（﹣）
　
18．已知函数f（x）=，判断f（x）在（0，）上的单调性并加以证明；
【解答】解：函数f（x）=在（0，）上是单调减函数，
下面证明这个判断：
证明：任取x1，x2∈（0，），且x1＜x2
f（x1）﹣f（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）+（）=
∵＜0x1＜x2＜，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜2，∴x1x2﹣2＜0，∴＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，）上是减函数．
　
19．用单调性定义证明函数f（x）=在（1，+∞）上单调递减．
【解答】解：?1＜x1＜x2≤+∞，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=．
∵1＜x1＜x2＜+∞，
∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x1x2＞0，x2﹣x1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）=在（1，+∞）上是单调减函数．
　
20．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的最值．
【解答】解：（Ⅰ）设u=8x﹣x2，则．
由u=8x﹣x2≥0解得
0≤x≤8，故函数的定义域为[0，8]．
由于二次函数u=8x﹣x2
=﹣（x﹣4）2+16的对称轴为
x=4，
当x∈[0，4]时，u是x的增函数，故y是增函数．
当x∈[4，8]时，u是x的减函数，故y是减函数．
故函数f（x）的单调递增区间是[0，4]，单调递减区间是[4，8]．
（Ⅱ）由8x﹣x2=0
求得
x=0，或x=8，所以，当x=0，或x=8时，fmin（x）=0；
当x=4时，umax=16，这时．
　
21．函数f（x）=﹣x2+2（a﹣3）x+4a﹣1在[1，+∞）上是减函数，求a的取值范围．
【解答】解：f（x）=﹣x2+2（a﹣3）x+4a﹣1=﹣[x﹣（a﹣3）]2+（a﹣3）2+4a﹣1，
∵函数f（x）=﹣x2+2（a﹣3）x+4a﹣1在[1，+∞）上是减函数，
∴a﹣3≤1，
解得a≤4，
∴a的取值范围是a≤4．
　
22．（B类题）已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求f{f（f（﹣1））}的值；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象；
（Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）f（﹣1）=﹣（﹣1）﹣1=0，f（0）=1，f（1）=﹣1+2×1=1，
即f{f（f（﹣1））}=1．
（Ⅱ）函数的图象如图：
（3）由图象知递减区间：（﹣∞，0），（1，+∞），递增区间：（0，1）．函数的单调性
知识讲解
一、函数单调性的定义
1.定义
如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数．
2.等价形式
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数．
3.应用
即若在区间上递增（递减）且（）；
若在区间上递递减且．（）．
1.比较函数值的大小．
2.可用来解不等式．
3.求函数的值域或最值等
二、单调性判别
1.判断前注意
讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2.用于判断的方法
定义法：
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设，是该区间内的任意两个值，且
②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
子区间法：如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；
图象法：
复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减”
；
运算性质法：在公共定义域内
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数．
特殊函数：函数在上单调递增；在上是单调递减．
经典例题
一．填空题（共16小题）
1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）﹣f（﹣x）=0，且对任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0，若对于实数x1，x2有如下条件：
①x1＞x2，②|x1|＞|x2|，③|x1|＞x2，④x1＞|x2|，
则其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是　
．
2．若f（x）是R上的增函数，且f（x）的图象经过点A（0，﹣1）和点B（3，3），则不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是　
　．　
3．函数y=f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是单调减函数，且其图象过点（﹣3，2）和（1，﹣2），则不等式|f（x）|＜2的解集为　
　．　
4．若f（x）=，则f（x）的单调增区间是　
　，单调减区间是　
　．　
5．已知函数f（x）=在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是　
　．
6．若函数f（x）=为R上的增函数，则实数a的取值范围是　
　．
7．函数f（x）=|2x+4|+5的单调增区间为
　
．
8．函数y=x|x﹣3|的单调减区间为　
　．　
9．函数f（x）=的单调递减区间为　
　．
　
10．已知f（x+1）=﹣x2+1，则f（x）=　
　，的单调递增区间为　
　．　
11．函数f（x）=的单调递减区间是　
　．　
12．设函数f（x）=，g（x）=x2f（x﹣1），则函数g（x）的单调递减区间为　
　．
13．已知函数f（x）=，若f（a）＞f（2﹣a），则a的取值范围是　
　．　
14．若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围　
　．　
15．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是　
　．
16．已知函数f（x）=在（﹣2，+∞）内单调递减，则实数a的取值范围　
　．　
二．解答题（共6小题）
17．已知f（x）是定义在（﹣2，2）上的减函数，并且f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，求实数m的取值范围．
　
18．已知函数f（x）=，判断f（x）在（0，）上的单调性并加以证明；
19．用单调性定义证明函数f（x）=在（1，+∞）上单调递减．
　
20．已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的最值．
21．函数f（x）=﹣x2+2（a﹣3）x+4a﹣1在[1，+∞）上是减函数，求a的取值范围．
22．（B类题）已知函数f（x）=．
（Ⅰ）求f{f（f（﹣1））}的值；
（Ⅱ）画出函数f（x）的图象；
（Ⅲ）指出函数f（x）的单调区间．

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