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3.4圆心角（2）
教案
课题
3.4圆心角（2）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1．圆心角定理的逆定理的理解；2．圆心角定理的逆定理的运用．
重点
关于圆心角、弧、弦、弦心距之间的相互关系的性质.
难点
例4需辅助线，思路不易形成，是本节教学的难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
创设情景，引出课题提出并找出条件与结论圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.提出问题：圆心角定理的逆定理能成立吗？探究在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)探究一：相等的弦所对的圆心角相等吗？已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB=CD求证：
∠AOB=
∠CODAB=CD
OE=OF证明：∵AB=CD∴∠AOB=
∠COD∴AB=CD
OE=OF探究二相等的弧所对的圆心角相等吗？已知：弧AB=弧CD
求证：
∠AOB=
∠COD
AB=CD
OE=OF证明：∵弧AB=弧CD∴∠AOB=
∠COD∴AB=CD
OE=OF探究3相等的弦心距所对的圆心角,弦,弧相等吗？
已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD垂足为E、F，OE=OF求证：
∠AOB=
∠COD弧AB=弧CD
AB=CD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD在Rt
△AOE和Rt
△COF中∴
Rt
△AOE
≌
Rt
△COF
∴
∠AOE=
∠COF∵OA=OB
OC=OD
OE⊥AB，OF⊥CD∴
∠
AOB=2∠AOE
∠COD=2∠COF∴∠AOB=
∠COD∴弧AB=弧CD
AB=CD二、提炼概念结论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等.
思考自议通过理解圆的旋转不变性，理解圆心角定理的逆定理；
转化思想，把圆心角、弧、弦、弦心距利用圆心角定理的逆定理进行互相转化．
讲授新课
三、典例精讲例3
如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．延长AO,分别交BC于点P，交BC于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由.解：四边形BDCO是菱形，理由如下：∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°∴∠BOD=180°-∠AOB=60°同理：∠COD=60°又∵OB=OD∴OB=OD=BD同理：OC=CD∴OB=OC=BD=CD∴四边形BDCO是菱形例4
已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．求证：AD=DE=EB.解:
连结OD,OE在等边三角形ABC中，∠A=60°∵OA=OD
∴△AOD为等边三角形∴∠AOD=60°
同理∠BOE=60°∴∠DOE=
180°-∠AOD-∠BOE=60°∴∠DOE=
∠AOD=∠BOE∴AD=
DE=EB
在同圆或等圆中，证明角相等，可以证明角所对的弧相等．
在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
课堂检测
巩固训练1．下列说法中正确的是
(　
　)
A．相等的弦所对的弧相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．在同一个圆中相等的弧所对的弦相等
D．相等的弦所对的圆心角相等答案：C2．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是
(　
)
EMBED
Word.Document.12
\
MERGEFORMAT
A
BC
D答案：
B【解析】
A错误，是因为两弧不是在同圆或等圆中；B正确，∵＝，∴＋＝＋，∴＝，∴CD＝AB；C错误，∠AOB＝×360°＝40°；D错误，当MN是AE的垂直平分线时，才有＝.
3.如图所示，已知⊙O中的弦AB＝CD.求证：(1)＝；∠AOC＝∠BOD.证明：(1)∵AB＝CD，∴＝(在同一圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的弧相等)．∴－＝－.∴＝.(2)∵＝，∴∠AOC＝∠BOD(在同一圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的圆心角相等)．4.如图所示，A，B，C为⊙O上的三点，且有＝＝，连结AB，BC，CA.(1)试确定△ABC的形状；(2)若AB＝a，求⊙O的半径．解：(1)∵＝＝(已知)，∴AB＝BC＝CA(在同圆中相等的弧所对的弦相等)，∴△ABC为等边三角形．(2)连结OA，OB，OC，过O作OE⊥BC，垂足为E.∵＝＝(已知)，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA(在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)．又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°(周角的定义)，∴∠BOC＝120°，又∵OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝60°，BE＝EC＝BC＝AB＝a(等边三角形三线合一)．∴∠OBE＝90°－∠BOE＝30°.∴OE＝OB.根据勾股定理则有BE2＋OE2＝OB2，∴(a)2＋(OB)2＝OB2，解得OB＝a(负值已舍)，即⊙O的半径为a.
课堂小结
圆心角定理的逆定理在同圆或等圆中，如果______________、___________、__________、_____________中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．说明：这个定理可以引导我们从多方面找出解决问题的方法，要解决弧相等的问题，可以从它们所对的弦、弦心距或所对的圆心角是否相等入手；要解决弦相等的问题，可以从它们所对的弧或所对的圆心角、弦心距是否相等入手．两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距
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精品试卷·第
2
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（共
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3.4圆心角（2）
浙教版
九年级上
新知导入
复习回顾
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的
弦心距相等
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
圆心角定理
合作学习
在同圆或等圆中
如果弦相等
那么
弦所对的圆心角相等
弦所对的弧（指劣弧）相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦心距相等
那么
弦心距所对应的圆心角相等
弦心距所对应的弧相等
弦心距所对应的弦相等
在同圆或等圆中
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
弧所对的弦的弦心距相等
那么逆命题能成立吗？
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等吗？
探究
相等的弦所对的圆心角相等吗？
已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB=CD
求证：
∠AOB=
∠COD
AB=CD
OE=OF
⌒
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证明：∵AB=CD
∴∠AOB=
∠COD
∴AB=CD
OE=OF
⌒
⌒
探究一
探究二
相等的弧所对的圆心角相等吗？
已知：AB=CD
求证：
∠AOB=
∠COD
AB=CD
OE=OF
⌒
⌒
证明：∵AB=CD
∴∠AOB=
∠COD
∴AB=CD
OE=OF
⌒
⌒
探究三
相等的弦心距所对的圆心角相等吗？
已⊙知：在O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD
垂足为E、F，OE=OF
求证：
∠AOB=
∠COD
AB=CD
AB=CD
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提炼概念
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等.
∠AOB=∠COD
AB=CD
OE=OF
AB=CD
⌒
⌒
结论
典例精讲
新知讲解
例3
如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．延长AO,分别交BC于点P，交BC于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由.
Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｐ
解：四边形BDCO是菱形，理由如下：
∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°
同理：∠COD=60°
又∵OB=OD
∴OB=OD=BD
同理：OC=CD
∴OB=OC=BD=CD
∴四边形BDCO是菱形
例4
已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．求证：AD=DE=EB.
分析：连结OD,OE.这样我们只要证明∠AOD=∠DOE=∠BOE，就能得到AD=DE=EB.
A
B
O
C
D
E
解:
连结OD,OE
在等边三角形ABC中，∠A=60°
∵OA=OD
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°
同理∠BOE=60°
∴∠DOE=
180°-∠AOD-∠BOE=60°
∴∠DOE=
∠AOD=∠BOE
∴AD=
DE=EB
课堂练习
1．下列说法中正确的是
(　
　)
A．相等的弦所对的弧相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．在同一个圆中相等的弧所对的弦相等
D．相等的弦所对的圆心角相等
C
2．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是
(　
)
A
B
B
C
D
3.如图所示，已知⊙O中的弦AB＝CD.
(1)试确定△ABC的形状；
(2)若AB＝a，求⊙O的半径．
【点悟】
在解答圆的问题时，见到弧相等，常转化为它所对的圆心角相等，以及它们所对的弦相等．
课堂小结
圆心角定理的逆定理
在同圆或等圆中，如果______________、___________、__________、_____________中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．
说明：这个定理可以引导我们从多方面找出解决问题的方法，要解决弧相等的问题，可以从它们所对的弦、弦心距或所对的圆心角是否相等入手；要解决弦相等的问题，可以从它们所对的弧或所对的圆心角、弦心距是否相等入手．
两个圆心角
两条弧
两条弦
两个弦心距
注意：在同圆或等圆中这一条件才能适用．
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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3.4圆心角（2）
学案
课题
3.4圆心角（2）
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1．圆心角定理的逆定理的理解；2．圆心角定理的逆定理的运用．
重点
关于圆心角、弧、弦、弦心距之间的相互关系的性质.
难点
例4需辅助线，思路不易形成，是本节教学的难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.提出问题：圆心角定理的逆定理能成立吗？探究在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)探究一：相等的弦所对的圆心角相等吗？已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，AB=CD求证：
∠AOB=
∠COD探究二相等的弧所对的圆心角相等吗？已知：弧AB=弧CD
求证：
∠AOB=
∠COD
AB=CD
OE=OF探究三相等的弦心距所对的圆心角,弦,弧相等吗？
已知：在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD垂足为E、F，OE=OF求证：
∠AOB=
∠COD
新知讲解
提炼概念结论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
、两条
、两个
中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都
.典例精讲
例3
如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．延长AO,分别交BC于点P，交BC于点D，连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由.例4
已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．求证：AD=DE=EB.
课堂练习
巩固训练
1．下列说法中正确的是
(　
　)
A．相等的弦所对的弧相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．在同一个圆中相等的弧所对的弦相等
D．相等的弦所对的圆心角相等2．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是
(　
)
EMBED
Word.Document.12
\
MERGEFORMAT
A
BC
D
3.如图所示，已知⊙O中的弦AB＝CD.求证：(1)＝；∠AOC＝∠BOD.4.如图所示，A，B，C为⊙O上的三点，且有＝＝，连结AB，BC，CA.(1)试确定△ABC的形状；(2)若AB＝a，求⊙O的半径．答案：引入思考探究一证明：∵AB=CD∴∠AOB=
∠COD∴AB=CD
OE=OF探究二证明：∵弧AB=弧CD∴∠AOB=
∠COD∴AB=CD
OE=OF探究三证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD在Rt
△AOE和Rt
△COF中∴
Rt
△AOE
≌
Rt
△COF
∴
∠AOE=
∠COF∵OA=OB
OC=OD
OE⊥AB，OF⊥CD∴
∠
AOB=2∠AOE
∠COD=2∠COF∴∠AOB=
∠COD∴弧AB=弧CD
AB=CD提炼概念在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都相等.典例精讲
例3解：四边形BDCO是菱形，理由如下：∵AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°∴∠BOD=180°-∠AOB=60°同理：∠COD=60°又∵OB=OD∴OB=OD=BD同理：OC=CD∴OB=OC=BD=CD∴四边形BDCO是菱形例4
解:
连结OD,OE在等边三角形ABC中，∠A=60°∵OA=OD
∴△AOD为等边三角形∴∠AOD=60°
同理∠BOE=60°∴∠DOE=
180°-∠AOD-∠BOE=60°∴∠DOE=
∠AOD=∠BOE∴AD=
DE=EB巩固训练1.答案：C2.答案：
B3.证明：(1)∵AB＝CD，∴＝(在同一圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的弧相等)．∴－＝－.∴＝.(2)∵＝，∴∠AOC＝∠BOD(在同一圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的圆心角相等)．4.解：(1)∵＝＝(已知)，∴AB＝BC＝CA(在同圆中相等的弧所对的弦相等)，∴△ABC为等边三角形．(2)连结OA，OB，OC，过O作OE⊥BC，垂足为E.∵＝＝(已知)，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA(在同圆中相等的弧所对的圆心角相等)．又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°(周角的定义)，∴∠BOC＝120°，又∵OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝60°，BE＝EC＝BC＝AB＝a(等边三角形三线合一)．∴∠OBE＝90°－∠BOE＝30°.∴OE＝OB.根据勾股定理则有BE2＋OE2＝OB2，∴(a)2＋(OB)2＝OB2，解得OB＝a(负值已舍)，即⊙O的半径为a.
课堂小结
圆心角定理的逆定理在同圆或等圆中，如果______________、___________、__________、_____________中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．说明：这个定理可以引导我们从多方面找出解决问题的方法，要解决弧相等的问题，可以从它们所对的弦、弦心距或所对的圆心角是否相等入手；要解决弦相等的问题，可以从它们所对的弧或所对的圆心角、弦心距是否相等入手．两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距
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精品试卷·第
2
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