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考点08 函数与导数的综合运用
1．（2021·浙江高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；
(3)结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】
(1)，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，
令，则，
记，
记，
又，所以时，时，，
则在单调递减，单调递增，，
.
即实数的取值范围是.
(3)有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，
，
注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，又由知，
，
要证，只需，
且关于的函数在上单调递增，
所以只需证，
只需证，
只需证，
，只需证在时为正，
由于，故函数单调递增，
又，故在时为正，
从而题中的不等式得证.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（理））下列命题为真命题的是（ ）
A．函数有两个零点 B．“，”的否定是“，”
C．若，则 D．幂函数在上是减函数，则实数
4．（2021·全国高三专题练习（理））若方程在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．[0,2]
C． D．
5．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若函数有极值点，且，则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A．2 B．3 C．3或4 D．3或4或5
7．（2021·四川德阳市·高三三模（理））已知函数，若存在，使，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知不等式(，，且)对任意实数成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·河南高三月考（理））若函数存在零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·河南高三月考（理））已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·全国高三月考（理））已知函数，，若的图象与的图象在上恰有个交点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·全国高三月考（理））已知函数为自然对数的底数)，若有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·河南安阳市·高三三模（理））已知，若当时，总有，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
14．（2021·全国高三其他模拟（理））已知定义在上的奇函数的部分图象如图所示，是的导函数，则（ ）
A． B．
C． D．方程无解
15．（2012·天津高考真题（理））函数在区间(0,1)内的零点个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
16．（2019·天津高考真题（理））已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
17．（2020·天津高考真题）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
18．（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明：；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.
19．（2020·全国高考真题（理））已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
20．（2019·北京高考真题（理））已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值.
1．B
【分析】
令f(x)=0，分离参数，结合导数研究函数的单调性即可得出结果.
【详解】
令f(x)=0，则，，
令，，
令，，
则函数在区间单调递增，，
所以，函数在区间单调递增，
所以有，
即，
所以，
故选：B．
2．C
【分析】
由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A、B、D，对C，采用导数法，函数函数图象可判断正确
【详解】
对A，为奇函数，值域为，故A错；
对B、，函数为“对勾函数”因为，所以，故B错误；
对C，为奇函数，当时，因为，故在为增函数，时，函数值为0，当时，，，画出图形如图：
所以，故C正确；
对D，，函数为奇函数，值域为，故D错误；
故选：C
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与值域的判断，属于基础题
①判断函数奇偶性除了定义法外，还可采用口诀进行判断：
奇函数=奇函数奇函数=奇函数 偶函数；
②对于常见函数类型，应熟记于心，比如反比例函数，对勾函数；
③对于复杂函数，研究值域时，可采用导数进行研究
3．A
【分析】
对于A，用导数法判断；对于B，由含有一个量词的命题的命题的否定的定义判断； 对于C，作差比较； 对于D，根据幂函数的定义和在上是减函数求解判断.
【详解】
对于A，函数，，当得，当得，所以在是单调递增函数，在是单调递减函数，所以在时有最小值，即，，，所以有两个零点，正确；
对于B，“，”的否定是，，错误；
对于C，，因为，所以，所以，，错误；
对于D， 由已知得，无解，幂函数在上是减函数，则实数，错误.
故选：A
4．A
【分析】
分离参数得，利用导数求出的值域即可求解.
【详解】
由题意得，方程在[0,2]上有解，则，x∈[0,2]，
令，x∈[0,2]，则，令，解得x>1，
因此函数在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，
又x=1时，；x=2时，y=2；x= 0，y= 0，
∴函数，x∈[0,2]的值域是，
故，∴.
故选：A.
5．D
【分析】
参变分离可得，研究函数，根据导函数以及，可得函数的极大值为，当，，所以，根据的最大值的范围即可得解.
【详解】
由，得，
令，
则，当时，，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
故函数的极大值为，极小值为，
且时，，所以，由，
得，由恒成立，得，
故选：D．
6．B
【分析】
设，可得或，根据函数的单调性画出大致图象，根据图象交点个数可得出.
【详解】
函数有极值点，
则，且是方程的两个根，
不妨设，由可得或，
易得当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，则可画出的大致图象如下：
如图所示，满足或有3个交点，
即关于x的方程的不同实根有3个.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是画出函数图象，判断出方程的根的个数是满足或的图象交点个数.
7．B
【分析】
由，得，变形后得，构造函数，由导数可得在上单调递增，在上单调递减，，，从而得，即，构造函数，再利用求出其最小值，进而可求出实数的取值范围
【详解】
解：由，得，即，
所以，所以，即，
令，则（），
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
则只需即可，即，
所以，
因为，所以，
令，则，
当，则，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，得，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的应用，考查不等式能成立问题，解题的关键是由，得，构造函数，由导数可得在上单调递增，在上单调递减，从而将问题转化为，即，再利用导数求出的最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
8．B
【分析】
构造函数然后利用导数求出最小值得到，因此，再次构造函数，利用导数求出其最大值即可.
【详解】
解析由题意得成立，令，则，若，，单调递增，当时，不合题意；若，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以最小值为.所以，所以.令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，即的最大值为.
故选：B.
【点睛】
恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.
9．B
【分析】
函数存在零点，即有根，构造同构的形式，利用换元法转化为，利用导数研究函数的值域即可.
【详解】
方法一：
函数存在零点，即有根.
因为，所以有根.
设，则，即
令，则，
当时，，所以在上单增；
当时，，所以在上单减；
所以当时，y有最小值1.
要使有解，只需.
故选：B.
方法二：
因为，
所以.
令，因为在上单调递增，
所以，即.
当时， ;当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以.
要使代存在零点，只需，即.
故选：B.
【点睛】
思路点睛：利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：
①利用最值或极值研究；
②利用数形结合思想研究；
③构造辅助函数硏究.
10．A
【分析】
利用导数和二次函数分别研究各段上单调性和极值，画出图象，利用数形结合思想结合导数的几何意义即可求得.
【详解】
当时，，
当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
其大致图象如图所示，由，
得，令，
关于的方程有四个不同的实根
等价于函数，的图象有四个不同的交点.
当时，的图象在点处切线斜率为，
该切线过点时，满足，
即，解得，
所以的图象过点的切线斜率为；
的图象在点处的切线斜率为，
该切线过点时，，
因为，解得，
所以的图象过点的切线斜率为.
结合函数图象可知，
当的取值范围是时，的图象有四个不同的公共点.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用数形结合思想求方程有特定个数的实数根的条件，主要是要利用导数研究函数的单调性并注意利用导数研究切线的斜率.
11．D
【分析】
令，将问题转化为在有且仅有个零点，利用导数可求得在上单调递增，结合零点存在定理可知，，解不等式组求得结果.
【详解】
令，则，
当时，，在上单调递增，
若与在上恰有个交点，则在有且仅有个零点，
，，
即，解得：，
即的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据两函数交点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内零点个数的求解问题.
12．C
【分析】
求出的最小值，求出的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】
因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，此时有最小值2，
，则，
令，得，当时，，则是增函数，
当时，，则是减函数，
所以当时，有极大值也是最大值，，
要满足有解，只需要，
所以，
故选：．
【点睛】
关键点睛：本题的关键是基本不等式的运用、利用导数研究函数的最值，并运用数形结合的思想处理问题．
13．B
【分析】
化简可得，构造函数，由已知条件可知函数为减函数，即在恒成立，解不等式可得，即可求得的最大值.
【详解】
由，可得，
，则，即，化简可得：，
设，，，，为减函数，
则在恒成立，由，解得：，
的最大值为.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：将已知条件变形为，构造函数，利用导数求得的取值范围是解答本题的关键.
14．C
【分析】
利用奇函数的性质并结合图象可判断AB选项的正误，分析出为偶函数，结合图象可判断CD选项的正误.
【详解】
对于A选项，由于函数为奇函数，则，A选项错误；
对于B选项，，，则，B选项错误；
对于C选项，，等式两边求导得，即，
故函数为偶函数，由图可知，，，
故，C选项正确；
对于D选项，当时，由图可知，方程有解，D选项错误.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用函数图象判断命题的正误，涉及函数奇偶性的应用，解题的关键要充分结合图象并分析出函数为偶函数，由此结合函数图象求解.
15．B
【解析】
恒成立，所以单调递增，
故函数在区间(0,1)内的零点个数1个.
【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的零点的判断，考查学生的分析判断能力
16．C
【分析】
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】
∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【点睛】
本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
17．（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：
单调递减
极小值
单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则
. ①
令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
18．（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；
(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；
(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.
【详解】
(1)由函数的解析式可得：，则：
，
在上的根为：，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)注意到，
故函数是周期为的函数，
结合(1)的结论，计算可得：，
，，
据此可得：，，
即.
(3)结合(2)的结论有：
.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
19．（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【分析】
(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.
(2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围.
【详解】
(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，
当时，单调递增.
(2)由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，
则，，
故单调递增，，
故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
20．（Ⅰ）和.
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）.
【分析】
(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.
【详解】
（Ⅰ），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时.
【点睛】
本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

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