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考点3 函数的概念与基本初等函数
—2022届高考数学一轮复习考点易错题提升练
【易错点分析】
1.如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有单调性，区间D叫做函数的单调区间.
2.
前提 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足.
条件 （1）对于任意的，都有；
（2）存在，使得. （3）对于任意的，都有；
（2）存在，使得.
结论 M为最大值 M为最小值
若函数在闭区间上是增函数，则，；若函数在闭区间上是减函数，则，.
3.奇函数、偶函数的概念及图象特征：
奇函数 偶函数
定义 定义域 函数的定义域关于原点对称

对于定义域内任意的一个x
与的关系 都有 都有
结论 函数为奇函数 函数为偶函数
图象特征 关于原点对称 关于y轴对称
4.函数周期性的常用结论：
若对于函数定义域内的任意一个x都有：
（1），则函数必为周期函数，是它的一个周期；
（2），则函数必为周期函数，是它的一个周期；
（3），则函数必为周期函数，是它的一个周期.
5. 若二次函数恒满足，则其图象关于直线对称.
6.对幂函数，当时，其图象经过点和点，且在第一象限内单调递增；当时，其图象不过点，经过点，且在第一象限内单调递减.
7.指数函数图象可解决的两类热点问题及思路：
（1）求解指数型函数的图象与性质问题
对指数型函数的图象与性质问题（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.
（2）求解指数型方程、不等式问题
一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.
8.比较对数的大小：
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；
（2）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；
（3）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
9.函数图象的识别：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性（有时可借助导数判断），判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；
（5）从函数的特殊点（与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等），排除不合要求的图象.
10.判断函数零点个数的常用方法：
（1）直接法.令，则方程实根的个数就是函数零点的个数.
（2）零点存在的判定方法.判断函数在区间上是连续不断的曲线，且，再结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数.
（3）数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题（画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数）.
11.根据函数零点求参数范围的一般步骤为：
（1）转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况.
（2）列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式.
（3）结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.
【提升练习】
1.设函数若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知偶函数满足,则在上( )
A.单调递增 B.单调递减 C.先递增后递减 D.先递减后递增
3.偶函数的定义域为,则的最小值为( )
A. B.3 C. D.8
4.若,,,则实数x,y,z的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
6.某工厂产生的废气经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量(单位:毫克/升)与过滤时间(单位:时)之间的函数关系为(为正常数,为原污染物数量).该工厂某次过滤废气时,若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,那么要按规定排放废气,至少还需要过滤( )
A.小时 B.小时 C.5小时 D.小时
7.已知定义在上的函数满足,且在区间上单调递增,则( )
A.的周期为2 B.是函数的最小值
C.函数的图象的一个对称中心是 D.
8.设函数若，则_______.
9.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点,则的取值范围是______________.
10.函数的图象如图所示,关于的方程有三个不同的实数解,则的取值范围是________________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：令,则由得或得,即,得或解得或,故实数的取值范围是,故选D.
2.答案：A
解析：当时,都是单调递减函数,故可得也是单调递减函数,又是偶函数,故在区间上单调递增.故选A.
3.答案：C
解析：为偶函数,,可得.又的定义域关于原点对称,故,解得,所以,当时,,故选C.
4.答案：D
解析：本题考查利用指数与对数函数的单调性比较大小.，，，
故实数x,y,z的大小关系为，故选D.
5.答案：B
解析：由题意知,的定义域为，因为，所以为奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A,D.当时，，排除C.故选B.
6.答案：C
解析：前5个小时过滤掉了90%的污染物,又,,即,则由,得,得,即总共需要过滤10小时污染物的残留含量才不超过1%,还需过滤5小时,故选C.
7.答案：CD
解析：由函数的定义域是,且满足,可得函数为奇函数.由,知函数的图象关于点对称.由,知,函数的周期为4,故A错误.因为在区间上单调递增,所以在区间上单调递增,故不是函数的最小值,所以选项B错误.因为,所以函数的图象的一个对称中心是,选项C正确.因为,所以选项D正确.
8.答案：
解析：若，则，，
解得（舍去）或或（舍去）；
若，则，，即.综上，.
9.答案：
解析：函数的图象关于轴对称的图象对应的函数解析式为,由题意可知,函数与函数的图象在上有交点,即在上有解.又函数为减函数,且其在上的最大值为,函数为增函数,所以,解得.
10.答案：
解析：根据函数的图象,令,因为关于的方程有三个不同的实数解,所以有两个根,易知0不是该方程的根,所以该方程的根一个在上,一个在上.设,①当的一个根为1时,,得,此时另一个根为,符合题意;②当的根均不为1时,则解得.综上,的取值范围是.

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