资源简介

第2课时　两条平行直线之间的距离
学习目标　1.理解两条平行线间的距离公式的推导.2.会求两条平行直线间的距离．
导语
同学们，上节课，我们学习了点到直线的距离公式，然而，生活中，也有这样的问题，比如要计算一下两平行的铁轨之间的距离，我们校园里两行树之间的距离，我们教室里门的两边之间的距离等，这就是我们今天要研究的两平行线之间的距离．
一、两条平行直线间的距离
问题1　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示　根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离．
问题2　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离(A2＋B2≠0)?
提示　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝，
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
因此d＝＝＝.
知识梳理
1．定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
2．求法：转化为点到直线的距离．
3．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝
.(A，B不全为0，C1≠C2)
注意点：运用公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
例1　(1)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　)
A．1
B.
C.
D．2
答案　B
解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，
得|AB|＝＝.
(2)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离．
解　由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋＝0，
所以d＝＝＝.
反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求．
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝(A2＋B2≠0)．
跟踪训练1　已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　)
A．1
B．2
C.
D．4
答案　A
解析　由两条直线平行可得＝(m≠0)，
解得m＝24.
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1.
二、由平行线间的距离求参数的值
例2　已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________．
答案　2x－y＋1＝0
解析　方法一　由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
于是有＝，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二　由题意知l必介于l1与l2中间，
故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则c＝＝1.
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思感悟　由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题．
跟踪训练2　(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则实数c的值为(　　)
A．9
B．－9
C．11
D．－11
答案　BC
解析　∵直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，
∴＝2，解得c＝11或c＝－9.
三、平行线间的距离的最值问题
例3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
解　(1)如图，显然有0而|AB|＝＝3.
故所求的d的变化范围为(0,3]．
(2)由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．
而kAB＝＝，
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟　应用数形结合思想求最值
(1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到．当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围．
跟踪训练3　已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．
因为A(1,1)，B(0，－1)．所以kAB＝＝2，
所以两条平行直线的斜率为－，
所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
1．知识清单：
(1)两条平行线间的距离．
(2)两条平行线间的距离最值问题．
2．方法归纳：数形结合法、解方程(组)法．
3．常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同．
1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)
A．1
B.
C.
D．2
答案　B
2．两条直线y＝x,6x－4y＋13＝0之间的距离为(　　)
A.
B.
C.
D．13
答案　B
解析　两条直线的方程分别为
3x－2y＝0,3x－2y＋＝0，
所以两条直线之间的距离d＝＝.
3．两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为2，则c等于(　　)
A．0或40
B．10或30
C．－20或10
D．－20或40
答案　B
解析　由题意可得，＝2，
即|20－c|＝10，解得c＝10或c＝30.
4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.
答案　10
解析　由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，
∴a＋d＝10.
课时对点练
1．两平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　　)
A．1
B．0
C.
D．3
答案　A
解析　l1，l2的距离为d＝＝1.
2．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.
由平行线间的距离公式可得d＝＝.
3．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是(　　)
A．1
B．2
C.
D．4
答案　B
解析　由两条直线平行可得＝≠，解得m＝8.由两条平行线间的距离公式得d＝＝2.
4．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，
当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
当a＝－1时，直线l1：x－y＋6＝0与l2：x－y＋＝0平行，
两直线之间的距离为＝.
5．(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程可能为(　　)
A．2x＋y－1＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0
D.
2x＋y＋2＝0
答案　CD
解析　因为所求直线与直线2x＋y＋1＝0的距离为，
所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
则d＝＝，解得c＝0或c＝2，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
6．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为(　　)
A．3
B．－17
C．－3
D．17
答案　AB
解析　由题意，n≠0，－＝，所以n＝－4，
所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，
由两平行直线间的距离公式得＝2，
解得m＝7或m＝－13，
所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
7．与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为________．
答案　x＋y＝0或x＋y－10＝0
解析　易知l1∥l2，且它们之间的距离
d＝＝.
设所求直线为l4，则l4∥l3，
所以可设l4：x＋y＋c＝0，则＝，
解得c＝0或－10，
所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
8．已知△ABC的两顶点A，B在直线l1：2x－y＋3＝0上，点C在直线l2：2x－y－1＝0上，若△ABC的面积为2，则AB边的长为________．
答案　
解析　点C到AB的距离即为l1与l2之间的距离，
∴d＝＝＝，
S△ABC＝|AB|·d＝2，
∴|AB|＝4÷＝.
9．已知直线l经过点P(－2,5)，l的一个方向向量为d＝(4，－3)．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解　(1)由l的一个方向向量为d＝(4，－3)，
即直线l的斜率k＝－，
由点斜式方程得y－5＝－(x＋2)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)因为直线m与l平行，则可设m的方程为3x＋4y＋c＝0，
由平行线间的距离公式得＝3，
解得c＝1或－29.
所以直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10．设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0.
(1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．
解　(1)若l1∥l2，则m≠0，
∴＝－，∴m＝6，
∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0，
∴l1，l2之间的距离d＝＝.
(2)由题意，得，∴0＜m＜3，
直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积
S＝m(3－m)＝－2＋，
∴当m＝时，S的最大值为，
此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0.
11．已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为(　　)
A.
B.
C.或
D．0或
答案　B
解析　∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，∴＝，∴m＝2，
∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为＝.
12．(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为
(　　)
A．1
B．3
C．5
D．7
答案　ABC
解析　当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，两平行直线l1，l2间的最大距离为|PQ|＝＝5，所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5]．
13．正方形ABCD的中心为点O(－1,0)，AB边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，则CD边所在的直线的方程为(　　)
A．x＋3y＋7＝0
B．3x－y－3＝0
C．3x－y＋9＝0
D．x＋3y－27＝0
答案　A
解析　点O(－1,0)到直线x＋3y－5＝0的距离
d＝＝，
设与边AB平行的边CD所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
则点O(－1,0)到直线x＋3y＋m＝0的距离
d＝＝，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以CD边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
14．若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为________．
答案　15°或75°
解析　由两平行直线的距离公式，可得直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0的距离为d＝＝，又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为_______________．
答案　x＋y－3＝0
解析　设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
所以AD＝，BC＝b.
梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，
故h＝＝(b>1)，
由梯形面积公式得×＝4，
所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.
所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0.
16．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由．
解　(1)l2的方程即为2x－y－＝0，
∴l1和l2的距离d＝＝，
∴＝.
∵a>0，∴a＝3.
(2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且＝×，
即c＝或c＝.
∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得
＝·，
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意．
联立方程
解得x0＝－3，y0＝，应舍去．
联立
解得x0＝，y0＝.
所以P即为同时满足三个条件的点．(共54张PPT)
第2课时　两条平行直线之间的距离
第二章　2.2.4　点到直线的距离
学习目标
1.理解两条平行线间的距离公式的推导.
2.会求两条平行直线间的距离.
导语
同学们，上节课，我们学习了点到直线的距离公式，然而，生活中，也有这样的问题，比如要计算一下两平行的铁轨之间的距离，我们校园里两行树之间的距离，我们教室里门的两边之间的距离等，这就是我们今天要研究的两平行线之间的距离.
随堂演练
课时对点练
一、两条平行直线间的距离
二、由平行线间的距离求参数的值
三、平行线间的距离的最值问题
内容索引
一、两条平行直线间的距离
问题1　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？
提示　根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离.
问题2　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离(A2＋B2≠0)?
提示　在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax
＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝
，
因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上，
所以Ax0＋By0＋C1＝0，
即Ax0＋By0＝－C1，
1.定义：两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上_________到另一条直线的距离.
2.求法：转化为_______________.
3.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距
离d＝_________.(A，B不全为0，C1≠C2)
注意点：运用公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.
任意一点
点到直线的距离
知识梳理
例1　(1)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为
√
解析　由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式，
(2)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离.
反思感悟　求两条平行直线间距离的两种方法
(1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.
(2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平
行直线间的距离d＝
(A2＋B2≠0).
跟踪训练1　已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是
A.1
　　　　B.2
　　　　
C.
　　　　　
D.4
√
解得m＝24.
则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，
二、由平行线间的距离求参数的值
例2　已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是____________.
2x－y＋1＝0
解析　方法一　由题意可设l的方程为2x－y＋c＝0，
即|c－3|＝|c＋1|，解得c＝1，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二　由题意知l必介于l1与l2中间，
故设l的方程为2x－y＋c＝0，
则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思感悟　由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题.
跟踪训练2　(多选)若直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为
，
则实数c的值为
A.9
　　　　B.－9
　　　　C.11
　　　　D.－11
√
√
三、平行线间的距离的最值问题
例3　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
解　如图，显然有0(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解　由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直.
所以所求直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
反思感悟　应用数形结合思想求最值
(1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决.
(2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
跟踪训练3　已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是____________.
x＋2y－3＝0
解析　当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.
即x＋2y－3＝0.
课堂小结
1.知识清单：
(1)两条平行线间的距离.
(2)两条平行线间的距离最值问题.
2.方法归纳：数形结合法、解方程(组)法.
3.常见误区：运用两平行线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同.
随堂演练
1.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为
1
2
3
4
√
解析　两条直线的方程分别为
√
1
2
3
4
3.两平行直线l1：x＋2y＋20＝0与l2：x＋2y＋c＝0间的距离为
，则c等于
A.0或40
B.10或30
C.－20或10
D.－20或40
√
1
2
3
4
即|20－c|＝10，解得c＝10或c＝30.
4.两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝____.
1
2
3
4
10
∴a＋d＝10.
课时对点练
基础巩固
1.两平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋
＝0的距离等于
A.1
　　　　B.0
　　　　C.
　　　　　D.3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.
3.已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是
A.1
　　　　B.2
　　　　C.
　　　　　
D.4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解得m＝8.
4.若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　由题意知，直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，
则3＝a(a－2)，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1，
当a＝3时，直线l1：x＋3y＋6＝0与l2：x＋3y＋6＝0重合；
1
2
3
4
5
6
7
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故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
5.(多选)到直线2x＋y＋1＝0的距离等于
的直线方程可能为
A.2x＋y－1＝0
B.2x＋y－2＝0
C.2x＋y＝0
D.
2x＋y＋2＝0
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所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为2x＋y＋c＝0(c≠1)，
6.(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是
，则m＋n的可能值为
A.3
　　　　B.－17
　　　　C.－3
　　　　D.17
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√
所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0，
解得m＝7或m＝－13，
所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
7.与三条直线l1：x－y＋2＝0，l2：x－y－3＝0，l3：x＋y－5＝0可围成正方形的直线方程为_____________________.
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x＋y＝0或x＋y－10＝0
设所求直线为l4，则l4∥l3，
解得c＝0或－10，
所以所求直线方程为x＋y＝0或x＋y－10＝0.
8.已知△ABC的两顶点A，B在直线l1：2x－y＋3＝0上，点C在直线l2：2x－y－1＝0上，若△ABC的面积为2，则AB边的长为_____.
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解析　点C到AB的距离即为l1与l2之间的距离，
9.已知直线l经过点P(－2,5)，l的一个方向向量为d＝(4，－3).
(1)求直线l的方程；
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解　由l的一个方向向量为d＝(4，－3)，
即3x＋4y－14＝0.
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
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解　因为直线m与l平行，则可设m的方程为3x＋4y＋c＝0，
解得c＝1或－29.
所以直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10.设直线l1：x－2y－1＝0与l2：(3－m)x＋my＋m2－3m＝0.
(1)若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；
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解　若l1∥l2，则m≠0，
∴l1：x－2y－1＝0，l2：x－2y－6＝0，
(2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程.
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直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积
此时直线l2的方程为2x＋2y－3＝0.
综合运用
11.已知直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，则直线l1与直线l2：x＋y－1＝0间的距离为
√
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解析　∵直线l1：mx＋2y－4－m＝0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等，
∴直线l1：2x＋2y－4－2＝0，即x＋y－3＝0，
12.(多选)两条平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离可能取值为
A.1
　　　　B.3
　　　　C.5
　　　　D.7
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√
√
解析　当两直线l1，l2与直线PQ垂直时，
所以l1，l2之间距离的取值范围是(0,5].
13.正方形ABCD的中心为点O(－1,0)，AB边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，则CD边所在的直线的方程为
A.x＋3y＋7＝0
B.3x－y－3＝0
C.3x－y＋9＝0
D.x＋3y－27＝0
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设与边AB平行的边CD所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以CD边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
14.若某直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为
，则该直线的倾斜角大小为__________.
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15°或75°
解析　由两平行直线的距离公式，
又直线被两平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为
，
即该直线与直线l1所成角为30°，
又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°.
拓广探究
15.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，则l2的方程为____________.
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x＋y－3＝0
解析　设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b).
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梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，
所以b2＝9，b＝±3.又b>1，所以b＝3.
所以所求直线l2的方程是x＋y－3＝0.
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16.已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：
x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是
.
(1)求a的值；
∵a>0，∴a＝3.
(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的
；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是
？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.
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解　设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1和l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
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若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得
∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
∵点P在第一象限，∴3x0＋2＝0不符合题意.
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本课结束(共53张PPT)
第1课时　点到直线的距离公式
第二章　2.2.4　点到直线的距离
学习目标
1.了解点到直线的距离公式的推导方法.
2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.
3.初步掌握解析法研究几何问题的方法.
导语
同学们，距离问题是几何学的基本问题之一，之前我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点的坐标表示，在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离便是唯一的，今天我们就尝试利用点的坐标和直线的方程表示平面点到直线的距离.
随堂演练
课时对点练
一、点到直线距离公式的推导
二、点到直线距离公式的简单应用
三、点到直线距离公式的综合应用
内容索引
一、点到直线距离公式的推导
问题1　如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
提示　思路一(几何法)：
根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为
，
思路二(向量法)：
由前面立体几何中点到平面的距离公式可以想到，点到直线的距离就是目标向量　　在直线的法向量方向上的投影的数量.
所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量.
(2)在直线l上任取点M(x，y)，可得向量
＝(x－x0，
y－y0).
知识梳理
定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．
距离公式：d＝____________.
二、点到直线距离公式的简单应用
例1　求点P(2，－3)到下列直线的距离.
(2)3y＝4；
解　3y＝4可化为3y－4＝0，
(3)x＝3.
解　x＝3可化为x－3＝0，
反思感悟　(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题
①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
②当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
√
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，
则实数m的值为________.
得|3m＋5|＝|m－7|，
三、点到直线距离公式的综合应用
例2　已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.
解　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0，
所以直线l的方程为3x－4y－10＝0.
故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
延伸探究　求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
解　设原点为O，连接OP(图略)，
易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线.
所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，
即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，
反思感悟　解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的.
跟踪训练2　求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
解　方法一　当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝－1，
恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点的距离相等，
故x＝－1满足题意.
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2，3)与点B(－4，5)到直线l的距离相等，得
即x＋3y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二　由题意，得l∥AB或l过AB的中点，
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，
直线l的斜率为kl，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
课堂小结
1.知识清单：
(1)点到直线的距离公式的推导过程.
(2)点到直线的距离公式d＝
(3)点到直线的距离的公式的应用.
2.方法归纳：公式法、数形结合.
3.常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在.
随堂演练
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为
A.1
　　　　B.
　　　　　C.2
　　　　D.
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√
2.(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于
√
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√
3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是
√
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解析　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，
4.已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为________________________.
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x＋2＝0或5x＋12y－26＝0
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解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
课时对点练
基础巩固
1.点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是
√
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解析　点P(1，－1)到直线l的距离
2.点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为
√
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解析　直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，
3.已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于
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4.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是
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解析　|OP|最小即OP⊥l，
5.(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于
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√
解析　由点到直线的距离公式可得
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，
6.(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为
A.4x＋3y－3＝0
B.4x＋3y＋17＝0
C.4x－3y－3＝0
D.4x－3y＋17＝0
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解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
7.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为__________________
______________.
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由直线与原点的距离为5，
所以b＝±10.
8.过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程为_____________.
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x＋2y－5＝0
解析　由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
即x＋2y－5＝0.
9.已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
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解　由直线方程的两点式得直线BC的方程为
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即x－2y＋3＝0.
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
即△ABC的面积为4.
10.已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为
，求该直线的方程.
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解　当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0，
即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
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整理得7k2－6k－1＝0，
所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0.
当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，
设直线的方程为x＋y＝a，
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解得a＝6或a＝2，
所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
解得a＝1或2，
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1).
综合运用
11.(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为
，则点P的坐标为
A.(1,2)
B.(3，－4)
C.(2，－1)
D.(4，－3)
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解析　设点P的坐标为(a，5－3a)，
12.已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为
A.2x＋3y－18＝0
B.2x－y－2＝0
C.3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D.2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
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解析　当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝3，不合题意，
故直线l的斜率存在，设为k，
直线l的方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋4＝0，
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即|－5k＋2|＝|k＋6|，
13.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是
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解析　由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
故所求点的坐标为(5，－3).
14.已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为______________.
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(－12,0)或(8,0)
解得a＝－12或8，
所以点P的坐标为(－12,0)或(8,0).
拓广探究
解析　设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
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16.已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
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即m与n的交点为(－21，－9).
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
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将(－21，－9)代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
此时m⊥n.
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(2)若坐标原点O到直线m的距离为
，判断m与n的位置关系.
解　设原点O到直线m的距离为d，
此时m∥n；
本课结束2.2.4　点到直线的距离
第1课时　点到直线的距离公式
学习目标　1.了解点到直线的距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离的公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握解析法研究几何问题的方法．
导语
同学们，距离问题是几何学的基本问题之一，之前我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点的坐标表示，在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离便是唯一的，今天我们就尝试利用点的坐标和直线的方程表示平面点到直线的距离．
一、点到直线距离公式的推导
问题1　如图，平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？
提示　思路一(几何法)：
根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，设点P到直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，
∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组，
解得交点Q，
∴|PQ|＝.
思路二(向量法)：
由前面立体几何中点到平面的距离公式可以想到，点到直线的距离就是目标向量在直线的法向量方向上的投影的数量．
可以看作在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－，
所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量．
(1)
由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B)．
(2)
在直线l上任取点M(x，y)，可得向量＝(x－x0，y－y0)．
(3)
|PQ|＝||＝|·n|＝.
知识梳理
定义：平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．
距离公式：d＝.
二、点到直线距离公式的简单应用
例1　求点P(2，－3)到下列直线的距离．
(1)y＝x＋；(2)3y＝4；(3)x＝3.
解　(1)y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，
点P(2，－3)到该直线的距离为
＝.
(2)3y＝4可化为3y－4＝0，
由点到直线的距离公式，得＝.
(3)x＝3可化为x－3＝0，
由点到直线的距离公式，得＝1.
反思感悟　(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题
①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
②当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
(2)当用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．
跟踪训练1　(1)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值为(　　)
A.
B．－
C.或－
D.或－
答案　D
解析　由题意得，＝1，
即|a－1|＝2，解得a＝或－.
(2)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的值为________．
答案　－6或
解析　由＝，
得|3m＋5|＝|m－7|，∴m＝－6或m＝.
三、点到直线距离公式的综合应用
例2　已知点P(2，－1)，求过点P且与原点距离为2的直线l的方程．
解　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
由点到直线的距离公式得＝2，解得k＝，
所以直线l的方程为3x－4y－10＝0.
故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
延伸探究　求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
解　设原点为O，连接OP(图略)，
易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线．
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以kl＝－＝2.
所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，
即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点距离最大的直线，
最大距离为＝.
反思感悟　解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的．
跟踪训练2　求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程．
解　方法一　当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝－1，
恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点的距离相等，
故x＝－1满足题意．
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与点B(－4,5)到直线l的距离相等，得
＝，解得k＝－，
此时l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二　由题意，得l∥AB或l过AB的中点，
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，
直线l的斜率为kl，
则kl＝kAB＝＝－，
此时直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
1．知识清单：
(1)点到直线的距离公式的推导过程．
(2)点到直线的距离公式d＝.
(3)点到直线的距离的公式的应用．
2．方法归纳：公式法、数形结合．
3．常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1
B.
C．2
D.
答案　D
2．(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　)
A．0
B.
C．3
D．2
答案　AB
解析　点M到直线l的距离d＝＝3，
所以m＝0或.
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　)
A.
B.
C.
D．3
答案　B
解析　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝.
4．已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为___________________．
答案　x＋2＝0或5x＋12y－26＝0
解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，
由d＝＝2，
得k＝－，
即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.
课时对点练
1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　)
A．3
B.
C．1
D.
答案　B
解析　点P(1，－1)到直线l的距离
d＝＝.
2．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　)
A.
B.
C.
D．2
答案　A
解析　直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，
由点到直线的距离公式得d＝＝.
3．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A.
B.－1
C.＋1
D．2－
答案　B
解析　由点到直线的距离公式，得1＝，
即|a＋1|＝.因为a>0，所以a＝－1，故选B.
4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是(　　)
A.
B.
C．2
D.
答案　C
解析　|OP|最小即OP⊥l，
所以|OP|min＝＝2.
5．(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)
A．－
B．－
C.
D.
答案　AB
解析　由点到直线的距离公式可得
＝，
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，
解得a＝－或－.
6．(多选)与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为(　　)
A．4x＋3y－3＝0
B．4x＋3y＋17＝0
C．4x－3y－3＝0
D．4x－3y＋17＝0
答案　AB
解析　设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.
则＝2，
即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.
故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.
7．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________________．
答案　x－y＋10＝0或x－y－10＝0
解析　因为直线斜率为tan
60°＝，
可设直线方程为y＝x＋b，
化为一般式得x－y＋b＝0.
由直线与原点的距离为5，
得＝5?|b|＝10.
所以b＝±10.
所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
8．过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程为________________．
答案　x＋2y－5＝0
解析　由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
9．已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S.
解　由直线方程的两点式得直线BC的方程为
＝，
即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得|BC|＝＝2，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
则d＝＝.
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
10．已知某直线在两坐标轴上的截距相等，且点A(3,1)到该直线的距离为，求该直线的方程．
解　当该直线在两坐标轴上的截距相等且为0，
即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，
即kx－y＝0，由已知得＝，
整理得7k2－6k－1＝0，
解得k＝－或k＝1，
所以所求直线的方程为x＋7y＝0或x－y＝0.
当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，
设直线的方程为x＋y＝a，
由题意得＝，整理得|a－4|＝2，
解得a＝6或a＝2，
所以所求直线的方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
综上所述，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.
11．(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1,2)
B．(3，－4)
C．(2，－1)
D．(4，－3)
答案　AC
解析　设点P的坐标为(a,5－3a)，
由题意得＝，
解得a＝1或2，
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
12．已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋3y－18＝0
B．2x－y－2＝0
C．3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0
D．2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
答案　D
解析　当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝3，不合题意，
故直线l的斜率存在，设为k，
直线l的方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y－3k＋4＝0，
∴＝，
即|－5k＋2|＝|k＋6|，
解得k＝2或k＝－，故选D.
13．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是(　　)
A．(1，－6)
B.
C．(5，－3)
D.
答案　C
解析　由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，
解方程组得
故所求点的坐标为(5，－3)．
14．已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．
答案　(－12,0)或(8,0)
解析　设P(a,0)，则有＝6，
解得a＝－12或8，
所以点P的坐标为(－12,0)或(8,0)．
15．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
答案　
解析　设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
16．已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0.
(1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
(2)若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．
解　(1)联立
解得
即m与n的交点为(－21，－9)．
当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1，
将(－21，－9)代入得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0，
故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
(2)设原点O到直线m的距离为d，
则d＝＝，
解得a＝－或a＝－，
当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0，
此时m∥n；
当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0，
此时m⊥n.

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