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第01讲_生活中的立体图形
生活中的立体图形
一．认识立体图形
常见的几何体：
在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱的所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．
人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……
长方体、正方体都是四棱柱．棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形．本书只讨论直棱柱（简称棱柱）．
二．点、线、面、体
图形是由点、线、面构成的．面与面相交得到线，线与线相交得到点．
点动成线，线动成面，面动成体．
一．考点：1．认识立体图形；2．点、线、面、体．
二．重难点：认识常见的立体图形，熟记相关的点、线、面、体特征。
三．易错点：棱柱与棱锥的区别和联系．
题模一：认识立体图形
例1.1.1下列图形中，属于立体图形的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】C
【解析】A、角是平面图形，故A错误；B、圆是平面图形，故B错误；C、圆锥是立体图形，故C正确；D、三角形是平面图形，故D错误．
例1.1.2下列说法中，正确的个数是（
）
①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；
④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【解析】①柱体包括圆柱、棱柱；∴柱体的两个底面一样大；故此选项正确，②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确；③棱柱的底面可以为任意多边形，错误；④长方体符合柱体的条件，一定是柱体，正确；⑤棱柱的侧面应是平行四边形，错误；共有3个正确，故选B．
例1.1.3若一个直棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和等于60，则每条侧棱的长为__________．
【答案】10
【解析】由一个直棱柱共有12个顶点，得6棱柱．由所有侧棱长的和等于60，得每条侧棱的长为．
题模二：点、线、面、体
例1.2.1汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是（
）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
例1.2.2如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】A
【解析】半圆绕它的直径旋转一周形成球体．
随练1.1下列说法错误的是（
）
A．长方体、正方体都是棱柱
B．三棱柱的侧面是三角形
C．直六棱柱有六个侧面、侧面为矩形
D．球体的三种视图均为同样大小的图形
【答案】B
【解析】棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，所以可能出现三角形；侧面是四边形．B、三棱柱的底面是三角形，侧面是四边形，故错误．
随练1.2下列说法错误的是（
）
A．棱锥的侧面都是三角形
B．棱柱的侧面不都是长方形
C．圆锥由2个面围成，一个是平面，另一个是曲面
D．棱柱的所有棱都相等
【答案】D
【解析】棱柱的侧棱与地面上的棱，不一定相等，故D错误．
随练1.3如下图所示为8个立体图形．其中，是柱体的序号为__________；是锥体的序号为__________；是球的序号为__________．
【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③
【解析】分别根据柱体、锥体、球体的定义得出即可．
随练1.4将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】A
【解析】该题考查的是立体图形．将直角梯形绕直线l旋转一周后得到图A．将半圆绕直径所在直线旋转一周得到图B．将矩形绕长边所在直线旋转一周得到图C．将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周得到图D．
随练1.5笔尖在纸上写字说明__________；车轮旋转时看起来像个圆面，这说明__________；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明__________．
【答案】点动成线；线动成面；面动成体
【解析】笔尖在纸上写字说明点动成线；车轮旋转时看起来象个圆面，这说明线动成面；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明面动成体．
展开、折叠与截面
一．正方体的11种展开图
1．“一四一”型
一、三层的两个面是相对面，第二层四个面中不相邻的两个面是相对面．
2．“二三一”型
中间层中不相邻的两个面一定是相对面，中间的那个面与离它最远的面是相对面；余下的两个面是相对面．
3．“二二二”型
相邻两层不相邻的两个面一定是相对面，这样就可以先确定出两对不同的相对面，剩下的两个面一定是相对面．
4．“三三”型
每层中不相邻的两个面是相对面，剩下的两个面是相对面．
二．圆柱、棱柱的展开图
圆柱
直棱柱
三．圆锥、棱锥的展开图
圆锥
棱锥
四．展开图折叠成几何体
展开图中出现一下图形，不能围成正方体．
五．截一个几何体
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．如下图，用一个平面去截一个正方体所得的截面形状．
一．考点：1．几何体的展开图；2．展开图折叠成几何体；3．截一个几何体．
二．重难点：
1．判断正方体、柱体、锥体的展开图与折叠，判断几何体的截面．
2．对面有图案的立体图形展开图，若立体图形表面的图案无方向区分，例如表面有字或字母等，则只需判断字母所在的平面与其它平面的位置关系即可；
3．若立体图形表面的图案有方向区分，例如表面为不同图案等，则不仅需要判断字母所在的平面与其它平面的位置关系，还需判断展开后图案的方向．
三．易错点：
1．判断正方体平面展开图的相对面容易出错．
2．对面有图案的立体图形的展开图，有时候需要考虑图形的方向．
题模一：几何体的展开图
例2.1.1下列四个图形中是正方体的平面展开图的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】B
【解析】A、C、D不是正方体的平面展开图；B是正方体的平面展开图．
例2.1.2小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】A
【解析】只有相对面的图案相同
例2.1.3下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】B
【解析】A是三棱锥的展开图，C中多了上、下两个底面，D是四棱锥的展开图，只有C是三棱柱的展开图．
例2.1.4圆锥的展开图可能是下列图形中的（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】D
【解析】该题考察的是几何体的展开图．圆锥的展开图是扇形和圆，故答案是D．
题模二：展开图折叠成几何体
例2.2.1以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】选项A、B、C都可以折叠成一个正方体；选项D，有“田”字格，所以不能折叠成一个正方体．
例2.2.2如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是（
）
A．的
B．中
C．国
D．梦
【答案】D
【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“们”与“中”是相对面，“我”与“梦”是相对面，“的”与“国”是相对面．
例2.2.3下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】C
【解析】A、另一底面的三角形是直角三角形，两底面的三角形不全等，故本选项错误；B、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；C、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；D、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误．
题模三：截一个几何体
例2.3.1用一个平面去截一个圆锥，截面图形不可能是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】C
【解析】A、用一个平面沿圆锥的高线互相垂直的截两次即可得到三角形，故正确；B、用一个平面沿圆锥的高线截取即可得到等边三角形，故正确；C、因为圆锥有一个尖，故不可能呈抛物线型，故错误；D、将圆锥沿平行于底面截开即可得到圆，故正确．
例2.3.2正方体的截面不可能是（　　）
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
【答案】D
【解析】正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或多于七边的图形．
例2.3.3用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为：①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱
__________（写出所有正确结果的序号）．
【答案】①③④
【解析】当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
随练2.1下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】D
【解析】D围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体．故选D．
随练2.2下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】B
【解析】圆锥的展开图是扇形．
随练2.3下列不是三棱柱展开图的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】C
【解析】∵三棱柱展开图有3个四边形，2个三角形，∴C选项不是三棱柱展开图，故选：C．
随练2.4如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】D
【解析】此题主要考查了圆锥侧面展开图的性质，根据圆锥侧面展开图的性质得出是解决问题的关键．根据圆锥侧面展开图的特点，直接可以得出答案．根据圆锥的侧面展开图是扇形，可以直接得出答案，故D不符合要求．
随练2.5把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是__________．
【答案】顺
【解析】这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“祝”与面“利”相对，面“你”与面“考”相对，面“中”与面“顺”相对．
随练2.6如图所示的正方体，用一个平面截去它的一个角，则截面不可能是（
）
A．锐角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【解析】截面经过正方体的3个面时，得到三角形，但任意两条线段不可能垂直，所以截面不可能是等腰直角三角形．
作业1下列说法错误的是（
）
A．棱锥的侧面都是三角形
B．棱柱的侧面不都是长方形
C．圆锥由2个面围成，一个是平面，另一个是曲面
D．棱柱的所有棱都相等
【答案】D
【解析】棱柱的侧棱与地面上的棱，不一定相等，故D错误．
作业2若一个棱柱有12
个顶点，则在下列说法中，正确的是（
）
A．这个棱柱的底面是六边形
B．这个棱柱有5个侧面
C．这个棱柱有5条侧棱
D．这个棱柱是一个十二棱柱
【答案】A
【解析】∵棱柱有12
个顶点，∴上下底面各有6个顶点，即这个棱柱的底面是六边形．
作业3如下图，一个正五棱柱的底面边长为2cm，高为4cm．
（1）这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积；
（2）这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？
（3）试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数．
【答案】（1）侧面有5个，底面有2个，共有个面；侧面积：．
（2）顶点共10个，棱共有15条；（3）n棱柱的顶点数2n；面数；棱的条数3n．
【解析】（1）根据图形可得侧面的个数，再加上上下底面即可；（2）顶点共有10个，棱有5×3条；（3）根据五棱柱顶点数、面数与棱的条数进行总结即可．
作业4如图所示，它是由什么图形旋转而成的？请你画出来．
【答案】
【解析】面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，
那么所求的图形是直角三角形，长方形，直角三角形的组合图形．
作业5两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，在这些新的长方体中，表面积最大是__________．
【答案】164
【解析】新的长方体的表面积最大，就要求把两个面积最小的面组合在一起．表面积最大是
作业6如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】B
【解析】A、含有田字形，不能折成正方体，故A错误；B、能折成正方体，故B正确；C、凹字形，不能折成正方体，故C错误；D、含有田字形，不能折成正方体．
作业7一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（
）
A．三棱柱
B．三棱锥
C．四棱柱
D．四棱锥
【答案】A
【解析】本题考查了由三视图确定几何体的形状，主要培养学生空间想象能力及动手操作能力．
通过图片可以想象出该物体由三条棱组成，底面是三角形，符合这个条件的几何体是三棱柱．
如图，考生可以发挥空间想象力可得出该几何体底面为一个三角形，由三条棱组成，故该几何体为三棱柱．
作业8如图，已知是圆柱底面直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、嵌有一圈路径最短的金属丝.现将圆柱侧面沿剪开，所得的侧面展开图是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】A
【解析】两点之间线段最短，在立体图形中是曲线，但是在展开后的平面图形中是线段最短．
作业9如图是某正方体的表面展开图，则展开前与“我”字相对的面上的字是__________．
【答案】是
【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“我”与“是”是相对面，“们”与“朋”是相对面，“好”与“友”是相对面．
作业10一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是__________．
【答案】四棱锥
【解析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．
作业11用一个平面去截一个圆柱体，不可能的截面是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
【答案】D
【解析】用一个平面去截一个圆柱体，轴截面是矩形；过平行于上下底面的面去截可得到圆；过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；不可能的截面是等腰梯形．
0教师辅导讲义
学员姓名：
年
级：辅导科目：
学科教师：
上课时间
授课主题
第01讲_生活中的立体图形
生活中的立体图形
一．认识立体图形
常见的几何体：
在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱的所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．
人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……
长方体、正方体都是四棱柱．棱柱可以分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形．本书只讨论直棱柱（简称棱柱）．
二．点、线、面、体
图形是由点、线、面构成的．面与面相交得到线，线与线相交得到点．
点动成线，线动成面，面动成体．
一．考点：1．认识立体图形；2．点、线、面、体．
二．重难点：认识常见的立体图形，熟记相关的点、线、面、体特征。
三．易错点：棱柱与棱锥的区别和联系．
题模一：认识立体图形
例1.1.1下列图形中，属于立体图形的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
例1.1.2下列说法中，正确的个数是（
）
①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；
④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
例1.1.3若一个直棱柱共有12个顶点，所有侧棱长的和等于60，则每条侧棱的长为__________．
题模二：点、线、面、体
例1.2.1汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是（
）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．以上答案都不对
例1.2.2如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
随练1.1下列说法错误的是（
）
A．长方体、正方体都是棱柱
B．三棱柱的侧面是三角形
C．直六棱柱有六个侧面、侧面为矩形
D．球体的三种视图均为同样大小的图形
随练1.2下列说法错误的是（
）
A．棱锥的侧面都是三角形
B．棱柱的侧面不都是长方形
C．圆锥由2个面围成，一个是平面，另一个是曲面
D．棱柱的所有棱都相等
随练1.3如下图所示为8个立体图形．其中，是柱体的序号为__________；是锥体的序号为__________；是球的序号为__________．
随练1.4将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
随练1.5笔尖在纸上写字说明__________；车轮旋转时看起来像个圆面，这说明__________；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明__________．
展开、折叠与截面
一．正方体的11种展开图
1．“一四一”型
一、三层的两个面是相对面，第二层四个面中不相邻的两个面是相对面．
2．“二三一”型
中间层中不相邻的两个面一定是相对面，中间的那个面与离它最远的面是相对面；余下的两个面是相对面．
3．“二二二”型
相邻两层不相邻的两个面一定是相对面，这样就可以先确定出两对不同的相对面，剩下的两个面一定是相对面．
4．“三三”型
每层中不相邻的两个面是相对面，剩下的两个面是相对面．
二．圆柱、棱柱的展开图
圆柱
直棱柱
三．圆锥、棱锥的展开图
圆锥
棱锥
四．展开图折叠成几何体
展开图中出现一下图形，不能围成正方体．
五．截一个几何体
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．如下图，用一个平面去截一个正方体所得的截面形状．
一．考点：1．几何体的展开图；2．展开图折叠成几何体；3．截一个几何体．
二．重难点：
1．判断正方体、柱体、锥体的展开图与折叠，判断几何体的截面．
2．对面有图案的立体图形展开图，若立体图形表面的图案无方向区分，例如表面有字或字母等，则只需判断字母所在的平面与其它平面的位置关系即可；
3．若立体图形表面的图案有方向区分，例如表面为不同图案等，则不仅需要判断字母所在的平面与其它平面的位置关系，还需判断展开后图案的方向．
三．易错点：
1．判断正方体平面展开图的相对面容易出错．
2．对面有图案的立体图形的展开图，有时候需要考虑图形的方向．
题模一：几何体的展开图
例2.1.1下列四个图形中是正方体的平面展开图的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
例2.1.2小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒（如图所示），则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
例2.1.3下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
例2.1.4圆锥的展开图可能是下列图形中的（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
题模二：展开图折叠成几何体
例2.2.1以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是（
）
A．
B．
C．
D．
例2.2.2如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是（
）
A．的
B．中
C．国
D．梦
例2.2.3下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
题模三：截一个几何体
例2.3.1用一个平面去截一个圆锥，截面图形不可能是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
例2.3.2正方体的截面不可能是（　　）
A．四边形
B．五边形
C．六边形
D．七边形
例2.3.3用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为：①正方体；②圆柱；③圆锥；④正三棱柱
__________（写出所有正确结果的序号）．
随练2.1下列图形中，不是正方体的表面展开图的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
随练2.2下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
随练2.3下列不是三棱柱展开图的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
随练2.4如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
随练2.5把下列图标折成一个正方体的盒子，折好后与“中”相对的字是__________．
随练2.6如图所示的正方体，用一个平面截去它的一个角，则截面不可能是（
）
A．锐角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
作业1下列说法错误的是（
）
A．棱锥的侧面都是三角形
B．棱柱的侧面不都是长方形
C．圆锥由2个面围成，一个是平面，另一个是曲面
D．棱柱的所有棱都相等
作业2若一个棱柱有12
个顶点，则在下列说法中，正确的是（
）
A．这个棱柱的底面是六边形
B．这个棱柱有5个侧面
C．这个棱柱有5条侧棱
D．这个棱柱是一个十二棱柱
作业3如下图，一个正五棱柱的底面边长为2cm，高为4cm．
（1）这个棱柱共有多少个面？计算它的侧面积；
（2）这个棱柱共有多少个顶点？有多少条棱？
（3）试用含有n的代数式表示n棱柱的顶点数、面数与棱的条数．
作业4如图所示，它是由什么图形旋转而成的？请你画出来．
作业5两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，把它们叠放在一起组成一个新的长方体，在这些新的长方体中，表面积最大是__________．
作业6如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
作业7一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（
）
A．三棱柱
B．三棱锥
C．四棱柱
D．四棱锥
作业8如图，已知是圆柱底面直径，是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、嵌有一圈路径最短的金属丝.现将圆柱侧面沿剪开，所得的侧面展开图是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
作业9如图是某正方体的表面展开图，则展开前与“我”字相对的面上的字是__________．
作业10一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是__________．
作业11用一个平面去截一个圆柱体，不可能的截面是（
）
A．A
B．B
C．C
D．D
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