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广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·北海期末）已知集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2020高一上·北海期末）若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．（2020高一上·北海期末）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020高一上·北海期末）已知向量 ， ，若 ，则 （　　）
A． B． C．9 D．10
5．（2020高一上·北海期末）已知 且 ，则函数 和 在同一个平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020高一上·北海期末）已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且 ，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A． B． 或2 C．1 D． 或1
7．（2020高一上·北海期末）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（　　）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
8．（2020高一上·北海期末）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2020高一下·怀仁期中）设向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2020高一上·北海期末）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2020高一上·北海期末）知函数 ，则 的最大值是（　　）
A． B．2 C． D．1
12．（2020高一上·北海期末）已知函数 ，则方程 的解的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
13．（2020高一上·北海期末）已知函数 则 　 　.
14．（2020高一上·北海期末）若 ， ，则 　 　.
15．（2020高一上·北海期末）在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，满足 ，连接DE交AC于点M，若 ，则 　 　.
16．（2020高一上·北海期末）函数 在 上的值域为　 　.
三、解答题
17．（2020高一上·北海期末）已知角α的终边上有一点 .
（1）求与角α终边相同的角的集合；
（2）求 的值.
18．（2020高一上·北海期末）
（1）计算： ；
（2）已知集合 ， ，且 ，求a的取值范围.
19．（2020高一上·北海期末）已知函数 ，且 ， .
（1）求a，b的值；
（2）求 在 上的值域.
20．（2020高一上·北海期末）已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）设函数 在 上的图象的最高点和最低点分别为A，B，O为坐标原点， ，求 的值.
21．（2020高一上·北海期末）电子芯片是“中国智造”的灵魂，是所有整机设备的“心脏”.某国产电子芯片公司，通过大数据分析，得到如下规律：生产一种高端芯片x（ ）万片，其总成本为 ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万片的生产成本为200万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 （单位：万元）满足 假定生产的芯片都能卖掉.
（1）将利润 （单位：万元）表示为产量x（单位：万片）的函数；
（2）当产量x（单位：万片）为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
22．（2020高一上·北海期末）已知函数 .
（1）若对任意 ，都有 成立，求实数m的取值范围；
（2）设函数 ，求 在区间 内的所有零点之和.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意 ，∴ ．
故答案为：A．
【分析】先确定集合 中元素，然后根据交集定义求解．
2．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：C.
【分析】根据二倍角余弦公式计算可得.
3．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】 ， ， ， ， ，零点在区间 上．
故答案为：C．
【分析】根据零点存在定理判断．
4．【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ， ， ，所以 ，即 ，
.
所以 .
故答案为：D.
【分析】根据平面向量共线定理求出参数m的值，再根据坐标法求模.
5．【答案】B
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】 时， 是增函数，只有C、D满足，此时 的对称轴是 ，C、D都不满足，不合题意；
时， 是减函数，只有A、B满足，此时 的对称轴是 ，其中只有B满足．
故答案为：B．
【分析】按 和 分类，确定 的单调性， 的对称轴．
6．【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意得 解得 或 故 或 .
故答案为：D
【分析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得.
7．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：因为 ，所以只需把函数 的图象向左平移 个单位长度，就可以得到函数 的图象.
故答案为：C
【分析】根据三角函数的平移变换规则计算可得.
8．【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为 是定义在 上的奇函数，
所以它的图象关于原点对称，且 ，
已知当 时， ，
作出函数图象如图所示，
从图象知： ，
则不等式 的解集为 .
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得 的图象，据此分析可得答案.
9．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 与 的夹角为锐角，所以 ，即 ，解得 .当 与 同向时，
设 （ ），则 ，所以 ，解得 ，从而 且 .
故答案为：C
【分析】由 与 的夹角为锐角，得到 且 与 不同向，得到不等式解得.
10．【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 ，又 ，∴ ．而 ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】把 化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与 比较．
11．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解： ，令 ，则 ，令 ，
易知 ，在区间 上单调递减.所以 的最大值是 .
故答案为：A
【分析】由 ，令 ，则 ，则 根据函数的单调性求出最值.
12．【答案】B
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为 当 时， 是增函数，且 ， 是R上的减函数，经过点 和 .又因为当 时， ，所以 在 、 、 ……上的图象与 上的图象相同， 与 的图象如图所示，共有4个交点，所以方程 共有4个解.
故答案为：B
【分析】画出函数图象，数形结合即可得解.
13．【答案】9
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
.
故答案为：9
【分析】直接根据分段函数解析式代入求值.
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解： ， ，
.
故答案为：
【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得.
15．【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，四边形 为平行四边形，
，
，所以 . 因为 ，所以 .
故答案为：
【分析】依题意画出草图，可得 ，即 ，再根据向量的减法法则计算可得.
16．【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解： ，令 ，因为 ，所以 ，
原函数的值域等价于函数 （ ）的值域，
所以 在 上单调递增， 上单调递减， ，
所以 .
故答案为：
【分析】令 ，原函数的值域等价于函数 （ ）的值域，根据二次函数的性质计算可得.
17．【答案】（1）解：因为角α的终边上有一点 ， 所以 ，且角 的终边在第二象限. 因为 ， 所以与角 终边相同的角的集合为
（2）解：由（1）知 ， 所以
【知识点】终边相同的角；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义可得 ，再根据特殊的三角函数值求出 ，最后根据终边相同的角的表示方法得解.（2）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代值计算可得.
18．【答案】（1）解：原式
.
（2）解： ，
①当集合 时，只要 ，解得 ；
②当集合 时，必须满足 解得 .
综上可知， 的取值范围是
【知识点】集合间关系的判断；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算及对数的性质计算可得.（2）首先求出集合 ，再根据集合的包含关系得到不等式组解得.
19．【答案】（1）解：因为 ， ，所以 解得
（2）解：由（1）知 .因为 ， 都是 上的增函数，
所以 在 上也是增函数，
又 ， ，
所以 在 上的值域为
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）由 ， .代入得到方程组，解得.（2）由（1）知 ，根据函数的单调性即可得解.
20．【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
令 （ ），
得 （ ），
所以函数 的单调递减区间为 （ ）
（2）解：由（1）知函数 在 上单调递减，
，
所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；二倍角的余弦公式；余弦函数的单调性；诱导公式
【解析】【分析】（1）由诱导公式及二倍角公式化简可得 ，再根据余弦函数的性质解答即可.（2）由（1）可求 ， 的坐标，再根据向量数量积的坐标运算计算可得.
21．【答案】（1）解：当产量为 万片时，由题意得 .
因为
所以
（2）解：由（1）可得，当 时， . 所以当 时， （万元）.
当 时， ， 单调递增，所以 （万元）
综上，当 时， （万元），即当产量为5万片时，公司所获利润最大，最大利润为9200万元
【知识点】函数的最大（小）值；根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）首先求出总成本函数 ，再由 计算可得；（2）由（1）利用分段函数的性质及二次函数的性质计算可得.
22．【答案】（1）解：因为
， 所以 .
又 ，所以 ， 故 ，即 ， ，
所以实数m的取值范围为
（2）解：由（1）得 ，
令 ，得 ，由正弦函数图象可知， 在 上有4个零点
这4个零点从小到大不妨设为 ， ， ， ，则由对称性得 ， ，
从而所有零点和为 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正弦公式得到 ，从而得到 的解析式，根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围；（2）首先求出 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答.
1 / 1广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．（2020高一上·北海期末）已知集合 ，则 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】由题意 ，∴ ．
故答案为：A．
【分析】先确定集合 中元素，然后根据交集定义求解．
2．（2020高一上·北海期末）若 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：C.
【分析】根据二倍角余弦公式计算可得.
3．（2020高一上·北海期末）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】 ， ， ， ， ，零点在区间 上．
故答案为：C．
【分析】根据零点存在定理判断．
4．（2020高一上·北海期末）已知向量 ， ，若 ，则 （　　）
A． B． C．9 D．10
【答案】D
【知识点】向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为 ， ， ，所以 ，即 ，
.
所以 .
故答案为：D.
【分析】根据平面向量共线定理求出参数m的值，再根据坐标法求模.
5．（2020高一上·北海期末）已知 且 ，则函数 和 在同一个平面直角坐标系的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】 时， 是增函数，只有C、D满足，此时 的对称轴是 ，C、D都不满足，不合题意；
时， 是减函数，只有A、B满足，此时 的对称轴是 ，其中只有B满足．
故答案为：B．
【分析】按 和 分类，确定 的单调性， 的对称轴．
6．（2020高一上·北海期末）已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且 ，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（　　）
A． B． 或2 C．1 D． 或1
【答案】D
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：由题意得 解得 或 故 或 .
故答案为：D
【分析】根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得.
7．（2020高一上·北海期末）为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象（　　）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：因为 ，所以只需把函数 的图象向左平移 个单位长度，就可以得到函数 的图象.
故答案为：C
【分析】根据三角函数的平移变换规则计算可得.
8．（2020高一上·北海期末）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：因为 是定义在 上的奇函数，
所以它的图象关于原点对称，且 ，
已知当 时， ，
作出函数图象如图所示，
从图象知： ，
则不等式 的解集为 .
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析可得 的图象，据此分析可得答案.
9．（2020高一下·怀仁期中）设向量 ， ，若 与 的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 与 的夹角为锐角，所以 ，即 ，解得 .当 与 同向时，
设 （ ），则 ，所以 ，解得 ，从而 且 .
故答案为：C
【分析】由 与 的夹角为锐角，得到 且 与 不同向，得到不等式解得.
10．（2020高一上·北海期末）已知 ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【解析】【解答】 ，又 ，∴ ．而 ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】把 化为同底数的幂比较大小，再借助于数2与 比较．
11．（2020高一上·北海期末）知函数 ，则 的最大值是（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解： ，令 ，则 ，令 ，
易知 ，在区间 上单调递减.所以 的最大值是 .
故答案为：A
【分析】由 ，令 ，则 ，则 根据函数的单调性求出最值.
12．（2020高一上·北海期末）已知函数 ，则方程 的解的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为 当 时， 是增函数，且 ， 是R上的减函数，经过点 和 .又因为当 时， ，所以 在 、 、 ……上的图象与 上的图象相同， 与 的图象如图所示，共有4个交点，所以方程 共有4个解.
故答案为：B
【分析】画出函数图象，数形结合即可得解.
二、填空题
13．（2020高一上·北海期末）已知函数 则 　 　.
【答案】9
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
.
故答案为：9
【分析】直接根据分段函数解析式代入求值.
14．（2020高一上·北海期末）若 ， ，则 　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解： ， ，
.
故答案为：
【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得.
15．（2020高一上·北海期末）在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，满足 ，连接DE交AC于点M，若 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】向量加减混合运算
【解析】【解答】解：因为 ，四边形 为平行四边形，
，
，所以 . 因为 ，所以 .
故答案为：
【分析】依题意画出草图，可得 ，即 ，再根据向量的减法法则计算可得.
16．（2020高一上·北海期末）函数 在 上的值域为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解： ，令 ，因为 ，所以 ，
原函数的值域等价于函数 （ ）的值域，
所以 在 上单调递增， 上单调递减， ，
所以 .
故答案为：
【分析】令 ，原函数的值域等价于函数 （ ）的值域，根据二次函数的性质计算可得.
三、解答题
17．（2020高一上·北海期末）已知角α的终边上有一点 .
（1）求与角α终边相同的角的集合；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：因为角α的终边上有一点 ， 所以 ，且角 的终边在第二象限. 因为 ， 所以与角 终边相同的角的集合为
（2）解：由（1）知 ， 所以
【知识点】终边相同的角；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义可得 ，再根据特殊的三角函数值求出 ，最后根据终边相同的角的表示方法得解.（2）根据诱导公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代值计算可得.
18．（2020高一上·北海期末）
（1）计算： ；
（2）已知集合 ， ，且 ，求a的取值范围.
【答案】（1）解：原式
.
（2）解： ，
①当集合 时，只要 ，解得 ；
②当集合 时，必须满足 解得 .
综上可知， 的取值范围是
【知识点】集合间关系的判断；有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算及对数的性质计算可得.（2）首先求出集合 ，再根据集合的包含关系得到不等式组解得.
19．（2020高一上·北海期末）已知函数 ，且 ， .
（1）求a，b的值；
（2）求 在 上的值域.
【答案】（1）解：因为 ， ，所以 解得
（2）解：由（1）知 .因为 ， 都是 上的增函数，
所以 在 上也是增函数，
又 ， ，
所以 在 上的值域为
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质
【解析】【分析】（1）由 ， .代入得到方程组，解得.（2）由（1）知 ，根据函数的单调性即可得解.
20．（2020高一上·北海期末）已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）设函数 在 上的图象的最高点和最低点分别为A，B，O为坐标原点， ，求 的值.
【答案】（1）解：因为 ，
所以 ，
令 （ ），
得 （ ），
所以函数 的单调递减区间为 （ ）
（2）解：由（1）知函数 在 上单调递减，
，
所以 ， ，
所以 ，又 ，
所以
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；二倍角的余弦公式；余弦函数的单调性；诱导公式
【解析】【分析】（1）由诱导公式及二倍角公式化简可得 ，再根据余弦函数的性质解答即可.（2）由（1）可求 ， 的坐标，再根据向量数量积的坐标运算计算可得.
21．（2020高一上·北海期末）电子芯片是“中国智造”的灵魂，是所有整机设备的“心脏”.某国产电子芯片公司，通过大数据分析，得到如下规律：生产一种高端芯片x（ ）万片，其总成本为 ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万片的生产成本为200万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 （单位：万元）满足 假定生产的芯片都能卖掉.
（1）将利润 （单位：万元）表示为产量x（单位：万片）的函数；
（2）当产量x（单位：万片）为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】（1）解：当产量为 万片时，由题意得 .
因为
所以
（2）解：由（1）可得，当 时， . 所以当 时， （万元）.
当 时， ， 单调递增，所以 （万元）
综上，当 时， （万元），即当产量为5万片时，公司所获利润最大，最大利润为9200万元
【知识点】函数的最大（小）值；根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用
【解析】【分析】（1）首先求出总成本函数 ，再由 计算可得；（2）由（1）利用分段函数的性质及二次函数的性质计算可得.
22．（2020高一上·北海期末）已知函数 .
（1）若对任意 ，都有 成立，求实数m的取值范围；
（2）设函数 ，求 在区间 内的所有零点之和.
【答案】（1）解：因为
， 所以 .
又 ，所以 ， 故 ，即 ， ，
所以实数m的取值范围为
（2）解：由（1）得 ，
令 ，得 ，由正弦函数图象可知， 在 上有4个零点
这4个零点从小到大不妨设为 ， ， ， ，则由对称性得 ， ，
从而所有零点和为 .
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的图象；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）首先根据两角和的正弦公式得到 ，从而得到 的解析式，根据正弦函数的性质求出其值域，从而得到参数的取值范围；（2）首先求出 的解析式，根据正弦函数的对称性即可解答.
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