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(共76张PPT)
第二章　平面解析几何
习题课　抛物线焦点弦的应用
学习目标
1.抛物线焦点弦的推导.
2.利用抛物线焦点弦求解弦长问题.
随堂演练
课时对点练
内容索引
四、以过焦点的弦AB为直径的圆与准线相切的应用
二、|AB|＝x1＋x2＋p＝
的应用
一、x1x2＝
，y1y2＝－p2的应用
三、
为定值的应用
一、x1x2＝
，y1y2＝－p2的应用
例1　已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若
＝－12，则抛物线C的方程为
A.x2＝8y
B.x2＝4y
C.y2＝8x
D.y2＝4x
√
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
反思感悟　通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果.
跟踪训练1　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝____.
－4
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，
消去x得y2－2mpy－p2＝0，
由根与系数的关系得y1y2＝－p2.
由于点A，B均在抛物线上，
例2　抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
故所求的抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上，抛物线方程为y2＝±4x.
反思感悟　利用|AB|＝x1＋x2＋p＝
(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题.
跟踪训练2　经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝_____.
解析　
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，
2
例3　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于
√
反思感悟　将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题.
跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为
√
四、以过焦点的弦AB为直径的圆与准线相切的应用
例4　求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.
证明　如图，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，M为AB的中点，作MM′⊥l于点M′，
则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
在直角梯形BB′A′A中，
即|MM′|等于以AB为直径的圆的半径.
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
反思感悟　把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解.
跟踪训练4　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线上一点.若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p等于
A.2
B.4
C.6
D.8
√
解析　∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
∵外接圆的面积为9π，
∴外接圆的半径为3.
课堂小结
1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错.
随堂演练
所以弦长|AB|＝5＋4＝9.
解析　由题意可得抛物线的标准形式为x2＝8y，
所以准线方程为y＝－2，
√
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2.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为
√
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＝2p2＝16，
解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，p＝4，
设A，B两点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3.过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.
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∴x1＋x2＝6，抛物线的焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p＝10.
4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为______.
4
解析　由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，
故它的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.
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课时对点练
基础巩固
1.过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|等于
√
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解析　方法一　抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x，y)，
则|AF|＝x＋1＝3，故x＝2，
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2.已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦.若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是
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解析　如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，
分别过A，P，B三点作准线l的垂线，
垂足分别为A′，Q，B′，
3.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，
√
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4.已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|等于
A.6
B.8
C.10
D.12
√
解析　∵|AF|＝3|BF|，且p＝3，
∴|BF|＝2，|AF|＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝8.
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5.(多选)已知抛物线y2＝3x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为4，则直线l的倾斜角为
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
√
√
解析　设直线l的倾斜角为θ，
所以θ＝60°或θ＝120°.
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(x中为线段AB中点的横坐标)，
6.(多选)已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝
的距离为1，则p的值为
A.1
B.2
C.3
D.6
√
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解析　抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，p＝2.
即x1＋x2＋p＝7，故x1＋x2＝5.
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7.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_____.
8.过抛物线y2＝2x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝
|AF|
<|BF|，则|AF|＝______.
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将直线方程与抛物线方程联立，
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1显然直线AB的斜率存在，
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所以k2＝24，方程①即12x2－13x＋3＝0，
9.已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.
(1)求抛物线C的方程；
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∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)若|AB|＝8，求直线l的斜率.
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解得k＝1或k＝－1.
解　方法一　由(1)知焦点为F(1,0)，
若直线l斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，
因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
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方法二　若直线l的斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，
设直线l的倾斜角为α，
即α＝45°或135°，则k＝tan
α＝±1.
10.已知O为原点，抛物线C：x2＝2py(0(1)求C的方程；
∴抛物线方程为x2＝4y.
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(2)过C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，若以AH为直径的圆过点B，求|AF|－|BF|的值.
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解　由题意知，抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，
H(0，－1)，
由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
代入抛物线方程可得x2－4kx－4＝0，Δ>0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
①
由AB⊥BH可得k·kHB＝－1，
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整理得(y1－1)(y2＋1)＋x1x2＝0，
11.已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线l交C于A，B两点，与C的准线交于点M，若
＝0，则|AB|的值等于
综合运用
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解析　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为点D，E，
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∴|BE|＝2|AD|，
由抛物线的定义可得|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，
∴|BF|＝2|AF|，|AM|＝|AB|＝3|AF|，
∵AD∥FN，
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12.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为
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13.(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是
A.若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8
B.以PQ为直径的圆与准线l相切
C.设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥
D.过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
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√
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对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，
设过M的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，
解析　对于选项A，因为p＝2，
所以x1＋x2＋2＝|PQ|，
则|PQ|＝8，故A正确；
对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知，B正确；
对于选项C，因为F(1,0)，
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令Δ＝0，则k＝1，
所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，
此时有三条直线符合题意，故D错误.
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14.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB＝90°，则k＝______.
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解析　由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1,0)，
所以直线AB的方程为y＝k(x－1)，
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为∠AMB＝90°，
所以
＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋
(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]
＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2
解得k＝2.
经检验，k＝2符合题意.
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15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2＝2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛
物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴的方向射出，
且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为
_______.
拓广探究
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y2＝3x
当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|＝2p；
当直线PQ的斜率存在时，
整理得4k2x2－(4k2p＋8p)x＋k2p2＝0，
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综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p＝3，
所以抛物线的方程为y2＝3x.
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16.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
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设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，
即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
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(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求
的最小值.
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∴
＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·(y1＋y2)＋(m＋1)2.
解　设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵直线l为抛物线C的切线，
∴Δ＝0，解得b＝1.
∴直线l的方程为y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.
设P(m，m＋1)，
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∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
∴
＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2
＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，
当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2,3)时，
本课结束习题课　抛物线焦点弦的应用
学习目标　1.抛物线焦点弦的推导.2.利用抛物线焦点弦求解弦长问题．
一、x1x2＝，y1y2＝－p2的应用
例1　已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　)
A．x2＝8y
B．x2＝4y
C．y2＝8x
D．y2＝4x
答案　C
解析　设抛物线为y2＝2px(p>0)，直线AB为x＝my＋，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1x2＝，y1y2＝－p2，
得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，
得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.
反思感悟　通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组求解，较为迅速的得到结果．
跟踪训练1　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝____.
答案　－4
解析　方法一　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，
设直线AB的方程为x＝my＋，
将直线AB的方程与抛物线的方程联立，
得
消去x得y2－2mpy－p2＝0，
由根与系数的关系得y1y2＝－p2.
由于点A，B均在抛物线上，
则得
因此，＝＝＝－＝－4.
方法二　由焦点弦的性质可得x1·x2＝，y1·y2＝－p2，
故＝－4.
二、|AB|＝x1＋x2＋p＝的应用
例2　抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．
解　依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋.
设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则|AB|＝，
∴＝8，∴p＝2，
故所求的抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上，抛物线方程为y2＝±4x.
反思感悟　利用|AB|＝x1＋x2＋p＝
(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题．
跟踪训练2　经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________.
答案　2
解析　
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14，
∴14＋p＝，∴p＝2
.
三、
＋＝为定值的应用
例3　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4
B.
C．5
D．6
答案　B
解析　因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
反思感悟　将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题．
跟踪训练3　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)
A．5
B．6　C.
D.
答案　C
解析　如图，过点A作AD⊥l于点D，|AD|＝|AF|＝|AC|＝4，|OF|＝＝4×＝1，所以p＝2，
因为＋＝，|AF|＝4，
所以|BF|＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
四、以过焦点的弦AB为直径的圆与准线相切的应用
例4　求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切．
证明　如图，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，M为AB的中点，作MM′⊥l于点M′，
则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
在直角梯形BB′A′A中，
|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|，
即|MM′|等于以AB为直径的圆的半径．
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
反思感悟　把焦点三角形的外接圆转化为以弦AB为直径的圆与准线相切，进行问题的求解．
跟踪训练4　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，M为抛物线上一点．若△OFM的外接圆与抛物线的准线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p等于(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
答案　B
解析　∵△OFM的外接圆与抛物线的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵外接圆的面积为9π，
∴外接圆的半径为3.
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，
∴＋＝3，∴p＝4.
1．知识清单：抛物线焦点弦性质的应用．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错．
1．过抛物线C：y＝x2的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为M?，则|AB|等于(　　)
A.
B.
C．13
D．9
答案　D
解析　由题意可得抛物线的标准形式为x2＝8y，
所以准线方程为y＝－2，
由题意可得A，B的纵坐标之和为×2＝5，
所以弦长|AB|＝5＋4＝9.
2．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为(　　)
A．2
B．4
C．2
D．8
答案　C
解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F?，
准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴直线AB的方程为y＝x－，
代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，
由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|·|BF|＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋
＝＋p2＋
＝2p2＝16，
解得p＝2.
3．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.
答案　10
解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，p＝4，
设A，B两点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
AB的中点的横坐标为3，即＝3，
∴x1＋x2＝6，抛物线的焦点弦|AB|＝x1＋x2＋p＝10.
4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为________．
答案　4
解析　由抛物线的方程y2＝4x，可得p＝2，故它的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由中点坐标公式可得PQ的中点M，
由于x1＋x2＝6，则M到准线的距离为＋1＝4.
课时对点练
1．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|等于(　　)
A.
B．1
C.
D．2
答案　C
解析　方法一　抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x，y)，
则|AF|＝x＋1＝3，故x＝2，
此时y＝±2，即A(2，±2)，
则直线AF的斜率为k＝＝±2，
所以方程为y＝±2(x－1)，
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，所以xB＝，
则|BF|＝xB＋1＝.
方法二　因为p＝2，＋＝，
所以|BF|＝.
2．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦．若|AB|＝4，则AB中点的纵坐标是(　　)
A．1
B．2
C.
D.
答案　D
解析　如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝＝2.
又|PQ|＝y0＋，∴y0＋＝2，∴y0＝.
3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则＋的值为(　　)
A.
B.
C．1
D．2
答案　C
解析　由抛物线焦点弦的性质可得，＋＝＝1.
4．已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|等于(　　)
A．6
B．8
C．10
D．12
答案　B
解析　∵|AF|＝3|BF|，且p＝3，
∴＋＝＝＝，
∴|BF|＝2，|AF|＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝8.
5．(多选)已知抛物线y2＝3x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为4，则直线l的倾斜角为(　　)
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案　BC
解析　设直线l的倾斜角为θ，由结论|AB|＝可知sin2θ＝，故sin
θ＝，所以θ＝60°或θ＝120°.
6．(多选)已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．6
答案　AC
解析　|AF|＋|BF|＝4?xA＋＋xB＋＝4?xA＋xB＝4－p?2x中＝4－p(x中为线段AB中点的横坐标)，
因为线段AB的中点到直线x＝的距离为1，
所以＝1，所以|2－p|＝1?p＝1或3.
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
答案　
解析　抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，p＝2.由抛物线的定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋p＝7，故x1＋x2＝5.于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
8．过抛物线y2＝2x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.
答案　
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1显然直线AB的斜率存在，
设AB的方程为y＝k(k≠0)，
将直线方程与抛物线方程联立，
消去y得k2x2－(k2＋2)x＋k2＝0，①
则x1＋x2＝.
因为|AB|＝p＋(x1＋x2)＝1＋＝，
所以k2＝24，方程①即12x2－13x＋3＝0，
解得x1＝，x2＝，
故|AF|＝x1＋＝＋＝.
9．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若|AB|＝8，求直线l的斜率．
解　(1)由题意|PF|＝1＋＝2，p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
(2)方法一　由(1)知焦点为F(1,0)，
若直线l斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，
因此设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝8，
解得k＝1或k＝－1.
方法二　若直线l的斜率不存在，则|AB|＝4，不合题意，
设直线l的倾斜角为α，
根据焦点弦的性质，|AB|＝，
代入可得sin2α＝＝，
即α＝45°或135°，则k＝tan
α＝±1.
10．已知O为原点，抛物线C：x2＝2py(0(1)求C的方程；
(2)过C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，若以AH为直径的圆过点B，求|AF|－|BF|的值．
解　(1)由题意知，点P，
抛物线的准线方程为y＝－，
则＋＝5，解得p＝2或p＝8(舍)，
∴抛物线方程为x2＝4y.
(2)由题意知，抛物线x2＝4y的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，H(0，－1)，
由题意可知，直线AB的斜率存在且不为0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
代入抛物线方程可得x2－4kx－4＝0，Δ>0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，①
又k＝kAF＝，kHB＝，
由AB⊥BH可得k·kHB＝－1，
∴·＝－1，
整理得(y1－1)(y2＋1)＋x1x2＝0，
即＋x1x2＝0，
∴xx＋(x－x)－1＋x1x2＝0，②
把①代入②得x－x＝16，
则|AF|－|BF|＝y1＋1－(y2＋1)＝(x－x)＝4.
11．已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线l交C于A，B两点，与C的准线交于点M，若＋＝0，则|AB|的值等于(　　)
A.p
B．2p
C．3p
D.p
答案　D
解析　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线l的垂线，垂足分别为点D，E，
∵＋＝0，则点A为线段BM的中点，
∴|BE|＝2|AD|，
由抛物线的定义可得|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，
∴|BF|＝2|AF|，|AM|＝|AB|＝3|AF|，
∵AD∥FN，
∴＝＝，
∴|AD|＝|FN|＝，
因此，|AB|＝3|AF|＝3|AD|＝?p.
12．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　易知抛物线中p＝，焦点F?，
直线AB的斜率k＝，
故直线AB的方程为y＝，
由抛物线的性质可得弦长|AB|＝＝12，
又O到直线AB的距离d＝·sin
30°＝，
∴S△OAB＝|AB|·d＝.
13.(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，点P在l上的射影为P1，则下列说法正确的是(　　)
A．若x1＋x2＝6，则|PQ|＝8
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M(0,1)，则|PM|＋|PP1|≥
D．过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
答案　ABC
解析　对于选项A，因为p＝2，所以x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故A正确；
对于选项B，由抛物线焦点弦的性质可知，B正确；
对于选项C，因为F(1,0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝，故C正确；
对于选项D，显然直线x＝0，y＝1与抛物线只有一个公共点，设过M的直线方程为y＝kx＋1(k≠0)，
联立可得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，令Δ＝0，则k＝1，所以直线y＝x＋1与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误．
14．已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
答案　2
解析　由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1,0)，
所以直线AB的方程为y＝k(x－1)，
由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝，x1x2＝1，
因为∠AMB＝90°，
所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]
＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2
＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，
解得k＝2.
经检验，k＝2符合题意．
15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线y2＝2px(p>0)，如图，一平行于x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于x轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为__________．
答案　y2＝3x
解析　由抛物线的光学性质可得，PQ必过抛物线的焦点F.
当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|＝2p；
当直线PQ的斜率存在时，
设PQ的方程为y＝k，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立得k2＝2px，
整理得4k2x2－(4k2p＋8p)x＋k2p2＝0，
所以x1＋x2＝p＋，x1x2＝.
所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝2p>2p.
综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p＝3，
所以抛物线的方程为y2＝3x.
16.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值．
解　(1)由题意可知F?，
则该直线方程为y＝x－，
代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p.
∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8，
即3p＋p＝8，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，
得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.
∵直线l为抛物线C的切线，
∴Δ＝0，解得b＝1.
∴直线l的方程为y＝x＋1.
由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1.
设P(m，m＋1)，
则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))，
∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·
(y1＋y2)＋(m＋1)2.
∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，
∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.
∵y－y＝4(x1－x2)，
∴y1＋y2＝4×＝4，
∴·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2,3)时，·取得最小值，最小值为－14.

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