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(共64张PPT)
习题课　与圆有关的最值问题
第二章　平面解析几何
学习目标
1.能利用直线和圆的方程解决一些简单的最值问题.
2.了解用代数法和几何法处理几何问题的思想.
导语
2017年7月我国首座海上风电平台4G基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里.
一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号.已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题.)
随堂演练
课时对点练
一、与距离有关的最值问题
二、与面积有关的最值问题
三、利用几何意义解与圆有关的最值问题
内容索引
一、与距离有关的最值问题
知识梳理
1.圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为_____，最大值为_____(d为该点到圆心的距离).
d－r
d＋r
2.直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝______，最大值＝______(d为圆心到直线的距离).
d－r
d＋r
3.过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝_________(d为该点到圆心的距离)，最大值＝____.
2r
4.直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝_______
(d为圆心到直线的距离).
例1　(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2
＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为____.
解析　直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，
解得定点坐标为M(3,1)
，圆心C为(1,2)，当直线l与CM垂直时，
(2)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是
√
解析　因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，
所以圆心为C(1，－2)，半径R＝2.
因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，
所以l：3a－4b＋4＝0，所以点M(a，b)在直线l1：3x－4y＋4＝0上，
反思感悟　(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值.
跟踪训练1　(1)从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为
A.－1
　　　　B.1
　　　　C.2
　　　　D.0
√
解析　x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m,1)，半径为1，
即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短.
(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最长弦长为____；最短弦长为_____.
4
解析　易知点(3,1)在圆内，设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当直线经过圆心时弦长最长为直径，即最长弦长为4.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
二、与面积有关的最值问题
例2　已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为
A.1
　　　　　B.2
　　　　　C.3
　　　　　D.4
√
解析　根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，
O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，
反思感悟　求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.
跟踪训练2　(1)直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为
√
解析　设圆心到直线的距离为d(0(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝___.
2
解析　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，
由圆的性质可知，四边形的面积
S＝2S△PBC，
又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为
则|PB|min＝2，
所以当|PC|取最小值时，|PB|最小.
又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，
当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，
三、利用几何意义解与圆有关的最值问题
例3　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上.
(1)求
的最大值和最小值；
解　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小.
设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
解　x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，
所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，
如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，
所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，
点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.
所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)求x＋y的最大值与最小值.
解　设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，
显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，
此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，
反思感悟　(1)形如u＝
形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)
的动直线斜率的最值问题.
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝
的截距的
最值问题.
跟踪训练3　(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是
√
√
解析　对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，
对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，
对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，
课堂小结
1.知识清单：
(1)与距离、面积有关的最值问题.
(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题.
2.方法归纳：数形结合、转化思想.
3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大.
随堂演练
1.由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为
1
2
3
4
√
解析　设直线y＝x＋1上任一点为点P，圆心为C，
2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为
√
1
2
3
4
解析　根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4,3)，半径r＝2，
过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，
当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，
√
1
2
3
4
4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为______.
1
2
3
4
课时对点练
解析　将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
则圆心为(2,0)，半径r＝2，
基础巩固
1.已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为
√
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2.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为
A.y－2＝0
B.x＋2y－5＝0
C.2x－y＝0
D.x－1＝0
√
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解析　当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.
即x＋2y－5＝0.
3.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为
√
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解析　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，
所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.
4.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为
A.－9,1
B.－10,1
C.－9,2
D.－10,2
√
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解析　y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，
当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，
5.在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋
＝5，x2－2y2＋4＝0，则
(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为
√
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解析　由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点到直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，
6.已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为
时，r
的值为
√
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解析　如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，
当PC⊥l时，|PC|最小，|PM|最小.
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7.在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________.
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(x－1)2＋y2＝2
解析　∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，
∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
8.已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0).若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为____.
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又由m>0，解得3≤m≤7，
即m的最小值为3.
解析　根据题意，点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，
则AB的中点为(0,0)，|AB|＝2m，
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设该圆为圆O，
若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，
则圆C与圆O有交点，必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，
9.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
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解　由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋
(y－7)2＝8，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
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解得a＝2，∴半径为2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
10.已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴，y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程；
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解　圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
圆心C到直线的距离为3，
(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值.
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解　PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小.
|PC|min即为C到l的距离，
由(1)知|PC|min＝3，
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综合运用
11.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为
A.6
　　　　B.4
　　　　
C.3
　　　　
D.2
√
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解析　如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.
又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
12.已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，
)，则四边形ABCD面积的最大值为
A.5
　　　　　B.10
　　　　　
C.15
　　　　　
D.20
√
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解析　如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，
则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，
∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.
又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，
∴四边形ABCD面积的最大值为5.
表示的图形是一个半圆，
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14.已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为____.
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－4
解析　∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，
∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.
∵y∈[－1,1]，
∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.
拓广探究
15.已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为
A.7
　　　　B.8
　　　　
C.9　　　　
D.10
√
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解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.
如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，
此时|SP|＋|SQ|的值最小，
否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，
由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，
所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.
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16.已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点M
.
(1)求圆C的标准方程；
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即r＝2，所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4.
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设C(a,0)，
证明　设直线l1：y＝kx(k>0)，与圆联立方程组可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，Δ＝4＋12(1＋k2)>0，
(2)已知N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2).
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②求|PN|2＋|QN|2的最大值.
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解　|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2
＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2
＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10
令t＝3＋k(t>3)，则k＝t－3，
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本课结束习题课　与圆有关的最值问题
学习目标　1.能利用直线和圆的方程解决一些简单的最值问题.2.了解用代数法和几何法处理几何问题的思想．
导语
2017年7月我国首座海上风电平台4G基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里．
一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现手机没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．)
一、与距离有关的最值问题
知识梳理
1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值为d－r，最大值为d＋r(d为该点到圆心的距离)．
2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r(d为圆心到直线的距离)．
3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2(d为该点到圆心的距离)，最大值＝2r.
4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝(d为圆心到直线的距离)．
例1　(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为________．
答案　
－
解析　直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，所以联立
解得定点坐标为M(3,1)
，圆心C为(1,2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，kCM＝＝－，kl＝－(m≠－1)，所以kCM×kl＝×＝－1，解得m＝－.
(2)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是(　　)
A．2
B.
C．3
D.
答案　B
解析　因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，
所以圆心为C(1，－2)，半径R＝2.
因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，
所以l：3a－4b＋4＝0，所以点M(a，b)在直线l1：3x－4y＋4＝0上，
所以|MC|的最小值为d＝＝3，切线长的最小值为＝＝.
反思感悟　(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．
跟踪训练1　(1)从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为(　　)
A．－1
B．1
C．2
D．0
答案　B
解析　x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m,1)，半径为1，
切线长最短时，|CP|最小，|CP|＝，
即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短．
(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最长弦长为________；最短弦长为________．
答案　4　2
解析　易知点(3,1)在圆内，设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当直线经过圆心时弦长最长为直径，即最长弦长为4.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
|CA|＝＝.
∴半弦长＝＝＝.
∴最短弦长为2.
二、与面积有关的最值问题
例2　已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案　A
解析　根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，
O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴，
当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，
则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，
则△OAM的面积最小值S＝×|OA|×d＝1.
反思感悟　求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．
跟踪训练2　(1)直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　)
A．1
B.
C.
D.
答案　B
解析　设圆心到直线的距离为d(0则所截得的弦长l＝2，
所以S△ABO＝·2·d＝，
由基本不等式，可得S△ABO＝≤＝，
当且仅当d＝时，等号成立．
(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.
答案　2
解析　圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，
由圆的性质可知，四边形的面积
S＝2S△PBC，
又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为
S＝1＝r|PB|min＝|PB|min，
则|PB|min＝2，
因为|PB|＝＝，
所以当|PC|取最小值时，|PB|最小．
又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，
当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，
所以＝＝，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2.
三、利用几何意义解与圆有关的最值问题
例3　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；
(3)求x＋y的最大值与最小值．
解　方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.
(1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．
设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为.
(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.
(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.
反思感悟　(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋的截距的最值问题．
跟踪训练3　(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．y－x的最大值为－2
B．x2＋y2的最大值为7＋4
C.的最大值为
D．x＋y的最大值为2＋
答案　AB
解析　对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A说法正确；
对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B说法正确；
对于C，设＝k，把y＝kx代入圆方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，的最大值为，故C说法错误；
对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤，解得－＋2≤m≤＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D说法错误．
1．知识清单：
(1)与距离、面积有关的最值问题．
(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题．
2．方法归纳：数形结合、转化思想．
3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大．
1．由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　)
A．1
B．2
C.
D．3
答案　C
解析　设直线y＝x＋1上任一点为点P，圆心为C，则所求切线长为，要求切线长的最小值，只需|CP|最小，
圆心C(3,0)到直线y＝x＋1的距离
d＝＝2.
所以切线长的最小值为l＝＝.
2．已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(　　)
A.
B．2
C．2
D．4
答案　B
解析　根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4,3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|＝，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|－1＝－1＝4，则|PQ|的最小值为＝2.
3．点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则的取值范围是(　　)
A．[，＋∞)
B.
(－∞，－]
C.
(－∞，－]∪[，＋∞)
D.
[－，]
答案　C
解析　将看作圆上动点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率，如图，可得k≥或k≤－.
4．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为_________．
答案　
4
解析　因为C1(－2,2)，r1＝2，C2(2,0)，r2＝4，所以|C1C2|＝＝2，当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4.
课时对点练
1．已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)
A.
B．2
C．2
D．4
答案　C
解析　将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心为(2,0)，半径r＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为，|AB|的最小值为2＝2.
2．已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为(　　)
A．y－2＝0
B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＝0
D．x－1＝0
答案　B
解析　当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直．已知圆心O(0,0)，所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝＝2，故所求直线的斜率为－，所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
3．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　)
A.
B.
C．1
D．3
答案　A
解析　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即－＝.
4．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为(　　)
A．－9,1
B．－10,1
C．－9,2
D．－10,2
答案　A
解析　y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，
当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－9或1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋y＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点到直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，
而距离的最小值为－＝，
故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为.
6．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　)
A．2
B.
C.
D．1
答案　D
解析　如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，
当PC⊥l时，|PC|最小，|PM|最小．
由题意得|PC|min＝d＝＝2，
所以()2＝22－r2，∴r＝1.
7．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．
答案　(x－1)2＋y2＝2
解析　∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，
∴圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝＝，
∴半径最大为，
∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
8．已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为________．
答案　3
解析　根据题意，点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，
则AB的中点为(0,0)，|AB|＝2m，
则以AB的中点为圆心，半径r＝×|AB|的圆为x2＋y2＝m2，设该圆为圆O，
若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，
则圆C与圆O有交点，必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，
即
又由m>0，解得3≤m≤7，
即m的最小值为3.
9．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
解　(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2，
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(2)由题可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，得≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
10．已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴，y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.
(1)求圆的方程；
(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值．
解　(1)圆与x，y轴正半轴都相切，
∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
圆心C到直线的距离为3，
∴由点到直线的距离公式，得d＝＝3，
解得a＝2，∴半径为2.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
(2)PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，
∴△PCE≌△PCF，
∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，
∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，
∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．|PC|min即为C到l的距离，
由(1)知|PC|min＝3，
∴|PE|＝32－4＝5，即|PE|min＝，
∴S△PCE＝|EC|·|PE|＝×2×＝，
∴四边形PECF面积的最小值为2.
11．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6
B．4
C．3
D．2
答案　B
解析　如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.
又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
12．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面积的最大值为(　　)
A．5
B．10
C．15
D．20
答案　A
解析　如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，
则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|≤×10＝5，当且仅当|AC|＝|BD|＝时，等号成立，∴四边形ABCD面积的最大值为5.
13．已知实数x，y满足方程y＝，则的取值范围是________．
答案　[0，]
解析　方程y＝化为(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx，如图所示，
当直线与半圆相切时，k＝，所以的取值范围是[0，]．
14．已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________．
答案　－4
解析　∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，
∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.
∵y∈[－1,1]，
∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.
15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　)
A．7
B．8
C．9
D．10
答案　C
解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，
连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.故(|SP|＋|SQ|)min＝|P′M|－1＝－1＝9.
16．已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点M.
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知N(2,1)，经过原点且斜率为正数的直线l1与圆C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
①求证：＋为定值；
②求|PN|2＋|QN|2的最大值．
(1)解　由圆心在x轴上的圆C与直线l：4x＋3y－6＝0切于点M，设C(a,0)，
直线l：4x＋3y－6＝0的斜率为－，则kCM＝，
所以·＝－1，所以a＝－1，
所以C(－1,0)，|CM|＝＝2，
即r＝2，所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)①证明　设直线l1：y＝kx(k>0)，与圆联立方程组可得(1＋k2)x2＋2x－3＝0，Δ＝4＋12(1＋k2)>0，
x1＋x2＝－，x1x2＝－，
则
＋＝＝为定值．
②解　|PN|2＋|QN|2＝(x1－2)2＋(y1－1)2＋(x2－2)2＋(y2－1)2＝(x1－2)2＋(kx1－1)2＋(x2－2)2＋(kx2－1)2＝(1＋k2)(x1＋x2)2－2(1＋k2)x1x2－(4＋2k)(x1＋x2)＋10＝＋16，
令t＝3＋k(t>3)，则k＝t－3，
所以＋16＝＋16＝＋16≤＋16＝2＋22，
当且仅当t＝，即t＝时，取等号，此时k＝－3，
所以|PN|2＋|QN|2的最大值为2＋22.

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