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河南省洛阳市洛宁县2021届九年级上学期数学第三次月考试卷
1．（2020九上·洛宁月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．2cos 60°= D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、2cos60°=1，故此选项错误；
D、 ，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】A、根据二次根式的性质“”可得原式=2；
B、根据合并同类二次根式的法则"把同类二次根式的系数的和作为结果的系数，根号及被开方数不变"可得原式=2；
C、由特殊角的三角函数值可得cos60°=，代入计算即可求解；
D、根据二次根式的乘法法则“”可得原式==2-2=0.
2．（2020九上·洛宁月考）下列事件中为必然事件的是（　　）
A．如果 ，那么a=b
B．两边及其一角对应相等的两个三角形全等
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．长度分别是4， 6，9的三条线段能围成一个三角形
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、如果 a2=b2，那么a=b或a=-b，故该事件是随机事件，不符合题意；
B、两边及其一角对应相等的两个三角形中，当相等的角是直角的时候一定全等，不是直角的时候不一定全等，故该事件是随机事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
D、长度分别是4，6，9的三条线段一定能围成一个三角形，是必然事件，符合题意.
故答案为：D.
【分析】必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件.随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义并结合各选项即可判断求解.
3．（2020九上·洛宁月考）关于x的一元二次方程 根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【解答】解：△= = = ，
∵ ≥0，
∴ >0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】由题意先计算b2-4ac的值，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"即可判断求解.
4．（2020九上·洛宁月考）如图，在数学兴趣小组探究活动中，小明要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，他和同学利用工具测得PC=50米，∠PCA= ，根据上述测量数据可计算得到小河宽度PA为（　　）
A． 米 B．50 米
C． 米 D．50tanα米
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在
中，
，
∴ .
故答案为：D.
【分析】由题意根据锐角三角函数可得tan
=
可求解.
5．（2020九上·洛宁月考）对抛物线：y=-x2+2x-3而言，下列结论正确的是（　　)
A．与x轴有两个交点 B．开口向上
C．与y轴交点坐标是(0，3) D．顶点坐标是(1,-2)
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
【解答】A、∵△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x=0时，y=-3，抛物线与y轴交点坐标为（0，-3），本选项错误；
D、∵y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，∴抛物线顶点坐标为（1，-2），本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系
6．（2020九上·洛宁月考）学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（　　）
A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米
【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得： AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米，
同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得
，
代入得：
解得：树高= 6米.
故答案为：C.
【分析】由题意画出图形，然后根据同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等可得比例式求解.
7．（2020九上·洛宁月考）如图，已知在4 4的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠CAB的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
则cos∠CAB= ，
故答案为：B.
【分析】根据网格图的特征用勾股定理求出AB2、BC2、AC2的值，再观察是否满足a2+b2=c2，然后根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，由锐角三角函数cos∠CAB=可求解.
8．（2020九上·洛宁月考）如图，E是 ABCD的边AD上的一点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F，若AE： BC =3： 5，则FD： DC的值为（　　）
A．2 ： 3 B．2：5 C．3 ： 4 D．3 ： 5
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，AB=CD，AD=BC，
∴ED：AE=EF：EB，FD：DC=EF：EB，
∴FD： DC= ED：AE
∵AE： BC=3：5，AD=BC，
∴AE：AD=3：5，
∴ED：AE =2：3，
∴FD： DC=2：3，
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥DC，AB=CD，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理可得比例式，，于是可得比例式可求解.
9．（2020九上·洛宁月考）将拋物线C：y= 平移到 ，若两条拋物线C， 关于直线x = 1对称，则下列平移方法中正确的是（　　）
A．将抛物线C向右平移1个单位 B．将抛物线C向右平移3个单位
C．将抛物线C向右平移5个单位 D．将抛物线C向右平移6个单位
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线C：y=x2+3x-10=（x+ ）2 ，
∴抛物线对称轴为x=- .
∴抛物线与y轴的交点为A（0，-10）.
则与A点以对称轴对称的点是B（-3，-10）.
若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称.
则B点平移后坐标应为（2，-10）.
因此将抛物线C向右平移5个单位.
故答案为：C.
【分析】由题意先将抛物线C的解析式根据公式“y=ax2+bx+c=a(x+)2+”配成顶点式，于是可求得抛物线的对称轴为x=，抛物线与y轴的交点A的坐标为（0，-10），则与A点以对称轴对称的点B的坐标可求解（此时点B与点A的纵坐标相同，对称轴x==）；同理根据抛物线C，C′关于直线x=1对称可求得点B的对称点的坐标，再根据点B和点B的对称点的横坐标并结合平移的性质“左减右加”可求解.
10．（2020九上·洛宁月考）如图，在正方形ABCD中.以AD、AB为斜边分别向外和向内作Rt△ADN和Rt△ABM，且满足AN=AM，连接MN交AD于点T.若DC=4，tan∠ABM= ，则AT的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AD=AB，AM=AW，∠AMB=∠AND=90°，
∴Rt△ABM Rt△ADN（HL）
∴∠DAN=∠BAM，DN=BM.
∵ ∠BAM+∠DAM=90°，∠DAN+∠ADN=90°，
∴∠DAM=∠ADN，
∴DN//AM，
∴△DNT △AMT，
∴ = ，
∵tan∠ABM= = =
∴
∵AD=DC=4，
∴AT= AD=1，
故答案为： A.
【分析】根据HL定理可证Rt△ABM Rt△ADN，由全等三角形的性质可得∠DAN=∠BAM，DN=BM，于是根据等角的余角相等可得∠DAM=∠ADN，由内错角相等两直线平行可得DN//AM，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△DNT △AMT，根据相似三角形的性质可得比例式 = ，然后根据tan∠ABM=并结合比例式可求解.
11．（2020九上·洛宁月考）计算： =　 　
【答案】
【知识点】实数的运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”和二次根式的性质计算即可求解.
12．（2020九上·洛宁月考）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，结账时可转动一次如图所示的转盘（转到公共线位置时重转），并根据所转结果打折或不打折，某顾客在结账时转动一次该转盘，其结果是不打折的概率为　 　
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：其中不打折的概率为 = .
故答案为： .
【分析】根据扇形图可求得不打折的频率，再用频率估计概率可求解.
13．（2020九上·洛宁月考）一个函数有下列性质：①它的图象不经过第四象限；②图象经过点（1，2）；③当x>1时，函数值y随自变量x的增大而增大.满足上述三条性质的二次函数解析式可以是　 　（只要求写出一个）.
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大，
可知，对称轴为x=1，图象开口向上，a＞0，此时图象不经过第四象限；
∴满足条件的解析式为y=（x-1）2 +2等.
故答案为： .
【分析】由二次函数的性质和已知条件“当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大”可知抛物线的对称轴为x=1，图象开口向上，a＞0，根据这些条件即可求解.
14．（2020九上·洛宁月考）某市有一块正方形的空地需要美化，规划设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉， 在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草.若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离都为3 m，种植花草的区域的面积为60
m2，设水池半径为 m，根据题意可列出方程为　 　
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设水池的半径为xm，则正方形的边长为 m，
根据题意得： ，
故答案为： .
【分析】观察图形可知， 在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池刚好构成一个以x为半径的圆，于是可得相等关系：种植花草的区域的面积=S正方形-2S圆，列关于x的方程即可求解.
15．（2020九上·洛宁月考）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC= 3，sin A = ，若 E 为边 BC 的中点，则点E到Rt△ABC的中线CD的距离EF为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DE，
∵在Rt△ABC中， ，
∴BC= AB，
∵AC= 3，
∴ ，解得AB=5，
∴BC=4，中线CD= ，
∴△BDC的面积= △ABC的面积= × ×3×4＝3，
∵E为BC边的中点，
∴△DEC的面积= △BDC的面积= ，
∵△DEC的面积= CD·EF，
可得： × ×EF＝ ，
解得：EF= ，
故答案为： .
【分析】连接DE，在Rt△ABC中，由锐角三角函数sinA=可将BC用含AB的代数式表示出来，然后用勾股定理可得关于AB的方程，解方程可求得AB的值；则BC和中线CD的值可求解；S△BDC=S△ABC=，而E为BC边的中点，于是得S△DEC=S△BDC=CD×EF可求解.
16．（2020九上·洛宁月考）解方程： .
【答案】解： ，
，
设
于是原方程可变形为 ，
解得： ；
∴ ，
∴ .
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【分析】观察题意，可将（x-1）看作一个整体，用换元法求解.
17．（2020九上·洛宁月考）如图，已知A（－4，2），B（－2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点.
（ 1 ）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
（ 2 ）若△ABC内部有一点P（a，b），则平移后它的对应点P1的坐标为 ；
（ 3 ）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形.
【答案】解：（1）（3）如图所示，△A1B1C1、 即为所求，
（ 2 ）（a＋4，b－1）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）∵△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1，
∴点P（a，b）的对应点P1的坐标为（a＋4，b－1）；
故答案为：（a＋4，b－1）；
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）根据平移的点的坐标变化规律“上加下减、左减右加”可求解；
（3）根据题意画图即可.
18．（2020九上·洛宁月考）下表所示的是数学兴趣小组填写的数学实践活动报告的部分内容.
已知四边形ABCD为矩形，DG丄EF于点G，且点A、B、C、D、E、F、G都在同一竖直平面内，求铁塔FE的高度.（结果精确到1米；参考数据：sin 44° 0.69，cos 44° 0.72， tan 44° 0.97）
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC丄BC，
∵DG丄EF，FE丄CE，
∴四边形CDGE是矩形，
在 Rt△DFG 中，
∵∠DGF=90 ，DG=CE=25 米，
∴FG=DG·tan44°=25 0.97 24（米）.
∵四边形CDGE是矩形，
∴GE=CD=10 米，
∴FE=FG+GE=24 + 10 = 34（米）.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由题意根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形CDGE是矩形，在 Rt△DFG 中，根据锐角三角函数tan44°=可求得FG的值，然后由线段的构成得FE=FG+GE可求解.
19．（2020九上·洛宁月考）某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品　 　件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率．
【答案】（1）24；150°
（2）解：∵C班的作品数量为10套，
故补全条形统计图如下：
（3）解：依题意可得到树状图：
∴P（抽取的作品在两个不同班级）= ．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套，
∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套，
故C班的扇形的圆心角的度数为150°
故答案为24；150°；
【分析】（1）根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C班的作品数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数；（2）根据C班的作品数量即可补全统计图；（3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解．
20．（2020九上·洛宁月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan 15°时，可构造如图所 示的图形.在 Rt△ACB 中，∠C= 90°， ∠ABC=30°， AC=x（x>0），延长 CB 至点
D，使得 BD=AB，连接AD，易知∠D =15°，CD=BD+BC=AB+BC= ，所以tan15°=tanD……
任务：
（1）请根据上面的步骤，完成tan
15°的计算.
（2）类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值.
【答案】（1）解：tan15°=tan∠D= = = = .
（2）解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD= ，
∴tan22.5°= ，
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）观察图形，根据锐角三角函数 ：tan15°=tan∠D=可求解；
（2）延长CB使BD=AB，连接AD，设AC=BC=1，根据tan22.5°=可求解.
21．（2020九上·洛宁月考）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格：x（元/个） … 30 40 50 60 …
销售量y（万个） … 5 4 3 2
　
同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元.
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的之间有关知识求y（万个）与x（元/个）之间的函数解析式.
（2）求该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
【答案】（1）解：根据表格中数据可得出：表中的y与x之间的对应关系为一次函数关系，
设y=kx十b，
由题意得 ，解得 ，
故y（万个）与x（元/个）的函数解析式为y=-0.1x+8
（2）解：由题意得z=（x-20）y-40=（x-20）（-0.1x十8）-40=-0.1x2+10x-200，
即z=-0.1x2十10x-200为这种计算器的净得利润Z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式
∵z=-0.1x2+10x-200=-0.1（x-50）2+50，
∴当x=50时，Z最大值=50，即销售价格定为50元时净得利润最大，最大值是50万元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 根据表格中数据可知表中的y与x之间的对应关系为一次函数关系，可设y=kx十b，然后用待定系数法可求解；
（2）根据利润z=单个利润×销售量可得z与x之间的函数关系式，配成顶点式根据二次函数的性质可求解.
22．（2020九上·洛宁月考）如图，二次函数： = + ）的图象与一次函数： = 的图象交于A（0，1），B两点，C（1，0）为二次函数图象的顶点.
（1）求二次函数： = + ）的解析式.
（2）定义函数 当自变量 任取一值时， 对应的函数值分别为 或 ，若 ，函数 的函数值等于 、 中的较小值；若 ，函数 的函数值等于 或 .当直线 - >0）与函数 的图象只有两个交点时，求 的值.
【答案】（1）解：设抛物线解析式为y1=a（x-1）2，
由拋物线过点A（0，1），代入y1=a（x-1）2，求得a=1，
所以
（2）解：∵点A（0，1）在 = 上，
∴d=1
∴ =
将y=x2-2x+1与y=x+1联立解得：x=0，y=1或x=3，y=4，即B（3，4）
直线 与函数f的图象只有两个交点共有三种情况：
①直线 与直线AB： 平行，此时k=1
②直线 过点B（3，4），此时k= ；
③直线 与二次函数 的图象只有一个交点，
此时有 ，得： = ，
由△=0，可得 （舍去）.
综上，k=1或k= 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）因为抛物线的顶点为（1，0），所以可将抛物线的解析式设为顶点式y1=a（x-1）2，再把点A的坐标代入计算即可求解；
（2）由题意把点A的坐标代入直线解析式y2=x+d计算可求得d的值，则直线y2的解析式可求解，然后把抛物线和直线的解析式联立解方程组可求得两图象的另一个交点B的坐标，直线y3=kx-（k＞0）与函数f的图象只有两个交点可分三种情况讨论求解：
①直线y3=kx-（k＞0）与直线AB平行，根据两直线平行其k值相等可求解；
②直线y3=kx-（k＞0）过点B，把点B的坐标代入解析式计算可求解；
③直线y3=kx-（k＞0）与二次函数y1的图象只有一个交点，联立解方程组，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可求解.
23．（2020九上·洛宁月考）如图，在矩形ABCD中， ＝ ，F、G分别为边AB、DC上的动点，连接GF，将四边形AFGD沿GP折叠，使点A落在边BC上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.
（1）求GF与AE之间的位置关系.
（2）求 的值.
（3）连接CP，若tan∠CGP＝ ，GF＝2 ，请直接写出CP的长.
【答案】（1）解：由折叠性质可知，∠AOF＝∠EOF，
∵∠AOF＋∠EOF＝180°，
∴∠AOF＝∠EOF＝90°，
∴AE⊥GF；
∴GF与AE之间的位置关系为垂直关系.
（2）解：过G作GM⊥AB于M，如图，得矩形ADGM，
则AD＝GM，∠MFG＋∠MGF＝90°，
∵∠MFG＋∠FAO＝90°，
∴∠BAE＝∠MGF，
∵∠B＝∠FMG＝90°，
∴△ABE∽△GMF，
∴AE：GF＝AB：GM＝AB：AD＝2，
∴ ＝
（3）解：如图2，过点P作PK BC，交BC的延长线于点K.
由折叠的性质可知：∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，
∴∠CGP＋∠GHP＝90°.
∵∠PEC＋∠EHC＝90°且∠GHP＝∠EHC，
∴∠PEC＝∠CGP.
∵∠BEF＋∠BFE＝∠BEF＋∠PEC＝90°，
∴∠BFE＝∠PEC＝∠CGP.
∵tan∠CGP＝ ，
∴tan∠BFE＝ ＝ .
设BE＝3x，则BF＝4x，
∴AF＝EF＝ ，
∴AB＝9x.
∴AE＝2GF，GF＝2 ，
∴AE＝4 .
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＋BE2＝AE2，即81x2＋9x2＝160，
解得：x＝或x＝－ （舍去）
∴AB＝9× ＝12，BE＝4，
∴EP＝AD＝ AB＝6，CE＝BC－BE＝6－4＝2.
∴tan∠PEK＝ ＝tan∠CGP＝ ，
设PK＝3y，EK＝4y，
在Rt△PEK中，由勾股定理得：EK2＋PK2＝EP2，16x2＋9y2＝36，
解得，y＝ 或y＝－ （舍去），
∴PK＝ ，EK＝ ，
∴CK＝EK－CE＝ ，
∴CP＝ ＝ .
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得∠AOF＝∠EOF，再根据平角和垂直的定义即可求解；
（2）过G作GM⊥AB于M，结合题意根据有三个角是直角的四边形是矩形可得矩形ADGM，由矩形的性质可得AD＝GM，根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠MGF，由两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△GMF，于是可得比例式求解；
（3）过点P作PKBC，交BC的延长线于点K，由折叠的性质可知：∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，然后根据等角的余角相等可得∠PEC＝∠CGP，则∠BFE＝∠PEC＝∠CGP，于是tan∠CGP=tan∠BFE＝，设BE＝3x，则BF＝4x，用勾股定理可得AF＝EF=5x，在Rt△ABE中，用勾股定理可求得x的值，则AB、BE可求解；结合已知根据EP＝AD＝AB，CE＝BC－BE可求得EP、CE的值，根据锐角三角函数可得tan∠PEK＝＝tan∠CGP=，设PK＝3y，EK＝4y，在Rt△PEK中，用勾股定理可求得y的值，则PK和EK的值可求解，根据线段的构成得CK＝EK－CE可求得CK的值，然后Rt△PCK中，用勾股定理可求解.
1 / 1河南省洛阳市洛宁县2021届九年级上学期数学第三次月考试卷
1．（2020九上·洛宁月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C．2cos 60°= D．
2．（2020九上·洛宁月考）下列事件中为必然事件的是（　　）
A．如果 ，那么a=b
B．两边及其一角对应相等的两个三角形全等
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．长度分别是4， 6，9的三条线段能围成一个三角形
3．（2020九上·洛宁月考）关于x的一元二次方程 根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
4．（2020九上·洛宁月考）如图，在数学兴趣小组探究活动中，小明要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，他和同学利用工具测得PC=50米，∠PCA= ，根据上述测量数据可计算得到小河宽度PA为（　　）
A． 米 B．50 米
C． 米 D．50tanα米
5．（2020九上·洛宁月考）对抛物线：y=-x2+2x-3而言，下列结论正确的是（　　)
A．与x轴有两个交点 B．开口向上
C．与y轴交点坐标是(0，3) D．顶点坐标是(1,-2)
6．（2020九上·洛宁月考）学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（　　）
A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米
7．（2020九上·洛宁月考）如图，已知在4 4的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠CAB的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020九上·洛宁月考）如图，E是 ABCD的边AD上的一点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F，若AE： BC =3： 5，则FD： DC的值为（　　）
A．2 ： 3 B．2：5 C．3 ： 4 D．3 ： 5
9．（2020九上·洛宁月考）将拋物线C：y= 平移到 ，若两条拋物线C， 关于直线x = 1对称，则下列平移方法中正确的是（　　）
A．将抛物线C向右平移1个单位 B．将抛物线C向右平移3个单位
C．将抛物线C向右平移5个单位 D．将抛物线C向右平移6个单位
10．（2020九上·洛宁月考）如图，在正方形ABCD中.以AD、AB为斜边分别向外和向内作Rt△ADN和Rt△ABM，且满足AN=AM，连接MN交AD于点T.若DC=4，tan∠ABM= ，则AT的长为（　　）
A．1 B． C． D．
11．（2020九上·洛宁月考）计算： =　 　
12．（2020九上·洛宁月考）某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，结账时可转动一次如图所示的转盘（转到公共线位置时重转），并根据所转结果打折或不打折，某顾客在结账时转动一次该转盘，其结果是不打折的概率为　 　
13．（2020九上·洛宁月考）一个函数有下列性质：①它的图象不经过第四象限；②图象经过点（1，2）；③当x>1时，函数值y随自变量x的增大而增大.满足上述三条性质的二次函数解析式可以是　 　（只要求写出一个）.
14．（2020九上·洛宁月考）某市有一块正方形的空地需要美化，规划设计图如图所示，空地正中间修建一个圆形喷泉， 在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草.若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离都为3 m，种植花草的区域的面积为60
m2，设水池半径为 m，根据题意可列出方程为　 　
15．（2020九上·洛宁月考）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC= 3，sin A = ，若 E 为边 BC 的中点，则点E到Rt△ABC的中线CD的距离EF为　 　.
16．（2020九上·洛宁月考）解方程： .
17．（2020九上·洛宁月考）如图，已知A（－4，2），B（－2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点.
（ 1 ）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的图形；
（ 2 ）若△ABC内部有一点P（a，b），则平移后它的对应点P1的坐标为 ；
（ 3 ）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形.
18．（2020九上·洛宁月考）下表所示的是数学兴趣小组填写的数学实践活动报告的部分内容.
已知四边形ABCD为矩形，DG丄EF于点G，且点A、B、C、D、E、F、G都在同一竖直平面内，求铁塔FE的高度.（结果精确到1米；参考数据：sin 44° 0.69，cos 44° 0.72， tan 44° 0.97）
19．（2020九上·洛宁月考）某校团委在“五·四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，广三批对全校20个班的作品进行评比在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如下两幅不完整的统计图，
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品　 　件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品在两个不同班级的概率．
20．（2020九上·洛宁月考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.
构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan 15°时，可构造如图所 示的图形.在 Rt△ACB 中，∠C= 90°， ∠ABC=30°， AC=x（x>0），延长 CB 至点
D，使得 BD=AB，连接AD，易知∠D =15°，CD=BD+BC=AB+BC= ，所以tan15°=tanD……
任务：
（1）请根据上面的步骤，完成tan
15°的计算.
（2）类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5°的值.
21．（2020九上·洛宁月考）某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
价格：x（元/个） … 30 40 50 60 …
销售量y（万个） … 5 4 3 2
　
同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元.
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数的之间有关知识求y（万个）与x（元/个）之间的函数解析式.
（2）求该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）之间的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
22．（2020九上·洛宁月考）如图，二次函数： = + ）的图象与一次函数： = 的图象交于A（0，1），B两点，C（1，0）为二次函数图象的顶点.
（1）求二次函数： = + ）的解析式.
（2）定义函数 当自变量 任取一值时， 对应的函数值分别为 或 ，若 ，函数 的函数值等于 、 中的较小值；若 ，函数 的函数值等于 或 .当直线 - >0）与函数 的图象只有两个交点时，求 的值.
23．（2020九上·洛宁月考）如图，在矩形ABCD中， ＝ ，F、G分别为边AB、DC上的动点，连接GF，将四边形AFGD沿GP折叠，使点A落在边BC上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.
（1）求GF与AE之间的位置关系.
（2）求 的值.
（3）连接CP，若tan∠CGP＝ ，GF＝2 ，请直接写出CP的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、2cos60°=1，故此选项错误；
D、 ，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】A、根据二次根式的性质“”可得原式=2；
B、根据合并同类二次根式的法则"把同类二次根式的系数的和作为结果的系数，根号及被开方数不变"可得原式=2；
C、由特殊角的三角函数值可得cos60°=，代入计算即可求解；
D、根据二次根式的乘法法则“”可得原式==2-2=0.
2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、如果 a2=b2，那么a=b或a=-b，故该事件是随机事件，不符合题意；
B、两边及其一角对应相等的两个三角形中，当相等的角是直角的时候一定全等，不是直角的时候不一定全等，故该事件是随机事件，不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，不符合题意；
D、长度分别是4，6，9的三条线段一定能围成一个三角形，是必然事件，符合题意.
故答案为：D.
【分析】必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件.随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义并结合各选项即可判断求解.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用
【解析】【解答】解：△= = = ，
∵ ≥0，
∴ >0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】由题意先计算b2-4ac的值，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"即可判断求解.
4．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在
中，
，
∴ .
故答案为：D.
【分析】由题意根据锐角三角函数可得tan
=
可求解.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】根据△的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x=0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
【解答】A、∵△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，抛物线与x轴无交点，本选项错误；
B、∵二次项系数-1＜0，抛物线开口向下，本选项错误；
C、当x=0时，y=-3，抛物线与y轴交点坐标为（0，-3），本选项错误；
D、∵y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，∴抛物线顶点坐标为（1，-2），本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了抛物线的性质与解析式的关系．关键是明确抛物线解析式各项系数与性质的联系
6．【答案】C
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得： AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米，
同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得
，
代入得：
解得：树高= 6米.
故答案为：C.
【分析】由题意画出图形，然后根据同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等可得比例式求解.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
则cos∠CAB= ，
故答案为：B.
【分析】根据网格图的特征用勾股定理求出AB2、BC2、AC2的值，再观察是否满足a2+b2=c2，然后根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，由锐角三角函数cos∠CAB=可求解.
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，AB=CD，AD=BC，
∴ED：AE=EF：EB，FD：DC=EF：EB，
∴FD： DC= ED：AE
∵AE： BC=3：5，AD=BC，
∴AE：AD=3：5，
∴ED：AE =2：3，
∴FD： DC=2：3，
故答案为：A.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥DC，AB=CD，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理可得比例式，，于是可得比例式可求解.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线C：y=x2+3x-10=（x+ ）2 ，
∴抛物线对称轴为x=- .
∴抛物线与y轴的交点为A（0，-10）.
则与A点以对称轴对称的点是B（-3，-10）.
若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称.
则B点平移后坐标应为（2，-10）.
因此将抛物线C向右平移5个单位.
故答案为：C.
【分析】由题意先将抛物线C的解析式根据公式“y=ax2+bx+c=a(x+)2+”配成顶点式，于是可求得抛物线的对称轴为x=，抛物线与y轴的交点A的坐标为（0，-10），则与A点以对称轴对称的点B的坐标可求解（此时点B与点A的纵坐标相同，对称轴x==）；同理根据抛物线C，C′关于直线x=1对称可求得点B的对称点的坐标，再根据点B和点B的对称点的横坐标并结合平移的性质“左减右加”可求解.
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵AD=AB，AM=AW，∠AMB=∠AND=90°，
∴Rt△ABM Rt△ADN（HL）
∴∠DAN=∠BAM，DN=BM.
∵ ∠BAM+∠DAM=90°，∠DAN+∠ADN=90°，
∴∠DAM=∠ADN，
∴DN//AM，
∴△DNT △AMT，
∴ = ，
∵tan∠ABM= = =
∴
∵AD=DC=4，
∴AT= AD=1，
故答案为： A.
【分析】根据HL定理可证Rt△ABM Rt△ADN，由全等三角形的性质可得∠DAN=∠BAM，DN=BM，于是根据等角的余角相等可得∠DAM=∠ADN，由内错角相等两直线平行可得DN//AM，根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△DNT △AMT，根据相似三角形的性质可得比例式 = ，然后根据tan∠ABM=并结合比例式可求解.
11．【答案】
【知识点】实数的运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”和二次根式的性质计算即可求解.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：其中不打折的概率为 = .
故答案为： .
【分析】根据扇形图可求得不打折的频率，再用频率估计概率可求解.
13．【答案】 （答案不唯一）
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大，
可知，对称轴为x=1，图象开口向上，a＞0，此时图象不经过第四象限；
∴满足条件的解析式为y=（x-1）2 +2等.
故答案为： .
【分析】由二次函数的性质和已知条件“当x＞1时，函数值y随自变量x的增大而增大”可知抛物线的对称轴为x=1，图象开口向上，a＞0，根据这些条件即可求解.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设水池的半径为xm，则正方形的边长为 m，
根据题意得： ，
故答案为： .
【分析】观察图形可知， 在四个角分别修建四个四分之一圆形的水池刚好构成一个以x为半径的圆，于是可得相等关系：种植花草的区域的面积=S正方形-2S圆，列关于x的方程即可求解.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接DE，
∵在Rt△ABC中， ，
∴BC= AB，
∵AC= 3，
∴ ，解得AB=5，
∴BC=4，中线CD= ，
∴△BDC的面积= △ABC的面积= × ×3×4＝3，
∵E为BC边的中点，
∴△DEC的面积= △BDC的面积= ，
∵△DEC的面积= CD·EF，
可得： × ×EF＝ ，
解得：EF= ，
故答案为： .
【分析】连接DE，在Rt△ABC中，由锐角三角函数sinA=可将BC用含AB的代数式表示出来，然后用勾股定理可得关于AB的方程，解方程可求得AB的值；则BC和中线CD的值可求解；S△BDC=S△ABC=，而E为BC边的中点，于是得S△DEC=S△BDC=CD×EF可求解.
16．【答案】解： ，
，
设
于是原方程可变形为 ，
解得： ；
∴ ，
∴ .
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【分析】观察题意，可将（x-1）看作一个整体，用换元法求解.
17．【答案】解：（1）（3）如图所示，△A1B1C1、 即为所求，
（ 2 ）（a＋4，b－1）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（2）∵△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1，
∴点P（a，b）的对应点P1的坐标为（a＋4，b－1）；
故答案为：（a＋4，b－1）；
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）根据平移的点的坐标变化规律“上加下减、左减右加”可求解；
（3）根据题意画图即可.
18．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC丄BC，
∵DG丄EF，FE丄CE，
∴四边形CDGE是矩形，
在 Rt△DFG 中，
∵∠DGF=90 ，DG=CE=25 米，
∴FG=DG·tan44°=25 0.97 24（米）.
∵四边形CDGE是矩形，
∴GE=CD=10 米，
∴FE=FG+GE=24 + 10 = 34（米）.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由题意根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形CDGE是矩形，在 Rt△DFG 中，根据锐角三角函数tan44°=可求得FG的值，然后由线段的构成得FE=FG+GE可求解.
19．【答案】（1）24；150°
（2）解：∵C班的作品数量为10套，
故补全条形统计图如下：
（3）解：依题意可得到树状图：
∴P（抽取的作品在两个不同班级）= ．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品为6÷25%=24套，
∴C班的作品数量为24-4-6-4=10套，
故C班的扇形的圆心角的度数为150°
故答案为24；150°；
【分析】（1）根据B班的作品数量及占比即可求出第一批所抽取的4个班共征集的作品件数，再求出C班的作品数量，求出其占比即可得到扇形的圆心角的度数；（2）根据C班的作品数量即可补全统计图；（3）根据题意画出树状图，根据概率公式即可求解．
20．【答案】（1）解：tan15°=tan∠D= = = = .
（2）解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD= ，
∴tan22.5°= ，
【知识点】含30°角的直角三角形；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）观察图形，根据锐角三角函数 ：tan15°=tan∠D=可求解；
（2）延长CB使BD=AB，连接AD，设AC=BC=1，根据tan22.5°=可求解.
21．【答案】（1）解：根据表格中数据可得出：表中的y与x之间的对应关系为一次函数关系，
设y=kx十b，
由题意得 ，解得 ，
故y（万个）与x（元/个）的函数解析式为y=-0.1x+8
（2）解：由题意得z=（x-20）y-40=（x-20）（-0.1x十8）-40=-0.1x2+10x-200，
即z=-0.1x2十10x-200为这种计算器的净得利润Z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式
∵z=-0.1x2+10x-200=-0.1（x-50）2+50，
∴当x=50时，Z最大值=50，即销售价格定为50元时净得利润最大，最大值是50万元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 根据表格中数据可知表中的y与x之间的对应关系为一次函数关系，可设y=kx十b，然后用待定系数法可求解；
（2）根据利润z=单个利润×销售量可得z与x之间的函数关系式，配成顶点式根据二次函数的性质可求解.
22．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y1=a（x-1）2，
由拋物线过点A（0，1），代入y1=a（x-1）2，求得a=1，
所以
（2）解：∵点A（0，1）在 = 上，
∴d=1
∴ =
将y=x2-2x+1与y=x+1联立解得：x=0，y=1或x=3，y=4，即B（3，4）
直线 与函数f的图象只有两个交点共有三种情况：
①直线 与直线AB： 平行，此时k=1
②直线 过点B（3，4），此时k= ；
③直线 与二次函数 的图象只有一个交点，
此时有 ，得： = ，
由△=0，可得 （舍去）.
综上，k=1或k= 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）因为抛物线的顶点为（1，0），所以可将抛物线的解析式设为顶点式y1=a（x-1）2，再把点A的坐标代入计算即可求解；
（2）由题意把点A的坐标代入直线解析式y2=x+d计算可求得d的值，则直线y2的解析式可求解，然后把抛物线和直线的解析式联立解方程组可求得两图象的另一个交点B的坐标，直线y3=kx-（k＞0）与函数f的图象只有两个交点可分三种情况讨论求解：
①直线y3=kx-（k＞0）与直线AB平行，根据两直线平行其k值相等可求解；
②直线y3=kx-（k＞0）过点B，把点B的坐标代入解析式计算可求解；
③直线y3=kx-（k＞0）与二次函数y1的图象只有一个交点，联立解方程组，根据一元二次方程的根的判别式“①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根”可求解.
23．【答案】（1）解：由折叠性质可知，∠AOF＝∠EOF，
∵∠AOF＋∠EOF＝180°，
∴∠AOF＝∠EOF＝90°，
∴AE⊥GF；
∴GF与AE之间的位置关系为垂直关系.
（2）解：过G作GM⊥AB于M，如图，得矩形ADGM，
则AD＝GM，∠MFG＋∠MGF＝90°，
∵∠MFG＋∠FAO＝90°，
∴∠BAE＝∠MGF，
∵∠B＝∠FMG＝90°，
∴△ABE∽△GMF，
∴AE：GF＝AB：GM＝AB：AD＝2，
∴ ＝
（3）解：如图2，过点P作PK BC，交BC的延长线于点K.
由折叠的性质可知：∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，
∴∠CGP＋∠GHP＝90°.
∵∠PEC＋∠EHC＝90°且∠GHP＝∠EHC，
∴∠PEC＝∠CGP.
∵∠BEF＋∠BFE＝∠BEF＋∠PEC＝90°，
∴∠BFE＝∠PEC＝∠CGP.
∵tan∠CGP＝ ，
∴tan∠BFE＝ ＝ .
设BE＝3x，则BF＝4x，
∴AF＝EF＝ ，
∴AB＝9x.
∴AE＝2GF，GF＝2 ，
∴AE＝4 .
在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2＋BE2＝AE2，即81x2＋9x2＝160，
解得：x＝或x＝－ （舍去）
∴AB＝9× ＝12，BE＝4，
∴EP＝AD＝ AB＝6，CE＝BC－BE＝6－4＝2.
∴tan∠PEK＝ ＝tan∠CGP＝ ，
设PK＝3y，EK＝4y，
在Rt△PEK中，由勾股定理得：EK2＋PK2＝EP2，16x2＋9y2＝36，
解得，y＝ 或y＝－ （舍去），
∴PK＝ ，EK＝ ，
∴CK＝EK－CE＝ ，
∴CP＝ ＝ .
【知识点】四边形的综合
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可得∠AOF＝∠EOF，再根据平角和垂直的定义即可求解；
（2）过G作GM⊥AB于M，结合题意根据有三个角是直角的四边形是矩形可得矩形ADGM，由矩形的性质可得AD＝GM，根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠MGF，由两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△GMF，于是可得比例式求解；
（3）过点P作PKBC，交BC的延长线于点K，由折叠的性质可知：∠FEP＝∠FAD＝∠D＝∠EPG＝90°，然后根据等角的余角相等可得∠PEC＝∠CGP，则∠BFE＝∠PEC＝∠CGP，于是tan∠CGP=tan∠BFE＝，设BE＝3x，则BF＝4x，用勾股定理可得AF＝EF=5x，在Rt△ABE中，用勾股定理可求得x的值，则AB、BE可求解；结合已知根据EP＝AD＝AB，CE＝BC－BE可求得EP、CE的值，根据锐角三角函数可得tan∠PEK＝＝tan∠CGP=，设PK＝3y，EK＝4y，在Rt△PEK中，用勾股定理可求得y的值，则PK和EK的值可求解，根据线段的构成得CK＝EK－CE可求得CK的值，然后Rt△PCK中，用勾股定理可求解.
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