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函数的应用
知识讲解
一、常见的函数模型
1.一次函数模型：（、为常数，）；
2.反比例函数模型：（、为常数，）；
3.二次函数模型：（、、为常数，）；
4.指数函数模型：f（x）＝abx＋c（、、为常数，，，）；
5.对数函数模型：（、、为常数，，）；
说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．
6.幂函数模型：（、、为常数，，）；
7.分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
二、数学建模
含义：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．
可用框图表示为
三种函数增长性的比较
类型：指数函数，对数函数，幂函数
1.在区间上，尽管函数，和都是增函数．但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快．会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
2.在区间上，尽管函数，和都是减函数．但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的递减速度越来越快．会超过并远远大于的递减速度，而的递减速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．若（a≠1），在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（　　）
A．[0，+∞）
B．[1，+∞）
C．（﹣∞，0]
D．（﹣∞，1]　
3．若函数f（x）=x2+a|x|+2，x∈R在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣，﹣3]
B．[﹣6，﹣4]
C．[﹣3，﹣2]
D．[﹣4，﹣3]　
4．已知函数y=x2﹣2x+8，那么（　　）
A．当x∈（1，+∞）时，函数单调递增
B．当x∈（1，+∞）时，函数单调递减
C．当x∈（﹣∞，﹣1）时，函数单调递增
D．当x∈（﹣∞，3）时，函数单调递减
5．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（　　）
A．可在7秒内追上汽车
B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米
D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米　
6．某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．95=15（1+x）2
B．15（1+x）3=95
C．15（1+x）+15（1+x）2=95
D．15+15（1+x）+15（1+x）2=95　
二．填空题（共5小题）
7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=　
　吨．　
8．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为　
　．　
9．已知函数则f（f（3））=　5　；
f（x）的单调递减区间是　
　．　
10．函数y=﹣（x﹣3）|x|的递增区间是　
　．
11．已知函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在[4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是　
　．
三．解答题（共3小题）
12．对于函数．
（1）探索函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使得f（x）为奇函数．
　
13．已知二次函数f（x）满足：f（1﹣x）=f（x+1），f（0）=2，f（1）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
　
14．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．
（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？
（Ⅱ）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？函数的应用
知识讲解
一、常见的函数模型
1.一次函数模型：（、为常数，）；
2.反比例函数模型：（、为常数，）；
3.二次函数模型：（、、为常数，）；
4.指数函数模型：f（x）＝abx＋c（、、为常数，，，）；
5.对数函数模型：（、、为常数，，）；
说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．
6.幂函数模型：（、、为常数，，）；
7.分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
二、数学建模
含义：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．
可用框图表示为
三种函数增长性的比较
类型：指数函数，对数函数，幂函数
1.在区间上，尽管函数，和都是增函数．但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快．会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
2.在区间上，尽管函数，和都是减函数．但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的递减速度越来越快．会超过并远远大于的递减速度，而的递减速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．若（a≠1），在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（x）在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数时，
①函数的单调性是增函数时，可得当x=0时，（a2﹣1）eax≤ax2+1=1，
即a2﹣1≤1，解之得﹣≤a≤
∵x≥0时，y=ax2+1是增函数，∴a＞0
又∵x＜0时，（a2﹣1）eax是增函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：1＜a≤
②函数的单调性是减函数时，可得当x=0时，（a2﹣1）eax≥ax2+1=1，
即a2﹣1≥1，解之得a≤﹣或a≥．
∵x≥0时，y=ax2+1是减函数，∴a＜0
又∵x＜0时，（a2﹣1）eax是减函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1
因此，实数a的取值范围是：a≤﹣
综上所述，得a∈
故选：C．
　
2．函数f（x）=（x﹣1）2的单调递增区间是（　　）
A．[0，+∞）
B．[1，+∞）
C．（﹣∞，0]
D．（﹣∞，1]
【解答】解：函数f（x）的对称轴是x=1，开口向上，
故f（x）在[1，+∞）递增，
故选：B．
　
3．若函数f（x）=x2+a|x|+2，x∈R在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣，﹣3]
B．[﹣6，﹣4]
C．[﹣3，﹣2]
D．[﹣4，﹣3]
【解答】解：f（x）=x2+a|x|+2，
∵f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+2=x2+a|x|+2=f（x），
∴f（x）为实数集上的偶函数，由f（x）=x2+a|x|+2在区间[3，+∞）和[﹣2，﹣1]上均为增函数，
知f（x）在[3，+∞）上为增函数，在[1，2]上为减函数，
∴函数y=x2+ax+2（x＞0）的对称轴，得a∈[﹣6，﹣4]．
故选：B．
　
4．已知函数y=x2﹣2x+8，那么（　　）
A．当x∈（1，+∞）时，函数单调递增
B．当x∈（1，+∞）时，函数单调递减
C．当x∈（﹣∞，﹣1）时，函数单调递增
D．当x∈（﹣∞，3）时，函数单调递减
【解答】解：因为函数y=x2﹣2x+8的图象开口向上，关于x=1对称，
所以其单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（﹣∞，1）．
故选：A．
　
5．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（　　）
A．可在7秒内追上汽车
B．可在9秒内追上汽车
C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米
D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米
【解答】解：∵汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒
∴a==1M/S
由此判断为匀加速运动
再设人于x秒追上汽车，有6x﹣25=①
∵x无解，因此不能追上汽车
①为一元二次方程，求出最近距离为7米
故选：D．
　
6．某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．95=15（1+x）2
B．15（1+x）3=95
C．15（1+x）+15（1+x）2=95
D．15+15（1+x）+15（1+x）2=95
【解答】解：二月份的产值为：15（1+x），
三月份的产值为：15（1+x）（1+x）=15（1+x）2，
故第一季度总产值为：15+15（1+x）+15（1+x）2=95．
故选：D．
　
二．填空题（共5小题）
7．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=　20　吨．
【解答】解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，
则需要购买次，运费为4万元/次，
一年的总存储费用为4x万元，
一年的总运费与总存储费用之和为万元，
≥=160，
当且仅当即x=20吨时，等号成立
即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
故答案为：20．
　
8．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为　1760　．
【解答】解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，
当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．
故答案为：1760．
　
9．已知函数则f（f（3））=　5　；
f（x）的单调递减区间是　[﹣1，+∞）　．
【解答】解：f（3）==﹣1，
∴f（f（3））=f（﹣1）=﹣1+2+4=5，
x≤1时，f（x）=﹣x2﹣2x+4=﹣（x+1）2+5，
对称轴x=﹣1，f（x）在[﹣1，1]递减，
x＞1时，f（x）递减，
∴f（x）在[﹣1，+∞）递减，
故答案为：5；[﹣1，+∞）．
　
10．函数y=﹣（x﹣3）|x|的递增区间是　[0，]　．
【解答】解：y=﹣（x﹣3）|x|=
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，]．
故答案为：[0，]
　
11．已知函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在[4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是　[﹣3，+∞）　．
【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在[4，+∞）上是增函数，
∴对称轴1﹣a≤4
即a≥﹣3，
故答案为：[﹣3，+∞）．
　
三．解答题（共3小题）
12．对于函数．
（1）探索函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使得f（x）为奇函数．
【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=a﹣﹣（a﹣）=2×，（3分）
∵x1＜x2，∴，（5分）
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以不论a为何实数f（x）总为增函数．（6分）
（2）假设存在实数a使f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）（7分）
即，（9分）
解得：a=1，故存在实数a使f（x）为奇函数．
（12分）
　
13．已知二次函数f（x）满足：f（1﹣x）=f（x+1），f（0）=2，f（1）=1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（I）设f（x）解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）…（2分）
∵f（1﹣x）=f（x+1）
∴f（x）对称轴为x=1，即…①…（4分）
又f（0）=2，f（1）=1
∴…②…（6分）
所以联立①②，得a=1，b=﹣2，c=2…（8分）
所以f（x）解析式为：y=x2﹣2x+2…（9分）
（Ⅱ）由（I）可得：y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1
所以结合二次函数的性质可得：f（x）单调增区间为（1，+∞）；…（11分）
并且f（x）单调减区间为（﹣∞，1）；…（13分）
　
14．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．
（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？
（Ⅱ）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？
【解答】解：（I）第8天剩余配料200×9﹣200×7=400（千克），
第9天剩余配料200×9﹣200×8=200（千克），
答：该厂第8天和第9天剩余配料的重量分别是400千克，200千克．
当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用
P=70+0.03×200×（1+2）=88（元），
答：当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是88元．
（II）①当x≤7时，
y=360x+10x+236=370x+236；
②当x＞7时，
y=360x+236+70+6[（x﹣7）+（x﹣6）+…+2+1]，
=3x2+321x+432．
∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为W元
当x≤7时，W=，
当x＞7时，W=，
当x≤7时
，当且仅当x=7时，W有最小值
（元），
当x＞7时
=，
∴当x=12时W有最小值393元，
答：该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式是y=370x+236（x≤7）y=3x2+321x+432（x＞7），该厂12天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少．
　

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