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辽宁省沈阳市和平区2021届九年级数学上学期数学期末考试卷
一、单选题
1．（2021九上·和平期末）反比例函数 的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】∵ ，
k=-2020＜0，
∴ 函数在二、四象限；
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象“当k＞0时，反比例函数的图象经过一、三象限；当k＜0时，反比例函数的图象经过二、四象限”并结合题意即可判断求解.
2．（2016·宜昌）将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵一根圆柱形的空心钢管任意放置，
∴不管钢管怎么放置，它的三视图始终是 ， ， ，主视图是它们中一个，
∴主视图不可能是 ．
故选A，
【分析】根据三视图的确定方法，判断出钢管无论如何放置，三视图始终是下图中的其中一个，即可．此题是简单几何体的三视图，考查的是三视图的确定方法，解本题的关键是物体的放置不同，主视图，俯视图，左视图，虽然不同，但它们始终就图中的其中一个．
3．（2021九上·和平期末）如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，图中有（　　）个等腰直角三角形.
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA ，OA＝OC＝OD＝OB，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°.
∴图中等腰直角三角形有：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABC、△ADC、△ABD、△BCD，共8个.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质“四边都相等；四个角都是直角；每一条对角线平分一组对角”并结合等腰直角三角形的判定即可求解.
4．（2021九上·和平期末）用配方法解一元二次方程 ，配方后的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
则 ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式”并结合个选项即可求解.
5．（2021九上·和平期末）某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率.设年均增长率为 ，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得：
.
故答案为：D.
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数列方程并结合各选项即可判断求解.
6．（2021九上·和平期末）在平面直角坐标系中，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， .已知矩形 与矩形 位似，位似中心是原点 ，且矩形 的面积等于矩形 面积的 ，则点 的坐标为（　　）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，矩形OA1B1C1的面积＝ 矩形OABC面积，
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的位似比为1： ，
∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心是原点O，点B的坐标为（8，6），
∴点B1的坐标为为（8× ，6× ）或（ 8× ， 6× ），即（4 ，3 ）或（－4 ，－3 ），
故答案为：D.
【分析】 根据相似多边形的性质可求出矩形OA1B1C1与矩形OABC的位似比，根据位似变换的性质计算即可求解．
7．（2021九上·和平期末）如图，已知 ，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，
∴ ， ，
故A、D、C错误，B正确，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式并结合各选项即可判断求解.
8．（2021九上·和平期末）如图，在矩形 中，两条对角线 与 相交于点 ， ， ，则 的长为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，
∴BD=2OA=4，
在Rt△ABD中，AD= ,
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，在直角三角形ABD中，用勾股定理计算即可求解.
9．（2021九上·和平期末）蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的电流 （ ）与电阻 （ ）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 ，那么用电器的可变电阻应控制在（　　）范围内.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由物理知识可知：I= ，
由图象可知点（9，4）在反比例函数的图象上，
当I≤9时，由R≥4，
故答案为：A.
【分析】由函数图象即可判断求解.
10．（2021九上·和平期末）将抛物线（　　）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为 .
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由题意得：将抛物线 先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后即可得到平移前的抛物线，
∴平移前的函数解析式为： ，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”即可求解.
二、填空题
11．（2021九上·和平期末）一个口袋中有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球.请你估计这个口袋中有　 　个红球.
【答案】10
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意得：50× =10（个），
∴这个口袋中有10个红球.
故答案为：10.
【分析】 用总球的个数乘以摸到红球的概率即可求得口袋中红球的数量.
12．（2021九上·和平期末）一天下午，小红先参加了校运动会女子 比赛，然后又参加了女子 比赛，摄影师在同一位置拍摄了她参加这两场比赛的照片如图所示，则小红参加 比赛的照片是　 　.（填“图1”或“图2”）
【答案】图2
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长；当太阳光在中午时，所产生的影子就比较短，当太阳光在上午或者下午时，所产生的影子就比较长，所以这位同学参加200米比赛的照片是图2.
故答案为：图2.
【分析】通过比较人的影子的方向可判断时间的先后顺序.
13．（2021九上·和平期末）已知点 为反比例函数 图象上的点，过点 分别作 轴， 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为6，则 的值为　 　.
【答案】±6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】由题，过点 A 分别作 x 轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积等于 ，
∴ ，解得 ，
故答案为：±6.
【分析】根据反比例函数的几何意义即可求解.
14．（2021九上·和平期末）如图，若 是已知线段，经过点 作 ，使 ；连接 ，在 上截取 ；在 上截取 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】由已知条件BD=AB可设BD=a，AB=2a，在直角三角形ABD中，用勾股定理可将AD用含a的代数式表示，则AE=AD-DE也可用含a的代数式表示，由作图可知AE=AC，则可求解.
15．（2021九上·和平期末）观察下列图形的构成规律，根据此规律，第10个图形中有　 　个圆.
【答案】55
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】第一个图形有 个圆，第二个图形有 个圆，第三个图形有 个圆，第四个图形有 个圆，第五个图形有 ，故第n个图形与 个圆，故第十个图形有 个圆，
故答案为：55.
【分析】由已知的图形中圆的个数可得第n个图形中圆的个数的规律为：，然后把n=10代入计算即可求解.
16．（2021九上·和平期末）如图，正方形 的边长为2，对角线 、 相交于点 ，将 绕着点 顺时针旋转 得到 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 .则下列结论：① ≌ ；②四边形 是菱形；③ 的面积是 ；④ .其中正确结论的序号是　 　.
【答案】①②④
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】∵正方形 的边长为2，
∴ ， ， ， ，
∵将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴四边形 是菱形，
∴②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故③错误；
故答案为：①②④.
【分析】 ①由正方形的性质和勾股定理可得AB＝BC＝AD＝2，AC＝BD＝2，AO＝BO＝CO＝DO＝，AC⊥BD，由旋转的性质可得AB＝BE＝2，AD＝EF＝2，∠BEF＝∠BAD＝90°，由“HL”可证Rt△BEG≌Rt△BCG；
②由①中的全等三角形可得∠EBG＝∠CBG＝22.5°，用“SAS”可证△BEH≌△BCH，可得CH＝EH＝EG＝CG，根据菱形的判定可得四边形EHCG是菱形；
③由等腰直角三角形的性质和菱形的性质可求得EH=OH=CG，由线段的构成得DG=CD-CG，则S△BDG=DGBC可求解；
④由已证的结论可得∠BCH＝∠BEH＝45°，于是OH＝OE=BE-OB可求解.
三、解答题
17．（2021九上·和平期末）解一元二次方程：
【答案】解： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： ，
解得： ， .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.
18．（2021九上·和平期末）为了测得图1和图2中旗杆的高度，在太阳光下同一时刻小明和小红分别做了如下操作，测得竹竿 长0.9米，其影长 为1米.
（1）如图1，若小明测得旗杆影 长为3米，求图1中旗杆高 B为多少米（ ， ，点 、 、 在一条直线上）；
（2）如图2，若小红测得旗杆落在地面上的影长 为3米，落在墙上的影子 的高为1.1米，则直接写出图2中旗杆高 为　 　米（ ， ）.
【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得： ，
即图（1）中的旗杆为2.7米；
（2）3.8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，旗杆高为h，
∵竹竿CD长0.9米，其影长CE为1米，
∴ ，解得： ，
∴旗杆的影长为： ，
∴ ，
解得： 米，
故答案为：3.8米.
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可求解；
（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，旗杆高为h，根据相似三角形的性质即可求解．
19．（2021九上·和平期末）如图是由转盘和箭头组成的两个转盘 、 ，这两个转盘除了表面颜色不同外，其它构造完全相同.游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么红色和蓝色在一起能配成紫色.请你用列表法或树状图法，求游戏者不能配成紫色的概率.
【答案】解：∵A转盘红色区域是蓝色区域的2倍，B转盘蓝色区域是红色区域的2倍，
∴画树状图如下图：
共有9个等可能的结果，游戏者不能配成紫色的结果有4个，
∴游戏者不能配成紫色的概率 .
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】 观察转盘可知，A转盘红色区域是蓝色区域的2倍，B转盘蓝色区域是红色区域的2倍， 由题意画出树状图，由树状图的信息可得，共有9个等可能的结果，游戏者不能配成紫色的结果有4个，然后根据概率公式计算即可求解.
20．（2021九上·和平期末）如图，若在正方形 中，点 为 边上一点，点 为 延长线上一点，且 ，则 与 之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.
【答案】解：AE=CF并且AE⊥CF，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD，∠CDF=∠EDA=90°，
∵DE=DF，
∴△CDF≌△ADE(SAS)，
∴AE=CF，
∵△CDF≌△ADE，∠CDF=∠EDA=90°，
∴△ADE逆时针旋转90°得到△CDF，
∴AE与CF的夹角为90°，
∴AE⊥CF.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】由正方形的性质得条件，然后用边角边可证△CDF≌△ADE，由全等三角形的性质可得AE=CF，结合已知可得△ADE逆时针旋转90°得到△CDF，于是可得AE与CF的夹角为90°，根据垂线的定义即可求解.，
21．（2021九上·和平期末）如图， ， ， ， ， ，点 在 上移动，当以 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求 的长.
【答案】解：设DE=x，则BE=BD-x=6-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴当 时，△ABE∽△CDE，即 ，
解得x= ，
当 时，△ABE∽△EDC，即 ，
整理得x2-6x+9=0，
解得x1=x2=3，
∴当DE为 或3时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似.
【知识点】相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设DE=x，则BE=BD-x=6-x，由垂线的定义可得∠B=∠D=90°，根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”可得：当时，△ABE∽△CDE，于是可得关于x的方程，解方程即可求解.
22．（2021九上·和平期末）某水果店销售某种水果，由市场行情可知，从1月至12月，这种水果每千克售价 （元）与销售时间 （ ， 为正整数）月之间存在如图1所示（图1的图象是线段）的变化趋势，每千克成本 （元）与销售时间 （ ， 为正整数）月满足函数表达式 ，其变化趋势如图2所示（图2的图象是抛物线）.
（1）求 关于 的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）
（2）求 关于 的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）
（3）求哪个月出售这种水果，每千克所获得的收益最大.
【答案】（1）解：设一次函数表达式为y1=kx+b，
将点（4，22）、（8，20）代入函数一次函数表达式得 ，
解得 ，
故y1关于x的函数表达式为y1=- x+24；
（2）解：将点（3，12）、（7，14）代入抛物线表达式得： ，
解得 ，
故y2关于x的函数表达式为y2= x2-2x+ ；
（3）解：设每千克所获得的收益为w（元），则
= ，
∵- ＜0，
故w有最大值，此时x=3，
故3月出售这种水果，每千克所获得的收益最大.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）观察已知的图像可设一次函数表达式为y1=kx+b，且一次函数的图象过点(4，22）、（8，20），用待定系数法即可求解；
（2）观察已知的图像可知抛物线经过点（3，12）、（7，14），用待定系数法即可求解；
（3）设每千克所获得的收益为w（元），由题意可得w=y1-y2，把（1）和（2）中的解析式代入计算并配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解.
23．（2021九上·和平期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，连接 ， ，延长 交反比例函数图象于点 .
（1）求一次函数 的表达式与反比例函数 的表达式；
（2）当 时，直接写出自变量 的取值范围为　 　；
（3）点 是 轴上一点，当 时，请直接写出点 的坐标为　 　.
【答案】（1）解：将点 ， 代入 得
，解得 ，
∴一次函数 的表达式为 ；
将点 代入 中，得k= 16，
∴反比例函数 的表达式为 ；
（2）0＜x＜2或x＞8
（3）（3,0）或（-3,0）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）当 时，即直线在曲线的下方，由图象得 或 ，
故答案为： 或 ；（3）∵延长 交反比例函数图象于点 ,
∴点C与点A关于原点对称，
∴C（-2，-8），
设直线AB交x轴于N，交y轴于M，
令 中 ，得-x+10=0，解得x=10，∴N（10,0），
令x=0，得y=10，∴M（0,10），
∴
=30，
设P（x，0），
∵ ，
∴ ,
∴ ，
解得x=3或-3，
∴点P的坐标为（3,0）或（-3,0）.
故答案为:（3,0）或（-3,0）.
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）根据图象中的信息即可求解；
（3）先求得D的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOD S△BOD求得△AOB的面积，即可求得S△PAC=S△AOB＝24，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×OP×8＝24，于是可求得OP，则P的坐标可求解．
24．（2021九上·和平期末）如图，在边长为16的菱形 中， 、 为对角线， ，点 、 分别是边 、边 上的动点，连接 、 、 .
（1）当点 、点 分别是边 ，边 的中点时.
①求证： 是等边三角形；　 　
②若点 是对角线 上的动点，连接 ， ，则直接写出 的最小值为　 　；
（2）若点 是对角线 上的动点，连接 、 ，则直接写出 的最小值为　 　；
（3）若 ， 交 于点 ，点 、点 分别是线段 、线段 上的动点，连接 、 ，则直接写出 的最小值为　 　.
【答案】（1）证明：如图， ∵ABCD是菱形，∠DAC=60°， ∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=120° ∴△ADB为等边三角形 ∴∠ABD=∠CBD=60° ∵点 、点 分别是边 ，边 的中点 ∴AE=BF 在△AED和△BFD中， ∴△AED≌△BFD ∴DE=DF，∠ADE+∠BDE=∠FDB+∠BDE=60°， ∴∠EAF=60°， ∴△DEF为等边三角形；16
（2）
（3）
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）②作E关于AC的对称点 ，连接 交AC于点G，此时 最小，
∵E为AB的中点，
∴ 为AD的中点，
又∵F为BC的中点，
∴G在对角线中心，且 F=AB=CD
∴ F=16
∴ 的最小值为16,
故答案为：16（2）过点E作关于AC的对称点 ，过 点作 F⊥BC，垂足为F，
∵两平行线间垂线段最短，
∴ 的值最小，
∵∠BCD=60°，sin∠BCD= ，CD=16
∴ ;（3）如图3中，作点于DF的对称点为M，过点M作DE的垂线，交DF为Q，交DE为P，此时，PQ+KQ最短，由于对称，KQ=MQ，PQ为垂线段（垂线段最短）.
连接DM、作DG⊥EF于G，EH⊥AD于H.
在Rt△AEH中，∵AE=4，∠AEH=30°，
∴AH=2，HE= ，
∴DH=14，DE= ，
∵△AEF是等边三角形，
∴DG= .
∵∠DKG=∠KBE+∠KEB=60°+∠KEB，
∵∠KBE+∠KEB+∠EKB=180°，∠FKD+∠DFK+∠DKF=180°，∠DFK=∠KBE=60°，∠DKF=∠BKE，
∴∠BEK=∠FDK=∠FDM，
∵∠PDM=∠PDF+∠FDM=60°+∠FDM，
∴∠DKG=∠PDM，
∵∠DGK=∠DPM=90°，DK=DM，
∴△DGK≌△MPD，
∴MP=DG= .
∴EF+PF的最小值为 .
【分析】（1）①由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝∠BAD＝60°，可证△ABD，△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质可证DE＝DF，∠EDF＝60°，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可求解；
②作E关于AC的对称点E′，连接E′F交AC于点G，此时 最小；
（2）过点E作关于AC的对称点E′，过E′点作E′F⊥BC，垂足为F，根据垂线段最短可求解；
（3）作点于DF的对称点为M，过点M作DE的垂线，交DF为Q，交DE为P，此时，PQ+KQ最短，由于对称，KQ=MQ，PQ为垂线段（垂线段最短），连接DM、作DG⊥EF于G，EH⊥AD于H；用勾股定理可求得DE的长，由等边三角形的性质用角角边可证△DGK≌△MPD，由全等三角形的性质得MP=DG=EF+PF可求解.
25．（2021九上·和平期末）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 为点 关于 轴的对称点.
（1）求抛物线的函数表达式及抛物线顶点坐标；
（2）直线以每秒2个单位的速度沿 轴的负方向平移，平移 （ ）秒后，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 关于直线 的对称点为 .
①请直接写出点 的横坐标为　 　（用含字母 的代数式表示）
②当点 落在抛物线上时，请直接写出此时 为　 　秒，点 的坐标为　 　；
③点 是第二象限内一点，当四边形 为矩形时，过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，请直接写出此时 为　 　秒，这条过抛物线顶点的直线表达式为　 　.
【答案】（1）解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ；
函数的对称轴为x=-2，当x=-2时， ，
故顶点的坐标为 ；
（2）（2-2t，0）；2；（-4，-2 ）；； .
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）令 ，解得x=-6或2，
故点B（2，0），
∵点D为点C关于x轴的对称点，故点D（0，2 ），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为y=- （x-2）=- x+2 ，
则t秒后直线的表达式为y=- （x+2t）+2 ①，①令y=- （x+2t）+2 =0，解得x=2-2t，
故点E的坐标为（2-2t，0）；②如图，
由直线BD的表达式y=- x+2 知，D（0，2 ），B（2，0）
∴tan∠DBO= ，
故∠DBO=60°，
则∠OBB′=90°-60°=30°，
∵
∴
∴F(0， )
设BB′的表达式为y=mx+n
将点F(0， )，B（2，0）的坐标代入上式并解得： ，
故直线BB′的表达式为y= ②，
设BB′的中点为点F，
联立①②并解得 ，即点 ，
∵点F是BB′的中点，由中点公式得：点B′（2-3t，- t），
将点B′的坐标代入抛物线表达式并解得t=2，
故点B′（-4，-2 ）；（3）设AE的中点为H，
由点A、E的坐标得，点H（-2-t，0），AE=2-2t-（-6）=8-2t，
∵四边形EGAB′为矩形，故△AB′E为直角三角形，
故BH= AE，即BH2= AE2，
则4[（2-3t+2+t）2+（- t）2]=（8-2t）2，
解得t=0（舍去）或 ，
故t= ，
则点H（- ，0），
∵过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，
则该直线过点H，
由顶点坐标（-2，- ）和点H的坐标得，该直线的表达式为 ；
故答案为①（2-2t，0）；②2，（-4，-2 ）；（3） ， .
【分析】（1）由待定系数法即可求解析式；将解析式配成顶点式可求顶点坐标；
（2）①求出直线BD的表达式，进而得到t秒后直线的表达式为y＝ （x＋2t）＋2即可求解；
②求出BB′的表达式为y＝（x 2），联立解①②可把点F的坐标用含t的代数式表示出来，由中点公式可求得点B′的坐标；
（3）设AE的中点为H，结合已知易得BH=AE，即BH2=AE2，于是可得关于t的方程，解之可求得t的值，则H的坐标可求解；过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，则该直线过点H，用抛物线的顶点坐标和点H的坐标根据待定系数法可求直线解析式.
1 / 1辽宁省沈阳市和平区2021届九年级数学上学期数学期末考试卷
一、单选题
1．（2021九上·和平期末）反比例函数 的图象在（　　）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
2．（2016·宜昌）将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021九上·和平期末）如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，图中有（　　）个等腰直角三角形.
A．2 B．4 C．8 D．16
4．（2021九上·和平期末）用配方法解一元二次方程 ，配方后的方程为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021九上·和平期末）某市2017年年底自然保护区覆盖率为8%，经过两年努力，该市2019年年底自然保护区覆盖率达到9%，求该市这两年自然保护区面积的平均增长率.设年均增长率为 ，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021九上·和平期末）在平面直角坐标系中，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， .已知矩形 与矩形 位似，位似中心是原点 ，且矩形 的面积等于矩形 面积的 ，则点 的坐标为（　　）
A． B． 或
C． D． 或
7．（2021九上·和平期末）如图，已知 ，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2021九上·和平期末）如图，在矩形 中，两条对角线 与 相交于点 ， ， ，则 的长为（　　）
A．5 B． C． D．
9．（2021九上·和平期末）蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的电流 （ ）与电阻 （ ）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 ，那么用电器的可变电阻应控制在（　　）范围内.
A． B． C． D．
10．（2021九上·和平期末）将抛物线（　　）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为 .
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021九上·和平期末）一个口袋中有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同.将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有20次摸到红球.请你估计这个口袋中有　 　个红球.
12．（2021九上·和平期末）一天下午，小红先参加了校运动会女子 比赛，然后又参加了女子 比赛，摄影师在同一位置拍摄了她参加这两场比赛的照片如图所示，则小红参加 比赛的照片是　 　.（填“图1”或“图2”）
13．（2021九上·和平期末）已知点 为反比例函数 图象上的点，过点 分别作 轴， 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为6，则 的值为　 　.
14．（2021九上·和平期末）如图，若 是已知线段，经过点 作 ，使 ；连接 ，在 上截取 ；在 上截取 ，则 　 　.
15．（2021九上·和平期末）观察下列图形的构成规律，根据此规律，第10个图形中有　 　个圆.
16．（2021九上·和平期末）如图，正方形 的边长为2，对角线 、 相交于点 ，将 绕着点 顺时针旋转 得到 ， 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 .则下列结论：① ≌ ；②四边形 是菱形；③ 的面积是 ；④ .其中正确结论的序号是　 　.
三、解答题
17．（2021九上·和平期末）解一元二次方程：
18．（2021九上·和平期末）为了测得图1和图2中旗杆的高度，在太阳光下同一时刻小明和小红分别做了如下操作，测得竹竿 长0.9米，其影长 为1米.
（1）如图1，若小明测得旗杆影 长为3米，求图1中旗杆高 B为多少米（ ， ，点 、 、 在一条直线上）；
（2）如图2，若小红测得旗杆落在地面上的影长 为3米，落在墙上的影子 的高为1.1米，则直接写出图2中旗杆高 为　 　米（ ， ）.
19．（2021九上·和平期末）如图是由转盘和箭头组成的两个转盘 、 ，这两个转盘除了表面颜色不同外，其它构造完全相同.游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色，那么红色和蓝色在一起能配成紫色.请你用列表法或树状图法，求游戏者不能配成紫色的概率.
20．（2021九上·和平期末）如图，若在正方形 中，点 为 边上一点，点 为 延长线上一点，且 ，则 与 之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.
21．（2021九上·和平期末）如图， ， ， ， ， ，点 在 上移动，当以 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求 的长.
22．（2021九上·和平期末）某水果店销售某种水果，由市场行情可知，从1月至12月，这种水果每千克售价 （元）与销售时间 （ ， 为正整数）月之间存在如图1所示（图1的图象是线段）的变化趋势，每千克成本 （元）与销售时间 （ ， 为正整数）月满足函数表达式 ，其变化趋势如图2所示（图2的图象是抛物线）.
（1）求 关于 的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）
（2）求 关于 的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）
（3）求哪个月出售这种水果，每千克所获得的收益最大.
23．（2021九上·和平期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于 ， 两点，连接 ， ，延长 交反比例函数图象于点 .
（1）求一次函数 的表达式与反比例函数 的表达式；
（2）当 时，直接写出自变量 的取值范围为　 　；
（3）点 是 轴上一点，当 时，请直接写出点 的坐标为　 　.
24．（2021九上·和平期末）如图，在边长为16的菱形 中， 、 为对角线， ，点 、 分别是边 、边 上的动点，连接 、 、 .
（1）当点 、点 分别是边 ，边 的中点时.
①求证： 是等边三角形；　 　
②若点 是对角线 上的动点，连接 ， ，则直接写出 的最小值为　 　；
（2）若点 是对角线 上的动点，连接 、 ，则直接写出 的最小值为　 　；
（3）若 ， 交 于点 ，点 、点 分别是线段 、线段 上的动点，连接 、 ，则直接写出 的最小值为　 　.
25．（2021九上·和平期末）如图，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 为点 关于 轴的对称点.
（1）求抛物线的函数表达式及抛物线顶点坐标；
（2）直线以每秒2个单位的速度沿 轴的负方向平移，平移 （ ）秒后，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 关于直线 的对称点为 .
①请直接写出点 的横坐标为　 　（用含字母 的代数式表示）
②当点 落在抛物线上时，请直接写出此时 为　 　秒，点 的坐标为　 　；
③点 是第二象限内一点，当四边形 为矩形时，过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，请直接写出此时 为　 　秒，这条过抛物线顶点的直线表达式为　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】∵ ，
k=-2020＜0，
∴ 函数在二、四象限；
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的图象“当k＞0时，反比例函数的图象经过一、三象限；当k＜0时，反比例函数的图象经过二、四象限”并结合题意即可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵一根圆柱形的空心钢管任意放置，
∴不管钢管怎么放置，它的三视图始终是 ， ， ，主视图是它们中一个，
∴主视图不可能是 ．
故选A，
【分析】根据三视图的确定方法，判断出钢管无论如何放置，三视图始终是下图中的其中一个，即可．此题是简单几何体的三视图，考查的是三视图的确定方法，解本题的关键是物体的放置不同，主视图，俯视图，左视图，虽然不同，但它们始终就图中的其中一个．
3．【答案】C
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA ，OA＝OC＝OD＝OB，
∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°.
∴图中等腰直角三角形有：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO、△ABC、△ADC、△ABD、△BCD，共8个.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质“四边都相等；四个角都是直角；每一条对角线平分一组对角”并结合等腰直角三角形的判定即可求解.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
则 ，
即 ，
故答案为：A.
【分析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式”并结合个选项即可求解.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该市这两年自然保护区的年均增长率为x，根据题意得：
.
故答案为：D.
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数列方程并结合各选项即可判断求解.
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；位似变换
【解析】【解答】∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，矩形OA1B1C1的面积＝ 矩形OABC面积，
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的位似比为1： ，
∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心是原点O，点B的坐标为（8，6），
∴点B1的坐标为为（8× ，6× ）或（ 8× ， 6× ），即（4 ，3 ）或（－4 ，－3 ），
故答案为：D.
【分析】 根据相似多边形的性质可求出矩形OA1B1C1与矩形OABC的位似比，根据位似变换的性质计算即可求解．
7．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，
∴ ， ，
故A、D、C错误，B正确，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例”可得比例式并结合各选项即可判断求解.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，
∴BD=2OA=4，
在Rt△ABD中，AD= ,
故答案为：D.
【分析】由矩形的性质可得OB=OD=OA=OC，∠BAD= ，在直角三角形ABD中，用勾股定理计算即可求解.
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：由物理知识可知：I= ，
由图象可知点（9，4）在反比例函数的图象上，
当I≤9时，由R≥4，
故答案为：A.
【分析】由函数图象即可判断求解.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由题意得：将抛物线 先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后即可得到平移前的抛物线，
∴平移前的函数解析式为： ，
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”即可求解.
11．【答案】10
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意得：50× =10（个），
∴这个口袋中有10个红球.
故答案为：10.
【分析】 用总球的个数乘以摸到红球的概率即可求得口袋中红球的数量.
12．【答案】图2
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：根据平行投影的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长；当太阳光在中午时，所产生的影子就比较短，当太阳光在上午或者下午时，所产生的影子就比较长，所以这位同学参加200米比赛的照片是图2.
故答案为：图2.
【分析】通过比较人的影子的方向可判断时间的先后顺序.
13．【答案】±6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】由题，过点 A 分别作 x 轴， y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积等于 ，
∴ ，解得 ，
故答案为：±6.
【分析】根据反比例函数的几何意义即可求解.
14．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】由已知条件BD=AB可设BD=a，AB=2a，在直角三角形ABD中，用勾股定理可将AD用含a的代数式表示，则AE=AD-DE也可用含a的代数式表示，由作图可知AE=AC，则可求解.
15．【答案】55
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】第一个图形有 个圆，第二个图形有 个圆，第三个图形有 个圆，第四个图形有 个圆，第五个图形有 ，故第n个图形与 个圆，故第十个图形有 个圆，
故答案为：55.
【分析】由已知的图形中圆的个数可得第n个图形中圆的个数的规律为：，然后把n=10代入计算即可求解.
16．【答案】①②④
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】∵正方形 的边长为2，
∴ ， ， ， ，
∵将 绕着点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，故①正确；
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴四边形 是菱形，
∴②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故④正确；
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故③错误；
故答案为：①②④.
【分析】 ①由正方形的性质和勾股定理可得AB＝BC＝AD＝2，AC＝BD＝2，AO＝BO＝CO＝DO＝，AC⊥BD，由旋转的性质可得AB＝BE＝2，AD＝EF＝2，∠BEF＝∠BAD＝90°，由“HL”可证Rt△BEG≌Rt△BCG；
②由①中的全等三角形可得∠EBG＝∠CBG＝22.5°，用“SAS”可证△BEH≌△BCH，可得CH＝EH＝EG＝CG，根据菱形的判定可得四边形EHCG是菱形；
③由等腰直角三角形的性质和菱形的性质可求得EH=OH=CG，由线段的构成得DG=CD-CG，则S△BDG=DGBC可求解；
④由已证的结论可得∠BCH＝∠BEH＝45°，于是OH＝OE=BE-OB可求解.
17．【答案】解： ，
配方得： ，
即 ，
开方得： ，
解得： ， .
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【分析】由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解.
18．【答案】（1）解：根据题意得： ，
解得： ，
即图（1）中的旗杆为2.7米；
（2）3.8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，旗杆高为h，
∵竹竿CD长0.9米，其影长CE为1米，
∴ ，解得： ，
∴旗杆的影长为： ，
∴ ，
解得： 米，
故答案为：3.8米.
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可求解；
（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，旗杆高为h，根据相似三角形的性质即可求解．
19．【答案】解：∵A转盘红色区域是蓝色区域的2倍，B转盘蓝色区域是红色区域的2倍，
∴画树状图如下图：
共有9个等可能的结果，游戏者不能配成紫色的结果有4个，
∴游戏者不能配成紫色的概率 .
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【分析】 观察转盘可知，A转盘红色区域是蓝色区域的2倍，B转盘蓝色区域是红色区域的2倍， 由题意画出树状图，由树状图的信息可得，共有9个等可能的结果，游戏者不能配成紫色的结果有4个，然后根据概率公式计算即可求解.
20．【答案】解：AE=CF并且AE⊥CF，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AD=CD，∠CDF=∠EDA=90°，
∵DE=DF，
∴△CDF≌△ADE(SAS)，
∴AE=CF，
∵△CDF≌△ADE，∠CDF=∠EDA=90°，
∴△ADE逆时针旋转90°得到△CDF，
∴AE与CF的夹角为90°，
∴AE⊥CF.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】由正方形的性质得条件，然后用边角边可证△CDF≌△ADE，由全等三角形的性质可得AE=CF，结合已知可得△ADE逆时针旋转90°得到△CDF，于是可得AE与CF的夹角为90°，根据垂线的定义即可求解.，
21．【答案】解：设DE=x，则BE=BD-x=6-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴当 时，△ABE∽△CDE，即 ，
解得x= ，
当 时，△ABE∽△EDC，即 ，
整理得x2-6x+9=0，
解得x1=x2=3，
∴当DE为 或3时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似.
【知识点】相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设DE=x，则BE=BD-x=6-x，由垂线的定义可得∠B=∠D=90°，根据相似三角形的判定“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”可得：当时，△ABE∽△CDE，于是可得关于x的方程，解方程即可求解.
22．【答案】（1）解：设一次函数表达式为y1=kx+b，
将点（4，22）、（8，20）代入函数一次函数表达式得 ，
解得 ，
故y1关于x的函数表达式为y1=- x+24；
（2）解：将点（3，12）、（7，14）代入抛物线表达式得： ，
解得 ，
故y2关于x的函数表达式为y2= x2-2x+ ；
（3）解：设每千克所获得的收益为w（元），则
= ，
∵- ＜0，
故w有最大值，此时x=3，
故3月出售这种水果，每千克所获得的收益最大.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）观察已知的图像可设一次函数表达式为y1=kx+b，且一次函数的图象过点(4，22）、（8，20），用待定系数法即可求解；
（2）观察已知的图像可知抛物线经过点（3，12）、（7，14），用待定系数法即可求解；
（3）设每千克所获得的收益为w（元），由题意可得w=y1-y2，把（1）和（2）中的解析式代入计算并配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解.
23．【答案】（1）解：将点 ， 代入 得
，解得 ，
∴一次函数 的表达式为 ；
将点 代入 中，得k= 16，
∴反比例函数 的表达式为 ；
（2）0＜x＜2或x＞8
（3）（3,0）或（-3,0）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）当 时，即直线在曲线的下方，由图象得 或 ，
故答案为： 或 ；（3）∵延长 交反比例函数图象于点 ,
∴点C与点A关于原点对称，
∴C（-2，-8），
设直线AB交x轴于N，交y轴于M，
令 中 ，得-x+10=0，解得x=10，∴N（10,0），
令x=0，得y=10，∴M（0,10），
∴
=30，
设P（x，0），
∵ ，
∴ ,
∴ ，
解得x=3或-3，
∴点P的坐标为（3,0）或（-3,0）.
故答案为:（3,0）或（-3,0）.
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）根据图象中的信息即可求解；
（3）先求得D的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOD S△BOD求得△AOB的面积，即可求得S△PAC=S△AOB＝24，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×OP×8＝24，于是可求得OP，则P的坐标可求解．
24．【答案】（1）证明：如图， ∵ABCD是菱形，∠DAC=60°， ∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=120° ∴△ADB为等边三角形 ∴∠ABD=∠CBD=60° ∵点 、点 分别是边 ，边 的中点 ∴AE=BF 在△AED和△BFD中， ∴△AED≌△BFD ∴DE=DF，∠ADE+∠BDE=∠FDB+∠BDE=60°， ∴∠EAF=60°， ∴△DEF为等边三角形；16
（2）
（3）
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）②作E关于AC的对称点 ，连接 交AC于点G，此时 最小，
∵E为AB的中点，
∴ 为AD的中点，
又∵F为BC的中点，
∴G在对角线中心，且 F=AB=CD
∴ F=16
∴ 的最小值为16,
故答案为：16（2）过点E作关于AC的对称点 ，过 点作 F⊥BC，垂足为F，
∵两平行线间垂线段最短，
∴ 的值最小，
∵∠BCD=60°，sin∠BCD= ，CD=16
∴ ;（3）如图3中，作点于DF的对称点为M，过点M作DE的垂线，交DF为Q，交DE为P，此时，PQ+KQ最短，由于对称，KQ=MQ，PQ为垂线段（垂线段最短）.
连接DM、作DG⊥EF于G，EH⊥AD于H.
在Rt△AEH中，∵AE=4，∠AEH=30°，
∴AH=2，HE= ，
∴DH=14，DE= ，
∵△AEF是等边三角形，
∴DG= .
∵∠DKG=∠KBE+∠KEB=60°+∠KEB，
∵∠KBE+∠KEB+∠EKB=180°，∠FKD+∠DFK+∠DKF=180°，∠DFK=∠KBE=60°，∠DKF=∠BKE，
∴∠BEK=∠FDK=∠FDM，
∵∠PDM=∠PDF+∠FDM=60°+∠FDM，
∴∠DKG=∠PDM，
∵∠DGK=∠DPM=90°，DK=DM，
∴△DGK≌△MPD，
∴MP=DG= .
∴EF+PF的最小值为 .
【分析】（1）①由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD，∠BCD＝∠BAD＝60°，可证△ABD，△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质可证DE＝DF，∠EDF＝60°，根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可求解；
②作E关于AC的对称点E′，连接E′F交AC于点G，此时 最小；
（2）过点E作关于AC的对称点E′，过E′点作E′F⊥BC，垂足为F，根据垂线段最短可求解；
（3）作点于DF的对称点为M，过点M作DE的垂线，交DF为Q，交DE为P，此时，PQ+KQ最短，由于对称，KQ=MQ，PQ为垂线段（垂线段最短），连接DM、作DG⊥EF于G，EH⊥AD于H；用勾股定理可求得DE的长，由等边三角形的性质用角角边可证△DGK≌△MPD，由全等三角形的性质得MP=DG=EF+PF可求解.
25．【答案】（1）解：将点A、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为 ；
函数的对称轴为x=-2，当x=-2时， ，
故顶点的坐标为 ；
（2）（2-2t，0）；2；（-4，-2 ）；； .
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）令 ，解得x=-6或2，
故点B（2，0），
∵点D为点C关于x轴的对称点，故点D（0，2 ），
由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为y=- （x-2）=- x+2 ，
则t秒后直线的表达式为y=- （x+2t）+2 ①，①令y=- （x+2t）+2 =0，解得x=2-2t，
故点E的坐标为（2-2t，0）；②如图，
由直线BD的表达式y=- x+2 知，D（0，2 ），B（2，0）
∴tan∠DBO= ，
故∠DBO=60°，
则∠OBB′=90°-60°=30°，
∵
∴
∴F(0， )
设BB′的表达式为y=mx+n
将点F(0， )，B（2，0）的坐标代入上式并解得： ，
故直线BB′的表达式为y= ②，
设BB′的中点为点F，
联立①②并解得 ，即点 ，
∵点F是BB′的中点，由中点公式得：点B′（2-3t，- t），
将点B′的坐标代入抛物线表达式并解得t=2，
故点B′（-4，-2 ）；（3）设AE的中点为H，
由点A、E的坐标得，点H（-2-t，0），AE=2-2t-（-6）=8-2t，
∵四边形EGAB′为矩形，故△AB′E为直角三角形，
故BH= AE，即BH2= AE2，
则4[（2-3t+2+t）2+（- t）2]=（8-2t）2，
解得t=0（舍去）或 ，
故t= ，
则点H（- ，0），
∵过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，
则该直线过点H，
由顶点坐标（-2，- ）和点H的坐标得，该直线的表达式为 ；
故答案为①（2-2t，0）；②2，（-4，-2 ）；（3） ， .
【分析】（1）由待定系数法即可求解析式；将解析式配成顶点式可求顶点坐标；
（2）①求出直线BD的表达式，进而得到t秒后直线的表达式为y＝ （x＋2t）＋2即可求解；
②求出BB′的表达式为y＝（x 2），联立解①②可把点F的坐标用含t的代数式表示出来，由中点公式可求得点B′的坐标；
（3）设AE的中点为H，结合已知易得BH=AE，即BH2=AE2，于是可得关于t的方程，解之可求得t的值，则H的坐标可求解；过抛物线顶点的一条直线将这个矩形分成面积相等的两部分，则该直线过点H，用抛物线的顶点坐标和点H的坐标根据待定系数法可求直线解析式.
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